Теорема Кенигса (кинетика) - Königs theorem (kinetics)

Для использования в других целях см. Теорема Кенига (значения).

В кинетика, Теорема Кенига или же Разложение Кенига математическое соотношение, полученное Иоганн Самуэль Кениг что помогает в расчетах углового момента и кинетической энергии тел и систем частиц.

Для системы частиц

Теорема разделена на две части.

Первая часть теоремы Кенига

Первая часть выражает угловой момент системы как сумму угловой момент из центр масс и угловой момент применяется к частицам относительно центр массы. ^[1]

${\displaystyle \displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}_{CoM}\times \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}_{CoM}+{\vec {L}}'={\vec {L}}_{CoM}+{\vec {L}}'}$

Доказательство

Учитывая инерциальная система отсчета с происхождением O, угловой момент системы можно определить как:

${\displaystyle {\vec {L}}=\sum \limits _{i}({\vec {r}}_{i}\times m_{i}{\vec {v}}_{i})}$

Положение отдельной частицы можно выразить как:

${\displaystyle {\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{CoM}+{\vec {r}}'_{i}}$

Итак, мы можем определить скорость отдельной частицы:

${\displaystyle {\vec {v}}_{i}={\vec {v}}_{CoM}+{\vec {v}}'_{i}}$

Первое уравнение становится:

${\displaystyle {\vec {L}}=\sum \limits _{i}({\vec {r}}_{CoM}+{\vec {r}}'_{i})\times m_{i}({\vec {v}}_{CoM}+{\vec {v}}'_{i})}$

${\displaystyle {\vec {L}}=\sum \limits _{i}{\vec {r}}'_{i}\times m_{i}{\vec {v}}'_{i}+\left(\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}'_{i}\right)\times {\vec {v}}_{CoM}+{\vec {r}}_{CoM}\times \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}'_{i}+\sum \limits _{i}{\vec {r}}_{CoM}\times m_{i}{\vec {v}}_{CoM}}$

Но следующие члены равны нулю:

${\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}'_{i}=0}$

${\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}'_{i}=0}$

Итак, мы доказываем, что:

${\displaystyle {\vec {L}}=\sum \limits _{i}{\vec {r}}'_{i}\times m_{i}{\vec {v}}'_{i}+M{\vec {r}}_{CoM}\times {\vec {v}}_{CoM}}$

где M - полная масса системы.

Вторая часть теоремы Кенига

Вторая часть выражает кинетическая энергия системы частиц в терминах скоростей отдельных частиц и центр масс.

В частности, в нем говорится, что кинетическая энергия системы частиц представляет собой сумму кинетическая энергия связано с движением центр массы и кинетическая энергия связанных с движением частиц относительно центр массы.^[2]

${\displaystyle K=K'+K_{\text{CoM}}}$

Доказательство

Общая кинетическая энергия системы:

${\displaystyle K=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}}$

Как и в первой части, подставляем скорость:

${\displaystyle K=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}({\bar {v}}'_{i}+{\bar {v}}_{\text{CoM}})^{2}}$

${\displaystyle K=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}({\bar {v}}'_{i}+{\bar {v}}_{\text{CoM}})\cdot ({\bar {v}}'_{i}+{\bar {v}}_{\text{CoM}})=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{v'_{i}}^{2}+{\bar {v}}_{\text{CoM}}\cdot \sum _{i}m_{i}{\bar {v}}'_{i}+\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{\text{CoM}}^{2}}$

Мы знаем это ${\displaystyle {\bar {v}}_{CoM}\cdot \sum _{i}m_{i}{\bar {v}}'_{i}=0,}$ поэтому, если мы определим:

${\displaystyle K'=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{v'_{i}}^{2}}$

${\displaystyle K_{\text{CoM}}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{\text{CoM}}^{2}={\frac {1}{2}}Mv_{\text{CoM}}^{2}}$

у нас осталось:

${\displaystyle K=K'+K_{\text{CoM}}}$

Для твердого тела

Теорема также может быть применена к твердые тела, утверждая, что кинетическая энергия K твердого тела с точки зрения наблюдателя, зафиксированного в некоторой инерциальной система отсчета N, можно записать как:

${\displaystyle ^{N}K={\frac {1}{2}}m\cdot {^{N}\mathbf {\bar {v}} }\cdot {^{N}\mathbf {\bar {v}} }+{\frac {1}{2}}{^{N}\!\mathbf {\bar {H}} }\cdot ^{N}{\!\!\mathbf {\omega } }^{R}}$

куда ${\displaystyle {m}}$ - масса твердого тела; ${\displaystyle {^{N}\mathbf {\bar {v}} }}$ - скорость центра масс твердого тела с точки зрения наблюдателя, закрепленного в инерциальной системе отсчета N; ${\displaystyle {^{N}\!\mathbf {\bar {H}} }}$ это угловой момент твердого тела относительно центра масс, также взятого в инерциальной системе отсчета N; и ${\displaystyle ^{N}{\!\!\mathbf {\omega } }^{R}}$ - угловая скорость твердого тела R относительно инерциальной системы отсчета N.^[3]

Рекомендации

• Ханно Эссен: Средняя угловая скорость (1992), Департамент механики, Королевский технологический институт, S-100 44, Стокгольм, Швеция.
• Самуэль Кениг (Sam. Koenigio): De universali Principio æquilibrii & motus, in vi viva reperto, deque nexu inter vim vivam & actionem, utriusque minimo, dissertatio, Nova acta eruditorum (1751) 125-135, 162-176 (В архиве ).
• Пол А. Типлер и Джин Моска (2003), Физика для ученых и инженеров (статья): Том 1A: Механика (Физика для ученых и инженеров), под ред. В. Х. Фримена, ISBN  0-7167-0900-7

Процитированные работы

1. Эссен, Ханно (1993). «Средняя угловая скорость». Европейский журнал физики. 14 (5): 201–205. arXiv:физика / 0401146. Bibcode:1993EJPh ... 14..201E. Дои:10.1088/0143-0807/14/5/002.
2. Эссен, Ханно (1993). «Средняя угловая скорость». Европейский журнал физики. 14 (5): 201–205. arXiv:физика / 0401146. Bibcode:1993EJPh ... 14..201E. Дои:10.1088/0143-0807/14/5/002.
3. Рао, Анил В. Динамика частиц и твердых тел: систематический подход. Издательство Кембриджского университета. п. 421.