Уравнения Маделунга - Madelung equations

В Уравнения Маделунга, или уравнения квантовой гидродинамики, находятся Эрвин Маделунг эквивалентная альтернативная формулировка Уравнение Шредингера, записанные в терминах гидродинамических переменных, аналогично Уравнения Навье – Стокса из динамика жидкостей. Вывод уравнений Маделунга аналогичен выводу формулировка де Бройля – Бома, который представляет собой Уравнение Шредингера как квантовое уравнение Гамильтона – Якоби.

Уравнения

Уравнения Маделунга^[1] квантовые Уравнения Эйлера:^[2]

${\displaystyle \partial _{t}\rho _{m}+\nabla \cdot (\rho _{m}\mathbf {u} )=0,}$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} }{dt}}=\partial _{t}\mathbf {u} +\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =-{\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } (Q+V),}$

куда

${\displaystyle \mathbf {u} }$ это скорость потока,

${\displaystyle \rho _{m}=m\rho =m|\psi |^{2}}$ - массовая плотность,

${\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho _{m}}}}{\sqrt {\rho _{m}}}}}$ Бом квантовый потенциал,

V - потенциал из уравнения Шредингера.

В обращение поля скорости потока вдоль любого замкнутого пути подчиняется вспомогательному условию ${\displaystyle \Gamma \doteq \oint {m\mathbf {u} \cdot d\mathbf {l} }=2\pi n\hbar }$, ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$.^[3]

Уравнения Маделунга выводятся путем записи волновой функции в полярной форме:

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)={\sqrt {{\frac {1}{m}}\rho _{m}(\mathbf {x} ,t)}}e^{{\frac {i}{\hbar }}S(\mathbf {x} ,t)},}$

и подставив эту форму в Уравнение Шредингера

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {x} ,t)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {x} ,t)\right]\psi (\mathbf {x} ,t).}$

Скорость потока определяется как

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } S,}$

из которого мы также находим, что

${\displaystyle {\frac {1}{m}}\rho _{m}\mathbf {u} =\mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}[\psi ^{*}(\nabla \psi )-\psi (\nabla \psi ^{*})],}$

куда ${\displaystyle \mathbf {j} }$ это ток вероятности стандартной квантовой механики.

В квантовая сила, которая является отрицательной величиной градиента квантового потенциала, также может быть записана в терминах тензора квантового давления:

${\displaystyle \mathbf {F_{Q}} =-\mathbf {\nabla } Q=-{\frac {m}{\rho _{m}}}\nabla \cdot \mathbf {p} _{Q},}$

куда

${\displaystyle \mathbf {p} _{Q}=-(\hbar /2m)^{2}\rho _{m}\nabla \otimes \nabla \ln \rho _{m}.}$

Интегральная энергия, запасенная в квантовом тензоре давления, пропорциональна величине Информация Fisher, который учитывает качество измерений. Таким образом, согласно Граница Крамера – Рао, Гейзенберг принцип неопределенности эквивалентно стандартному неравенству для эффективность измерений. Термодинамическое определение квантово-химического потенциала

${\displaystyle \mu =Q+V={\frac {1}{\sqrt {\rho _{m}}}}{\widehat {H}}{\sqrt {\rho _{m}}}}$

следует из приведенного выше баланса гидростатических сил:

${\displaystyle \nabla \mu ={\frac {m}{\rho _{m}}}\nabla \cdot \mathbf {p} _{Q}+\nabla V.}$

Согласно термодинамике, в состоянии равновесия химический потенциал постоянен везде, что напрямую соответствует стационарному уравнению Шредингера. Следовательно, собственные значения уравнения Шредингера - это свободные энергии, которые отличаются от внутренних энергий системы. Внутренняя энергия частицы рассчитывается как

${\displaystyle \varepsilon =\mu -\operatorname {tr} (\mathbf {p} _{Q}){\frac {m}{\rho _{m}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{8m}}(\nabla \ln \rho _{m})^{2}+U}$

и относится к местным Коррекция Карла Фридриха фон Вайцзеккера.^[4] В случае, например, квантового гармонического осциллятора, легко показать, что энергия нулевой точки - значение химического потенциала осциллятора, в то время как внутренняя энергия осциллятора в основном состоянии равна нулю, ${\displaystyle \varepsilon =0}$. Следовательно, энергия нулевой точки представляет собой энергию для помещения статического осциллятора в вакуум, что еще раз показывает, что колебания вакуума являются причиной квантовой механики.

Смотрите также

• Квантовый потенциал
• Квантовая гидродинамика
• Бомовская квантовая механика

Рекомендации

1. Маделунг, Э. (1926). "Eine anschauliche Deutung der Gleichung von Schrödinger". Naturwissenschaften (на немецком). 14 (45): 1004–1004. Bibcode:1926NW ..... 14.1004M. Дои:10.1007 / BF01504657.
2. Маделунг, Э. (1927). «Квантовая теория в гидродинамической форме». Z. Phys. (на немецком). 40 (3–4): 322–326. Bibcode:1927ZPhy ... 40..322M. Дои:10.1007 / BF01400372.
3. И. Бялыницкий-Бирула; М. Цеплак; Дж. Камински (1992), Теория кванты, Издательство Оксфордского университета, ISBN  0195071573.
4. Цеков Р. (2009). "Диссипативная функциональная теория плотности, зависящая от времени". Международный журнал теоретической физики. 48: 2660–2664. arXiv:0903.3644. Bibcode:2009IJTP ... 48.2660T. Дои:10.1007 / s10773-009-0054-6.

дальнейшее чтение

• Шёнберг, М. (1954). «О гидродинамической модели квантовой механики». Il Nuovo Cimento. 12 (1): 103–133. Bibcode:1954NCim ... 12..103S. Дои:10.1007 / BF02820368.