Фрактальный анализ - Fractal analysis

Фрактальный анализ оценивает фрактал Характеристики данные. Он состоит из нескольких методов присвоения фрактальная размерность и другие фрактальные характеристики в наборе данных, который может быть теоретическим набором данных или шаблоном или сигналом, извлеченным из явлений, включая естественные геометрические объекты, экологию и водные науки,[1] звук, колебания рынка,[2][3][4] частота сердечных сокращений,[5] частотная область в электроэнцефалография сигналы,[6][7] цифровые изображения,[8] молекулярное движение, и наука о данных. Фрактальный анализ сейчас широко используется во всех областях наука.[9] Важное ограничение фрактального анализа состоит в том, что достижение эмпирически определенной фрактальной размерности не обязательно доказывает, что модель фрактальна; скорее, другие основные характеристики нужно учитывать.[10] Фрактальный анализ ценен для расширения наших знаний о структуре и функциях различных систем и как потенциальный инструмент для математической оценки новых областей исследования.

Основные принципы

Фракталы имеют дробные размеры, которые являются мерой сложность который указывает степень, в которой объекты заполняют доступное пространство.[10][11] Фрактальная размерность измеряет изменение «размера» фрактального множества с изменением наблюдательного шкала, и не ограничивается целое число значения.[1] Это возможно, учитывая, что меньшая часть фрактала похожа на целое, показывая то же самое. статистический свойства в разных масштабах.[10] Эта характеристика называется масштабная инвариантность, и может быть далее разделен на самоподобие или же привязанность к себе, последний масштабировался анизотропно (в зависимости от направления).[1] Независимо от того, расширяется ли фрактал или сужается, структура остается неизменной и выглядит столь же сложной.[10][11] Фрактальный анализ использует эти основные свойства, чтобы помочь в понимании и характеристике сложных систем. Также можно расширить использование фракталов до отсутствия единой характерной шкалы времени или паттерна.[12]

Дополнительная информация о происхождении: Фрактальная геометрия

Виды фрактального анализа

Существуют различные виды фрактального анализа, в том числе подсчет коробок, анализ лакунарности, массовые методы и мультифрактальный анализ.[2][10] Общей чертой всех видов фрактального анализа является необходимость образцы тестов по сравнению с которыми оценивать результаты.[13] Их можно получить с помощью различных типов ПО для генерации фракталов способны генерировать подходящие для этой цели образцы тестов, которые обычно отличаются от программного обеспечения, предназначенного для рендеринга фрактальное искусство. Другие типы включают анализ колебаний без тренда и метод абсолютной величины Херста, которые оценивают показатель харста.[14] Предлагается использовать более одного подхода, чтобы сравнивать результаты и повышать надежность своих выводов.

Приложения

Экология и эволюция

В отличие от теоретических фрактальные кривые которые можно легко измерить, а лежащие в основе математические свойства расчетный; естественный системы являются источниками неоднородности и порождают сложные пространственно-временные структуры, которые могут демонстрировать только частичные самоподобие.[15][16][17] Используя фрактальный анализ, можно проанализировать и распознать особенности сложных экологический системы изменяются, поскольку фракталы могут характеризовать естественную сложность таких систем.[18] Таким образом, фрактальный анализ может помочь количественно оценить закономерности в природе и выявить отклонения от этих естественных последовательностей. Это помогает улучшить наше общее понимание экосистемы и раскрыть некоторые из основных структурных механизмов природы.[11][19][20] Например, было обнаружено, что структура отдельного дерева ксилема следует той же архитектуре, что и пространственное распределение деревьев в лесу, и что распределение деревьев в лесу имело ту же нижележащую фрактальную структуру, что и ветви, масштабируясь идентично до такой степени, что можно было использовать узор деревьев математически для определения структуры древостоя.[21][22] Использование фрактального анализа для понимания структур, пространственной и временной сложности биологических систем уже хорошо изучено, и его использование продолжает расти в экологических исследованиях.[23][24][25][26] Несмотря на широкое использование, он все еще получает некоторые критика.[27][28]

Поведение животных

Узоры на животных поведение проявляют фрактальные свойства в пространственном и временном масштабах.[14] Фрактальный анализ помогает понять поведение животных и то, как они взаимодействуют с окружающей средой в разных масштабах пространства и времени.[1] Было обнаружено, что различные признаки движения животных в их соответствующих средах демонстрируют пространственно-нелинейные фрактальные структуры.[29][30] Это породило экологические интерпретации, такие как Гипотеза о поисках пищи в полете Леви, который оказался более точным описанием передвижения животных для некоторых видов.[31][32][33]

Пространственные паттерны и последовательности поведения животных во фрактальном времени имеют оптимальный диапазон сложности, который можно рассматривать как гомеостатическое состояние в спектре, где последовательность сложности должна регулярно падать. Увеличение или уменьшение сложности, либо становление более стереотипным, либо, наоборот, более случайным в их поведенческих паттернах, указывает на изменение функциональных возможностей человека.[12][34] Используя фрактальный анализ, можно изучить последовательную сложность движений в поведении животных и определить, испытывают ли люди отклонения от оптимального диапазона, предполагающие изменение состояния.[35][36] Например, его использовали для оценки благополучия домашних кур,[18] стресс у афалин в ответ на беспокойство человека,[37] и паразитарная инфекция у японских макак[36] и овцы.[35] Исследование продвигает область поведенческой экологии за счет упрощения и количественной оценки очень сложных взаимосвязей.[38] Когда дело доходит до благополучия животных и сохранение фрактальный анализ позволяет выявить потенциальные источники стресса для поведения животных, факторы стресса, которые не всегда могут быть обнаружены с помощью классических исследований поведения.[18][39][40]

Этот подход более объективен, чем классические измерения поведения, такие как частотно-ориентированный наблюдения, которые ограничены подсчетом поведения, но могут вникнуть в основную причину поведения.[34] Еще одно важное преимущество фрактального анализа - возможность следить за состоянием дикий и популяции животных на свободном выгуле в их естественной среде обитания без инвазионных измерений.

Приложения включают

Приложения фрактального анализа включают:[41]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c d Сёрон, Лоран (12 октября 2009 г.). Фракталы и мультифракталы в экологии и водных науках. CRC Press. Дои:10.1201/9781420004243. ISBN  9780849327827.
  2. ^ а б Питерс, Эдгар (1996). Хаос и порядок на рынках капитала: новый взгляд на циклы, цены и волатильность рынка. Нью-Йорк: Вили. ISBN  978-0-471-13938-6.
  3. ^ Маллиган Р. (2004). «Фрактальный анализ очень волатильных рынков: приложение к технологическим акциям». Ежеквартальный обзор экономики и финансов. 44: 155–179. Дои:10.1016 / S1062-9769 (03) 00028-0.
  4. ^ Каменщиков, С. (2014). «Анализ транспортных катастроф как альтернатива монофрактальному описанию: теория и применение к временным рядам финансового кризиса». Журнал Хаоса. 2014: 1–8. Дои:10.1155/2014/346743.
  5. ^ Тан, Джан Озан; Коэн, Майкл А .; Eckberg, Dwain L .; Тейлор, Дж. Эндрю (2009). «Фрактальные свойства вариабельности сердечного периода человека: физиологические и методологические последствия». Журнал физиологии. 587 (15): 3929–3941. Дои:10.1113 / jphysiol.2009.169219. ЧВК  2746620. PMID  19528254.
  6. ^ Заппасоди, Филиппо; Олежарчик, Эльжбета; Марцетти, Лаура; Ассенца, Джованни (2014). «Фрактальное измерение активности ЭЭГ определяет нейронные нарушения при остром инсульте». PLOS ONE. 9 (6): 3929–3941. Bibcode:2014PLoSO ... 9j0199Z. Дои:10.1371 / journal.pone.0100199. ЧВК  4072666. PMID  24967904.
  7. ^ Hisonothai, M .; Накагава, М. (2008). «Метод классификации сигналов ЭЭГ на основе фрактальных признаков и нейронной сети». 2008 30-я ежегодная международная конференция общества инженеров IEEE в медицине и биологии. Ежегодная международная конференция IEEE Engineering in Medicine and Biology Society. IEEE Engineering in Medicine and Biology Society. Ежегодная международная конференция. 2008. С. 3880–3. Дои:10.1109 / IEMBS.2008.4650057. ISBN  978-1-4244-1814-5. PMID  19163560. S2CID  22136019.
  8. ^ Фрактальный анализ цифровых изображений http://rsbweb.nih.gov/ij/plugins/fraclac/FLHelp/Fractals.htm
  9. ^ «Фракталы: сложная геометрия, закономерности и масштабирование в природе и обществе». Фракталы: междисциплинарный журнал сложной геометрии природы. ISSN  1793-6543.
  10. ^ а б c d е ж Бенуа Б. Мандельброт (1983). Фрактальная геометрия природы. Макмиллан. ISBN  978-0-7167-1186-5. Получено 1 февраля 2012.
  11. ^ а б c Мандельброт, Б. (1967-05-05). «Какова длина побережья Великобритании? Статистическое самоподобие и дробное измерение». Наука. 156 (3775): 636–638. Bibcode:1967Научный ... 156..636М. Дои:10.1126 / science.156.3775.636. ISSN  0036-8075. PMID  17837158. S2CID  15662830.
  12. ^ а б Goldberger, Ary L; Peng, C.-K; Липсиц, Льюис А (январь 2002 г.). «Что такое физиологическая сложность и как она меняется с возрастом и болезнями?». Нейробиология старения. 23 (1): 23–26. Дои:10.1016 / S0197-4580 (01) 00266-4. PMID  11755014. S2CID  17022186.
  13. ^ «Цифровые изображения во FracLac». ImageJ. Архивировано 8 февраля 2012 года.. Получено 2012-02-08. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)CS1 maint: BOT: статус исходного URL-адреса неизвестен (связь)
  14. ^ а б Макинтош, Эндрю Дж. Дж .; Пеллетье, Лора; Кьярадия, Андре; Като, Акико; Роперт-Кудерт, Ян (декабрь 2013 г.). «Временные фракталы в поведении морских птиц при кормлении: ныряние сквозь масштабы времени». Научные отчеты. 3 (1): 1884. Bibcode:2013НатСР ... 3Э1884М. Дои:10.1038 / srep01884. ISSN  2045-2322. ЧВК  3662970. PMID  23703258.
  15. ^ Frontier, Серж (1987), "Приложения теории фракталов к экологии", Развитие численной экологии, Springer Berlin Heidelberg, стр. 335–378, Дои:10.1007/978-3-642-70880-0_9, ISBN  9783642708824
  16. ^ Шойринг, Иштван; Риеди, Рудольф Х. (август 1994 г.). «Применение мультифракталов к анализу растительности». Журнал науки о растительности. 5 (4): 489–496. Дои:10.2307/3235975. JSTOR  3235975.
  17. ^ Сёрон, Лоран; Лагадюк, Иван (1998). «Пространственно-временная структура приливно-смешанных прибрежных вод: изменчивость и неоднородность». Журнал исследований планктона. 20 (7): 1387–1401. Дои:10.1093 / планкт / 20.7.1387. ISSN  0142-7873.
  18. ^ а б c Резерфорд, Кеннет, доктор медицины; Хаскелл, Мари Дж .; Гласби, Крис; Джонс, Р. Брайан; Лоуренс, Алистер Б. (сентябрь 2003 г.). «Анализ отклонений от тренда поведенческих реакций на легкие острые стрессоры у домашних кур». Прикладная наука о поведении животных. 83 (2): 125–139. Дои:10.1016 / S0168-1591 (03) 00115-1.
  19. ^ Брэдбери, Rh; Райхельт, Ре (1983). «Фрактальный размер кораллового рифа в экологических масштабах». Серия "Прогресс морской экологии". 10: 169–171. Bibcode:1983MEPS ... 10..169B. Дои:10.3354 / meps010169. ISSN  0171-8630.
  20. ^ Hastings, Harold M .; Пекелни, Ричард; Монтиччоло, Ричард; Вун Каннон, Дэвид; Дель Монте, Дайан (январь 1982). «Шкала времени, настойчивость и неоднородность». Биосистемы. 15 (4): 281–289. Дои:10.1016/0303-2647(82)90043-0. ISSN  0303-2647. PMID  7165795.
  21. ^ Уэст, Г. Б. (1997-04-04). «Общая модель происхождения законов аллометрического масштабирования в биологии». Наука. 276 (5309): 122–126. Дои:10.1126 / science.276.5309.122. PMID  9082983. S2CID  3140271.
  22. ^ West, G. B .; Энквист, Б. Дж .; Браун, Дж. Х. (28 апреля 2009 г.). «Общая количественная теория структуры и динамики леса». Труды Национальной академии наук. 106 (17): 7040–7045. Bibcode:2009PNAS..106.7040 Вт. Дои:10.1073 / pnas.0812294106. ISSN  0027-8424. ЧВК  2678466. PMID  19363160.
  23. ^ Рье, Мишель; Спозито, Гаррисон (1991). «Фрактальная фрагментация, пористость почвы и свойства грунтовых вод: II. Приложения». Журнал Общества почвоведов Америки. 55 (5): 1239. Bibcode:1991SSASJ..55.1239R. Дои:10.2136 / sssaj1991.03615995005500050007x. ISSN  0361-5995.
  24. ^ Морс, Д. Р .; Lawton, J. H .; Додсон, М. М .; Уильямсон, М. Х. (апрель 1985 г.). «Фрактальная размерность растительности и распределение длин тела членистоногих». Природа. 314 (6013): 731–733. Bibcode:1985Натура.314..731М. Дои:10.1038 / 314731a0. ISSN  0028-0836. S2CID  4362382.
  25. ^ Ли, Сяоянь; Пассов, Ута; Логан, Брюс Э (январь 1998 г.). «Фрактальные размеры мелких (15–200 мкм) частиц в прибрежных водах Восточной части Тихого океана». Deep Sea Research Part I: Oceanographic Research Papers. 45 (1): 115–131. Дои:10.1016 / s0967-0637 (97) 00058-7. ISSN  0967-0637.
  26. ^ Lovejoy, S .; Шерцер, Д. (май 2006 г.). «Мультифракталы, сияние облаков и дождь». Журнал гидрологии. 322 (1–4): 59–88. Bibcode:2006JHyd..322 ... 59L. Дои:10.1016 / j.jhydrol.2005.02.042.
  27. ^ Halley, J.M .; Hartley, S .; Каллиманис, А. С .; Кунин, В. Э .; Леннон, Дж. Дж .; Сгарделис, С. П. (24 февраля 2004 г.). «Использование и злоупотребления фрактальной методологией в экологии». Письма об экологии. 7 (3): 254–271. Дои:10.1111 / j.1461-0248.2004.00568.x. ISSN  1461-023X. S2CID  6059069.
  28. ^ Bryce, R.M .; Спраг, К. Б. (декабрь 2012 г.). «Возвращаясь к анализу колебаний без тренда». Научные отчеты. 2 (1): 315. Bibcode:2012НатСР ... 2Е.315Б. Дои:10.1038 / srep00315. ISSN  2045-2322. ЧВК  3303145. PMID  22419991.
  29. ^ Каталонский, Хорди; Марразе, Селия; Пуэйо, Сальвадор; Питерс, Франсеск; Бартумей, Фредерик (28 октября 2003 г.). «Спиральные прогулки Леви: корректировка статистики поиска с учетом доступности ресурсов в микрозоопланктоне». Труды Национальной академии наук. 100 (22): 12771–12775. Bibcode:2003ПНАС..10012771Б. Дои:10.1073 / pnas.2137243100. ISSN  0027-8424. ЧВК  240693. PMID  14566048.
  30. ^ Garcia, F .; Carrère, P .; Soussana, J.F .; Р. Баумонт (сентябрь 2005 г.). «Характеристика путем фрактального анализа кормовых путей овец, пасущихся на неоднородных стадах». Прикладная наука о поведении животных. 93 (1–2): 19–37. Дои:10.1016 / j.applanim.2005.01.001.
  31. ^ Хамфрис, Н.Е .; Weimerskirch, H .; Queiroz, N .; Southall, E.J .; Симс, Д. В. (2012-05-08). «Успешный поиск пищи во время полетов биологического Леви, зафиксированных на месте». Труды Национальной академии наук. 109 (19): 7169–7174. Bibcode:2012PNAS..109.7169H. Дои:10.1073 / pnas.1121201109. ISSN  0027-8424. ЧВК  3358854. PMID  22529349.
  32. ^ Raposo, E P; Булдырев, С В; да Луз, M G E; Вишванатан, Г. М.; Стэнли, H E (30 октября 2009 г.). «Полеты Леви и случайные поиски». Журнал физики A: математический и теоретический. 42 (43): 434003. Bibcode:2009JPhA ... 42Q4003R. Дои:10.1088/1751-8113/42/43/434003. ISSN  1751-8113.
  33. ^ Вишванатан, GM; Афанасьев, В; Булдырев, Сергей В; Хавлин, Шломо; да Луз, M.G.E; Raposo, E.P; Стэнли, Х. Юджин (июнь 2001 г.). «Полеты Леви ищут образцы биологических организмов». Physica A: Статистическая механика и ее приложения. 295 (1–2): 85–88. Bibcode:2001ФиА..295 ... 85В. Дои:10.1016 / S0378-4371 (01) 00057-7.
  34. ^ а б Макинтош, Эндрю Джеймс Джонатан (2014). "Фрактальный примас". Исследования приматов. 30 (1): 95–119. Дои:10.2354 / psj.30.011. ISSN  1880-2117.
  35. ^ а б Бургундер, Джейд; Petrželková, Klára J .; Модри, Дэвид; Като, Акико; Макинтош, Эндрю Дж. Дж. (Август 2018 г.). «Фрактальные меры в моделях активности: влияют ли желудочно-кишечные паразиты на сложность поведения овец?». Прикладная наука о поведении животных. 205: 44–53. Дои:10.1016 / j.applanim.2018.05.014.
  36. ^ а б MacIntosh, A. J. J .; Alados, C.L .; Хаффман, М. А. (07.10.2011). «Фрактальный анализ поведения диких приматов: сложность поведения при здоровье и болезни». Журнал интерфейса Королевского общества. 8 (63): 1497–1509. Дои:10.1098 / rsif.2011.0049. ISSN  1742-5689. ЧВК  3163426. PMID  21429908.
  37. ^ Крибб, Нарди; Сёрон, Лоран (сентябрь 2016 г.). «Изменения в поведенческой сложности дельфинов-афалин вдоль градиента антропогенной среды в прибрежных водах Южной Австралии: последствия для стратегий сохранения и управления». Журнал экспериментальной морской биологии и экологии. 482: 118–127. Дои:10.1016 / j.jembe.2016.03.020. ISSN  0022-0981.
  38. ^ Bradbury, J. W .; Веренкамп, С. Л. (01.05.2014). «Сложность и поведенческая экология». Поведенческая экология. 25 (3): 435–442. Дои:10.1093 / beheco / aru014. ISSN  1045-2249.
  39. ^ Alados, C.L .; Escos, J.M .; Эмлен, Дж. М. (февраль 1996 г.). «Фрактальная структура последовательных моделей поведения: индикатор стресса». Поведение животных. 51 (2): 437–443. Дои:10.1006 / anbe.1996.0040. S2CID  53184132.
  40. ^ Резерфорд, К. М. Д .; Haskell, M.J .; Glasbey, C .; Jones, R. B .; Лоуренс, А. Б. (февраль 2004 г.). «Фрактальный анализ поведения животных как индикатор благополучия животных». www.ingentaconnect.com. Получено 2019-03-27.
  41. ^ "Приложения". Архивировано из оригинал на 2007-10-12. Получено 2007-10-21.
  42. ^ Тан, Джан Озан; Коэн, Майкл А .; Eckberg, Dwain L .; Тейлор, Дж. Эндрю (2009). «Фрактальные свойства вариабельности сердечного периода человека: физиологические и методологические последствия». Журнал физиологии. 587 (15): 3929–3941. Дои:10.1113 / jphysiol.2009.169219. ЧВК  2746620. PMID  19528254.
  43. ^ Коста, Исис да Силва; Гамунди, Антони; Миранда, Хосе Г. Вивас; Франса, Лукас Г. Соуза; Сантана, Де; Новаэс, Чарльз; Монтойя, Педро (2017). «Измененные функциональные характеристики у пациентов с фибромиалгией». Границы нейробиологии человека. 11: 14. Дои:10.3389 / fnhum.2017.00014. ISSN  1662-5161. ЧВК  5266716. PMID  28184193.
  44. ^ França, L.G.S .; Монтойя, Педро; Миранда, Дж. Г. В. (2017). «О мультифракталах: нелинейное исследование данных актиграфии». Physica A: Статистическая механика и ее приложения. 514: 612–619. arXiv:1702.03912. Дои:10.1016 / j.physa.2018.09.122. S2CID  18259316.
  45. ^ а б Карпериен, Одри; Jelinek, Herbert F .; Леандро, Хорхе де Хесус Гомеш; Соареш, Жоао В. Б .; Cesar Jr, Роберто М .; Лаки, Алан (2008). «Автоматизированное выявление пролиферативной ретинопатии в клинической практике». Клиническая офтальмология (Окленд, Новая Зеландия). 2 (1): 109–122. Дои:10.2147 / OPTH.S1579. ЧВК  2698675. PMID  19668394.
  46. ^ Kam, Y .; Karperien, A .; Weidow, B .; Estrada, L .; Андерсон, А. Р .; Каранта, В. (2009). «Анализ расширения гнезда: подход системной биологии рака к измерениям инвазии in vitro». BMC Research Notes. 2: 130. Дои:10.1186/1756-0500-2-130. ЧВК  2716356. PMID  19594934.
  47. ^ Losa, Gabriele A .; Нонненмахер, Тео Ф., ред. (2005). Фракталы в биологии и медицине. Springer. ISBN  978-3-7643-7172-2. Получено 1 февраля 2012.
  48. ^ Мандельброт, Б. (1967). «Какова длина побережья Великобритании? Статистическое самоподобие и дробное измерение». Наука. 156 (3775): 636–638. Bibcode:1967Научный ... 156..636М. Дои:10.1126 / science.156.3775.636. PMID  17837158. S2CID  15662830.
  49. ^ Ли, Х. (2013). «Фрактальный анализ боковых каналов для пробойных конструкций в кабельной изоляции из сшитого полиэтилена». J Mater Sci: Mater Electron. 24 (5): 1640–1643. Дои:10.1007 / s10854-012-0988-y. S2CID  136564926.
  50. ^ Реувени, Шломи; Гранек, Рони; Клафтер, Джозеф (2008). «Белки: сосуществование стабильности и гибкости». Письма с физическими проверками. 100 (20): 208101. Bibcode:2008ПхРвЛ.100т8101Р. Дои:10.1103 / PhysRevLett.100.208101. ISSN  0031-9007. PMID  18518581. S2CID  16203048.
  51. ^ Пантеха Саиди и Сорен А. Соренсен (2009). Алгоритмический подход к созданию тестовых полей после аварии для поисковых и спасательных агентов (PDF). Труды Всемирного инженерного конгресса 2009 г.. С. 93–98. ISBN  978-988-17-0125-1.
  52. ^ а б Чен, Янгуан (2011). «Моделирование фрактальной структуры распределений по размерам городов с использованием корреляционных функций». PLOS ONE. 6 (9): e24791. arXiv:1104.4682. Bibcode:2011PLoSO ... 624791C. Дои:10.1371 / journal.pone.0024791. ЧВК  3176775. PMID  21949753.
  53. ^ Karperien, Audrey L .; Jelinek, Herbert F .; Бьюкен, Аластер М. (2008). "Подсчет ячеек анализа формы микроглии при шизофрении, болезни Альцгеймера и аффективном расстройстве". Фракталы. 16 (2): 103–107. Дои:10.1142 / S0218348X08003880.
  54. ^ Франса, Лукас Г. Соуза; Миранда, Хосе Г. Вивас; Лейте, Марко; Шарма, Нирадж К .; Уокер, Мэтью С .; Лемье, Луи; Ван, Юйцзян (2018). «Фрактальные и мультифрактальные свойства электрографических записей активности мозга человека: на пути к их использованию в качестве сигнального признака для машинного обучения в клинических приложениях». Границы физиологии. 9: 1767. arXiv:1806.03889. Bibcode:2018arXiv180603889F. Дои:10.3389 / fphys.2018.01767. ISSN  1664-042X. ЧВК  6295567. PMID  30618789.
  55. ^ Лю, Цзин З .; Чжан, Лу Д .; Юэ, Гуан Х. (2003). «Фрактальное измерение в мозжечке человека, измеренное с помощью магнитно-резонансной томографии». Биофизический журнал. 85 (6): 4041–4046. Bibcode:2003BpJ .... 85.4041L. Дои:10.1016 / S0006-3495 (03) 74817-6. ЧВК  1303704. PMID  14645092.
  56. ^ Николич, Д .; Moca, V.V .; Певица, З .; Мурешан, Р. (2008). «Свойства многомерных данных, исследуемых фрактальной размерностью». Журнал методов неврологии. 172 (1): 27–33. Дои:10.1016 / j.jneumeth.2008.04.007. PMID  18495248. S2CID  12268410.
  57. ^ Смит, Роберт Ф .; Mohr, David N .; Торрес, Висенте Э .; Offord, Kenneth P .; Мелтон III, Л. Джозеф (1989). «Почечная недостаточность у внебольничных больных с легкой бессимптомной микрогематурией». Труды клиники Мэйо. 64 (4): 409–414. Дои:10.1016 / с0025-6196 (12) 65730-9. PMID  2716356.
  58. ^ Аль-Кади О.С., Уотсон Д. (2008). «Анализ текстуры агрессивных и неагрессивных КТ-изображений опухоли легкого» (PDF). IEEE Transactions по биомедицинской инженерии. 55 (7): 1822–1830. Дои:10.1109 / tbme.2008.919735. PMID  18595800. S2CID  14784161. Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-04-13. Получено 2014-04-10.
  59. ^ Ландини, Габриэль (2011). «Фракталы в микроскопии». Журнал микроскопии. 241 (1): 1–8. Дои:10.1111 / j.1365-2818.2010.03454.x. PMID  21118245. S2CID  40311727.
  60. ^ Ченг, Цюмин (1997). «Мультифрактальное моделирование и анализ лакунарности». Математическая геология. 29 (7): 919–932. Дои:10.1023 / А: 1022355723781. S2CID  118918429.
  61. ^ Буркле-Элизондо, Херардо; Вальдес-Сепеда, Рикардо Давид (2006). «Фрактальный анализ мезоамериканских пирамид». Нелинейная динамика, психология и науки о жизни. 10 (1): 105–122. PMID  16393505.
  62. ^ Браун, Клиффорд Т .; Witschey, Walter R.T .; Либович, Ларри С. (2005). «Разбитое прошлое: фракталы в археологии». Журнал археологического метода и теории. 12: 37–78. Дои:10.1007 / s10816-005-2396-6. S2CID  7481018.
  63. ^ Ваннуччи, Паола; Леони, Лоренцо (2007). «Структурная характеристика декольте Коста-Рики: свидетельства сейсмически индуцированных пульсаций флюида». Письма по науке о Земле и планетах. 262 (3–4): 413–428. Bibcode:2007E и PSL.262..413V. Дои:10.1016 / j.epsl.2007.07.056.
  64. ^ Дидье Сорнетт (2004). Критические явления в естествознании: хаос, фракталы, самоорганизация и беспорядок: концепции и инструменты. Springer. С. 128–140. ISBN  978-3-540-40754-6.
  65. ^ Ху, Шугэн; Ченг, Цюмин; Ван, Ле; Се, Шуюнь (2012). «Мультифрактальная характеристика стоимости городской жилой земли в пространстве и времени». Прикладная география. 34: 161–170. Дои:10.1016 / j.apgeog.2011.10.016.
  66. ^ Братья, Харлан Дж. (2007). «Структурный масштаб в сюите № 3 для виолончели Баха». Фракталы. 15: 89–95. Дои:10.1142 / S0218348X0700337X.

дальнейшее чтение