Введение в калибровочную теорию - Introduction to gauge theory

Эта статья представляет собой нетехническое введение в предмет. Основную статью энциклопедии см. Калибровочная теория.

А калибровочная теория это тип теория в физика. Слово измерять означает измерение, толщина, промежуточное расстояние (как в железнодорожные пути ) или результирующее количество единиц на определенный параметр (количество петель в дюйме ткани или количество свинцовых шаров в фунте боеприпасов ).^[1] Современные теории описывают физические силы с точки зрения поля, например, электромагнитное поле, то гравитационное поле, и поля, описывающие силы между элементарные частицы. Общая особенность этих теорий поля состоит в том, что фундаментальные поля нельзя измерить напрямую; тем не менее, некоторые связанные величины могут быть измерены, например, заряды, энергии и скорости. Например, предположим, что вы не можете измерить диаметр свинцового шара, но вы можете определить, сколько свинцовых мячей, равных во всех отношениях, необходимо для получения фунта. Используя количество шаров, элементарную массу свинца и формулу для вычисления объема шара по его диаметру, можно косвенно определить диаметр одиночного свинцового шара. В теориях поля разные конфигурации ненаблюдаемых полей могут приводить к одинаковым наблюдаемым величинам. Преобразование из одной такой конфигурации поля в другую называется калибровочное преобразование;^[2][3] отсутствие изменения измеряемых величин, несмотря на преобразование поля, является свойством, называемым калибровочная инвариантность. Например, если бы вы могли измерить цвет свинцовых шариков и обнаружить, что при изменении цвета вы все еще умещаете то же количество шариков в фунте, свойство «цвет» будет отображаться калибровочная инвариантность. Поскольку любой вид инвариантности относительно преобразования поля считается симметрия, калибровочную инвариантность иногда называют калибровочная симметрия. Как правило, любая теория, обладающая свойством калибровочной инвариантности, считается калибровочной теорией.

Например, в электромагнетизме электрические и магнитные поля, E и B наблюдаемы, а потенциалы V («напряжение») и А (в векторный потенциал ) не.^[4] При калибровочном преобразовании, в котором к V, наблюдаемых изменений в E или же B.

С появлением квантовая механика в 1920-х годах, и с последовательными достижениями в квантовая теория поля, важность калибровочных преобразований неуклонно возрастает. Калибровочные теории ограничивают законы физики, потому что все изменения, вызванные калибровочным преобразованием, должны нейтрализовать друг друга, если они записаны в терминах наблюдаемых величин. В течение ХХ века физики постепенно осознали, что все силы (фундаментальные взаимодействия ) возникают из-за ограничений, накладываемых местный калибровочные симметрии, и в этом случае преобразования меняются от точки к точке в пространство и время. Пертурбативный квантовая теория поля (обычно используется в теории рассеяния) описывает силы в терминах частиц-посредников, называемых калибровочные бозоны. Природа этих частиц определяется характером калибровочных преобразований. Кульминацией этих усилий является Стандартная модель, квантовая теория поля, которая точно предсказывает все фундаментальные взаимодействия, кроме сила тяжести.

История и значение

Самая ранняя теория поля, имеющая калибровочную симметрию, была Максвелл формулировка в 1864–1865 гг. электродинамика ("Динамическая теория электромагнитного поля. "). Важность этой симметрии оставалась незамеченной в самых ранних формулировках. Точно так же незамеченной Гильберта вывел уравнения общей теории относительности Эйнштейна, постулируя симметрию при любом изменении координат.^{[нужна цитата ][когда? ]} Потом Герман Вейль, вдохновленные успехом Эйнштейна общая теория относительности, предположил (как оказалось, ошибочно) в 1919 г., что инвариантность относительно замены шкала или "калибр" (термин, вдохновленный различными колеи железных дорог) также может быть локальной симметрией электромагнетизма.^{[5][6]:5, 12} Хотя выбор Вейля датчика был неправильным, название «датчик» закрепилось за подходом. После разработки квантовая механика, Вейль, Фок и Лондон изменили свой выбор калибра, заменив масштабный коэффициент изменением волны фаза, и успешно применив его к электромагнетизму.^[7] Калибровочная симметрия была математически обобщена в 1954 г. Чен Нин Ян и Роберт Миллс в попытке описать сильные ядерные силы. Эта идея, получившая название Теория Янга – Миллса, позже нашла применение в квантовая теория поля из слабая сила, и его объединение с электромагнетизмом в электрослабый теория.

Важность калибровочных теорий для физики обусловлена ​​их огромным успехом в обеспечении единой основы для описания квантово-механическое поведение из электромагнетизм, то слабая сила и сильная сила. Эта калибровочная теория, известная как Стандартная модель, точно описывает экспериментальные предсказания относительно трех из четырех фундаментальные силы природы.

В классической физике

Электромагнетизм

Основная статья: Крепление манометра

Исторически первым обнаруженным примером калибровочной симметрии был классический пример. электромагнетизм.^{[требуется разъяснение Не для классических гравитационных полей?]} Статическое электрическое поле можно описать с помощью электрический потенциал (напряжение), которое определяется в каждой точке космоса, и в практической работе принято рассматривать Землю как физический ориентир, определяющий нулевой уровень потенциала, или земля. Но только различия в потенциале физически измеримы, что является причиной того, что вольтметр должен иметь два датчика и может сообщать только разницу напряжений между ними. Таким образом, можно было выбрать определение всех разностей напряжений относительно некоторого другого стандарта, а не Земли, что привело бы к добавлению постоянного смещения.^[8] Если потенциал ${\displaystyle V}$ это решение Уравнения Максвелла то после этого калибровочного преобразования новый потенциал ${\displaystyle V\rightarrow V+C}$ также является решением уравнений Максвелла, и ни один эксперимент не может различить эти два решения. Другими словами, законы физики электричества и магнетизма (то есть уравнения Максвелла) инвариантны относительно калибровочного преобразования.^[9] Уравнения Максвелла обладают калибровочной симметрией.

Переходя от статического электричества к электромагнетизму, у нас есть второй потенциал, магнитный векторный потенциал А, которые также могут претерпевать калибровочные преобразования. Эти преобразования могут быть локальными. То есть вместо добавления константы в V, можно добавить функцию, которая принимает разные значения в разных точках пространства и времени. Если А тоже изменяется определенным образом, то же E и B поля результат. Подробная математическая взаимосвязь между полями E и B и потенциалы V и А приведено в статье Крепление манометра, а также точное изложение природы калибровочного преобразования. Важным моментом здесь является то, что поля остаются неизменными при калибровочном преобразовании, и поэтому Уравнения Максвелла все еще довольны.

Калибровочная симметрия тесно связана с сохранение заряда. Предположим, что существует некоторый процесс, с помощью которого можно ненадолго нарушить сохранение заряда, создав заряд q в определенной точке пространства 1, перемещая его в какую-то другую точку 2, а затем уничтожая. Можно представить, что этот процесс соответствует закону сохранения энергии. Мы могли бы установить правило, гласящее, что для создания заряда требуется вклад энергии. E₁=qV₁ и уничтожив его, выпустили E₂=qV₂, что казалось бы естественным, поскольку qV измеряет дополнительную энергию, запасенную в электрическом поле из-за наличия заряда в определенной точке. За пределами интервала, в течение которого существует частица, закон сохранения энергии будет соблюдаться, потому что чистая энергия, высвобождаемая при создании и разрушении частицы, qV₂-qV₁, будет равняться работе, совершенной при перемещении частицы от 1 к 2, qV₂-qV₁. Но хотя этот сценарий спасает сохранение энергии, он нарушает калибровочную симметрию. Калибровочная симметрия требует, чтобы законы физики были инвариантны относительно преобразования ${\displaystyle V\rightarrow V+C}$, что означает, что ни один эксперимент не может измерить абсолютный потенциал без ссылки на какой-либо внешний стандарт, такой как электрическое заземление. Но предлагаемые правила E₁=qV₁ и E₂=qV₂ для энергий созидания и разрушения бы позволяют экспериментатору определить абсолютный потенциал, просто сравнивая энергию, необходимую для создания заряда q в определенной точке пространства в случае, когда потенциал ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle V+C}$ соответственно. Вывод состоит в том, что если калибровочная симметрия сохраняется и сохраняется энергия, то заряд должен сохраняться.^[10]

Декартова сетка координат на этом квадрате была искажена преобразованием координат, так что существует нелинейная связь между старыми (x, y) координатами и новыми. Уравнения общей теории относительности Эйнштейна все еще верны в новой системе координат. Такие изменения системы координат являются калибровочными преобразованиями общей теории относительности.

Общая теория относительности

Как обсуждалось выше, калибровочные преобразования для классических (т. Е. Неквантовых) общая теория относительности - произвольные преобразования координат.^[11] Технически преобразования должны быть обратимыми, и как преобразование, так и его обратное должны быть плавными, в том смысле, что дифференцируемый произвольное количество раз.

Пример симметрии в физической теории: трансляционная инвариантность

Некоторые глобальные симметрии относительно изменений координат предшествовали как общей теории относительности, так и концепции калибровки. Например, Галилео и Ньютон ввел понятие инвариантность перевода^{[когда? ]}, прогресс от Аристотелевский концепция, согласно которой разные места в космосе, такие как земля и небо, подчиняются разным физическим правилам.

Предположим, например, что один наблюдатель исследует свойства атома водорода на Земле, другой - на Луне (или любом другом месте во Вселенной), наблюдатель обнаружит, что их атомы водорода проявляют полностью идентичные свойства. Опять же, если бы один наблюдатель исследовал атом водорода сегодня, а другой - 100 лет назад (или в любое другое время в прошлом или будущем), оба эксперимента снова дали бы полностью идентичные результаты. Инвариантность свойств атома водорода относительно времени и места исследования этих свойств называется трансляционной инвариантностью.

Вспоминая наших двух наблюдателей разного возраста: время в их экспериментах сдвинуто на 100 лет. Если бы время, когда старший наблюдатель проводил эксперимент, было т, время современного эксперимента т+100 лет. Оба наблюдателя открывают одни и те же законы физики. Поскольку свет от атомов водорода в далеких галактиках может достигать Земли после миллиардов лет путешествия по космосу, в действительности можно проводить такие наблюдения, охватывая периоды времени почти полностью вплоть до Земли. Большой взрыв, и они показывают, что законы физики всегда были одинаковыми.

Другими словами, если в теории мы изменим время т к т+100 лет (или любой другой сдвиг во времени) теоретические прогнозы не меняются.^[12]

Другой пример симметрии: инвариантность уравнения поля Эйнштейна относительно произвольных преобразований координат.

В теории Эйнштейна общая теория относительности, координаты вида Икс, у, z, и т не только «относительны» в глобальном смысле переводов, таких как ${\displaystyle t\rightarrow t+C}$, вращения и т. д., но становятся полностью произвольными, так что, например, можно определить совершенно новую временную координату в соответствии с некоторым произвольным правилом, таким как ${\displaystyle t\rightarrow t+t^{3}/t_{0}^{2}}$, куда ${\displaystyle t_{0}}$ имеет измерения времени, и все же Уравнения Эйнштейна будет иметь такую ​​же форму.^[11][13]

Инвариантность вида уравнения относительно произвольного преобразования координат принято называть общая ковариация, и уравнения с этим свойством называются записанными в ковариантной форме. Общая ковариантность - это частный случай калибровочной инвариантности.

Уравнения Максвелла также могут быть выражены в общековариантной форме, которая так же инвариантна относительно общего преобразования координат, как уравнение поля Эйнштейна.

В квантовой механике

Квантовая электродинамика

До появления квантовой механики единственным хорошо известным примером калибровочной симметрии был электромагнетизм, и общее значение этой концепции не было полностью понято. Например, было непонятно, были ли это поля E и B или потенциалы V и А это были фундаментальные величины; если первое, то калибровочные преобразования можно рассматривать не более чем как математический трюк.

Эксперимент Ааронова – Бома

Двухщелевая дифракционная и интерференционная картина

Основная статья: Эффект Ааронова – Бома

В квантовой механике частица, например электрон, также описывается как волна. Например, если двухщелевой эксперимент выполняется с электронами, то наблюдается волнообразная интерференционная картина. Электрон имеет наибольшую вероятность быть обнаруженным в местах, где части волны, проходящей через две щели, находятся в фазе друг с другом, что приводит к конструктивное вмешательство. Частота электрона волна связана с кинетической энергией отдельного электрона частица через квантово-механическое соотношение E = hf. Если в этом эксперименте нет электрических или магнитных полей, то энергия электрона постоянна, и, например, будет высокая вероятность обнаружения электрона вдоль центральной оси эксперимента, где по симметрии две части волны находятся в фазе.

Но теперь предположим, что электроны в эксперименте подвержены воздействию электрических или магнитных полей. Например, если электрическое поле будет наложено на одну сторону оси, но не на другую, это повлияет на результаты эксперимента. Часть электронной волны, проходящая через эту сторону, колеблется с другой скоростью, поскольку ее энергия имела:эВ добавлено к нему, где -е - заряд электрона и V электрический потенциал. Результаты эксперимента будут разными, потому что фазовые отношения между двумя частями электронной волны изменились, и, следовательно, места конструктивной и деструктивной интерференции будут смещены в ту или иную сторону. Здесь возникает электрический потенциал, а не электрическое поле, и это является проявлением того факта, что именно потенциалы, а не поля имеют фундаментальное значение в квантовой механике.

Схема эксперимента с двумя щелями, в котором можно наблюдать эффект Ааронова – Бома: электроны проходят через две щели, интерферируя на экране наблюдения, при этом интерференционная картина смещается, когда магнитное поле B включается в цилиндрическом соленоиде, отмеченном синим на схеме.

Объяснение с потенциалами

Возможны даже случаи, когда результаты эксперимента различаются при изменении потенциалов, даже если ни одна заряженная частица никогда не подвергается воздействию другого поля. Одним из таких примеров является Эффект Ааронова – Бома, показанный на рисунке.^[14] В этом примере включение соленоида вызывает только магнитное поле. B существовать внутри соленоида. Но соленоид расположен так, что электрон не может пройти через его внутреннюю часть. Если бы кто-то считал поля фундаментальными величинами, то можно было бы ожидать, что результаты эксперимента останутся неизменными. На самом деле результаты разные, потому что включение соленоида изменяет векторный потенциал А в области, через которую проходят электроны. Теперь, когда установлено, что это потенциалы V и А фундаментальные, а не поля E и B, мы видим, что калибровочные преобразования, меняющие V и А, имеют реальное физическое значение, а не являются просто математическими артефактами.

Калибровочная инвариантность: результаты экспериментов не зависят от выбора калибровки потенциалов.

Обратите внимание, что в этих экспериментах единственная величина, которая влияет на результат, - это разница в фазе между двумя частями электронной волны. Предположим, мы представляем две части электронной волны как крошечные часы, каждая с одной стрелкой, которая движется по кругу, отслеживая свою собственную фазу. Хотя этот рисунок игнорирует некоторые технические детали, он сохраняет важные здесь физические явления.^[15] Если оба тактовых генератора ускоряются на одинаковую величину, соотношение фаз между ними не меняется, и результаты экспериментов одинаковы. Не только это, но даже нет необходимости изменять скорость каждого тактового сигнала на фиксированный количество. Мы могли бы изменить угол стрелки на каждых часах на различный величина θ, где θ может зависеть как от положения в пространстве, так и от времени. Это не повлияет на результат эксперимента, поскольку окончательное наблюдение местоположения электрона происходит в одном месте и в одном месте, так что фазовый сдвиг в «часах» каждого электрона будет одинаковым, и два эффекта отменит. Это еще один пример калибровочного преобразования: оно локальное и не меняет результатов экспериментов.

Резюме

Таким образом, калибровочная симметрия приобретает все большее значение в контексте квантовой механики. В приложении квантовой механики к электромагнетизму, т. Е. квантовая электродинамика, калибровочная симметрия применима как к электромагнитным, так и к электронным волнам. Эти две калибровочные симметрии на самом деле тесно связаны. Если, например, к электронным волнам применяется калибровочное преобразование θ, то необходимо также применить соответствующее преобразование к потенциалам, которые описывают электромагнитные волны.^[16] Калибровочная симметрия необходима для того, чтобы квантовая электродинамика стала перенормируемый теория, т.е. та, в которой предсказания расчетов всех физически измеримых величин конечны.

Типы калибровочных симметрий

Описание электронов в вышеприведенном подразделе как маленьких часов, по сути, является изложением математических правил, согласно которым фазы электронов должны складываться и вычитаться: они должны рассматриваться как обычные числа, за исключением случая, когда результат вычисления выходит за пределы диапазона 0≤θ <360 °, мы заставляем его «оборачиваться» до допустимого диапазона, охватывающего круг. Другими словами, фазовый угол, скажем, 5 ° считается полностью эквивалентным углу 365 °. Эксперименты подтвердили это проверяемое утверждение об интерференционных картинах, образованных электронными волнами. За исключением свойства "наложения", алгебраические свойства этой математической структуры точно такие же, как у обычных действительных чисел.

В математической терминологии электронные фазы образуют Абелева группа в дополнение, называется круговая группа или же U(1). «Абелев» означает, что добавление ездит на работу, так что θ + φ = φ + θ. Группа означает, что добавление соратники и имеет элемент идентичности, а именно «0». Кроме того, для каждой фазы существует обратный такая, что сумма фазы и обратной ей равна 0. Другими примерами абелевых групп являются целые числа под сложением, 0 и отрицанием, а также ненулевые дроби под произведением, 1 и обратные.

Калибровочная фиксация скрученный цилиндр.

В качестве способа визуализации выбора калибра подумайте, можно ли определить, был ли цилиндр перекручен. Мы не можем сказать, есть ли на цилиндре неровности, отметины или царапины. Однако можно провести произвольную кривую вдоль цилиндра, определяемую некоторой функцией θ (Икс), куда Икс измеряет расстояние по оси цилиндра. После того, как этот произвольный выбор (выбор калибра) был сделан, становится возможным обнаружить его, если кто-то позже повернет цилиндр.

В 1954 г. Чен Нин Ян и Роберт Миллс предложил обобщить эти идеи на некоммутативные группы. Некоммутативная калибровочная группа может описывать поле, которое, в отличие от электромагнитного поля, взаимодействует само с собой. Например, общая теория относительности утверждает, что гравитационные поля обладают энергией, и специальная теория относительности заключает, что энергия эквивалентна массе. Следовательно, гравитационное поле индуцирует еще одно гравитационное поле. В ядерные силы также обладают этим свойством самовзаимодействия.

Калибровочные бозоны

Удивительно, но калибровочная симметрия может дать более глубокое объяснение существования взаимодействий, таких как электрические и ядерные взаимодействия. Это происходит из типа калибровочной симметрии, связанной с тем фактом, что все частицы данного типа экспериментально неотличимы друг от друга. Представьте, что Алиса и Бетти - идентичные близнецы, помеченные при рождении браслетами с надписью A и B. Поскольку девочки идентичны, никто не сможет определить, поменялись ли они местами при рождении; метки A и B произвольные, их можно менять местами. Такая постоянная смена идентичностей подобна глобальной калибровочной симметрии. Существует также соответствующая локальная калибровочная симметрия, которая описывает тот факт, что от одного момента к другому Алиса и Бетти могли меняться ролями, пока никто не смотрел, и никто не мог бы сказать. Если мы увидим, что любимая ваза мамы разбита, мы сможем только сделать вывод, что вина лежит на одном из близнецов, но мы не можем сказать, виновата ли вина на 100% Алиса и 0% Бетти или наоборот. Если Алиса и Бетти на самом деле являются квантово-механическими частицами, а не людьми, то у них также есть волновые свойства, в том числе свойство суперпозиция, который позволяет произвольно складывать, вычитать и смешивать волны. Отсюда следует, что мы даже не ограничены полной заменой личности. Например, если мы наблюдаем, что определенное количество энергии существует в определенном месте в космосе, нет никакого эксперимента, который мог бы сказать нам, является ли эта энергия 100% A и 0% B, 0% A и 100% B или 20 % A и 80% B или какая-то другая смесь. Тот факт, что симметрия является локальной, означает, что мы даже не можем рассчитывать на то, что эти пропорции останутся фиксированными при распространении частиц в пространстве. Детали того, как это представлено математически, зависят от технических вопросов, связанных с спины частиц, но для наших целей мы рассматриваем бесспиновую частицу, для которой оказывается, что перемешивание может быть задано некоторым произвольным выбором калибровки θ (Икс), где угол θ = 0 ° представляет 100% A и 0% B, θ = 90 ° означает 0% A и 100% B, а промежуточные углы представляют смеси.

Согласно принципам квантовой механики, частицы на самом деле не имеют траекторий в пространстве. Движение можно описать только в терминах волн, а импульс п индивидуальной частицы связана с ее длиной волны λ соотношением п = час/λ. С точки зрения эмпирических измерений длину волны можно определить только путем наблюдения изменения волны между одной точкой в ​​пространстве и другой ближайшей точкой (математически дифференциация ). Волна с более короткой длиной волны колеблется быстрее и, следовательно, быстрее изменяется между соседними точками. Теперь предположим, что мы произвольно фиксируем датчик в одной точке пространства, говоря, что энергия в этом месте составляет 20% A и 80% B. Затем мы измеряем две волны в некоторой другой, близкой точке, чтобы определить их длины волн. Но есть две совершенно разные причины, по которым волны могли измениться. Они могли измениться, потому что они колебались с определенной длиной волны, или они могли измениться, потому что калибровочная функция изменилась с смеси 20–80 на, скажем, 21–79. Если игнорировать вторую возможность, полученная теория не работает; Появятся странные расхождения в импульсе, нарушающие принцип сохранения импульса. Что-то в теории надо менять.

Снова есть технические проблемы, связанные со спином, но в нескольких важных случаях, включая электрически заряженные частицы и частицы, взаимодействующие посредством ядерных сил, решение проблемы состоит в том, чтобы приписать физическую реальность калибровочной функции θ (Икс). Мы говорим, что если функция θ осциллирует, она представляет новый тип квантово-механической волны, и эта новая волна имеет собственный импульс. п = час/λ, который, оказывается, исправляет несоответствия, которые в противном случае нарушили бы сохранение импульса. В контексте электромагнетизма частицы A и B будут заряженными частицами, такими как электроны, а квантово-механическая волна, представленная θ, будет электромагнитным полем. (Здесь мы игнорируем технические вопросы, связанные с тем фактом, что электроны на самом деле имеют спин 1/2, а не нулевой спин. Это упрощение является причиной того, что калибровочное поле θ оказывается скалярным, тогда как электромагнитное поле фактически представлено вектор, состоящий из V и А.) В результате у нас есть объяснение присутствия электромагнитных взаимодействий: если мы попытаемся построить калибровочно-симметричную теорию идентичных невзаимодействующих частиц, результат не будет самосогласованным и может быть исправлен только добавлением электрические и магнитные поля, которые заставляют частицы взаимодействовать.

Хотя функция θ (Икс) описывает волну, законы квантовой механики требуют, чтобы она также обладала свойствами частиц. В случае электромагнетизма частицей, соответствующей электромагнитным волнам, является фотон. Обычно такие частицы называют калибровочные бозоны, где термин «бозон» относится к частице с целым спином. В простейших версиях теории калибровочные бозоны безмассовые, но также можно построить версии, в которых они имеют массу, как в случае калибровочных бозонов, передающих силы ядерного распада.

Рекомендации

1. «Определение калибра».
2. Дональд Х. Перкинс (1982) Введение в физику высоких энергий. Эддисон-Уэсли: 22.
3. Роджер Пенроуз (2004) Дорога к реальности, п. 451. Альтернативная формулировка в терминах симметрии Плотность лагранжиана, см. стр. 489. См. Также J. D. Jackson (1975). Классическая электродинамика, 2-е изд. Wiley and Sons: 176.
4. Для аргумента, что V и А являются более фундаментальными, см. Фейнман, Лейтон и Сэндс, Лекции Фейнмана, Addison Wesley Longman, 1970, II-15-7,8,12, но это отчасти вопрос личных предпочтений.
5. Герман Вейль (1919), "Eine neue Erweiterung der Relativitíatstheorie", Анна. дер Физик 59, 101–133.
6. К. Мориясу (1983). Элементарный учебник по калибровочной теории. World Scientific. ISBN  978-9971-950-83-5.
7. Для обзора и ссылок см. Лохлен О'Рейфартай и Норберт Штрауманн, "Калибровочная теория: историческое происхождение и некоторые современные разработки", Обзоры современной физики, 72 (2000), стр. 1–22, Дои:10.1103 / RevModPhys.72.1.
8. Эдвард Перселл (1963) Электричество и магнетизм. Макгроу-Хилл: 38.
9. Джей Ди Джексон (1975) Классическая электродинамика, 2-е изд. Wiley and Sons: 176.
10. Дональд Х. Перкинс (1982) Введение в физику высоких энергий. Эддисон-Уэсли: 92.
11. Роберт М. Уолд (1984) Общая теория относительности. Издательство Чикагского университета: 260.
12. Чарльз Миснер, Кип Торн, и Джон А. Уиллер (1973) Гравитация. В. Х. Фриман: 68.
13. Миснер, Торн и Уиллер (1973) Гравитация. В. Х. Фриман: 967.
14. Фейнман, Лейтон и Пески (1970) Лекции Фейнмана по физике. Эддисон Уэсли, т. II, гл. 15, раздел 5.
15. Ричард Фейнман (1985) QED: странная теория света и материи. Издательство Принстонского университета.
16. Дональд Х. Перкинс (1982) Введение в физику высоких энергий. Эддисон-Уэсли: 332.

дальнейшее чтение

Эти книги предназначены для широкого круга читателей и включают минимум математики.

• 'т Хоофт, Джерард: "Калибровочные теории силы между элементарными частицами", Scientific AmericanТ. 242 (6): 104–138 (июнь 1980).
• "Пресс-релиз: Нобелевская премия по физике 1999 г.". Nobelprize.org. Nobel Media AB 2013. 20 августа 2013 г.
• Шумм, Брюс (2004) Вещи в глубине души. Издательство Университета Джона Хопкинса. Серьезная попытка физика объяснить калибровочную теорию и Стандартную модель.
• Фейнман, Ричард (2006) QED: странная теория света и материи. Издательство Принстонского университета. Нетехническое описание квантовой теории поля (не конкретно о калибровочной теории).