Вероятностные интерпретации - Probability interpretations

Слово вероятность использовался по-разному с тех пор, как впервые был применен к математическому изучению азартные игры. Измеряет ли вероятность реальную физическую тенденцию того, что что-то произойдет, или это мера того, насколько сильно человек верит, что это произойдет, или он основан на обоих этих элементах? Отвечая на такие вопросы, математики интерпретируют значения вероятности теория вероятности.

Есть две широкие категории[1][2] из вероятностные интерпретации которые можно назвать «физической» и «доказательной» вероятностями. Физические вероятности, которые также называют объективными или частотные вероятности, связаны со случайными физическими системами, такими как колеса рулетки, игральные кости и радиоактивные атомы. В таких системах событие данного типа (например, игра на кубике с получением шестерки) имеет тенденцию происходить с постоянной скоростью или «относительной частотой» в течение длительного периода испытаний. Физические вероятности либо объясняют, либо используются для объяснения этих стабильных частот. Двумя основными видами теории физической вероятности являются: частотник аккаунты (например, Венна,[3] Райхенбах[4] и фон Мизес[5]) и склонность учетные записи (например, Поппера, Миллера, Гьера и Фетцера).[6]

Доказательная вероятность, также называемая Байесовская вероятность, может быть отнесен к любому утверждению, даже когда не задействован случайный процесс, как способ представить его субъективную правдоподобность или степень, в которой утверждение поддерживается имеющимися доказательствами. В большинстве случаев доказательная вероятность считается степенью веры, определяемой в терминах склонности к игре с определенными шансами. Четыре основных доказательных интерпретации - это классические (например, Лапласа)[7] интерпретация, субъективная интерпретация (де Финетти[8] и дикарь[9]), эпистемическая или индуктивная интерпретация (Рэмси,[10] Кокс[11]) и логической интерпретации (Кейнс[12] и Карнап[13]). Существуют также доказательные интерпретации групп вероятностного покрытия, которые часто обозначаются как «интерсубъективные» (предложенные Гиллис[14] и Роуботтом[6]).

Некоторые интерпретации вероятности связаны с подходами к статистические выводы, включая теории оценка и проверка гипотезы. Физическая интерпретация, например, используется последователями «частотных» статистических методов, таких как Рональд Фишер[сомнительный – обсуждать], Ежи Нейман и Эгон Пирсон. Статистики противостоящих Байесовский школа обычно признает существование и важность физических вероятностей, но также считает, что расчет доказательной вероятности является достоверным и необходимым в статистике. Однако в этой статье основное внимание уделяется интерпретации вероятности, а не теориям статистического вывода.

Терминология этой темы довольно сбивает с толку, отчасти потому, что вероятности изучаются в самых разных академических областях. Слово «частотный» особенно сложно. Для философов это относится к определенной теории физической вероятности, от которой более или менее отказались. С другой стороны, для ученых "частотная вероятность «это просто другое название физической (или объективной) вероятности. Те, кто продвигает точку зрения байесовского вывода»частотная статистика «как подход к статистическому выводу, который признает только физические вероятности. Также слово« объективный »в применении к вероятности иногда означает именно то, что здесь означает« физический », но также используется для доказательных вероятностей, которые фиксируются рациональными ограничениями, такими как как логические, так и эпистемологические вероятности.

Все согласны с тем, что статистика так или иначе зависит от вероятности. Но что касается того, что такое вероятность и как она связана со статистикой, то со времен Вавилонской башни редко было такое полное разногласие и нарушение связи. Несомненно, большая часть разногласий носит чисто терминологический характер и исчезнет при достаточно тщательном анализе.

— (Сэвидж, 1954, стр. 2)[9]

Философия

В философия вероятности представляет проблемы в основном в вопросах эпистемология и непростой интерфейс между математический понятия и обычный язык, как он используется нематематиками.Теория вероятности это устоявшаяся область изучения математики. Он берет свое начало в переписке, в которой обсуждается математика азартные игры между Блез Паскаль и Пьер де Ферма в семнадцатом веке,[15] и был оформлен и оформлен аксиоматический как отдельный раздел математики Андрей Колмогоров в двадцатом веке. В аксиоматической форме математические утверждения о теории вероятностей несут в себе такую ​​же эпистемологическую уверенность. философия математики как и другие математические утверждения.[16][17]

Математический анализ возник в результате наблюдений за поведением игрового оборудования, такого как играя в карты и игральная кость, которые разработаны специально для введения случайных и уравновешенных элементов; с математической точки зрения они являются предметами равнодушие. Это не единственный способ использования вероятностных утверждений в обычном человеческом языке: когда люди говорят, что "вероятно будет дождь", они, как правило, не означают, что результат дождя по сравнению с отсутствием дождя является случайным фактором, которому в настоящее время благоприятствуют шансы; вместо этого такие утверждения, возможно, лучше понимать как квалифицирующие их ожидание дождя с определенной степенью уверенности. Точно так же, когда это написано, что «наиболее вероятное объяснение» имени Ладлоу, Массачусетс "это то, что он был назван в честь Роджер Ладлоу «здесь имеется в виду не то, что Роджеру Ладлоу благоприятствует случайный фактор, а то, что это наиболее правдоподобное объяснение свидетельств, которое допускает другие, менее вероятные объяснения.

Томас Байес попытался предоставить логика это могло выдержать разную степень уверенности; в качестве таких, Байесовская вероятность представляет собой попытку переработать представление вероятностных утверждений как выражение степени уверенности, которой придерживаются выражаемые ими убеждения.

Хотя изначально вероятность имела несколько приземленных мотивов, ее современное влияние и использование широко распространено, начиная от Доказательная медицина, через шесть Сигм, вплоть до вероятностно проверяемое доказательство и теория струн пейзаж.

Краткое изложение некоторых интерпретаций вероятности [2]
КлассическийЧастотникСубъективныйСклонность
Основная гипотезаПринцип безразличияЧастота появленияСтепень верыСтепень причинной связи
Концептуальная основаГипотетическая симметрияПрошлые данные и ссылочный классЗнания и интуицияТекущее состояние системы
Концептуальный подходПредположительныйЭмпирическийСубъективныйМетафизический
Возможен единичный случайдаНетдада
ТочныйдаНетНетда
ПроблемыДвусмысленность в принципе безразличияКруговое определениеПроблема эталонного классаСпорная концепция

Классическое определение

Основная статья: Классическое определение вероятности

Первая попытка математической строгости в области вероятностей, отстаиваемая Пьер-Симон Лаплас, теперь известен как классическое определение. Разработан на основе исследований азартных игр (таких как катание игральная кость ) в нем говорится, что вероятность делится поровну между всеми возможными исходами, при условии, что эти исходы можно считать равновероятными.[1] (3.1)

Теория случайности состоит в том, чтобы свести все события одного и того же вида к определенному количеству случаев, в равной степени возможных, то есть к таким, в отношении которых мы можем в равной степени не определиться в отношении их существования, и в определении количества случаев. благоприятный для события, вероятность которого ищется. Отношение этого числа к числу всех возможных случаев является мерой этой вероятности, которая, таким образом, представляет собой просто дробь, числитель которой является числом благоприятных случаев, а знаменатель - числом всех возможных случаев.

— Пьер-Симон Лаплас, Философский очерк вероятностей[7]
Классическое определение вероятности хорошо работает для ситуаций с конечным числом равновероятных исходов.

Математически это можно представить следующим образом: Если случайный эксперимент может привести к N взаимоисключающие и равновероятные исходы, и если NА из этих исходов приводит к возникновению события А, то вероятность А определяется

У классического определения есть два очевидных ограничения.[18] Во-первых, это применимо только к ситуациям, в которых существует только «конечное» число возможных результатов. Но некоторые важные случайные эксперименты, такие как подбрасывание монета пока не поднимется голова, порождают бесконечный набор исходов. А во-вторых, вам необходимо заранее определить, что все возможные исходы одинаково вероятны, не полагаясь на понятие вероятности, чтобы избежать замкнутости, например, из соображений симметрии.

Частотность

Для частотников вероятность попадания мяча в любую лузу может быть определена только путем повторных испытаний, в которых наблюдаемый результат сходится с лежащей в основе вероятностью. в долгосрочной перспективе.
Основная статья: Вероятность частоты

Частиквентисты утверждают, что вероятность события - это его относительная частота во времени,[1] (3.4) т. Е. Его относительная частота появления после многократного повторения процесса в аналогичных условиях. Это также известно как случайный вероятность. Предполагается, что событиями управляют некоторые случайный физические явления, которые являются либо явлениями, которые в принципе предсказуемы при наличии достаточной информации (см. детерминизм ); или явления, которые по существу непредсказуемы. Примеры первого типа включают подбрасывание игральная кость или вращая рулетка колесо; пример второго типа радиоактивный распад. В случае подбрасывания справедливой монеты частотные специалисты говорят, что вероятность выпадения орла равна 1/2, не потому, что есть два равновероятных исхода, а потому, что повторяющиеся серии большого количества испытаний демонстрируют, что эмпирическая частота сходится к пределу 1 / 2, поскольку число попыток стремится к бесконечности.

Если обозначить через количество появлений события в испытания, то если мы говорим, что .

У частотной точки зрения есть свои проблемы. Конечно, на самом деле невозможно выполнить бесконечное количество повторений случайного эксперимента для определения вероятности события. Но если выполняется только конечное число повторений процесса, разные относительные частоты будут появляться в разных сериях испытаний. Если эти относительные частоты должны определять вероятность, вероятность будет немного отличаться каждый раз при ее измерении. Но реальная вероятность всегда должна быть одинаковой. Если мы признаем тот факт, что мы можем измерить вероятность только с некоторой ошибкой измерения, мы все равно столкнемся с проблемами, поскольку ошибка измерения может быть выражена только как вероятность, то есть само понятие, которое мы пытаемся определить. Это делает даже определение частоты круговым; см., например, «Какова вероятность землетрясения? ”[19]

Субъективизм

Играть в азартные игры Шансы отражают «степень веры» среднего игрока в исход.
Основная статья: Байесовская вероятность

Субъективисты, также известные как Байесовцы или последователи эпистемическая вероятность, придают понятию вероятности субъективный статус, рассматривая его как меру «степени уверенности» человека, оценивающего неопределенность конкретной ситуации. Эпистемический или субъективная вероятность иногда называется доверие, в отличие от термина шанс для вероятности склонности.

Некоторые примеры эпистемической вероятности состоят в том, чтобы приписать вероятность утверждению о том, что предложенный закон физики истинен, или определить, насколько вероятно, что подозреваемый совершил преступление, на основе представленных доказательств.

Коэффициенты ставок на азартные игры не отражают веру букмекеров в вероятного победителя в такой степени, как веру других участников пари, потому что игроки на самом деле делают ставки друг против друга. Коэффициенты устанавливаются на основе того, сколько людей сделало ставку на возможного победителя, так что даже если игроки с высокими шансами всегда выигрывают, букмекеры всегда будут делать свои проценты.

Использование байесовской вероятности вызывает философские дебаты относительно того, может ли она способствовать достоверному оправдания из вера.

Байесовцы указывают на работу Рэмси[10] (стр.182) и де Финетти[8] (стр. 103) как доказательство того, что субъективные убеждения должны следовать законы вероятности если они должны быть последовательными.[20] Свидетельства ставят под сомнение то, что у людей будут последовательные убеждения.[21][22]

Использование байесовской вероятности включает определение априорная вероятность. Это может быть получено из рассмотрения того, является ли требуемая априорная вероятность больше или меньше эталонной вероятности.[требуется разъяснение ] связанный с модель урны или мысленный эксперимент. Проблема в том, что для данной проблемы можно применить несколько мысленных экспериментов, и выбор одного - это вопрос суждения: разные люди могут назначать разные априорные вероятности, известные как проблема эталонного класса.The "проблема восхода солнца "дает пример.

Склонность

Основная статья: Вероятность склонности

Теоретики склонности рассматривают вероятность как физическую склонность, или предрасположенность, или тенденцию данного типа физической ситуации приводить к определенному результату или к долгосрочной относительной частоте такого исхода.[23] Такого рода объективную вероятность иногда называют «случайностью».

Склонности или шансы - это не относительные частоты, а предполагаемые причины наблюдаемых стабильных относительных частот. Пристрастия используются для объяснения того, почему повторение определенного типа эксперимента будет приводить к определенным типам результатов с постоянной скоростью, которые известны как склонности или шансы. Фраквенционисты не могут использовать этот подход, поскольку относительные частоты не существуют для одиночных подбрасываний монеты, а существуют только для больших ансамблей или коллективов (см. «Возможен единичный случай» в таблице выше).[2] Напротив, сторонник предрасположенности может использовать закон больших чисел чтобы объяснить поведение длинных частот. Этот закон, который является следствием аксиом вероятности, гласит, что если (например) монету подбрасывают многократно, много раз таким образом, что вероятность выпадения орла при каждом подбрасывании одинакова, а результаты вероятностно независимо, то относительная частота выпадения орлов будет близка к вероятности выпадения орлов при каждом броске. Этот закон допускает, что стабильные длительные частоты являются проявлением инвариантных единичный случай вероятности. Помимо объяснения возникновения стабильных относительных частот, идея предрасположенности мотивирована желанием понять однозначные вероятностные атрибуции в квантовой механике, такие как вероятность разлагаться конкретного атом в определенное время.

Основная проблема, стоящая перед теориями предрасположенности, - это точно сказать, что означает предрасположенность. (И затем, конечно, чтобы показать, что определенная таким образом склонность обладает необходимыми свойствами.) В настоящее время, к сожалению, ни одно из общепризнанных объяснений склонности даже близко не подходит к решению этой проблемы.

Теория вероятности склонности была дана Чарльз Сандерс Пирс.[24][25][26][27] Более поздняя теория склонностей была предложена философом Карл Поппер, который, однако, имел лишь небольшое представление о трудах К.С. Пирса.[24][25] Поппер отмечал, что результат физического эксперимента определяется определенным набором «порождающих условий». Когда мы повторяем эксперимент, как говорится, мы действительно проводим еще один эксперимент с (более или менее) похожим набором порождающих условий. Сказать, что набор порождающих условий имеет склонность п достижения результата E означает, что эти точные условия, если повторяться бесконечно, дадут последовательность результатов, в которой E происходило с предельной относительной частотой п. Таким образом, для Поппера детерминированный эксперимент имел бы склонность 0 или 1 для каждого результата, так как условия, создающие условия, будут иметь одинаковый результат в каждом испытании. Другими словами, нетривиальные склонности (отличные от 0 и 1) существуют только для действительно недетерминированных экспериментов.

Ряд других философов, в том числе Дэвид Миллер и Дональд А. Гиллис, предложили теории склонностей, несколько похожие на теорию Поппера.

Другие теоретики склонности (например, Рональд Гьер[28]) вообще не определяют явным образом склонности, а скорее рассматривают склонность как определенную теоретической ролью, которую она играет в науке. Они утверждали, например, что физические величины, такие как электрический заряд также нельзя явно определить с точки зрения более простых вещей, а только с точки зрения того, что они делают (например, притягивают и отталкивают другие электрические заряды). Точно так же склонность - это то, что выполняет различные роли, которые физическая вероятность играет в науке.

Какую роль в науке играет физическая вероятность? Каковы его свойства? Одно из центральных свойств случая состоит в том, что, когда оно известно, оно заставляет рациональную веру принимать одно и то же числовое значение. Дэвид Льюис назвал это Главный принцип,[1] (3.3 и 3.5) термин, который в основном применяют философы. Например, предположим, что вы уверены, что определенная смещенная монета имеет склонность 0,32 выпадать орел каждый раз, когда ее бросают. Какова же тогда правильная цена для игры, в которой выплачивается 1 доллар, если монета выпадает орлом, и ничего в противном случае? Согласно Основному принципу справедливая цена составляет 32 цента.

Логическая, эпистемическая и индуктивная вероятность

Основная статья: Вероятностная логика

Широко признано, что термин «вероятность» иногда используется в контекстах, где он не имеет ничего общего с физической случайностью. Рассмотрим, например, утверждение о том, что исчезновение динозавров было наверное вызвано падением на землю большого метеорита. Такие утверждения, как «Гипотеза H, вероятно, верна», были интерпретированы как означающие, что (в настоящее время доступно) эмпирическое доказательство (E, скажем) поддерживает H в высокой степени. Эта степень поддержки H со стороны E была названа логичный вероятность H с учетом E, или эпистемическая вероятность H с учетом E, или индуктивная вероятность H с учетом E.

Различия между этими интерпретациями невелики и могут показаться несущественными. Один из основных пунктов разногласий заключается в отношении между вероятностью и верой. Логические вероятности задуманы (например, в Кейнс ' Трактат о вероятности[12]) быть объективными логическими отношениями между предложениями (или предложениями) и, следовательно, никоим образом не зависеть от убеждений. Это степени (частичные) логическое следствие, или степени логическое следствие, а не степени вера. (Тем не менее они диктуют надлежащую степень веры, как обсуждается ниже.) Фрэнк П. Рэмси С другой стороны, скептически относился к существованию таких объективных логических отношений и утверждал, что (доказательная) вероятность - это «логика частичного убеждения».[10] (стр. 157) Другими словами, Рэмси считал, что эпистемологические вероятности просто находятся степени рационального убеждения, а не логических отношений, которые просто сдерживать степени рациональной веры.

Еще один момент разногласий касается уникальность доказательной вероятности относительно данного уровня знаний. Рудольф Карнап считал, например, что логические принципы всегда определяют уникальную логическую вероятность любого утверждения относительно любой совокупности доказательств. Рэмси, напротив, полагал, что, хотя степени веры подчиняются некоторым рациональным ограничениям (таким как, но не ограничиваясь, аксиомами вероятности), эти ограничения обычно не определяют уникальное значение. Другими словами, рациональные люди могут несколько отличаться по степени своей веры, даже если все они обладают одинаковой информацией.

Прогноз

Основная статья: Прогнозный вывод

Альтернативный подход к вероятности подчеркивает роль прогноз - прогнозирование будущих наблюдений на основе прошлых наблюдений, а не ненаблюдаемых параметров. В современном виде это в основном байесовская вена. Это была основная функция вероятности до 20 века,[29] но потерял популярность по сравнению с параметрическим подходом, который моделировал явления как физическую систему, которая наблюдалась с ошибкой, например, в небесная механика.

Пионерами современного прогнозного подхода стали: Бруно де Финетти, с центральной идеей возможность обмена - что будущие наблюдения должны вести себя как прошлые.[29] Эта точка зрения привлекла внимание англоязычного мира с переводом книги де Финетти в 1974 г.[29] и с тех пор было предложено такими статистиками, как Сеймур Гейссер.

Аксиоматическая вероятность

Математика вероятностей может быть разработана на полностью аксиоматической основе, не зависящей от какой-либо интерпретации: см. Статьи о теория вероятности и аксиомы вероятности для подробного рассмотрения.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c d Гайек, Алан (21 октября 2002 г.), Залта, Эдвард Н. (ред.), Интерпретации вероятности, Стэнфордская энциклопедия философии Приведенная здесь таксономия вероятностных интерпретаций аналогична более длинной и полной статье «Интерпретации вероятностей» в онлайн-Стэнфордской энциклопедии философии. Ссылки на эту статью включают номер раздела в скобках, где это необходимо. Частичный план этой статьи:
    • Раздел 2: Критерии адекватности интерпретации вероятности
    • Раздел 3:
      • 3.1 Классическая вероятность
      • 3.2 Логическая вероятность
      • 3.3 Субъективная вероятность
      • 3.4 Частотные интерпретации
      • 3.5 Интерпретации склонностей
  2. ^ а б c де Элиа, Рамон; Лаприз, Рене (2005). «Разнообразие интерпретаций вероятности: значение для прогнозирования погоды». Ежемесячный обзор погоды. 133 (5): 1129–1143. Bibcode:2005MWRv..133.1129D. Дои:10.1175 / mwr2913.1.«Существует несколько философских школ относительно интерпретации вероятностей, и ни одна из них не лишена недостатков, внутренних противоречий или парадоксов». (стр. 1129) «Не существует стандартных классификаций вероятностных интерпретаций, и даже самые популярные из них могут иметь небольшие вариации от текста к тексту». (стр. 1130) Классификация в этой статье является репрезентативной, как и авторы и идеи, заявленные для каждой классификации.
  3. ^ Венн, Джон (1876). Логика случая. Лондон: Макмиллан.
  4. ^ Райхенбах, Ганс (1948). Теория вероятностей, исследование логических и математических основ исчисления вероятностей. Калифорнийский университет Press. Английский перевод оригинала 1935 г. на немецком языке. ASIN: B000R0D5MS
  5. ^ Мизес, Ричард (1981). Вероятность, статистика и правда. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-24214-9. Английский перевод третьего немецкого издания 1951 года, опубликованного через 30 лет после первого немецкого издания.
  6. ^ а б Роуботтом, Даррелл (2015). Вероятность. Кембридж: Политика. ISBN  978-0745652573.
  7. ^ а б Лаплас, П. С., 1814, английское издание 1951, Философское эссе о вероятностях, Нью-Йорк: Dover Publications Inc.
  8. ^ а б де Финетти, Бруно (1964). «Предвидение: его логические законы, его субъективные источники». В Кибурге, Х. Э. (ред.). Исследования субъективной вероятности. Х. Э. Смоклер. Нью-Йорк: Вили. С. 93–158. Перевод французского оригинала 1937 года с добавленными позже примечаниями.
  9. ^ а б Сэвидж, Л.Дж. (1954). Основы статистики. Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  978-0-486-62349-8.
  10. ^ а б c Рэмси, Ф. П. (1931). "Глава VII, Истина и вероятность (1926)" (PDF). В Брейтуэйт, Р. Б. (ред.). Основы математики и другие логические сочинения. Лондон: Кеган, Пол, Тренч, Трубнер и Ко, стр. 156–198.. Проверено августа 2013 г.. Проверить значения даты в: | accessdate = (помощь) Содержит три главы (эссе) Рэмси. Электронная версия содержит только эти три.
  11. ^ Кокс, Ричард Трелкельд (1961). Алгебра вероятного вывода. Балтимор: Johns Hopkins Press.
  12. ^ а б Кейнс, Джон Мейнард (1921). Трактат о вероятности. MacMillan. Проверено августа 2013 г.. Проверить значения даты в: | accessdate = (помощь)
  13. ^ Карнап, Рудольф (1950). Логические основы вероятности. Чикаго: Издательство Чикагского университета. Карнап придумал понятие "вероятность1" и "вероятность2" для доказательной и физической вероятности соответственно.
  14. ^ Гиллис, Дональд (2000). Философские теории вероятностей. Лондон Нью-Йорк: Рутледж. ISBN  978-0415182768.
  15. ^ Ферма и Паскаль о вероятности (@ socsci.uci.edu)
  16. ^ Ласло Э. Сабо, Физикалистская интерпретация вероятности В архиве 4 марта 2016 г. Wayback Machine (Доклад представлен на семинаре по философии науки, Этвеш, Будапешт, 8 октября 2001 г.)
  17. ^ Ласло Э. Сабо, Объективные вероятностные вещи с объективным индетерминизмом и без него, Исследования по истории и философии современной физики 38 (2007) 626–634 (Препринт )
  18. ^ Спанос, Арис (1986). Статистические основы эконометрического моделирования. Кембридж, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521269124.
  19. ^ Фридман, Дэвид и Филип Б. Старк (2003) "Какова вероятность землетрясения?" Землетрясение и сейсмический риск.
  20. ^ Джейнс, Э. Т. (2003). Теория вероятностей логика науки. Кембридж, Великобритания Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521592710.
  21. ^ Канеман, Даниэль (2011). Думаю, быстро и медленно. Нью-Йорк: Фаррар, Штраус и Жиру. ISBN  978-0374275631. Книга содержит множество примеров разницы между идеализированным и актуальным мышлением. «Когда люди призваны судить о вероятности, люди на самом деле судят о чем-то другом и верят, что они оценили вероятность». (стр.98)
  22. ^ Grove, Уильям М .; Мил, Пол Э. (1996). «Сравнительная эффективность неформальных (субъективных, импрессионистских) и формальных (механических, алгоритмических) процедур прогнозирования: клинико-статистическое противоречие» (PDF). Психология, государственная политика и право. 2 (2): 293–332. CiteSeerX  10.1.1.471.592. Дои:10.1037/1076-8971.2.2.293. Архивировано из оригинал (PDF) 30 октября 2011 г. Статистические решения неизменно превосходят субъективные решения экспертов.
  23. ^ Петерсон, Мартин (2009). Введение в теорию принятия решений. Кембридж, Великобритания Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 140. ISBN  978-0521716543.
  24. ^ а б Миллер, Ричард В. (1975). «Склонность: Поппер или Пирс?». Британский журнал философии науки. 26 (2): 123–132. Дои:10.1093 / bjps / 26.2.123.
  25. ^ а б Хаак, Сьюзен; Коленда, Константин, Константин; Коленда (1977). «Два фаллибилиста в поисках истины». Труды Аристотелевского общества. 51 (Дополнительные тома): 63–104. Дои:10.1093 / aristoteliansupp / 51.1.63. JSTOR  4106816.
  26. ^ Беркс, Артур В. (1978). Случайность, причина и причина: исследование природы научных данных. Издательство Чикагского университета. стр.694 страницы. ISBN  978-0-226-08087-1.
  27. ^ Пирс, Чарльз Сандерс and Burks, Arthur W., ed. (1958), Собрание статей Чарльза Сандерса Пирса Тома 7 и 8, издательство Harvard University Press, Кембридж, Массачусетс, а также издание Belnap Press (издательство Harvard University Press), тт. 7-8 сшитых вместе, 798 страниц, онлайн через InteLex, переиздано в 1998 году Thoemmes Continuum.
  28. ^ Рональд Н. Гьер (1973). «Объективные вероятности единичных случаев и основы статистики». Исследования по логике и основам математики. 73. Эльзевир. С. 467–483. Дои:10.1016 / S0049-237X (09) 70380-5. ISBN  978-0-444-10491-5.
  29. ^ а б c Гейссер, Сеймур (1993). Прогнозный вывод. CRC Press. ISBN  978-0-412-03471-8.

дальнейшее чтение

  • Коэн, L (1989). Введение в философию индукции и вероятности. Оксфорд, Нью-Йорк: Clarendon Press Oxford University Press. ISBN  978-0198750789.
  • Орел, Антоний (2011). Философия вероятности: современные чтения. Абингдон, Oxon New York: Routledge. ISBN  978-0415483872.
  • Гиллис, Дональд (2000). Философские теории вероятностей. Лондон Нью-Йорк: Рутледж. ISBN  978-0415182768. Подробная монография, охватывающая четыре основных современных интерпретации: логическое, субъективное, частотное, предрасположенное. Также предлагает новую интерсубективную интерпретацию.
  • Взлом, Ян (2006). Возникновение вероятности: философское исследование ранних идей о вероятности, индукции и статистическом выводе. Кембридж, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521685573.
  • Пол Хамфрис, изд. (1994) Патрик Суппес: Научный философ, Synthese Library, Springer-Verlag.
    • Vol. 1: Вероятность и вероятностная причинность.
    • Vol. 2: Философия физики, теория структуры и измерения и теория действия.
  • Джексон, Фрэнк и Роберт Парджеттер (1982) "Физическая вероятность как склонность", Нет 16(4): 567–583.
  • Хренников, Андрей (2009). Интерпретации вероятности (2-е изд.). Берлин Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер. ISBN  978-3110207484. Охватывает в основном неколмогоровские вероятностные модели, особенно в отношении квантовая физика.
  • Льюис, Дэвид (1983). Философские статьи. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0195036466.
  • Платон, Ян фон (1994). Создание современной вероятности: математика, физика и философия в исторической перспективе. Кембридж, Англия, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521597357.
  • Роуботтом, Даррелл (2015). Вероятность. Кембридж: Политика. ISBN  978-0745652573. Очень доступное введение в интерпретацию вероятности. Охватывает все основные интерпретации и предлагает новую интерпретацию на уровне группы (или «интерсубъективную»). Также охватывает заблуждения и применения интерпретаций в социальных и естественных науках.
  • Skyrms, Брайан (2000). Выбор и шанс: введение в индуктивную логику. Австралия, Белмонт, Калифорния: Wadsworth / Thomson Learning. ISBN  978-0534557379.

внешняя ссылка