Проблема восхода солнца - Sunrise problem

Обычно выводится из повторных наблюдений: «Солнце всегда встает на востоке».

В проблема восхода солнца можно выразить так: «Какова вероятность того, что солнце взойдет завтра?» Проблема восхода солнца иллюстрирует сложность использования теория вероятности при оценке правдоподобия утверждений или убеждений.

Согласно Байесовский интерпретация вероятности Теория вероятности может быть использована для оценки правдоподобия утверждения «завтра взойдет солнце». Нам просто нужен гипотетический случайный процесс, который определяет, взойдет ли завтра солнце или нет. Основываясь на прошлых наблюдениях, мы можем сделать вывод параметры этого случайного процесса, и оттуда оценить вероятность того, что солнце взойдет завтра.

Одно солнце, много дней

Проблема восхода солнца была впервые представлена ​​в 18 веке. Пьер-Симон Лаплас, который лечил это с помощью своего правило наследования.^[1] Позволять п - длительная частота восходов, т.е. солнце встает на 100 × п% дней. Прежний зная о восходах, совершенно не осознаешь ценность п. Лаплас представил это предшествующее невежество с помощью равномерное распределение вероятностей на п. Таким образом, вероятность того, что п между 20% и 50% составляет всего 30%. Это не следует толковать так, что в 30% всех случаев п составляет от 20% до 50%. Скорее, это означает, что состояние знания (или невежества) оправдывает его 30% уверенность в том, что солнце восходит между 20% и 50% времени. Данный значение п, и никакой другой информации, относящейся к вопросу о том, взойдет ли солнце завтра, вероятность того, что солнце взойдет завтра, равна п. Но мы нет "учитывая стоимость п". Нам даются данные наблюдений: Солнце вставало каждый день в истории наблюдений. Лаплас сделал вывод о количестве дней, сказав, что Вселенная была создана около 6000 лет назад, на основе молодой креационист чтение Библия. Чтобы найти условная возможность распределение п учитывая данные, используется Теорема Байеса, которые некоторые называют Правило Байеса – Лапласа. Найдя условное распределение вероятностей п учитывая данные, можно затем вычислить условную вероятность с учетом данных, что солнце взойдет завтра. Эта условная вероятность дается правило наследования. Вероятность того, что солнце взойдет завтра, возрастает с увеличением количества дней, когда солнце восходит до сих пор. В частности, предполагая п имеет априорное распределение, равномерное на интервале [0,1], и что, учитывая значение п, солнце каждый день независимо встает с вероятностью п, желаемая условная вероятность равна:

${\displaystyle \Pr({\text{Sun rises tomorrow}}\mid {\text{It has risen }}k{\text{ times previously}})={\frac {\int _{0}^{1}p^{k+1}\,dp}{\int _{0}^{1}p^{k}\,dp}}={\frac {k+1}{k+2}}.}$

По этой формуле, если раньше солнце восходит 10000 раз, вероятность, что оно взойдет на следующий день, равна ${\displaystyle 10001/10002\approx 0.99990002}$. В процентах это примерно ${\displaystyle 99.990002\%}$ шанс.

Однако Лаплас признал, что это было неправильным применением правила преемственности, поскольку он не принял во внимание всю предшествующую информацию, доступную сразу после получения результата:

Но это число [вероятность того, что солнце взойдет завтра] намного больше для того, кто, видя во всей совокупности явлений принцип, регулирующий дни и времена года, понимает, что ничто в настоящий момент не может остановить его течение.

Джейнс и Бретторст отмечают, что предупреждение Лапласа осталось незамеченным рабочими на поле.^[2]

А проблема эталонного класса возникает: предполагаемая правдоподобность будет зависеть от того, берем ли мы прошлый опыт одного человека, человечества или земли. Как следствие, каждый референт будет придерживаться разной правдоподобности утверждения. В байесианстве любая вероятность условная возможность учитывая то, что известно. Это варьируется от человека к человеку.

Однажды много солнц

Как вариант, можно сказать, что солнце выбрано из всех возможных звезды каждый день, будучи звездой, которую видишь утром. Правдоподобие того, что «солнце взойдет завтра» (то есть вероятность того, что это правда) будет тогда пропорцией звезд, которые не «умирают», например, став новые, и, таким образом, неспособные «подняться» на своих планетах (тех, которые все еще существуют, независимо от вероятности того, что тогда их может не быть или что тогда может не быть наблюдателей).

Возникает аналогичная проблема эталонного класса: какую выборку звезд использовать. Все звезды? Звезды того же возраста, что и солнце? Такой же размер?

Знание человечества о звездных образованиях, естественно, приведет к выбору звезд одного возраста и размера и так далее, чтобы решить эту проблему. В других случаях незнание лежащего в основе случайного процесса делает использование байесовских рассуждений менее полезным. Менее точный, если знание возможностей очень неструктурировано и, следовательно, обязательно имеет более однородные априорные вероятности ( принцип безразличия ). Также менее определенно, если имеется мало субъективных предшествующих наблюдений и, следовательно, более близкое к минимуму общее количество псевдосчета, что дает меньше эффективных наблюдений и, следовательно, большую расчетную дисперсию ожидаемого значения и, вероятно, менее точную оценку этого значения.

Смотрите также

• Аргумент судного дня: аналогичная проблема, вызывающая интенсивные философские дебаты
• Парадокс Ньюкомба
• Проблема индукции
• Нерешенные проблемы в статистике

Рекомендации

1. Чанг, К. Л. и Айт Салиа, Ф. (2003). Элементарная теория вероятностей: со случайными процессами и введением в математические финансы. Springer. С. 129–130. ISBN  978-0-387-95578-0.
2. ч. 18, стр. 387–391 из Jaynes, E. T. и Bretthorst, G. L. (2003). Теория вероятностей: логика науки. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-59271-0

дальнейшее чтение

• Хауи, Дэвид. (2002). Интерпретация вероятности: споры и события в начале двадцатого века. Издательство Кембриджского университета. С. 24. ISBN  978-0-521-81251-1