Гипотеза Гольдбаха - Goldbachs conjecture

Гипотеза Гольдбаха

Письмо Гольдбаха Эйлеру от 7 июня 1742 г. (латинско-немецкий)[1]
Поле	Теория чисел
Предполагается	Кристиан Гольдбах
Предполагается в	1742
Открытая проблема	да
Последствия	Слабая гипотеза Гольдбаха

Гипотеза Гольдбаха один из старейших и самых известных нерешенные проблемы в теория чисел и все математика. В нем говорится, что каждый четное целое число больше 2 - это сумма двух простые числа.^[2]

Было показано, что гипотеза верна для всех целых чисел меньше 4 × 10.¹⁸,^[3] но остается недоказанным, несмотря на значительные усилия.

Происхождение

7 июня 1742 г. немецкий математик Кристиан Гольдбах написал письмо Леонард Эйлер (буква XLIII),^[4] в котором он выдвинул следующую гипотезу:

Каждое целое число, которое можно записать как сумму двух простых чисел, также можно записать как сумму любого числа простых чисел, пока все члены не станут единицами.

Гольдбах следовал ныне заброшенному обычаю считать, что 1 простое число,^[2] так что сумма единиц действительно была бы суммой простых чисел. Затем он предложил вторую гипотезу на полях своего письма, которая, как легко видеть, подразумевает первую:

Каждое целое число больше 2 можно записать как сумму трех простых чисел.^[5]

Эйлер ответил письмом от 30 июня 1742 г.^[6] и напомнил Гольдбаху о их более раннем разговоре («… Итак, Ew vormals mit mir communirt haben…»), в котором Гольдбах заметил, что первая из этих двух гипотез вытекает из утверждения

Каждое положительное четное целое число можно записать как сумму двух простых чисел.

Фактически это эквивалентно его второй, маргинальной гипотезе. В письме от 30 июня 1742 года Эйлер заявил:^[7][8]

«Dass… ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses Theorema, ungeachtet ich dasselbe nicht manifestriren kann». («То, что… каждое четное целое число является суммой двух простых чисел, я считаю совершенно определенную теорему, хотя я не могу ее доказать».)

Каждая из трех приведенных выше гипотез имеет естественный аналог в терминах современного определения простого числа, согласно которому 1 исключается. Современная версия первой гипотезы такова:

Каждое целое число, которое может быть записано как сумма двух простых чисел, также может быть записано как сумма любого числа простых чисел, до тех пор, пока либо все члены не станут двумя (если целое число четное), либо один член не будет равен трем, а все остальные члены не будут равны два (если целое нечетное).

Современная версия маргинальной гипотезы:

Каждое целое число больше 5 можно записать как сумму трех простых чисел.

И современная версия старой гипотезы Гольдбаха, которую напомнил ему Эйлер, такова:

Каждое четное целое число больше 2 можно записать как сумму двух простых чисел.

Эти современные версии могут не полностью соответствовать соответствующим исходным утверждениям. Например, если было четное целое число ${\displaystyle N=p+1}$ больше 4, для ${\displaystyle p}$ простое число, которое не может быть выражено как сумма двух простых чисел в современном понимании, то это будет контрпримером к современной версии (не являясь, конечно, контрпримером к исходной версии) третьей гипотезы. Таким образом, современная версия, вероятно, сильнее (но чтобы подтвердить это, нужно было бы доказать, что первая версия, свободно применяемая к любому положительному четному целому числу ${\displaystyle n}$, не мог исключить существование такого конкретного контрпримера ${\displaystyle N}$). В любом случае, современные утверждения имеют такие же отношения друг с другом, как и старые утверждения. То есть второе и третье современные утверждения эквивалентны, и любое из них подразумевает первое современное утверждение.

Третье современное утверждение (эквивалентное второму) - это форма, в которой сегодня обычно выражается гипотеза. Он также известен как "сильный "," даже "или" бинарная "гипотеза Гольдбаха. Более слабая форма второго современного утверждения, известного как"Слабая гипотеза Гольдбаха "," странная гипотеза Гольдбаха "или" тройная гипотеза Гольдбаха "утверждает, что

Каждое нечетное целое число больше 7 можно записать как сумму трех нечетных простых чисел,

Доказательство слабой гипотезы было предложено в 2013 г .; однако он еще не появился в рецензируемой публикации.^[9][10] Обратите внимание, что слабая гипотеза была бы следствием сильной гипотезы: если п – 3 является суммой двух простых чисел, то п представляет собой сумму трех простых чисел. Но обратное утверждение и, следовательно, сильная гипотеза Гольдбаха остаются недоказанными.

Проверенные результаты

Для малых значений п, сильная гипотеза Гольдбаха (а значит, и слабая гипотеза Гольдбаха) проверяется непосредственно. Например, Нильс Пиппинг в 1938 году тщательно проверил эту гипотезу до п ≤ 10⁵.^[11] С появлением компьютеров многие другие ценности п были проверены; T. Oliveira e Silva провел распределенный компьютерный поиск, который подтвердил гипотезу о п ≤ 4 × 10¹⁸ (и перепроверили до 4 × 10¹⁷) по состоянию на 2013 год. Согласно одной записи из этого поиска, 3325581707333960528 - наименьшее число, которое нельзя записать как сумму двух простых чисел, где одно меньше 9781.^[12]

Эвристическое обоснование

Статистические соображения, касающиеся вероятностное распределение простых чисел представить неофициальные доказательства в пользу гипотезы (как в слабой, так и в сильной форме) для достаточно большой целые числа: чем больше целое число, тем больше способов представить это число как сумму двух или трех других чисел и тем более «вероятным» становится то, что по крайней мере одно из этих представлений полностью состоит из простых чисел.

Количество способов написать четное число п как сумму двух простых чисел (4 ≤п ≤ 1000), (последовательность A002375 в OEIS )

Количество способов написать четное число п как сумму двух простых чисел (4 ≤п ≤ 1000000)

Очень грубая версия эвристический Вероятностный аргумент (в пользу сильной формы гипотезы Гольдбаха) следующий. В теорема о простых числах утверждает, что целое число м выбранный наугад имеет примерно ${\displaystyle 1/\ln m}$ шанс быть первоклассным. Таким образом, если п является большим четным числом и м это число от 3 до п/ 2, то можно было бы ожидать, что вероятность м и п − м одновременно быть первыми ${\displaystyle 1{\big /}{\big [}\ln m\,\ln(n-m){\big ]}}$. Если следовать этой эвристике, можно ожидать, что общее количество способов записать большое четное целое число п как сумма двух нечетных простых чисел примерно

${\displaystyle \sum _{m=3}^{n/2}{\frac {1}{\ln m}}{\frac {1}{\ln(n-m)}}\approx {\frac {n}{2(\ln n)^{2}}}.}$

Поскольку эта величина стремится к бесконечности при п увеличивается, мы ожидаем, что каждое большое четное число имеет не только одно представление в виде суммы двух простых чисел, но на самом деле имеет очень много таких представлений.

Этот эвристический аргумент на самом деле несколько неточен, потому что он предполагает, что события м и п − м быть первыми статистически независимый друг друга. Например, если м странно, то п − м тоже нечетно, а если м четно, тогда п − м является четным, нетривиальное отношение, потому что, кроме числа 2, только нечетные числа могут быть простыми. Аналогично, если п делится на 3, и м уже было простое число, отличное от 3, тогда п − м также будет совмещать до 3 и, таким образом, с большей вероятностью будет простым, чем обычным числом. При более тщательном проведении этого типа анализа, Харди и Littlewood в 1923 г. (в рамках своих знаменитых Гипотеза Харди – Литтлвуда о простом кортеже), что для любого фиксированного c ≥ 2, количество представлений большого целого числа п как сумма c простые числа ${\displaystyle n=p_{1}+\cdots +p_{c}}$ с ${\displaystyle p_{1}\leq \cdots \leq p_{c}}$ должно быть асимптотически равно

${\displaystyle \left(\prod _{p}{\frac {p\gamma _{c,p}(n)}{(p-1)^{c}}}\right)\int _{2\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{c}:x_{1}+\cdots +x_{c}=n}{\frac {dx_{1}\cdots dx_{c-1}}{\ln x_{1}\cdots \ln x_{c}}},}$

где произведение над всеми простыми числами п, и ${\displaystyle \gamma _{c,p}(n)}$ - количество решений уравнения${\displaystyle n=q_{1}+\cdots +q_{c}\mod p}$ в модульная арифметика при условии ограничения ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{c}\neq 0\mod p}$. Эта формула была строго доказана асимптотически для c ≥ 3 из работы Виноградов, но это все еще только предположение, когда ${\displaystyle c=2}$.^{[нужна цитата ]} В последнем случае приведенная выше формула упрощается до 0, когда п странно, и

${\displaystyle 2\Pi _{2}\left(\prod _{p\mid n;p\geq 3}{\frac {p-1}{p-2}}\right)\int _{2}^{n}{\frac {dx}{(\ln x)^{2}}}\approx 2\Pi _{2}\left(\prod _{p\mid n;p\geq 3}{\frac {p-1}{p-2}}\right){\frac {n}{(\ln n)^{2}}}}$

когда п четный, где ${\displaystyle \Pi _{2}}$ является Двойная простая постоянная Харди – Литтлвуда

${\displaystyle \Pi _{2}:=\prod _{p\geq 3}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)=0.6601618158\ldots .}$

Иногда это называют расширенная гипотеза Гольдбаха. Сильная гипотеза Гольдбаха на самом деле очень похожа на гипотеза о простых близнецах, и считается, что эти две гипотезы имеют примерно сопоставимую сложность.

Показанные здесь функции распределения Гольдбаха могут отображаться в виде гистограмм, которые информативно иллюстрируют приведенные выше уравнения. Видеть Комета Гольдбаха.^[13]

Строгие результаты

Сильная гипотеза Гольдбаха намного труднее, чем слабая гипотеза Гольдбаха. С помощью Виноградов метод, Чудаков,^[14] Ван дер Корпут,^[15] и Эстерманн^[16] показало, что почти все четные числа могут быть записаны как сумма двух простых чисел (в том смысле, что доля четных чисел, которые могут быть записаны таким образом, стремится к 1). В 1930 г. Лев Шнирельманн доказано^[17][18] что любой натуральное число больше 1 можно записать как сумму не более C простые числа, где C эффективно вычислимая константа, см. Плотность Шнирельмана. Константа Шнирельмана - наименьшее число C с этим свойством. Сам Шнирельманн получил C < 800000. Этот результат впоследствии был усилен многими авторами, такими как Оливье Рамаре, который в 1995 г. показал, что каждое четное число п ≥ 4 на самом деле является суммой не более 6 простых чисел. Самый известный результат в настоящее время связан с доказательством слабой гипотезы Гольдбаха. Харальд Хельфготт,^[19] что прямо означает, что каждое четное число п ≥ 4 представляет собой сумму не более 4 простых чисел.^[20][21]

В 1924 году Харди и Литтлвуд показали, что обобщенная гипотеза Римана что количество четных чисел до Икс нарушение гипотезы Гольдбаха намного меньше чем ${\displaystyle X^{(1/2)+c}}$ для маленьких c.^[22]

Чен Цзинжун показали в 1973 г. с использованием методов теория сита что каждый достаточно большой четное число можно записать как сумму двух простых чисел или простого числа и полупервичный (произведение двух простых чисел).^[23] Видеть Теорема Чена для дополнительной информации.

В 1975 г. Хью Монтгомери и Роберт Чарльз Воган показал, что «большинство» четных чисел выражаются суммой двух простых чисел. Точнее, они показали, что существуют положительные постоянные c и C такое, что для всех достаточно больших чисел N, каждое четное число меньше N это сумма двух простых чисел, не более чем ${\displaystyle CN^{1-c}}$ исключения. В частности, набор четных целых чисел, не являющихся суммой двух простых чисел, имеет плотность нуль.

В 1951 г. Линник доказал существование постоянной K такое, что каждое достаточно большое четное число является суммой двух простых чисел и не более K степени 2. Роджер Хит-Браун и Ян-Кристоф Шлаге-Пухта в 2002 г. обнаружил, что K = 13 работает.^[24]

Как и в случае со многими известными гипотезами в математике, существует ряд предполагаемых доказательств гипотезы Гольдбаха, ни одно из которых не принимается математическим сообществом.

Связанные проблемы

Хотя из гипотезы Гольдбаха следует, что каждое положительное целое число, большее единицы, можно записать как сумму не более трех простых чисел, не всегда возможно найти такую ​​сумму, используя жадный алгоритм который использует наибольшее возможное простое число на каждом шаге. В Последовательность Пиллаи отслеживает числа, требующие наибольшего числа простых чисел в их жадных представлениях.^[25]

Можно рассмотреть аналогичные задачи, в которых простые числа заменяются другими конкретными наборами чисел, например квадратами.

• Это было доказано Лагранж который каждое положительное целое число - это сумма четырех квадратов. Видеть Проблема Варинга и связанные Проблема Варинга – Гольдбаха на суммы степеней простых чисел.
• Харди и Литтлвуд перечислили свою Гипотезу I: "Каждое большое нечетное число (п > 5) представляет собой сумму простого и двойного простого числа" (Математический журнал, 66.1 (1993): 45–47). Эта гипотеза известна как Гипотеза Лемуана (также называемый Гипотеза Леви).
• Гипотеза Гольдбаха для практические числа последовательность целых чисел, подобная простому числу, была сформулирована Маргенштерном в 1984 г.^[26] и доказано Мелфи в 1996 г .:^[27] каждое четное число - это сумма двух практических чисел.

В популярной культуре

Гипотеза Гольдбаха (Китайский : 哥德巴赫 猜想) - это название биографии китайского математика и теоретика чисел. Чен Цзинжун, написано Сюй Чи.

Гипотеза - центральный момент в сюжете романа 1992 года. Дядя Петрос и гипотеза Гольдбаха от греческого автора Апостолос Доксиадис, в рассказе "Шестьдесят миллионов триллионов комбинаций " к Айзек Азимов а также в детективном романе 2008 года Никто не знает к Мишель Ричмонд.^[28]

Гипотеза Гольдбаха - часть сюжета испанского фильма. Комната Ферма (es: La Habitación de Fermat ) (2007).

Рекомендации

1. Математическое соответствие и телосложение quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Band 1), Санкт-Петербург 1843 г., стр. 125–129.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Гольдбаха». MathWorld.
3. Сильва, Томаш Оливейра e. «Проверка гипотезы Гольдбаха». www.ieeta.pt.
4. http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0765.pdf
5. В печатной версии, опубликованной P.H. Суматоха [1] 2 опечатано как 1 в маргинальной гипотезе.
6. http://eulerarchive.maa.org//correspondence/letters/OO0766.pdf
7. Ингхэм, А. «Популярные лекции» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2003-06-16. Получено 2009-09-23.
8. Колдуэлл, Крис (2008). «Гипотеза Гольдбаха». Получено 2008-08-13.
9. Хельфготт, Х.А. (2013). «Основные дуги теоремы Гольдбаха». arXiv:1305.2897 [math.NT ].
10. Хельфготт, Х.А. (2012). «Незначительные дуги к проблеме Гольдбаха». arXiv:1205.5252 [math.NT ].
11. Пиппинг, Нильс (1890–1982), "Die Goldbachsche Vermutung und der Goldbach-Vinogradowsche Satz". Acta Acad. Aboensis, Math. Phys. 11, 4–25, 1938.
12. Томас Оливейра и Силва, Проверка гипотезы Гольдбаха. Проверено 20 июля 2013 года.
13. Флигель, Генри Ф .; Робертсон, Дуглас С. (1989). «Комета Гольдбаха: числа, связанные с гипотезой Гольдбаха». Журнал развлекательной математики. 21 (1): 1–7.
14. Чудаков, Николай Г. (1937). "О проблеме Гольдбаха«[К проблеме Гольдбаха]. Доклады Академии Наук СССР. 17: 335–338.
15. Ван дер Корпут, Дж. Г. (1938). "Sur l'hypothèse de Goldbach" (PDF). Proc. Акад. Смачивать. Амстердам (На французском). 41: 76–80.
16. Эстерманн, Т. (1938). «О проблеме Гольдбаха: доказательство того, что почти все даже положительные целые числа являются суммами двух простых чисел». Proc. Лондонская математика. Soc. 2. 44: 307–314. Дои:10.1112 / плмс / с2-44.4.307.
17. Шнирельманн, Л. Г. (1930). "Об аддитивных свойствах чисел », впервые опубликовано в« Известиях Донского политехнического института в Новочеркасске », т. XIV (1930), с. 3–27, и перепечатано в «Успехах математических наук», 1939, вып. 6, 9–25.
18. Шнирельманн, Л. Г. (1933). Впервые опубликовано как "Убер-добавка Eigenschaften von Zahlen " в "Mathematische Annalen "(на немецком языке), т. 107 (1933), 649–690, и перепечатано как "Об аддитивных свойствах чисел "Успехи математических наук", 1940, № 7, 7–46.
19. Хельфготт, Х.А. (2013). «Тройная гипотеза Гольдбаха верна». arXiv:1312.7748 [math.NT ].
20. Синисало, Матти К. (октябрь 1993 г.). "Проверка гипотезы Гольдбаха до 4 10¹¹" (PDF). Математика вычислений. Американское математическое общество. 61 (204): 931–934. CiteSeerX  10.1.1.364.3111. Дои:10.2307/2153264. JSTOR  2153264.
21. Рассиас, М.Т. (2017). Проблема Гольдбаха: избранные темы. Springer.
22. См., Например, Новая явная формула в аддитивной теории простых чисел с приложениями I. Явная формула для задач Гольдбаха и обобщенных двойных простых чисел пользователя Янош Пинц.
23. Чен, Дж. Р. (1973). «О представлении большего четного числа как суммы простого и произведения не более двух простых чисел». Sci. Синица. 16: 157–176.
24. Хит-Браун, Д. Р .; Пухта, Дж. К. (2002). «Целые числа в виде суммы простых чисел и степеней двойки». Азиатский математический журнал. 6 (3): 535–565. arXiv:math.NT / 0201299. Дои:10.4310 / AJM.2002.v6.n3.a7. S2CID  2843509.
25. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A066352 (последовательность Пиллаи)». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.
26. Маргенштерн, М. (1984). «Результаты и домыслы о практических цифрах». Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 299: 895–898.
27. Мелфи, Г. (1996). «О двух домыслах о практических числах». Журнал теории чисел. 56: 205–210. Дои:10.1006 / jnth.1996.0012.
28. «Математика: никто, кого вы не знаете (Мишель Ричмонд)». kasmana.people.cofc.edu.

дальнейшее чтение

• Deshouillers, J.-M .; Effinger, G .; te Riele, H .; Зиновьев, Д. (1997). «Полная теорема Виноградова о 3-простых числах при гипотезе Римана» (PDF). Объявления об электронных исследованиях Американского математического общества. 3 (15): 99–104. Дои:10.1090 / S1079-6762-97-00031-0.
• Montgomery, H.L .; Воган, Р. К. (1975). «Исключительный набор в проблеме Гольдбаха» (PDF). Acta Arithmetica. 27: 353–370. Дои:10.4064 / aa-27-1-353-370.
• Теренс Тао доказал, что все нечетные числа являются не более чем суммой пяти простых чисел..
• Гипотеза Гольдбаха в MathWorld.

внешняя ссылка

• «Проблема Гольдбаха», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Оригинал письма Гольдбаха Эйлеру - формат PDF (на немецком и латинском языках)
• Гипотеза Гольдбаха, часть Криса Колдуэлла Prime Pages.
• Проверка гипотезы Гольдбаха, Распределенный компьютерный поиск Томаса Оливейры и Сильвы.