Квантовый потенциал - Quantum potential

В квантовый потенциал или же квантовая возможность центральная концепция формулировка де Бройля – Бома из квантовая механика, представлен Дэвид Бом в 1952 г.

Изначально представлен под названием квантово-механический потенциал, впоследствии квантовый потенциал, позже это было развито Бомом и Бэзил Хили в его интерпретации как информационный потенциал который действует на квантовую частицу. Его также называют квантовая потенциальная энергия, Потенциал Бома, квантовый потенциал Бома или же Квантовый потенциал Бома.

Квантовый потенциал

${displaystyle quad Q=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {abla ^{2}R}{R}}}$

В рамках теории де Бройля – Бома квантовый потенциал - это член внутри Уравнение Шредингера который действует, чтобы направлять движение квантовых частиц. Подход квантового потенциала, введенный Бомом^[1][2] дает формально более полное изложение идеи, представленной Луи де Бройль: де Бройль постулировал в 1926 году, что волновая функция представляет пилотная волна который направляет квантовую частицу, но впоследствии отказался от своего подхода из-за возражений, высказанных Вольфганг Паули. В основополагающих статьях Бома 1952 года был представлен квантовый потенциал и даны ответы на возражения, выдвинутые против теории пилотных волн.

Квантовый потенциал Бома тесно связан с результатами других подходов, в частности, касающихся работа Эрвина Маделунга 1927 г. и чтобы работа Карла Фридриха фон Вайцзеккера 1935 года.

Основываясь на интерпретации квантовой теории, представленной Бомом в 1952 году, Дэвидом Бомом и Бэзил Хили в 1975 году представил, как концепция квантовый потенциал приводит к понятию «непрерывной целостности всей Вселенной», предполагая, что фундаментальное новое качество, введенное квантовой физикой, - это нелокальность.^[3]

Квантовый потенциал как часть уравнения Шредингера

В Уравнение Шредингера

${displaystyle ihbar {frac {partial psi }{partial t}}=left(-{frac {hbar ^{2}}{2m}}abla ^{2}+Vight)psi quad }$

переписывается с использованием полярной формы для волновой функции ${displaystyle psi =Rexp(iS/hbar )}$ с действительными функциями ${displaystyle R}$ и ${displaystyle S}$, куда ${displaystyle R}$ - амплитуда (абсолютная величина ) волновой функции ${displaystyle psi }$, и ${displaystyle S/hbar }$ его фаза. Это дает два уравнения: из мнимой и действительной части уравнения Шредингера следует уравнение неразрывности и квантовый Уравнение Гамильтона – Якоби соответственно.^[1][4]

Уравнение неразрывности

Мнимая часть уравнения Шредингера в полярной форме дает

${displaystyle {frac {partial R}{partial t}}=-{frac {1}{2m}}left[Rabla ^{2}S+2abla Rcdot abla Sight],}$

который при условии ${displaystyle ho =R^{2}}$, можно интерпретировать как уравнение неразрывности ${displaystyle partial ho /partial t+abla cdot (ho v)=0}$ для плотности вероятности ${displaystyle ho }$ и поле скорости ${displaystyle v={frac {1}{m}}abla S}$

Квантовое уравнение Гамильтона – Якоби.

Действительная часть уравнения Шредингера в полярной форме дает модифицированное уравнение Гамильтона – Якоби

${displaystyle {frac {partial S}{partial t}}=-left[{frac {left|abla Sight|^{2}}{2m}}+V+Qight],}$

также упоминается как квантовое уравнение Гамильтона – Якоби.^[5] Он отличается от классического Уравнение Гамильтона – Якоби только по сроку

${displaystyle Q=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {abla ^{2}R}{R}}.}$

Этот термин ${displaystyle Q}$, называется квантовый потенциал, таким образом, зависит от кривизна амплитуды волновой функции.^[6] (Смотрите также: Пилотная волна # Математическая формулировка для отдельной частицы.)

В пределе ${displaystyle hbar o 0}$, функция ${displaystyle S}$ является решением (классического) уравнения Гамильтона – Якоби;^[1] следовательно, функция ${displaystyle S}$ также называется функцией Гамильтона – Якоби, или действие, распространенная на квантовую физику.

Характеристики

Траектории Бома под действием квантового потенциала на примере прохождения электрона через двухщелевой эксперимент.

Хили подчеркнула несколько аспектов^[7] что касается квантового потенциала квантовой частицы:

• математически выводится из действительной части уравнения Шредингера при полярное разложение волновой функции,^[8] не выводится из гамильтониана^[9] или другой внешний источник, и можно сказать, что он участвует в самоорганизующийся процесс с участием основного базового поля;
• это не меняется, если ${displaystyle R}$ умножается на константу, так как этот член также присутствует в знаменателе, так что ${displaystyle Q}$ не зависит от величины ${displaystyle psi }$ и, следовательно, напряженность поля; следовательно, квантовый потенциал выполняет предварительное условие нелокальности: он не должен падать с увеличением расстояния;
• он несет информацию обо всей экспериментальной установке, в которой находится частица.

В 1979 году Хили и его коллеги Филиппидис и Дьюдни представили полный расчет объяснения двухщелевой эксперимент в терминах бомовских траекторий, возникающих для каждой частицы, движущейся под действием квантового потенциала, что приводит к хорошо известным интерференционным картинам.^[10]

Схема эксперимента с двумя щелями, в котором можно наблюдать эффект Ааронова – Бома: электроны проходят через две щели, интерферируя на экране наблюдения, и интерференционная картина смещается, когда магнитное поле B включен в цилиндрическом соленоиде.

Также смещение интерференционной картины, возникающее при наличии магнитного поля в Эффект Ааронова – Бома можно объяснить как возникновение из квантового потенциала.^[11]

Отношение к процессу измерения

В коллапс волновой функции Копенгагенской интерпретации квантовой теории объясняется в подходе квантового потенциала демонстрацией того, что после измерения «все пакеты многомерной волновой функции, которые не соответствуют фактическому результату измерения, не влияют на частицу. " С тех пор.^[12] Бом и Хили отметили, что

«Квантовый потенциал может образовывать нестабильные точки бифуркации, которые разделяют классы траекторий частиц согласно« каналам », в которые они в конечном итоге входят и в которых остаются. Это объясняет, как измерения возможны без "коллапса" волновой функции и как все виды квантовых процессов, такие как переходы между состояниями, слияние двух состояний в одно и деление одной системы на две, могут происходить без потребность в человеке-наблюдателе ».^[13]

Затем измерение «включает совместное преобразование, в котором наблюдаемая система и наблюдающий аппарат подвергаются взаимному участию, так что траектории ведут себя коррелированным образом, становясь коррелированными и разделяемыми на разные, неперекрывающиеся множества (которые мы называем« каналами »). ) ".^[14]

Квантовый потенциал системы n частиц

Волновая функция Шредингера многочастичная квантовая система не может быть представлен в обычных трехмерное пространство. Скорее он представлен в конфигурационное пространство, с тремя измерениями на частицу. Таким образом, одна точка в конфигурационном пространстве представляет собой конфигурацию всей системы из n частиц в целом.

Двухчастичная волновая функция ${displaystyle psi (mathbf {r_{1}} ,mathbf {r_{2}} ,,t)}$ из идентичные частицы массы ${displaystyle m}$ имеет квантовый потенциал^[15]

${displaystyle quad Q(mathbf {r_{1}} ,mathbf {r_{2}} ,,t)=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {(abla _{1}^{2}+abla _{2}^{2})R(mathbf {r_{1}} ,mathbf {r_{2}} ,,t)}{R(mathbf {r_{1}} ,mathbf {r_{2}} ,,t)}}}$

куда ${displaystyle abla _{1}^{2}}$ и ${displaystyle abla _{2}^{2}}$ относятся к частице 1 и частице 2 соответственно. Это выражение прямо обобщается на ${displaystyle n}$ частицы:

${displaystyle quad Q(mathbf {r_{1}} ,...,mathbf {r_{n}} ,,t)=-{frac {hbar ^{2}}{2R(mathbf {r_{1}} ,...,mathbf {r_{n}} ,,t)}}sum _{i=1}^{n}{frac {abla _{i}^{2}}{m_{i}}}R(mathbf {r_{1}} ,...,mathbf {r_{n}} ,,t)}$

В случае, если волновая функция двух или более частиц разделима, тогда общий квантовый потенциал системы становится суммой квантовых потенциалов двух частиц. Точная разделимость крайне нефизична, учитывая, что взаимодействия между системой и ее окружением разрушают факторизацию; однако волновая функция, которая является суперпозиция нескольких волновых функций примерно непересекающихся поддерживать Факторизуем приблизительно.^[16]

Вывод для разделимой квантовой системы

Разделимость волновой функции означает, что ${displaystyle psi }$ разлагается на множители в форме ${displaystyle psi (mathbf {r_{1}} ,mathbf {r_{2}} ,,t)=psi _{A}(mathbf {r_{1}} ,,t)psi _{B}(mathbf {r_{2}} ,,t)}$. Тогда следует, что также ${displaystyle R}$ факторизуется, и полный квантовый потенциал системы становится суммой квантовых потенциалов двух частиц.^[17]

${displaystyle Q(mathbf {r_{1}} ,mathbf {r_{2}} ,,t)=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}({frac {abla _{1}^{2}R_{A}(mathbf {r_{1}} ,,t)}{R_{A}(mathbf {r_{1}} ,,t)}}+{frac {abla _{2}^{2}R_{B}(mathbf {r_{2}} ,,t)}{R_{B}(mathbf {r_{2}} ,,t)}})=Q_{A}(mathbf {r_{1}} ,,t)+Q_{B}(mathbf {r_{2}} ,,t)}$

В случае, если волновая функция разделима, т. Е. Если ${displaystyle psi }$ разлагается на множители в форме ${displaystyle psi (mathbf {r_{1}} ,mathbf {r_{2}} ,,t)=psi _{A}(mathbf {r_{1}} ,,t)psi _{B}(mathbf {r_{2}} ,,t)}$, две одночастичные системы ведут себя независимо. В более общем плане квантовый потенциал ${displaystyle n}$-частичная система с разделимой волновой функцией представляет собой сумму ${displaystyle n}$ квантовые потенциалы, разделяющие систему на ${displaystyle n}$ независимые одночастичные системы.^[18]

Формулировка в терминах плотности вероятности

Квантовый потенциал в терминах функции плотности вероятности

Бом, как и другие физики после него, стремились предоставить доказательства того, что Родившееся правило связывание ${displaystyle R}$ к функция плотности вероятности

${displaystyle ho =R^{2}quad }$

в формулировке пилотной волны можно понимать не как основной закон, а как теорема (называется гипотеза квантового равновесия ), который применяется, когда квантовое равновесие достигается с течением времени по уравнению Шредингера. С правилом Борна и прямым применением цепь и правила продукта

${displaystyle abla ^{2}{sqrt {ho }}=abla abla ho ^{1/2}=abla ({frac {1}{2}}ho ^{-1/2}abla ho )={frac {1}{2}}abla (ho ^{-1/2}abla ho )={frac {1}{2}}left[(abla ho ^{-1/2})abla ho +ho ^{-1/2}abla ^{2}ho ight]}$

квантовый потенциал, выраженный через функцию плотности вероятности, принимает следующий вид:^[19]

${displaystyle Q=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {abla ^{2}{sqrt {ho }}}{sqrt {ho }}}=-{frac {hbar ^{2}}{4m}}left[{frac {abla ^{2}ho }{ho }}-{frac {1}{2}}{frac {(abla ho )^{2}}{ho ^{2}}}ight]}$

Квантовая сила

Квантовая сила ${displaystyle F_{Q}=-abla Q}$, выраженная через распределение вероятностей, составляет:^[20]

${displaystyle F_{Q}={frac {hbar ^{2}}{4m}}left[{frac {abla (abla ^{2}ho )}{ho }}-{frac {abla (abla ho cdot abla ho )}{2ho ^{2}}}-left({frac {abla ^{2}ho }{ho }}-{frac {abla ho cdot abla ho }{ho ^{2}}}ight){frac {abla ho }{ho }}ight]}$

Формулировка в конфигурационном пространстве и в импульсном пространстве в результате проекций

М. Р. Браун и Б. Хили показали, что в качестве альтернативы его формулировке термины конфигурационное пространство (${displaystyle x}$-пространство), квантовый потенциал также можно сформулировать в терминах импульсное пространство (${displaystyle p}$-Космос).^[21][22]

В соответствии с подходом Дэвида Бома, Бэзил Хили и математик Морис де Госсон показали, что квантовый потенциал можно рассматривать как следствие проекция базовой структуры, а точнее некоммутативный алгебраический структуру на подпространство, такое как обычное пространство (${displaystyle x}$-Космос). В алгебраических терминах квантовый потенциал можно рассматривать как возникающий из соотношения между подразумевают и объясняют приказы: если некоммутативная алгебра используется для описания некоммутативной структуры квантового формализма, оказывается, что невозможно определить базовое пространство, а скорее "теневые пространства «(гомоморфные пространства) могут быть построены, и при этом появляется квантовый потенциал.^{[22][23][24][25][26]} Подход квантового потенциала можно рассматривать как способ построения теневых пространств.^[24] Таким образом, квантовый потенциал приводит к искажению из-за проекции нижележащего пространства в ${displaystyle x}$-пространство аналогично Проекция Меркатора неизбежно приводит к искажению географической карты.^[27][28] Существует полная симметрия между ${displaystyle x}$-представление, и квантовый потенциал, как он появляется в конфигурационном пространстве, можно рассматривать как возникающий из дисперсии импульса ${displaystyle p}$-представление.^[29]

Подход был применен к расширенным фазовое пространство,^[29][30] также с точки зрения Алгебра Даффина – Кеммера – Петио подход.^[31][32]

Связь с другими величинами и теориями

Отношение к информации Фишера

Это можно показать^[33] что среднее значение квантового потенциала ${displaystyle Q=-hbar ^{2}abla ^{2}{sqrt {ho }}/(2m{sqrt {ho }})}$ пропорциональна плотности вероятности Информация Fisher о наблюдаемом ${displaystyle {hat {x}}}$

${displaystyle {mathcal {I}}=int ho cdot (abla ln ho )^{2},d^{3}x=-int ho abla ^{2}(ln ho ),d^{3}x.}$

Используя это определение информации Фишера, мы можем написать:^[34]

${displaystyle langle Qangle =int psi ^{*}Qpsi ,d^{3}x=int ho Q,d^{3}x={frac {hbar ^{2}}{8m}}{mathcal {I}}.}$

Связь с тензором давления Маделунга

в Уравнения Маделунга представленный Эрвин Маделунг в 1927 г. нелокальный квантовый тензор давления имел ту же математическую форму, что и квантовый потенциал. Основная теория отличается тем, что подход Бома описывает траектории частиц, тогда как уравнения квантовой гидродинамики Маделунга являются Уравнения Эйлера жидкости описывающие его усредненные статистические характеристики.^[35]

Связь с поправкой фон Вайцзеккера

В 1935 г.^[36] Карл Фридрих фон Вайцзеккер предложил добавить термин неоднородности (иногда называемый поправка фон Вайцзеккера) к кинетической энергии Теория Томаса – Ферми (ТФ) атомов.^[37]

Поправочный член фон Вайцзеккера равен^[38]

${displaystyle E_{W}[ho ]=int dr,{frac {ho hbar ^{2}(abla ln ho )^{2}}{8m}}={frac {hbar ^{2}}{8m}}int dr,{frac {(abla ho )^{2}}{ho }}=int dr,ho ,Q.}$

Поправочный член также был получен как поправка первого порядка к кинетической энергии ТФ в полуклассической поправке к Теория Хартри – Фока.^[39]

Было указано^[38] что поправочный член фон Вайцзеккера при низкой плотности принимает ту же форму, что и квантовый потенциал.

Основная статья: Модель Томаса – Ферми § Неточности и улучшения

Квантовый потенциал как энергия внутреннего движения, связанного со спином

Джованни Салези, Эразмо Реками и его коллеги показали в 1998 году, что в соответствии с Теорема Кенига квантовый потенциал можно отождествить с кинетическая энергия внутреннего движения ("zitterbewegung ") связанные с вращение из спин-½ частица, наблюдаемая в системе координат центра масс. В частности, они показали, что внутренний zitterbewegung Скорость вращающейся нерелятивистской частицы постоянного спина без прецессии и в отсутствие внешнего поля имеет значение в квадрате:^[40]

${displaystyle mathbf {V} ^{2}={frac {(abla ho land mathbf {s} )^{2}}{(mho )^{2}}}={frac {(abla ho )^{2}mathbf {s} ^{2}-(abla ho cdot mathbf {s} )}{(mho )^{2}}}}$

из которых второй член оказывается незначительным по размеру; затем с ${displaystyle |mathbf {s} |=hbar /2}$ следует, что

${displaystyle |mathbf {V} |={frac {hbar }{2}}{frac {abla ho }{mho }}}$

Салези дал более подробную информацию об этой работе в 2009 году.^[41]

В 1999 году Сальваторе Эспозито обобщил их результат для частиц со спином 1/2 на частицы с произвольным спином, подтвердив интерпретацию квантового потенциала как кинетической энергии внутреннего движения. Эспозито показал, что (используя обозначения ${displaystyle hbar }$= 1) квантовый потенциал можно записать как:^[42]

${displaystyle Q=-{frac {1}{2}}mmathbf {v} _{S}^{2}-{frac {1}{2}}abla cdot mathbf {v} _{S}}$

и что причинная интерпретация квантовой механики можно переформулировать в терминах скорости частицы

${displaystyle mathbf {v} =mathbf {v} _{B}+mathbf {v} _{S} imes mathbf {s} }$

где "скорость дрейфа" равна

${displaystyle mathbf {v} _{B}={frac {abla S}{m}}}$

а «относительная скорость» равна ${displaystyle mathbf {v} _{S} imes mathbf {s} }$, с

${displaystyle mathbf {v} _{S}={frac {abla R^{2}}{2mR^{2}}}}$

и ${displaystyle mathbf {s} }$ представляющий направление вращения частицы. В этой формулировке, согласно Эспозито, квантовая механика обязательно должна интерпретироваться в вероятностных терминах по той причине, что начальное условие движения системы не может быть точно определено.^[42] Эспозито объяснил, что «квантовые эффекты, присутствующие в уравнении Шредингера, обусловлены наличием особого пространственного направления, связанного с частицей, которое, исходя из изотропии пространства, можно отождествить со спином самой частицы».^[43] Эспозито обобщил его от частиц материи к калибровочные частицы, особенно фотоны, для которого он показал, что если моделировать как ${displaystyle psi =(mathbf {E} -imathbf {B} )/{sqrt {2}}}$, с функцией вероятности ${displaystyle psi ^{*}cdot psi =(mathbf {E} ^{2}+mathbf {B} ^{2})/2}$, их можно понять в рамках подхода квантового потенциала.^[44]

Джеймс Р. Боган в 2002 году опубликовал вывод обратного преобразования уравнения Гамильтона-Якоби классической механики к нестационарному уравнению Шредингера квантовой механики, которое возникает из калибровочное преобразование представляющий вращение, при простом требовании сохранение вероятности. Это спин-зависимое преобразование является функцией квантового потенциала.^[45]

Квантовая механика EP с квантовым потенциалом как производной Шварца

В другом подходе Квантовая механика EP сформулировать на основе принципа эквивалентности (EP) квантовый потенциал записывается как:^[46][47]

${displaystyle Q(q)={frac {hbar ^{2}}{4m}}{S;q}}$

куда ${displaystyle {,;,}}$ это Производная Шварца, то есть, ${displaystyle {S;q}=(S,'''/S,')-(3/2)(S,''/S,')^{2}}$. Однако даже в тех случаях, когда это может равняться

${displaystyle Q(q)=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {Delta R}{R}}}$

Э. Фараджи и М. Матоне подчеркивают, что это не соответствует обычному квантовому потенциалу, как в их подходе. ${displaystyle R,exp(iS/hbar )}$ является решением уравнения Шредингера, но делает нет соответствуют волновой функции.^[46] Это было дополнительно исследовано Э. Р. Флойдом для классического предела ${displaystyle hbar }$ → 0,^[48] а также Робертом Кэрроллом.^[49]

Переинтерпретация в терминах алгебр Клиффорда

Б. Хайли и Р. Э. Каллаган переосмысливают роль модели Бома и ее представления о квантовом потенциале в рамках Алгебра Клиффорда с учетом последних достижений, в том числе работы Дэвид Хестенес на алгебра пространства-времени. Они показывают, как внутри вложенной иерархии алгебр Клиффорда ${displaystyle Cell _{i,j}}$, для каждого Алгебра Клиффорда элемент минимальный левый идеал ${displaystyle Phi _{L}(mathbf {r} ,t)}$ и элемент правильный идеал представляя его Спряжение Клиффорда ${displaystyle Phi _{R}(mathbf {r} ,t)={ ilde {Phi }}_{L}(mathbf {r} ,t)}$ можно построить, и из него Элемент плотности Клиффорда (CDE) ${displaystyle ho _{c}(mathbf {r} ,t)=Phi _{L}(mathbf {r} ,t){ ilde {Phi }}_{L}(mathbf {r} ,t)}$, элемент алгебры Клиффорда, изоморфный стандартному матрица плотности но независимо от какого-либо конкретного представления.^[50] На этой основе могут быть сформированы билинейные инварианты, которые представляют свойства системы. Хили и Каллаган различают билинейные инварианты первого типа, каждый из которых обозначает математическое ожидание элемента. ${displaystyle B}$ алгебры, которая может быть сформирована как ${displaystyle {m {Tr}}Bho _{c}}$, и билинейные инварианты второго рода, которые построены с производными и представляют импульс и энергию. Используя эти термины, они восстанавливают результаты квантовой механики, не зависящие от конкретного представления в терминах волновой функции и не требующие ссылки на внешнее гильбертово пространство. В соответствии с более ранними результатами, квантовый потенциал нерелятивистской частицы со спином (Частица Паули ) имеет дополнительный член, зависящий от спина, а импульс релятивистской частицы со спином (Частица Дирака ) состоит из линейного движения и вращательной части.^[51] Два динамических уравнения, управляющих эволюцией во времени, интерпретируются как уравнения сохранения. Один из них означает сохранение энергии; другой означает сохранение вероятности и спина.^[52] Квантовый потенциал играет роль внутренней энергии^[53] что обеспечивает сохранение полной энергии.^[52]

Релятивистские и теоретико-полевые расширения

Квантовый потенциал и относительность

Бом и Хили продемонстрировали, что нелокальность квантовой теории может быть понята как предельный случай чисто локальной теории при условии передачи активная информация может быть больше скорости света, и что этот предельный случай дает приближения как к квантовой теории, так и к теории относительности.^[54]

Подход квантового потенциала был расширен Хили и его сотрудниками на квантовую теорию поля в Пространство-время Минковского^{[55][56][57][58]} и искривленное пространство-время.^[59]

Карло Кастро и Хорхе Махеча вывели уравнение Шредингера из уравнения Гамильтона-Якоби в сочетании с уравнением неразрывности и показали, что свойства релятивистского квантового потенциала Бома в терминах плотности ансамбля могут быть описаны свойствами Вейля пространства. В римановом плоском пространстве потенциал Бома равен Кривизна Вейля. Согласно Кастро и Махеча, в релятивистский случай, квантовый потенциал (используя оператор Даламбера  ${displaystyle scriptstyle Box }$ а в обозначениях ${displaystyle hbar =1}$) принимает вид

${displaystyle Q=-{frac {1}{2m}}{frac {quad Box {sqrt {ho }}}{sqrt {ho }}}}$

показано, что квантовая сила, создаваемая релятивистским квантовым потенциалом, зависит от калибровочного потенциала Вейля и его производных. Кроме того, соотношение между потенциалом Бома и кривизной Вейля в плоском пространстве-времени соответствует аналогичному соотношению между информацией Фишера и геометрией Вейля после введения сложный импульс.^[60]

Диего Л. Рапопорт, с другой стороны, связывает релятивистский квантовый потенциал с метрической скалярной кривизной (кривизной Римана).^[61]

В отношении уравнения Клейна – Гордона для частицы с массой и зарядом Питер Р. Холланд в своей книге 1993 года говорил о «квантовом потенциальном члене», который является пропорциональным ${displaystyle Box R/R}$. Однако он подчеркнул, что одночастичная интерпретация теории Клейна – Гордона в терминах траекторий, как это может быть сделано в случае нерелятивистской квантовой механики Шредингера, приведет к неприемлемым противоречиям. Например, волновые функции ${displaystyle psi (mathbf {x} ,t)}$ это решения Кляйн – Гордон или Уравнение Дирака нельзя интерпретировать как амплитуду вероятности для частицы быть найденным в данный объем ${displaystyle d^{3}x}$ вовремя ${displaystyle t}$ в соответствии с обычными аксиомами квантовой механики, и аналогично в причинной интерпретации это не может быть интерпретировано как вероятность того, что частица будет быть в тот объем в то время. Холланд указал, что, хотя были предприняты попытки определить эрмитов оператор положения, который позволил бы интерпретировать квантовую теорию поля конфигурационного пространства, в частности, используя Локализация Ньютона – Вигнера подход, но до сих пор не было установлено никакой связи с возможностями эмпирического определения положения в терминах релятивистской теории измерений или интерпретации траектории. Однако, по мнению Холланда, это не означает, что концепция траектории должна быть отброшена из соображений релятивистской квантовой механики.^[62]

Хрвое Николич производное ${displaystyle Q=-(1/2m),Box R/R}$ как выражение для квантового потенциала, и он предложил лоренц-ковариантную формулировку бомовской интерпретации многочастичных волновых функций.^[63] Он также разработал обобщенную релятивистско-инвариантную вероятностную интерпретацию квантовой теории,^[64][65][66] в котором ${displaystyle |psi |^{2}}$ больше не плотность вероятности в пространстве, а плотность вероятности в пространстве-времени.^[67]

Смотрите также: Теория Де Бройля – Бома § Теория относительности.

Квантовый потенциал в квантовой теории поля

Исходя из пространственного представления координаты поля, была построена причинная интерпретация картины Шредингера релятивистской квантовой теории, исходя из пространственного представления координаты поля. Картина Шредингера для нейтрального безмассового поля со спином 0 ${displaystyle Psi left[psi (mathbf {x} ,t)ight]=Rleft[psi (mathbf {x} ,t)ight]e^{Sleft[psi (mathbf {x} ,t)ight]}}$, с ${displaystyle Rleft[psi (mathbf {x} ,t)ight],Sleft[psi (mathbf {x} ,t)ight]}$ ценный функционалы, можно показать^[68] вести к

${displaystyle Qleft[psi (mathbf {x} ,t)ight]=-(1/2R)int d^{3}x,delta ^{2}R/delta psi ^{2}}$

Это было названо сверхквантовый потенциал Бомом и его сотрудниками.^[69]

Бэзил Хили показал, что отношения энергия-импульс в модели Бома могут быть получены непосредственно из тензор энергии-импульса из квантовая теория поля и что квантовый потенциал - это энергетический член, необходимый для локального сохранения энергии-импульса.^[70] Он также намекнул, что для частицы с энергией равной или большей, чем создание пары порог, модель Бома представляет собой теория многих частиц который описывает также процессы создания и уничтожения пар.^[71]

Квантовый потенциал в общей теории относительности

Недавно было показано, что квантовый потенциал из уравнения Клейна-Гордона появляется как конформный фактор в скалярно-тензорных теориях гравитации.^[72]

${displaystyle Q=left({frac {hbar ^{2}}{m^{2}}}{frac {abla _{mu }abla ^{mu }{sqrt {ho }}}{sqrt {ho }}}ight)}$

Эта статья претендует на решение проблемы космологической постоянной. ^[72] и они оценивают ${displaystyle Lambda }$ теоретически с использованием рамок бомовской квантовой гравитации (скалярной тензорной теории).

Они достигают объединения квантовой механики с общей теорией относительности, записывая следующее действие, определяя конформный фактор ${displaystyle Omega ^{2}}$ как экспоненту квантового потенциала ${displaystyle Omega ^{2}=e^{Q}}$ .

${displaystyle A[g_{mu u },{Omega },S,ho ,lambda ]={frac {1}{2kappa }}int {d^{4}x{sqrt {-g}}left(ROmega ^{2}-6abla _{mu }Omega abla ^{mu }Omega ight)}+int {d^{4}x{sqrt {-g}}left({frac {ho }{m}}Omega ^{2}abla _{mu }Sabla ^{mu }S-mho Omega ^{4}ight)}+int {d^{4}x{sqrt {-g}}lambda left[ln {Omega ^{2}}-left({frac {hbar ^{2}}{m^{2}}}{frac {abla _{mu }abla ^{mu }{sqrt {ho }}}{sqrt {ho }}}ight)ight]}:}$

Интерпретация и название квантового потенциала

В своей статье 1952 г. интерпретация квантовой механики Бом уже говорил о «квантово-механическом» потенциале.^[73]

Бом и Бэзил Хили также назвали квантовый потенциал информационный потенциал, учитывая, что он влияет на форму процессов и сам формируется окружающей средой.^[9] Бом указал: «Корабль или самолет (с автопилотом) самодействующий система, т.е.обладает собственной энергией. Но форма его деятельности определяется информационное содержание относительно окружающей среды, которую переносят радиолокационные волны. Это не зависит от интенсивности волн. Аналогичным образом мы можем рассматривать квантовый потенциал как содержащий активная информация. Он потенциально активен везде, но на самом деле активен только там и тогда, когда есть частица »(курсив в оригинале).^[74]

Хейли называет квантовый потенциал внутренней энергией.^[24] и как «новое качество энергии, играющее роль только в квантовых процессах».^[75] Он объясняет, что квантовый потенциал - это еще один энергетический термин помимо хорошо известного кинетическая энергия и (классический) потенциальная энергия и что это нелокальный энергетический член, который обязательно возникает из-за требования сохранения энергии; он добавил, что сопротивление сообщества физиков концепции квантового потенциала могло быть вызвано ожиданиями ученых, что энергия должна быть локальной.^[76]

Хайли подчеркивал, что квантовый потенциал для Бома был «ключевым элементом в понимании того, что может лежать в основе квантового формализма. Более глубокий анализ этого аспекта подхода убедил Бома в том, что теория не может быть механической. это органично в смысле Уайтхед. А именно, что это было целое, которое определяло свойства отдельных частиц и их взаимосвязь, а не наоборот ».^[77] (Смотрите также: Работа Бома и Хили по квантовому потенциалу и активной информации )

Питер Р. Холланд в своем всеобъемлющем учебнике также называет его квантовая потенциальная энергия.^[78] Квантовый потенциал также упоминается в связи с именем Бома как Потенциал Бома, квантовый потенциал Бома или же Квантовый потенциал Бома.

Приложения

Подход квантового потенциала можно использовать для моделирования квантовых эффектов, не требуя явного решения уравнения Шредингера, и его можно интегрировать в моделирование, например Моделирование методом Монте-Карло с использованием уравнений гидродинамики и дрейфовой диффузии.^[79] Это делается в форме «гидродинамического» расчета траекторий: начиная с плотности на каждом «элементе жидкости», ускорение каждого «элемента жидкости» вычисляется из градиента ${displaystyle V}$ и ${displaystyle Q}$, а результирующая дивергенция поля скорости определяет изменение плотности.^[80]

Подход с использованием бомовских траекторий и квантового потенциала используется для расчета свойств квантовых систем, которые не могут быть решены точно, которые часто аппроксимируются с использованием полуклассических подходов. Тогда как в подходы к среднему полю потенциал для классического движения является результатом усреднения по волновым функциям, этот подход не требует вычисления интеграла по волновым функциям.^[81]

Выражение для квантовая сила использовался вместе с Байесовский статистический анализ и Ожидание-максимизация методы, для вычисление ансамблей траекторий возникающие под действием классических и квантовых сил.^[20]

дальнейшее чтение

Основные статьи

• Бом, Дэвид (1952). "Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах" скрытых переменных "I". Физический обзор. 85 (2): 166–179. Bibcode:1952ПхРв ... 85..166Б. Дои:10.1103 / PhysRev.85.166. (полный текст )
• Бом, Дэвид (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах« скрытых переменных », II». Физический обзор. 85 (2): 180–193. Bibcode:1952ПхРв ... 85..180Б. Дои:10.1103 / PhysRev.85.180. (полный текст )
• Д. Бом, Б. Дж. Хили, П. Н. Калойеру: Онтологическая основа квантовой теории, Physics Reports (обзорный раздел Physics Letters), том 144, номер 6, стр. 321–375, 1987 (полный текст ), в нем: Д. Бом, Б. Дж. Хили: I. Нерелятивистские системы частиц, pp. 321–348, и Д. Бом, Б. Дж. Хили, П. Н. Калойеру: II. Причинная интерпретация квантовых полей, стр. 349–375

Последние статьи

• Самопроизвольное создание вселенной из ничего, arXiv: 1404.1207v1, 4 апреля 2014 г.
• Морис де Госсон, Бэзил Хили: Кратковременный квантовый пропагатор и бомовские траектории, arXiv: 1304.4771v1 (подано 17 апреля 2013 г.)
• Роберт Кэрролл: Колебания, гравитация и квантовый потенциал, 13 января 2005 г., asXiv: gr-qc / 0501045v1

Обзор

• Давиде Фискалетти: О различных подходах к квантовому потенциалу Бома в нерелятивистской квантовой механике, Quantum Matter, Volume 3, Number 3, June 2014, pp. 177–199 (23), Дои:10.1166 / кв.2014.1113.
• Игнацио Ликата, Давиде Фискалетти (с предисловием Б.Дж. Хайли ): Квантовый потенциал: физика, геометрия и алгебра, AMC, Springer, 2013, ISBN  978-3-319-00332-0 (Распечатать) / ISBN  978-3-319-00333-7 (онлайн)
• Питер Р. Холланд: Квантовая теория движения: описание причинной интерпретации де Бройля-Бома квантовой механики, Cambridge University Press, Кембридж (впервые опубликовано 25 июня 1993 г.), ISBN  0-521-35404-8 переплет ISBN  0-521-48543-6 мягкая обложка, переведена в цифровую печать 2004 г.
• Дэвид Бом, Бэзил Хили: Неделимая Вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории, Рутледж, 1993, ISBN  0-415-06588-7
• Дэвид Бом, Ф. Дэвид Пит: Наука, порядок и творчество, 1987, Рутледж, 2-е изд. 2000 (переведена на цифровую печать 2008, Routledge), ISBN  0-415-17182-2

Рекомендации

1. Бом, Дэвид (1952). "Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах" скрытых переменных "I". Физический обзор. 85 (2): 166–179. Bibcode:1952ПхРв ... 85..166Б. Дои:10.1103 / PhysRev.85.166. (полный текст В архиве 2012-10-18 на Wayback Machine )
2. Бом, Дэвид (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах« скрытых переменных », II». Физический обзор. 85 (2): 180–193. Bibcode:1952ПхРв ... 85..180Б. Дои:10.1103 / PhysRev.85.180. (полный текст В архиве 2012-10-18 на Wayback Machine )
3. Д. Бом, Б. Дж. Хайли: Об интуитивном понимании нелокальности, которое следует из квантовой теории, Основы физики, том 5, номер 1, стр. 93-109, 1975 г. Дои:10.1007 / BF01100319 (Абстрактные )
4. Дэвид Бом, Бэзил Хили: Неделимая Вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории, Рутледж, 1993, ISBN  0-415-06588-7, в нем Глава 3.1. Основные моменты причинной трактовки, п. 22–23.
5. Дэвид Бом, Бэзил Хили: Неделимая Вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории, Рутледж, 1993, ISBN  0-415-06588-7, также цитируется в: B.J. Hiley и R.E. Callaghan: Алгебры Клиффорда и квантовое уравнение Гамильтона-Якоби Дирака-Бома, Основы физики, январь 2012 г., том 42, выпуск 1, стр 192-208 (опубликовано онлайн 20 мая 2011 г.), Дои:10.1007 / s10701-011-9558-z (Абстрактные, Препринт 2010 г. Б. Хили )
6. См. Например. Роберт Э. Вятт, Эрик Р. Биттнер: Квантовая динамика волновых пакетов с траекториями: реализация с адаптивными лагранжевыми сетками амплитуды волновой функции, Журнал химической физики, вып. 113, нет. 20, 22 ноября 2000 г., п. 8898 В архиве 2011-10-02 на Wayback Machine
7. Б. Дж. Хили: Активная информация и телепортация, п. 7; опубликовано в: «Эпистемологические и экспериментальные перспективы квантовой физики», D. Greenberger et al. (ред.), страницы 113-126, Клувер, Нидерланды, 1999
8. Б.Дж. Хайли: От картины Гейзенберга до Бома: новый взгляд на активную информацию и ее связь с информацией Шеннона, стр. 2 и 5. Опубликовано: Хренников А.В. (ред.): Proc. Конф. Квантовая теория: переосмысление основ, стр. 141–162, Vaxjö University Press, Швеция, 2002 г.
9. Б. Дж. Хили: Информация, квантовая теория и мозг. В: Гордон Г. Глобус (редактор), Карл Х. Прибрам (редактор), Джузеппе Витьелло (редактор): Мозг и бытие: на границе между наукой, философией, языком и искусством, Достижения в исследовании сознания, Джон Бенджаминс Б.В., 2004 г., ISBN  90-272-5194-0, стр. 197-214, п. 207
10. К. Филипидис, К. Дьюдни, Б. Дж. Хили: Квантовая интерференция и квантовый потенциал, Il nuovo cimento B, vol. 52, нет. 1, 1979, стр. 15-28, Дои:10.1007 / BF02743566
11. К. Филипидис, Д. Бом, Р. Д. Кай: Эффект Ааронова-Бома и квантовый потенциал, Il nuovo cimento B, vol. 71, нет. 1. С. 75-88, 1982, Дои:10.1007 / BF02721695
12. Бэзил Дж. Хайли: Роль квантового потенциала. В: Г. Тароцци, Алвин ван дер Мерве: Открытые вопросы квантовой физики: приглашенные доклады по основам микрофизики, Springer, 1985, стр. 237 и далее. стр. 239
13. Д. Бом, Б. Дж. Хили, П. Н. Калойеру: Онтологическая основа квантовой теории, Physics Reports (обзорный раздел Physics Letters), том 144, номер 6, стр. 323–348, 1987 (Абстрактные)
14. Б. Дж. Хили: Концептуальная структура интерпретации Бома квантовой механики, В: К. В. Лаурикайнен [фи ], К. Монтонен, К. Суннарборг (ред.): Симпозиум по основам современной физики 1994 - 70 лет волн материи, Editions Frontières, стр. 99–118, ISBN  2-86332-169-2, п. 106
15. Б. Дж. Хили: Активная информация и телепортация, п. 10; опубликовано в: «Эпистемологические и экспериментальные перспективы квантовой физики», D. Greenberger et al. (ред.), страницы 113-126, Клувер, Нидерланды, 1999
16. См., Например, Detlef Dürr et al: Квантовое равновесие и происхождение абсолютной неопределенности, arXiv: Quant-ph / 0308039v1 6 августа 2003 г., п. 23 сл.
17. Дэвид Бом, Бэзил Хили: Неделимая Вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории, Рутледж, 1993, ISBN  0-415-06588-7, переведено на цифровую печать 2005 г., в нем Глава 4.1. Онтологическая интерпретация системы многих тел, п. 59
18. Д. Бом, Б. Дж. Хили, П. Н. Калойеру: Онтологическая основа квантовой теории, Physics Reports (обзорный раздел Physics Letters), том 144, номер 6, стр. 323–348, 1987 (п. 351, ур. (12) <--page=31 p. 351 is not(!) a typo-->
19. См., Например, Вступление раздел: Фернандо Огиба: Феноменологический вывод уравнения Шредингера В архиве 2011-10-11 на Wayback Machine, Progress in Physics (указанная дата: октябрь 2011 г., но ранее загружено из Интернета: 31 июля 2011 г.)
20. Джереми Б. Мэддокс, Эрик Р. Биттнер: Оценка квантовой силы Бома с использованием байесовской статистики В архиве 2011-11-20 на Wayback Machine, Журнал химической физики, октябрь 2003 г., т. 119, нет. 13, стр. 6465–6474, там с. 6472, уравнение (38)
21. Мистер Браун: Квантовый потенциал: нарушение классической симплектической симметрии и энергии локализации и дисперсии, arXiv.org (отправлено 6 марта 1997 г., версия от 5 февраля 2002 г., получено 24 июля 2011 г.) (Абстрактные )
22. М. Р. Браун, Б. Дж. Хили: Возвращение к Шредингеру: алгебраический подход, arXiv.org (подано 4 мая 2000 г., версия от 19 июля 2004 г., получено 3 июня 2011 г.) (Абстрактные )
23. Морис А. де Госсон: «Принципы ньютоновской и квантовой механики - необходимость постоянной Планка, h», Imperial College Press, World Scientific Publishing, 2001 г., ISBN  1-86094-274-1
24. Б. Дж. Хили: Некоммутативная квантовая геометрия: переоценка подхода Бома к квантовой теории, в: A. Elitzur et al. (ред.): Quo vadis квантовая механика, Springer, 2005 г., ISBN  3-540-22188-3, п. 299–324
25. Б.Дж. Хайли: Некоммутативная квантовая геометрия: переоценка подхода Бома к квантовой теории. В: Авшалом К. Элицур, Шахар Долев, Нэнси Коленда (ред.): Quo Vadis Quantum Mechanics? Коллекция Frontiers, 2005, стр. 299-324, Дои:10.1007/3-540-26669-0_16 (Абстрактные, препринт )
26. Б.Дж. Хайли: Описание квантовой механики и некоммутативной геометрии в фазовом пространстве: Вигнер – Мойал и Бом в более широком контексте, В: Theo M. Nieuwenhuizen et al (ред.): Помимо кванта, World Scientific Publishing, 2007 г., ISBN  978-981-277-117-9, pp. 203–211, там же с. 204
27. Бэзил Дж. Хайли: К динамике моментов: роль алгебраической деформации и неэквивалентных состояний вакуума, опубликовано в: Корреляции под ред. K. G. Bowden, Proc. ANPA 23, 104-134, 2001 (PDF )
28. Б. Дж. Хили, Р. Э. Каллаган: Подход алгебры Клиффорда к квантовой механике A: частицы Шредингера и Паули, arXiv.org (отправлено 17 ноября 2010 г. - Абстрактные )
29. Б. Хили: Описание квантовой механики и некоммутативной геометрии в фазовом пространстве: Вигнер-Мойал и Бом в более широком контексте, в: Th. M. Nieuwenhuizen et al. (ред.): За пределами кванта, World Scientific, 2007, ISBN  978-981-277-117-9, п. 203–211, в нем: п. 207 сл.
30. С. Насири: Квантовый потенциал и симметрии в расширенном фазовом пространстве, СИГМА 2 (2006), 062, Quant-ph / 0511125
31. Марко Сезар Б. Фернандес, Дж. Дэвид М. Вианна: Об обобщенном подходе фазового пространства к частицам Даффина – Кеммера – Петио, Brazilian Journal of Physics, vol. 28, вып. 4. декабрь 1998 г., Дои:10.1590 / S0103-97331998000400024
32. M.C.B. Фернандес, J.D.M. Вианна: Об алгебре Даффина-Кеммера-Петио и обобщенном фазовом пространстве, Основы физики, т. 29, нет. 2, 1999 (Абстрактные )
33. М. Регинатто, Phys. Rev. A 58, 1775 (1998), цитируется по: Roumen Tsekov: К нелинейным квантовым уравнениям Фоккера-Планка, Int. J. Theor. Phys. 48 (2009) 1431–1435 (arXiv 0808.0326, п. 4 ).
34. Роберт Кэрролл: О зарождении физики, World Scientific, 2010, ISBN  981-4291-79-Х, Глава 1 Некоторый квантовый фон, п. 1.
35. Цеков, Р. (2012) Бомовская механика против квантовой гидродинамики Маделунга Дои:10.13140 / RG.2.1.3663.8245
36. К. Ф. фон Вайцзеккер: Zur Theorie der Kernmassen, Zeitschrift für Physik, Volume 96, pp. 431–458 (1935).
37. См. Также раздел «Введение»: Рафаэль Бенгурия, Хаим Брезис, Эллиот Х. Либ: Теория атомов и молекул Томаса – Ферми – фон Вайцзеккера., Commun. Математика. Phys., 79, стр. 167–180 (1981). Дои:10.1007 / BF01942059.
38. Смотрите также Румен Цеков: Диссипативная теория функционала плотности, зависящая от времени, Int. J. Theor. Phys., Vol. 48. С. 2660–2664 (2009), arXiv:0903.3644.
39. Компанеец А.С., Павловский Э.С .: Сов. Phys. ЖЭТФ, том 4. С. 328–336 (1957). Цитируется в разделе «Введение»: Рафаэль Бенгурия, Хаим Брезис, Эллиотт Х. Либ: Теория атомов и молекул Томаса – Ферми – фон Вайцзеккера., Commun. Математика. Phys., 79, стр. 167–180 (1981). Дои:10.1007 / BF01942059.
40. Г. Салези, Э. Реками, Х. Э. Эрнандес Ф., Луис К. Кретли: Гидродинамика вращающихся частиц, отправлено 15 февраля 1998 г., arXiv.org, arXiv: hep-th / 9802106v1
41. Г. Салези: Отжим и жидкость Маделунга, отправлено 23 июня 2009 г., arXiv: Quant-ph / 0906.4147v1
42. Сальваторе Эспозито: О роли спина в квантовой механике, отправлено 5 февраля 1999 г., arXiv: Quant-ph / 9902019v1
43. п. 7
44. С. Эспозито: Фотонная волновая механика: подход де Бройля – Бома, п. 8 сл.
45. Джеймс Р. Боган: Spin: связь между классикой и квантами, arXiv.org, отправлено 19 декабря 2002 г., arXiv: Quant-ph / 0212110
46. Алон Э. Фараджи, М. Матоне: Постулат эквивалентности квантовой механики, Международный журнал современной физики A, т. 15, нет. 13. С. 1869–2017. arXiv hep-th / 9809127 от 6 августа 1999 г.
47. Роберт Кэрролл: Аспекты квантовых групп и интегрируемых систем, Известия Института математики НАН Украины, ву. 50, часть 1, 2004 г., стр. 356–367, п. 357
48. Эдвард Р. Флойд: Классический предел траекторного представления квантовой механики, потеря информации и остаточная неопределенность, arXiv: Quant-ph / 9907092v3
49. Р. Кэрролл: Некоторые замечания о времени, неопределенности и спине, arXiv: Quant-ph / 9903081v1
50. Б. Хили, Р. Э. Каллаган: Подход алгебры Клиффорда к квантовой механике A: частицы Шредингера и Паули, 14 марта 2010 г., п. 6
51. Б. Хили, Р. Э. Каллаган: Подход алгебры Клиффорда к квантовой механике A: частицы Шредингера и Паули, 14 марта 2010 г., п. 1-29
52. Б. Хили: Алгебры Клиффорда и уравнение Дирака – Бома Гамильтона – Якоби, 2 марта 2010 г., п. 22
53. Б. Дж. Хили: Некоммутативная геометрия, интерпретация Бома и взаимосвязь разум-материя, п. 14
54. Д. Бом, Б. Дж. Хайли: Нелокальность и локальность в стохастической интерпретации квантовой механики, Physics Reports, Volume 172, Issue 3, January 1989, страницы 93-122, Дои:10.1016/0370-1573(89)90160-9 (Абстрактные )
55. П.Н. Калойеру, Исследование квантового потенциала в релятивистской области., Кандидат наук. Диссертация, Биркбек-колледж, Лондон (1985)
56. П.Н. Kaloyerou, Phys. Реп. 244, 288 (1994).
57. П.Н. Калойеру, в "Бомовской механике и квантовой теории: оценка", ред. J.T. Кушинг, А. Файн и С. Гольдштейн, Kluwer, Dordrecht, 155 (1996).
58. Д. Бом, Б. Дж. Хили, П. Н. Калойеру: Онтологическая основа квантовой теории, Physics Reports (обзорный раздел Physics Letters), том 144, номер 6, стр. 323–348, 1987 (PDF)
59. Б. Дж. Хили, А. Х. Азиз Муфт: Онтологическая интерпретация квантовой теории поля в космологическом контексте. В: Мигель Ферреро, Алвин Ван дер Мерве (ред.): Фундаментальные проблемы квантовой физики, Фундаментальные теории физики, Kluwer Academic Publishers, 1995, ISBN  0-7923-3670-4, страницы 141-156
60. Карло Кастро, Хорхе Махеча: О нелинейной квантовой механике, броуновском движении, геометрии Вейля и информации Фишера, представленный в феврале 2005 г., В: Ф. Смарандаче и В. Кристианто (ред.): Квантование в астрофизике, броуновском движении и суперсимметрии, стр.73–87, MathTiger, 2007, Ченнаи, Тамил Наду, ISBN  81-902190-9-X, стр. 82, уравнение (37) и далее.
61. Рапопорт, Диего Л. (2007). «Торсионные поля, пространство-время Картана-Вейля и квантовая геометрия пространства состояний, броуновское движение и их топологическая размерность». In Smarandache, F .; Кристианто, В. (ред.). Квантование в астрофизике, броуновском движении и суперсимметрии. Ченнаи, Тамил Наду: MathTiger. стр.276 –328. CiteSeerX  10.1.1.75.6580. ISBN  978-81-902190-9-9.
62. Питер Р. Холланд: Квантовая теория движения, Cambridge University Press, 1993 (перепечатано в 2000 г., переведено на цифровую печать в 2004 г.), ISBN  0-521-48543-6, п. 498 сл.
63. Хрвое Николич: Релятивистская квантовая механика и бомовская интерпретация, Основы литературы по физике, т. 18, нет. 6, ноябрь 2005 г., стр. 549-561, Дои:10.1007 / s10702-005-1128-1
64. Хрвое Николич: Время в релятивистской и нерелятивистской квантовой механике, arXiv:0811/0811.1905 (представлена ​​12 ноября 2008 г. (v1), исправлена ​​12 января 2009 г.)
65. Николич, Х. 2010 «КТП как экспериментально-волновая теория рождения и разрушения частиц», Int. J. Mod. Phys. А 25, 1477 (2010)
66. Хрвое Николич: Совместимость нелокальной реальности с теорией относительности, arXiv:1002.3226v2 [Quant-ph] (представлено 17 февраля 2010 г., версия от 31 мая 2010 г.)
67. Хрвое Николич: Бомовская механика в релятивистской квантовой механике, квантовой теории поля и теории струн, 2007 J. Phys .: Conf. Сер. 67 012035
68. Питер Р. Холланд: Квантовая теория движения, Cambridge University Press, 1993 (перепечатано в 2000 г., переведено на цифровую печать в 2004 г.), ISBN  0-521-48543-6, п. 520 сл.
69. Бэзил Хайли: Концептуальная структура интерпретации Бома квантовой механики, Калерво Вихтори Лаурикайнен и др. (Ред.): Симпозиум по основам современной физики 1994: 70 лет материальных волн, Editions Frontières, ISBN  2-86332-169-2, п. 99–117, п. 144
70. Б. Дж. Хили: Переоценка подхода Бома (Препринт 2010 г. ), п. 6
71. Б. Дж. Хили (25 марта 2013 г.). "Бомовская некоммутативная динамика: история и новые разработки". Предварительная печать arXiv: 1303.6057 (подано 25 марта 2013 г.)
72. О космологической постоянной в конформно преобразованном уравнении Эйнштейна
73. Бом, Дэвид (1952). "Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах" скрытых переменных "I". Физический обзор. 85 (2): 166–179. Bibcode:1952ПхРв ... 85..166Б. Дои:10.1103 / PhysRev.85.166. п. 170 В архиве 2012-10-18 на Wayback Machine
74. Дэвид Бом: Значение и информация В архиве 2011-10-09 в Archive.today, В: П. Пюлькканен (ред.): В поисках смысла: новый дух в науке и философии, Crucible, Aquarian Press, 1989, ISBN  978-1-85274-061-0
75. Б.Дж. Хайли: Некоммутативная квантовая геометрия: переоценка подхода Бома к квантовой теории. В: Авшалом К. Элицур, Шахар Долев, Нэнси Коленда (исп.): Quo vadis квантовая механика? Springer, 2005 г., ISBN  3-540-22188-3, pp. 299 ff., там же п. 310
76. Бэзил Хили и Тахер Гозель, серия 5, YouTube (загружено 8 сентября 2013 г.)
77. Б. Дж. Хили: Некоторые замечания об эволюции предложений Бома об альтернативе квантовой механике, 30 января 2010 г.
78. Питер Р. Холланд: Квантовая теория движения, Cambridge University Press, 1993 (перепечатано в 2000 г., переведено на цифровую печать в 2004 г.), ISBN  0-521-48543-6, п. 72
79. Дж. Яннакконе, Дж. Куратола, Дж. Фиори: Эффективный квантовый потенциал Бома для имитаторов устройств на основе дрейфовой диффузии и переноса энергии, Моделирование полупроводниковых процессов и устройств, 2004, т. 2004, с. 275–278.
80. Эрик Р. Биттнер: Квантовая туннельная динамика с использованием гидродинамических траекторий, arXiv: Quant-ph / 0001119v2, 18 февраля 2000 г., п. 3.
81. Э. Гинденсбергер, К. Мейер, Дж. А. Бесвик: Смешивание квантовой и классической динамики с использованием бомовских траекторий В архиве 2012-03-28 в Wayback Machine, Журнал химической физики, вып. 113, нет. 21, 1 декабря 2000 г., стр. 9369–9372