Статистическая механика - Statistical mechanics

Статистическая механика, один из столпов современного физика, описывает, как макроскопические наблюдения (например, температура и давление ) связаны с микроскопическими параметрами, которые колеблются около среднего значения. Он связывает термодинамические величины (такие как теплоемкость ) к микроскопическому поведению, тогда как в классическая термодинамика, единственный доступный вариант - это измерить и свести в таблицу такие количества для различных материалов.^[1]

Статистическая механика необходима для фундаментального изучения любой физической системы, имеющей множество степени свободы. Подход основан на статистический методы, теория вероятности и микроскопический физические законы.^{[1][2][3][примечание 1]}

Его можно использовать для объяснения термодинамический поведение больших систем. Эта область статистической механики, которая рассматривает и расширяет классическую термодинамику, известна как статистическая термодинамика или же равновесная статистическая механика.

Статистическая механика также может использоваться для изучения систем, находящихся вне равновесие. Важная ветвь, известная как неравновесная статистическая механика (иногда называют статистическая динамика) занимается проблемой микроскопического моделирования скорости необратимые процессы которые вызваны дисбалансом. Примеры таких процессов включают: химические реакции или потоки частиц и тепла. В теорема флуктуации-диссипации это базовые знания, полученные при применении неравновесная статистическая механика изучить простейшую неравновесную ситуацию стационарного протекания тока в системе многих частиц.

Принципы: механика и ансамбли

Основные статьи: Механика и Статистический ансамбль

В физике обычно рассматриваются два типа механики: классическая механика и квантовая механика. Для обоих типов механики стандартный математический подход заключается в рассмотрении двух концепций:

1. Полное состояние механической системы в данный момент времени, математически закодированное как фазовая точка (классическая механика) или чистая вектор квантового состояния (квантовая механика).
2. Уравнение движения, переносящее состояние вперед во времени: Уравнения Гамильтона (классическая механика) или Уравнение Шредингера (квантовая механика)

Используя эти две концепции, можно в принципе рассчитать состояние в любое другое время, прошлое или будущее. Однако существует разрыв между этими законами и повседневным жизненным опытом, поскольку мы не считаем необходимым (или даже теоретически возможным) знать точно на микроскопическом уровне одновременные положения и скорости каждой молекулы при выполнении процессов в человеческом масштабе (например, при выполнении химической реакции). Статистическая механика заполняет это несоответствие между законами механики и практическим опытом неполного знания, добавляя некоторую неопределенность в отношении того, в каком состоянии находится система.

В то время как обычная механика рассматривает только поведение одного состояния, статистическая механика вводит статистический ансамбль, представляющий собой большую коллекцию виртуальных независимых копий системы в различных состояниях. Статистический ансамбль представляет собой распределение вероятностей по всем возможным состояниям системы. В классической статистической механике ансамбль - это распределение вероятностей по фазовым точкам (в отличие от одной фазовой точки в обычной механике), обычно представленное как распределение в фазовое пространство с канонические координаты. В квантовой статистической механике ансамбль - это распределение вероятностей по чистым состояниям,^{[заметка 2]} и его можно компактно представить как матрица плотности.

Как обычно для вероятностей, ансамбль можно интерпретировать по-разному:^[1]

• ансамбль может быть взят для представления различных возможных состояний, которые единая система может быть в (эпистемическая вероятность, форма знания), или
• Члены ансамбля можно понимать как состояния систем в экспериментах, повторяемых на независимых системах, которые были приготовлены аналогичным, но не полностью контролируемым образом (эмпирическая вероятность ), в пределе бесконечного числа испытаний.

Эти два значения эквивалентны для многих целей и будут взаимозаменяемы в этой статье.

Как бы ни интерпретировалась вероятность, каждое состояние в ансамбле эволюционирует со временем в соответствии с уравнением движения. Таким образом, сам ансамбль (распределение вероятностей по состояниям) также развивается, поскольку виртуальные системы в ансамбле постоянно покидают одно состояние и переходят в другое. Эволюция ансамбля задается Уравнение Лиувилля (классическая механика) или уравнение фон Неймана (квантовая механика). Эти уравнения просто выводятся путем применения механического уравнения движения отдельно к каждой виртуальной системе, содержащейся в ансамбле, с вероятностью сохранения виртуальной системы с течением времени по мере ее развития от состояния к состоянию.

Особый класс ансамблей - это ансамбли, которые не развиваются с течением времени. Эти ансамбли известны как равновесные ансамбли и их состояние известно как статистическое равновесие. Статистическое равновесие возникает, если для каждого состояния в ансамбле ансамбль также содержит все его будущие и прошлые состояния с вероятностями, равными вероятности нахождения в этом состоянии.^{[заметка 3]} Изучение равновесных ансамблей изолированных систем находится в центре внимания статистической термодинамики. Неравновесная статистическая механика обращается к более общему случаю ансамблей, которые изменяются во времени, и / или ансамблей неизолированных систем.

Статистическая термодинамика

Основная цель статистической термодинамики (также известной как равновесная статистическая механика) состоит в том, чтобы вывести классическая термодинамика материалов с точки зрения свойств составляющих их частиц и взаимодействий между ними. Другими словами, статистическая термодинамика обеспечивает связь между макроскопическими свойствами материалов в термодинамическое равновесие, а также микроскопические поведения и движения, происходящие внутри материала.

В то время как собственно статистическая механика включает динамику, здесь внимание сосредоточено на статистическое равновесие (устойчивое состояние). Статистическое равновесие не означает, что частицы перестали двигаться (механическое равновесие ), скорее, только то, что ансамбль не развивается.

Основной постулат

А достаточный (но не обязательно) условие статистического равновесия с изолированной системой состоит в том, что распределение вероятностей является функцией только сохраняющихся свойств (полная энергия, общее количество частиц и т. д.).^[1]Можно рассматривать множество различных равновесных ансамблей, и только некоторые из них соответствуют термодинамике.^[1] Дополнительные постулаты необходимы, чтобы мотивировать, почему ансамбль для данной системы должен иметь ту или иную форму.

Обычный подход, который можно найти во многих учебниках, - это постулат равной априорной вероятности.^[2] Этот постулат утверждает, что

Для изолированной системы с точно известной энергией и точно известным составом систему можно найти с равная вероятность в любом микросостояние в соответствии с этим знанием.

Следовательно, постулат равной априорной вероятности является мотивом для микроканонический ансамбль описано ниже. Существуют различные аргументы в пользу постулата равной априорной вероятности:

• Эргодическая гипотеза: Эргодическая система - это система, которая со временем развивается, чтобы исследовать «все доступные» состояния: все те, которые имеют одинаковую энергию и состав. В эргодической системе микроканонический ансамбль является единственно возможным равновесным ансамблем с фиксированной энергией. Этот подход имеет ограниченную применимость, поскольку большинство систем не являются эргодическими.
• Принцип безразличия: При отсутствии какой-либо дополнительной информации, мы можем присвоить только равные вероятности каждой совместимой ситуации.
• Максимальная информационная энтропия: Более продуманная версия принципа безразличия утверждает, что правильный ансамбль - это ансамбль, который совместим с известной информацией и имеет наибольшую Энтропия Гиббса (информационная энтропия ).^[4]

Были предложены и другие фундаментальные постулаты статистической механики.^[5]

Три термодинамических ансамбля

Основные статьи: Микроканонический ансамбль, Канонический ансамбль, и Большой канонический ансамбль

Существует три равновесных ансамбля простой формы, которые можно определить для любого изолированная система ограничены внутри конечного объема.^[1] Это наиболее часто обсуждаемые ансамбли в статистической термодинамике. В макроскопическом пределе (определенном ниже) все они соответствуют классической термодинамике.

Микроканонический ансамбль

описывает систему с точно заданной энергией и фиксированным составом (точное количество частиц). Микроканонический ансамбль содержит с равной вероятностью каждое возможное состояние, соответствующее этой энергии и составу.

Канонический ансамбль

описывает систему фиксированного состава, которая находится в тепловое равновесие^{[примечание 4]} с тепловая ванна точного температура. Канонический ансамбль содержит состояния разной энергии, но идентичного состава; различным состояниям в ансамбле присваиваются разные вероятности в зависимости от их полной энергии.

Большой канонический ансамбль

описывает систему с нефиксированным составом (неопределенное количество частиц), которая находится в тепловом и химическом равновесии с термодинамическим резервуаром. В резервуаре есть точная температура и точная химические потенциалы для различных типов частиц. Большой канонический ансамбль содержит состояния с разной энергией и разным числом частиц; различным состояниям в ансамбле присваиваются разные вероятности в зависимости от их полной энергии и общего числа частиц.

Для систем, содержащих много частиц ( термодинамический предел ), все три перечисленных выше ансамбля обычно ведут себя одинаково. Тогда просто вопрос математического удобства, какой ансамбль используется.^[6] Теорема Гиббса об эквивалентности ансамблей^[7] развился в теорию концентрация меры явление^[8] который имеет приложения во многих областях науки, от функционального анализа до методов искусственный интеллект и большое количество данных технологии.^[9]

Важные случаи, когда термодинамические ансамбли не дать идентичные результаты включают:

• Микроскопические системы.
• Большие системы при фазовом переходе.
• Большие системы с дальнодействующими взаимодействиями.

В этих случаях необходимо выбрать правильный термодинамический ансамбль, поскольку между этими ансамблями наблюдаются различия не только в размере флуктуаций, но и в средних величинах, таких как распределение частиц. Правильный ансамбль - это тот ансамбль, который соответствует тому, как система была подготовлена ​​и охарактеризована, другими словами, ансамбль, отражающий знания об этой системе.^[2]

	Термодинамические ансамбли[1]
	Микроканонический	Канонический	Большой канонический
Фиксированные переменные	${\displaystyle E,N,V}$	${\displaystyle T,N,V}$	${\displaystyle T,\mu ,V}$
Микроскопические особенности	Количество микросостояния ${\displaystyle W}$	Каноническая функция распределения ${\displaystyle Z=\sum _{k}e^{-E_{k}/k_{B}T}}$	Большая функция раздела ${\displaystyle {\mathcal {Z}}=\sum _{k}e^{-(E_{k}-\mu N_{k})/k_{B}T}}$
Макроскопическая функция	Энтропия Больцмана ${\displaystyle S=k_{B}\log W}$	Свободная энергия Гельмгольца ${\displaystyle F=-k_{B}T\log Z}$	Большой потенциал ${\displaystyle \Omega =-k_{B}T\log {\mathcal {Z}}}$

Методы расчета

После того, как характеристическая функция состояния для ансамбля была вычислена для данной системы, эта система «решается» (макроскопические наблюдаемые могут быть извлечены из характеристической функции состояния). Однако вычисление характеристической функции состояния термодинамического ансамбля не обязательно является простой задачей, поскольку оно включает рассмотрение всех возможных состояний системы. Хотя некоторые гипотетические системы были решены точно, самый общий (и реалистичный) случай слишком сложен для точного решения. Существуют различные подходы для аппроксимации истинного ансамбля и расчета средних величин.

Точный

В некоторых случаях возможны точные решения.

• Для очень маленьких микроскопических систем ансамбли можно вычислить напрямую, просто перечислив все возможные состояния системы (используя точную диагонализацию в квантовой механике или интеграл по всему фазовому пространству в классической механике).
• Некоторые большие системы состоят из множества отдельных микроскопических систем, и каждую из подсистем можно анализировать независимо. Примечательно, что идеализированные газы из невзаимодействующих частиц обладают этим свойством, что позволяет точно вычислить Статистика Максвелла – Больцмана, Статистика Ферми – Дирака, и Статистика Бозе – Эйнштейна.^[2]
• Решено несколько больших систем с взаимодействием. С помощью тонких математических методов были найдены точные решения для нескольких игрушечные модели.^[10] Некоторые примеры включают Анзац Бете, модель Изинга с квадратной решеткой в нулевом поле, модель жесткого шестиугольника.

Монте-Карло

Основная статья: Метод Монте-Карло

Один приблизительный подход, который особенно хорошо подходит для компьютеров, - это Метод Монте-Карло, который исследует всего несколько возможных состояний системы, причем состояния выбираются случайным образом (с достаточным весом). Пока эти состояния образуют репрезентативную выборку всего множества состояний системы, получается приближенная характеристическая функция. По мере включения все большего и большего количества случайных выборок ошибки снижаются до сколь угодно низкого уровня.

• В Алгоритм Метрополиса – Гастингса это классический метод Монте-Карло, который изначально использовался для выборки канонического ансамбля.
• Интеграл по путям Монте-Карло, также используется для выборки канонического ансамбля.

Другой

• Для разреженных неидеальных газов такие подходы, как расширение кластера использовать теория возмущений включить эффект слабых взаимодействий, приводящих к вириальное расширение.^[3]
• Для плотных жидкостей другой приближенный подход основан на приведенных функциях распределения, в частности функция радиального распределения.^[3]
• Молекулярная динамика компьютерное моделирование можно использовать для расчета микроканонический ансамбль средние в эргодических системах. Благодаря подключению к стохастическому термостату, они также могут моделировать канонические и великие канонические условия.
• Могут быть полезны смешанные методы, включающие неравновесные статистические механические результаты (см. Ниже).

Неравновесная статистическая механика

Смотрите также: Неравновесная термодинамика

Есть много интересных физических явлений, которые связаны с квазитермодинамическими процессами, выходящими из равновесия, например:

• перенос тепла внутренними движениями в материале из-за температурного дисбаланса,
• электрические токи, переносимые движением зарядов в проводнике из-за дисбаланса напряжений,
• спонтанный химические реакции вызванный уменьшением свободной энергии,
• трение, рассеяние, квантовая декогеренция,
• системы, накачиваемые внешними силами (оптическая накачка, так далее.),
• и необратимые процессы в целом.

Все эти процессы происходят во времени с характерными скоростями, и эти скорости важны для инженерии. Область неравновесной статистической механики занимается пониманием этих неравновесных процессов на микроскопическом уровне. (Статистическая термодинамика может использоваться только для расчета окончательного результата после того, как внешние дисбалансы будут устранены и ансамбль вернется в состояние равновесия.)

В принципе, неравновесная статистическая механика может быть математически точной: ансамбли для изолированной системы со временем развиваются в соответствии с детерминированными уравнениями, такими как Уравнение Лиувилля или его квантовый эквивалент, уравнение фон Неймана. Эти уравнения являются результатом применения механических уравнений движения независимо к каждому состоянию в ансамбле. К сожалению, эти уравнения эволюции ансамбля наследуют большую часть сложности лежащего в основе механического движения, поэтому получить точные решения очень сложно. Более того, уравнения эволюции ансамбля полностью обратимы и не уничтожают информацию ( Энтропия Гиббса сохраняется). Чтобы продвинуться вперед в моделировании необратимых процессов, помимо вероятности и обратимой механики необходимо учитывать дополнительные факторы.

Таким образом, неравновесная механика является активной областью теоретических исследований, поскольку диапазон применимости этих дополнительных предположений продолжает изучаться. Некоторые подходы описаны в следующих подразделах.

Стохастические методы

Один из подходов к неравновесной статистической механике состоит в том, чтобы включить стохастический (случайное) поведение в системе. Стохастическое поведение разрушает информацию, содержащуюся в ансамбле. Хотя это технически неточно (кроме гипотетические ситуации, связанные с черными дырами, система не может сама по себе вызвать потерю информации), случайность добавляется, чтобы отразить, что интересующая информация со временем преобразуется в тонкие корреляции внутри системы или в корреляции между системой и средой. Эти корреляции выглядят как хаотичный или же псевдослучайный влияет на интересующие переменные. Заменив эти корреляции собственно случайностью, вычисления можно значительно упростить.

• Уравнение переноса Больцмана: Ранняя форма стохастической механики появилась еще до появления термина «статистическая механика» в исследованиях кинетическая теория. Джеймс Клерк Максвелл продемонстрировал, что столкновения молекул приведут к очевидно хаотическому движению внутри газа. Людвиг Больцманн впоследствии показал, что, взяв это молекулярный хаос само собой разумеющимся, что в качестве полной случайности движения частиц в газе будут следовать простой Уравнение переноса Больцмана что бы быстро восстановить газ до равновесного состояния (см. H-теорема ).

  Уравнение переноса Больцмана и связанные с ним подходы являются важными инструментами в неравновесной статистической механике из-за их чрезвычайной простоты. Эти приближения хорошо работают в системах, где «интересная» информация немедленно (после всего лишь одного столкновения) превращается в тонкие корреляции, что по существу ограничивает их использование разреженными газами. Уравнение переноса Больцмана оказалось очень полезным при моделировании переноса электронов в слаболегированных полупроводники (в транзисторы ), где электроны действительно аналогичны разреженному газу.

  Связанная по теме квантовая техника - это приближение случайной фазы.
• Иерархия BBGKY: В жидкостях и плотных газах нельзя сразу отбрасывать корреляции между частицами после одного столкновения. В Иерархия BBGKY (Иерархия Боголюбова – Борна – Грина – Кирквуда – Ивона) дает метод вывода уравнений типа Больцмана, но также расширяет их за пределы случая разреженного газа, чтобы включить корреляции после нескольких столкновений.
• Формализм Келдыша (также известный как NEGF - неравновесные функции Грина): квантовый подход к включению стохастической динамики можно найти в формализме Келдыша. Такой подход часто используется в электронных квантовый транспорт расчеты.
• Стохастик Уравнение Лиувилля.

Методы, близкие к равновесным

Другой важный класс неравновесных статистических механических моделей имеет дело с системами, которые лишь очень незначительно отклоняются от состояния равновесия. При очень малых возмущениях отклик можно проанализировать в теория линейного отклика. Замечательный результат, формализованный теорема флуктуации-диссипации, заключается в том, что реакция системы, находящейся вблизи равновесия, в точности связана с колебания которые происходят, когда система находится в полном равновесии. По сути, система, которая немного отошла от равновесия - независимо от того, поставлена ​​ли туда внешними силами или флуктуациями - релаксирует к равновесию таким же образом, поскольку система не может отличить разницу или «знать», как она оказалась в стороне от равновесия.^[3]:664

Это обеспечивает косвенный способ получения таких чисел, как омическая проводимость и теплопроводность путем извлечения результатов из равновесной статистической механики. Поскольку равновесная статистическая механика математически хорошо определена и (в некоторых случаях) более удобна для расчетов, связь флуктуации и диссипации может быть удобным сокращением для расчетов в почти равновесной статистической механике.

Некоторые из теоретических инструментов, используемых для установления этой связи, включают:

• Теорема флуктуации-диссипации
• Взаимные отношения Онзагера
• Отношения Грина – Кубо
• Формализм Ландауэра – Бюттикера
• Формализм Мори – Цванцига

Гибридные методы

Продвинутый подход использует комбинацию стохастических методов и теории линейного отклика. Например, один из подходов к вычислению эффектов квантовой когерентности (слабая локализация, колебания проводимости ) в проводимости электронной системы является использование соотношений Грина – Кубо с включением стохастических расфазировка взаимодействием между различными электронами с использованием метода Келдыша.^[11][12]

Приложения за пределами термодинамики

Формализм ансамбля также может использоваться для анализа общих механических систем с неопределенностью в знаниях о состоянии системы. Также ансамбли используются в:

• распространение неопределенности через некоторое время,^[1]
• регрессивный анализ гравитационного орбиты,
• ансамблевое прогнозирование погоды,
• динамика нейронные сети,
• ограниченно-рациональный потенциальные игры по теории игр и экономике.

История

В 1738 году швейцарский физик и математик Даниэль Бернулли опубликовано Гидродинамика которые легли в основу кинетическая теория газов. В этой работе Бернулли выдвинул аргумент, который все еще используется по сей день, что газы состоят из большого числа молекул, движущихся во всех направлениях, что их воздействие на поверхность вызывает давление газа, которое мы чувствуем, и что то, что мы ощущаем как высокая температура это просто кинетическая энергия их движения.^[5]

В 1859 г., прочитав статью о диффузии молекул, Рудольф Клаузиус, Шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл сформулировал Распределение Максвелла молекулярных скоростей, что дало долю молекул, имеющих определенную скорость в определенном диапазоне.^[13] Это был первый статистический закон в физике.^[14] Максвелл также привел первый механический аргумент, что столкновения молекул влекут за собой выравнивание температур и, следовательно, тенденцию к равновесию.^[15] Пять лет спустя, в 1864 году, Людвиг Больцманн, молодой студент из Вены, наткнулся на статью Максвелла и провел большую часть своей жизни, развивая эту тему.

Собственно статистическая механика была начата в 1870-х годах работами Больцмана, большая часть которых была коллективно опубликована в его 1896 году. Лекции по теории газа.^[16] Оригинальные работы Больцмана по статистической интерпретации термодинамики, H-теорема, теория транспорта, тепловое равновесие, то уравнение состояния о газах и подобных предметах занимают около 2000 страниц в трудах Венской академии и других обществ. Больцман ввел понятие равновесного статистического ансамбля, а также впервые исследовал неравновесную статистическую механику в своей работе. ЧАС-теорема.

Термин «статистическая механика» был изобретен американским физиком-математиком. Дж. Уиллард Гиббс в 1884 г.^{[17][примечание 5]} «Вероятностная механика» сегодня может показаться более подходящим термином, но «статистическая механика» прочно укоренилась.^[18] Незадолго до смерти Гиббс опубликовал в 1902 году Элементарные принципы статистической механики, книга, которая формализовала статистическую механику как полностью общий подход к рассмотрению всех механических систем - макроскопических или микроскопических, газообразных или негазообразных.^[1] Методы Гиббса изначально были выведены в рамках классическая механика, однако они были настолько общими, что было обнаружено, что они легко адаптируются к более поздним квантовая механика, и по сей день составляют основу статистической механики.^[2]

Смотрите также

• Термодинамика: неравновесный, химический
• Механика: классический, квант
• Вероятность, статистический ансамбль
• Численные методы: Метод Монте-Карло, молекулярная динамика
• Статистическая физика
• Квантовая статистическая механика
• Список известных учебников по статистической механике
• Список важных публикаций по статистической механике

Примечания

1. Период, термин статистическая механика иногда используется только для обозначения статистическая термодинамика. В этой статье представлен более широкий взгляд. По некоторым определениям, статистическая физика это еще более широкий термин, который статистически изучает любой тип физической системы, но часто считается синонимом статистической механики.
2. Вероятности в квантовой статистической механике не следует путать с квантовая суперпозиция. Хотя квантовый ансамбль может содержать состояния с квантовыми суперпозициями, одно квантовое состояние нельзя использовать для представления ансамбля.
3. Статистическое равновесие не следует путать с механическое равновесие. Последнее происходит, когда механическая система полностью перестает развиваться даже в микроскопическом масштабе из-за того, что находится в состоянии идеального баланса сил. Статистическое равновесие обычно включает состояния, очень далекие от механического равновесия.
4. Используемое здесь транзитивное тепловое равновесие (например, «X является тепловым равновесием с Y») означает, что ансамбль для первой системы не нарушается, когда системе позволяют слабо взаимодействовать со второй системой.
5. Согласно Гиббсу, термин «статистический» в контексте механики, то есть статистической механики, впервые был использован шотландским физиком. Джеймс Клерк Максвелл в 1871 г. От: Дж. Клерк Максвелл, Теория тепла (Лондон, Англия: Longmans, Green, and Co., 1871), п. 309: «Имея дело с массами материи, хотя мы не воспринимаем отдельные молекулы, мы вынуждены принять то, что я описал как статистический метод расчета, и отказаться от строгого динамического метода, в котором мы следим за каждым движением по исчисление."

Рекомендации

1. Гиббс, Джозия Уиллард (1902). Элементарные принципы статистической механики. Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера.
2. Толмен, Р.С. (1938). Принципы статистической механики. Dover Publications. ISBN  9780486638966.
3. Балеску, Раду (1975). Равновесная и неравновесная статистическая механика. Джон Вили и сыновья. ISBN  9780471046004.
4. Джейнс, Э. (1957). «Теория информации и статистическая механика». Физический обзор. 106 (4): 620–630. Bibcode:1957PhRv..106..620J. Дои:10.1103 / PhysRev.106.620.
5. Дж. Уффинк "Сборник основ классической статистической физики. " (2006)
6. Рейф Ф. (1965). Основы статистической и теплофизики. Макгроу – Хилл. п.227. ISBN  9780070518001.
7. Тушетт, Хьюго (2015). «Эквивалентность и неэквивалентность ансамблей: термодинамические, макроэкономические и измерительные уровни». Журнал статистической физики. 159 (5): 987–1016. arXiv:1403.6608. Bibcode:2015JSP ... 159..987T. Дои:10.1007 / s10955-015-1212-2. S2CID  118534661.
8. Леду, Мишель (2005). Феномен концентрации меры. Математические обзоры и монографии. 89. Дои:10.1090 / Surv / 089. ISBN  9780821837924..
9. Горбань, А. Н .; Тюкин И.Ю. (2018). «Благо размерности: Математические основы статистической физики данных». Философские труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки. 376 (2118): 20170237. arXiv:1801.03421. Bibcode:2018RSPTA.37670237G. Дои:10.1098 / rsta.2017.0237. ЧВК  5869543. PMID  29555807.
10. Бакстер, Родни Дж. (1982). Точно решаемые модели в статистической механике. Academic Press Inc. ISBN  9780120831807.
11. Альтшулер, Б.Л .; Аронов, А.Г .; Хмельницкий, Д. Э. (1982). «Влияние электрон-электронных столкновений с малой передачей энергии на квантовую локализацию». Журнал физики C: Физика твердого тела. 15 (36): 7367. Bibcode:1982JPhC ... 15.7367A. Дои:10.1088/0022-3719/15/36/018.
12. Алейнер, И .; Блантер, Ю. (2002). «Время неупругого рассеяния флуктуаций проводимости». Физический обзор B. 65 (11): 115317. arXiv:cond-mat / 0105436. Bibcode:2002PhRvB..65k5317A. Дои:10.1103 / PhysRevB.65.115317. S2CID  67801325.
13. Видеть:
    • Максвелл, Дж. К. (1860) «Иллюстрации к динамической теории газов. Часть I. О движениях и столкновениях идеально упругих сфер». Философский журнал, 4-я серия, 19 : 19–32.
    • Максвелл, Дж. К. (1860) «Иллюстрации к динамической теории газов. Часть II. О процессе диффузии двух или более видов движущихся частиц между собой», Философский журнал, 4-я серия, 20 : 21–37.
14. Махон, Бэзил (2003). Человек, который все изменил - жизнь Джеймса Клерка Максвелла. Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN  978-0-470-86171-4. OCLC  52358254.
15. Генис, Балаш (2017). «Максвелл и нормальное распределение: цветная история о вероятности, независимости и тенденции к равновесию». Исследования по истории и философии современной физики. 57: 53–65. arXiv:1702.01411. Bibcode:2017ШПМП..57 ... 53Г. Дои:10.1016 / j.shpsb.2017.01.001. S2CID  38272381.
16. Эбелинг, Вернер; Соколов, Игорь М. (2005). Эбелинг Вернер; Соколов Игорь Михайлович (ред.). Статистическая термодинамика и стохастическая теория неравновесных систем. Серия «Успехи статистической механики». 8. Мировая научная пресса. С. 3–12. Bibcode:2005ст.книга ..... E. Дои:10.1142/2012. ISBN  978-90-277-1674-3. (раздел 1.2)
17. Дж. У. Гиббс, "О фундаментальной формуле статистической механики, с приложениями к астрономии и термодинамике". Труды Американской ассоциации развития науки, 33, 57-58 (1884). Воспроизведено в Научные статьи Дж. Уилларда Гиббса, Том II (1906), стр.16.
18. Маянц, Лазарь (1984). Загадка вероятности и физики. Springer. п. 174. ISBN  978-90-277-1674-3.

внешняя ссылка

• Философия статистической механики статья Лоуренса Склара для Стэнфордская энциклопедия философии.
• Sklogwiki - термодинамика, статистическая механика и компьютерное моделирование материалов. SklogWiki особенно ориентирован на жидкости и мягкие конденсированные вещества.
• Статистическая термодинамика - Историческая хронология
• Термодинамика и статистическая механика Ричард Фицпатрик
• Конспект лекций по статистической механике и мезоскопике Дорон Коэн
• Видеоролики из цикла лекций по статистической механике на YouTube преподается Леонард Сасскинд.
• Ву-Куок, Л., Интеграл конфигурации (статистическая механика), 2008. этот вики-сайт не работает; видеть эта статья в веб-архиве от 28 апреля 2012 г..