Производственная функция Кобба – Дугласа - Cobb–Douglas production function

Проволочно-сеточная производственная поверхность Кобба – Дугласа с изокванты

Производственная функция Кобба – Дугласа с двумя входами с изокванты

В экономика и эконометрика, то Производственная функция Кобба – Дугласа особая функциональная форма производственная функция, широко используется для представления технологической взаимосвязи между количеством двух или более вводимых ресурсов (в частности, физического капитала и рабочей силы) и объемом выпуска, который может быть произведен с помощью этих затрат. Форма Кобба-Дугласа была разработана и проверена на соответствие статистическим данным Чарльз Кобб и Пол Дуглас в 1927–1947 гг.^[1]

Формулировка

В наиболее стандартной форме для производства одного товара с двумя факторами функция имеет следующий вид:

${\displaystyle Y=AL^{\beta }K^{\alpha }}$

куда:

• Y = общий объем производства (реальная стоимость всех товаров, произведенных за год или 365,25 дней)
• L = труд ввод (отработано человеко-часов в год или 365,25 дня)
• K = капитал затраты (мера всех машин, оборудования и зданий; стоимость вложенного капитала, деленная на цену капитала)^{[требуется разъяснение ]}
• А = общая факторная производительность
• α и β являются эластичность выпуска капитала и труда соответственно. Эти значения являются константами, определяемыми доступной технологией.

Эластичность выпуска измеряет реакцию выпуска на изменение уровня труда или капитала, используемых в производстве. при прочих равных условиях. Например, если α = 0.45, а 1% увеличение использования капитала приведет примерно к 0.45% увеличение выпуска.

Иногда этот термин имеет более ограниченное значение, требуя, чтобы отображение функции постоянная отдача от масштаба, что означает, что удвоение использования капитала K и труд L также удвоит вывод Y. Это верно, если

α + β = 1,

Если

α + β < 1,

отдача от масштаба уменьшается, а если

α + β > 1,

отдача от масштаба увеличивается. Предполагая идеальное соревнование и α + β = 1, α и β можно показать, что это доли капитала и труда в выпуске.

В обобщенном виде функция Кобба – Дугласа моделирует более двух товаров. Функцию Кобба – Дугласа можно записать как^[2]

${\displaystyle f(x)=A\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\lambda _{i}},\qquad x=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

куда

• А является параметром эффективности
• п общее количество входных переменных (товаров)
• Икс₁, ..., Икс_п являются (неотрицательными) количествами потребленных, произведенных товаров и т. д.
• ${\displaystyle \lambda _{i}}$ параметр эластичности для добра я

История

Пол Дуглас объяснил, что его первая формулировка производственной функции Кобба-Дугласа была разработана в 1927 году; при поиске функциональной формы для связи оценок, которые он рассчитал для рабочих и капитала, он поговорил с математиком и коллегой Чарльз Кобб, который предложил функцию формы Y = AL^βK^1−β, ранее использовался Кнут Виксель, Филип Уикстид, и Леон Вальрас, хотя Дуглас благодарит только Уикстида и Вальраса за их вклад.^[3] Оценивая это с помощью наименьших квадратов, он получил результат для показателя труда 0,75, который впоследствии был подтвержден Национальное бюро экономических исследований быть 0,741. Более поздние работы в 1940-х побудили их разрешить экспонентам на K и L варьироваться, что привело к оценкам, которые впоследствии оказались очень близкими к усовершенствованным показателям производительности, разработанным в то время.^[4]

Основная критика в то время заключалась в том, что оценки производственной функции, хотя и кажущиеся точными, основывались на таких разреженных данных, что было трудно им доверять. Дуглас заметил: «Должен признать, я был обескуражен этой критикой и думал отказаться от усилий, но кое-что подсказало мне, что я должен держаться».^[4] Прорыв произошел в использовании Перепись США данные, которые были поперечный и предоставил большое количество наблюдений. Дуглас представил результаты этих открытий, наряду с результатами для других стран, в своем выступлении в 1947 году в качестве президента Американская экономическая ассоциация. Вскоре после этого Дуглас ушел в политику и почувствовал недомогание, что не привело к дальнейшему развитию с его стороны. Однако два десятилетия спустя его производственная функция получила широкое распространение и была принята экономистами, такими как Пол Самуэльсон и Роберт Солоу.^[4] Производственная функция Кобба – Дугласа особенно примечательна тем, что впервые агрегированная или общеэкономическая производственная функция была разработана, оценена и затем представлена ​​специалистам для анализа; он ознаменовал знаменательное изменение в подходе экономистов к макроэкономике с точки зрения микроэкономики.^[5]

Критика

Функцию критиковали за отсутствие основы. На Кобба и Дугласа повлияли статистические данные, которые, по-видимому, показали, что доли труда и капитала в общем объеме производства в развитых странах были постоянными во времени; они объяснили это статистической подгонкой регрессия методом наименьших квадратов их производственной функции. Сейчас есть сомнения в том, существует ли постоянство во времени.^{[нужна цитата ]}

Производственная функция Кобба – Дугласа не была разработана на основе каких-либо знаний в области инженерии, технологий или управления производственным процессом.^{[нужна цитата ]}. Это обоснование может быть верным с учетом определения термина «капитал». Рабочие часы и капитал нуждаются в более точном определении. Если капитал определяется как здание, труд уже включен в развитие этого здания. Здание состоит из товаров, рабочей силы, рисков и общих условий.

Вместо этого он был разработан, поскольку имел привлекательные математические характеристики.^{[нужна цитата ]}, Такие как убывающая предельная прибыль для любого фактора производства и собственности, которую оптимальные затраты делят на любой заданный ввод фирмы, работающей по технологии Кобба-Дугласа, постоянны. Изначально под него не было инженерных сетей. В современную эпоху некоторые экономисты пытаются построить модели на основе действий отдельных агентов, а не навязывать функциональную форму всей экономике.^{[нужна цитата ]}. Производственная функция Кобба – Дугласа, если ее правильно определить, может применяться на микроэкономическом уровне до макроэкономического уровня.

Однако многие современные авторы^{[ВОЗ? ]} разработали модели, которые дают микроэкономически обоснованный Производственные функции Кобба – Дугласа, включая многие Новый кейнсианский модели.^[6] Тем не менее математической ошибкой является предположение, что только потому, что функция Кобба-Дугласа применима на микроэкономическом уровне, она всегда применима и на макроэкономический уровень. Точно так же не обязательно, чтобы макрос Кобба-Дугласа применялся на дезагрегированном уровне. Раннее микрооснование агрегированной технологии Кобба-Дугласа, основанной на линейных действиях, было получено в Houthakker (1955).^[7]

Cobb – Douglas коммунальные услуги

Функция Кобба – Дугласа часто используется как вспомогательная функция.^[8][2] Полезность ${\displaystyle {\tilde {u}}}$ является функцией величин ${\displaystyle x_{i}}$ из ${\displaystyle L}$ потребляемые товары:

${\displaystyle {\tilde {u}}(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\lambda _{i}}}$

Функции полезности представляют собой порядковые предпочтения и не имеют естественных единиц, в отличие от производственных функций. В результате монотонное преобразование функции полезности представляет те же предпочтения. В отличие от производственной функции Кобба-Дугласа, где сумма показателей определяет степень экономии за счет масштаба, сумма может быть нормализована до единицы для функции полезности, поскольку нормализация - это монотонное преобразование исходной функции полезности. Итак, определим ${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}$ и ${\displaystyle \alpha _{i}={\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}}$, так ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1}$и напишите служебную функцию как:

${\displaystyle u(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}}$

Потребитель максимизирует полезность с учетом бюджетного ограничения, заключающегося в том, что стоимость товаров меньше его богатства. ${\displaystyle w}$. Сдача ${\displaystyle p_{i}}$ обозначают цены товаров, он решает:

${\displaystyle \max _{x_{i}}\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}\quad {\text{ subject to the constraint }}\quad \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}=w}$

Оказывается, решение для спроса Кобба-Дугласа -

${\displaystyle \forall j:\qquad x_{j}^{\star }={\frac {w\alpha _{j}}{p_{j}}}}$

С ${\displaystyle \alpha _{j}={\frac {p_{j}x_{j}^{*}}{w}}}$, потребитель тратит фракцию ${\displaystyle \alpha _{j}}$ его богатства на хорошем j. Обратите внимание, что это решение для любого ${\displaystyle u(x)}$ или же ${\displaystyle {\tilde {u}}(x),}$ поскольку одни и те же предпочтения порождают одинаковый спрос.

В косвенная функция полезности можно рассчитать, подставив требования ${\displaystyle x_{j}}$ в функцию полезности. Определите константу ${\displaystyle K=\Pi _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\alpha _{i}}}$) и получаем:

${\displaystyle v(p,w)=\prod _{i=1}^{n}\left({\frac {w\alpha _{i}}{p_{i}}}\right)^{\alpha _{i}}={\frac {\Pi _{i=1}^{n}w^{\alpha _{i}}\cdot \Pi _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\alpha _{i}}}{\Pi _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}}}=K\left({\frac {w}{\Pi _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}}}\right)}$

что является частным случаем Горман полярная форма. В расходная функция является обратной функцией косвенной функции полезности:^[9]:112

${\displaystyle e(p,u)=(1/K)\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}u}$

Различные представления производственной функции

Форму функции Кобба-Дугласа можно оценить как линейную зависимость, используя следующее выражение:

${\displaystyle \ln(Y)=a_{0}+\sum _{i}a_{i}\ln(I_{i})}$

куда

• ${\displaystyle Y={\text{output}}}$
• ${\displaystyle I_{i}={\text{inputs}}}$
• ${\displaystyle a_{i}={\text{model coefficients}}}$

Модель также можно записать как

${\displaystyle Y=e^{a_{0}}(I_{1})^{a_{1}}\cdot (I_{2})^{a_{2}}\cdots }$

Как уже отмечалось, общая функция Кобба-Дугласа, используемая в макроэкономическом моделировании:

${\displaystyle Y=K^{\alpha }L^{\beta }}$

куда K столица и L это труд. Когда показатели модели равны единице, производственная функция является первой. однородный, что подразумевает постоянную отдачу от масштаба - то есть, если все входные данные масштабируются с помощью общего коэффициента больше нуля, выход будет масштабироваться с одинаковым коэффициентом.

Связь с производственной функцией CES

В постоянная эластичность замещения (CES) производственная функция (в двухфакторном случае) равна

${\displaystyle Y=A\left(\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha )L^{\gamma }\right)^{1/\gamma },}$

в котором предельный случай γ = 0 соответствует функции Кобба – Дугласа, ${\displaystyle Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha },}$ с постоянной отдачей от масштаба.^[10]

Чтобы увидеть это, журнал функции CES,

${\displaystyle \ln(Y)=\ln(A)+{\frac {1}{\gamma }}\ln \left(\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha )L^{\gamma }\right)}$

можно довести до предела, применив Правило л'Опиталя:

${\displaystyle \lim _{\gamma \to 0}\ln(Y)=\ln(A)+\alpha \ln(K)+(1-\alpha )\ln(L).}$

Следовательно, ${\displaystyle Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha }}$.

Производственная функция Translog

Производственная функция translog представляет собой аппроксимацию функции CES вторым порядком. Полином Тейлора о ${\displaystyle \gamma =0}$, т.е. случай Кобба – Дугласа.^[11][12] Название translog означает «трансцендентный логарифмический». Часто используется в эконометрика за то, что он линейен по параметрам, а значит обыкновенный метод наименьших квадратов можно было бы использовать, если бы входные данные могли быть приняты экзогенный.

В двухфакторном случае выше производственная функция транслоготипа

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(Y)&=\ln(A)+\alpha \ln(K)+(1-\alpha )\ln(L)+{\frac {1}{2}}\gamma \alpha (1-\alpha )\left[\ln(K)-\ln(L)\right]^{2}\\&=\ln(A)+a_{K}\ln(K)+a_{L}\ln(L)+b_{KK}\ln ^{2}(K)+b_{LL}\ln ^{2}(L)+b_{KL}\ln(K)\ln(L)\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle a_{K}}$, ${\displaystyle a_{L}}$, ${\displaystyle b_{KK}}$, ${\displaystyle b_{LL}}$, и ${\displaystyle b_{KL}}$ определены соответствующим образом. В трехфакторном случае производственная функция транслоготипа:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(Y)&=\ln(A)+a_{L}\ln(L)+a_{K}\ln(K)+a_{M}\ln(M)+b_{LL}\ln ^{2}(L)+b_{KK}\ln ^{2}(K)+b_{MM}\ln ^{2}(M)\\&{}\qquad \qquad +b_{LK}\ln(L)\ln(K)+b_{LM}\ln(L)\ln(M)+b_{KM}\ln(K)\ln(M)\\&=f(L,K,M).\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle A}$ = общая факторная производительность, ${\displaystyle L}$ = труд, ${\displaystyle K}$ = капитал, ${\displaystyle M}$ = материалы и принадлежности, и ${\displaystyle Y}$ = вывод.

Смотрите также

• Леонтьевская производственная функция
• Граница производственных возможностей
• Теория производства

Рекомендации

1. Cobb, C.W .; Дуглас, П. Х. (1928). «Теория производства» (PDF). Американский экономический обзор. 18 (Приложение): 139–165. JSTOR  1811556. Получено 26 сентября 2016.
2. Браун, Мюррей (18 мая 2016 г.). Новый экономический словарь Пэлгрейва. Springer. ISBN  9781349588022.
3. Браун, Мюррей (2017). «Функции Кобба – Дугласа». Новый экономический словарь Пэлгрейва. Palgrave Macmillan UK. С. 1–4. Дои:10.1057/978-1-349-95121-5_480-2. ISBN  978-1-349-95121-5.
4. Дуглас, Пол Х. (Октябрь 1976 г.). "Производственная функция Кобба-Дугласа еще раз: ее история, ее тестирование и некоторые новые эмпирические значения". Журнал политической экономии. 84 (5): 903–916. Дои:10.1086/260489. S2CID  154435697.
5. Филипе, Иисус; Адамс, Ф. Джерард (2005). «Оценка функции Кобба-Дугласа: ретроспективный взгляд». Восточный экономический журнал. 31 (3): 427–445. JSTOR  40326423.
6. Уолш, Карл (2003). Денежно-кредитная теория и политика (2-е изд.). Кембридж: MIT Press.
7. Houthakker, H.S. (1955), "Распределение Парето и производственная функция Кобба-Дугласа в анализе деятельности", Обзор экономических исследований, 23 (1): 27–31, Дои:10.2307/2296148, JSTOR  2296148
8. Бренес, Адриан (2011). Функция полезности Кобба-Дугласа.
9. Вариан, Хэл (1992). Микроэкономический анализ (Третье изд.). Нью-Йорк: Нортон. ISBN  0-393-95735-7.
10. Зильберберг, Юджин; Суен, Крыло (2001). «Эластичность замещения». Структура экономики: математический анализ (Третье изд.). Бостон: Ирвин Макгроу-Хилл. стр. 238–250 [стр. 246–7]. ISBN  0-07-234352-4.
11. Berndt, Ernst R .; Кристенсен, Лауриц Р. (1973). «Функция Translog и замена оборудования, конструкций и рабочей силы в производстве США 1929–68». Журнал эконометрики. 1 (1): 81–113. Дои:10.1016/0304-4076(73)90007-9.
12. Wynn, R. F .; Холден, К. (1974). Введение в прикладной эконометрический анализ. Нью-Йорк: Холстед Пресс. С. 62–65. ISBN  0-333-16711-2.

дальнейшее чтение

• Реншоу, Джефф (2005). Математика для экономики. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. 516–526. ISBN  0-19-926746-4.

внешняя ссылка

• Анатомия производственных функций типа Кобба-Дугласа в 3D
• Анализ Кобба-Дугласа как функции полезности
• Решение закрытой формы для фирмы с производственной функцией N-input