Микрогосударство (статистическая механика) - Microstate (statistical mechanics)

Микросостояния и макросостояния подбрасывания монеты дважды. Все микросостояния равновероятны, но макросостояние (H, T) в два раза более вероятно, чем макросостояние (H, H) и (T, T).

В статистическая механика, а микросостояние особая микроскопическая конфигурация термодинамическая система что система может занимать с определенной вероятностью в процессе своего тепловые колебания. Напротив, макросостояние системы относится к ее макроскопическим свойствам, таким как ее температура, давление, объем и плотность.^[1] Лечение на статистическая механика^[2][3] определяют макросостояние следующим образом: говорят, что определенный набор значений энергии, количества частиц и объема изолированной термодинамической системы определяет ее конкретное макросостояние. В этом описании микросостояния представлены как различные возможные способы достижения системой определенного макросостояния.

Макросостояние характеризуется распределение вероятностей возможных состояний через определенный статистический ансамбль всех микросостояний. Это распределение описывает вероятность нахождения системы в определенном микросостоянии. в термодинамический предел все микросостояния, которые посещает макроскопическая система во время ее флуктуаций, обладают одинаковыми макроскопическими свойствами.

Микроскопические определения термодинамических концепций

Статистическая механика связывает эмпирические термодинамические свойства системы со статистическим распределением ансамбля микросостояний. Все макроскопические термодинамические свойства системы могут быть рассчитаны из функция распределения который суммирует энергию всех его микросостояний.

В любой момент система распределена по ансамблю ${\displaystyle N}$ микросостояния, каждое из которых обозначается ${\displaystyle i}$, и имея вероятность оккупации ${\displaystyle p_{i}}$, и энергия ${\displaystyle E_{i}}$. Если микросостояния имеют квантово-механическую природу, то эти микросостояния образуют дискретный набор, как определено квантовая статистическая механика, и ${\displaystyle E_{i}}$ является уровень энергии системы.

Внутренняя энергия

Внутренняя энергия макросостояния - это иметь в виду по всем микросостояниям энергии системы

${\displaystyle U\,:=\,\langle E\rangle \,=\,\sum \limits _{i=1}^{N}p_{i}\,E_{i}}$

Это микроскопическое изложение понятия энергии, связанной с первый закон термодинамики.

Энтропия

В более общем случае канонический ансамбль, абсолютный энтропия зависит исключительно от вероятностей микросостояний и определяется как

${\displaystyle S\,:=\,-k_{\mathrm {B} }\sum \limits _{i=1}^{N}p_{i}\,\ln(p_{i})}$

куда ${\displaystyle k_{B}}$ является Постоянная Больцмана. Для микроканонический ансамбль, состоящий только из микросостояний с энергией, равной энергии макросостояния, это упрощает до

${\displaystyle S=k_{B}\,\ln W}$

куда ${\displaystyle W}$ это количество микросостояний. Эта форма для энтропии появляется на Людвиг Больцманн Надгробие в Вене.

В второй закон термодинамики описывает, как энтропия изолированной системы изменяется во времени. В третий закон термодинамики согласуется с этим определением, поскольку нулевая энтропия означает, что макросостояние системы сводится к одному микросостоянию.

Тепло и работа

Тепло и работу можно различить, если принять во внимание квантовую природу системы.

Для закрытой системы (без передачи материи) высокая температура в статистической механике - это перенос энергии, связанный с неупорядоченным микроскопическим воздействием на систему, связанным со скачками чисел заполнения квантовых уровней энергии системы без изменения значений самих уровней энергии.^[2]

Работа - это передача энергии, связанная с упорядоченным макроскопическим воздействием на систему. Если это действие действует очень медленно, то адиабатическая теорема квантовой механики подразумевает, что это не вызовет скачков между энергетическими уровнями системы. В этом случае внутренняя энергия системы изменяется только за счет изменения энергетических уровней системы.^[2]

Микроскопические, квантовые определения тепла и работы следующие:

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{N}p_{i}\,dE_{i}}$

${\displaystyle \delta Q=\sum _{i=1}^{N}E_{i}\,dp_{i}}$

так что

${\displaystyle ~dU=\delta W+\delta Q.}$

Два приведенных выше определения тепла и работы являются одними из немногих выражений статистическая механика где термодинамические величины, определенные в квантовом случае, не находят аналогичного определения в классическом пределе. Причина в том, что классические микросостояния не определены по отношению к конкретному ассоциированному квантовому микросостоянию, а это означает, что когда работа изменяет общую энергию, доступную для распределения между классическими микросостояниями системы, уровни энергии (так сказать) микросостояний изменяются. не следить за этим изменением.

Микросостояние в фазовом пространстве

Классическое фазовое пространство

Описание классической системы F степени свободы можно выразить в терминах 2F размерный фазовое пространство, оси координат которого состоят из F обобщенные координаты q_я системы, и ее F обобщенные импульсы п_я. Микросостояние такой системы будет определяться единственной точкой в ​​фазовом пространстве. Но для системы с огромным количеством степеней свободы ее точное микросостояние обычно не важно. Таким образом, фазовое пространство можно разделить на ячейки размером час₀= Δq_яΔp_я , каждое из которых рассматривается как микросостояние. Теперь микросостояния дискретны и счетны^[4] и внутренняя энергия U больше не имеет точного значения, но находится между U и U + δU, с ${\textstyle \delta U\ll U}$.

Количество микросостояний Ω которое может занимать замкнутая система, пропорционально объему ее фазового пространства:

$${\displaystyle \Omega (U)={\frac {1}{h_{0}^{\mathcal {F}}}}\int \ \mathbf {1} _{\delta U}(H(x)-U)\prod _{i=1}^{\mathcal {F}}dq_{i}dp_{i}}$$

куда ${\textstyle \mathbf {1} _{\delta U}(H(x)-U)}$ является Функция индикатора. Он равен 1, если функция Гамильтона H (х) в момент х = (д, р) в фазовом пространстве находится между U и U + δU и 0, если нет. Постоянная ${\textstyle {\frac {1}{h_{0}^{\mathcal {F}}}}}$ делает Ω (U) безразмерный. Для идеального газа ${\displaystyle \Omega (U)\propto {\mathcal {F}}U^{{\frac {\mathcal {F}}{2}}-1}\delta U}$.^[5]

В этом описании частицы различимы. Если положение и импульс двух частиц поменяются местами, новое состояние будет представлено другой точкой в ​​фазовом пространстве. В этом случае одна точка будет представлять микросостояние. Если подмножество M частицы неотличимы друг от друга, то М! возможные перестановки или возможные обмены этих частиц будут считаться частью одного микросостояния. Набор возможных микросостояний также отражается в ограничениях на термодинамическую систему.

Например, в случае простого газа N частицы с полной энергией U содержится в кубе объема V, в котором образец газа невозможно отличить от любого другого образца экспериментальными средствами, микросостояние будет состоять из вышеупомянутых N! точек в фазовом пространстве, и набор микросостояний будет ограничен, чтобы все координаты положения лежали внутри коробки, а импульсы лежали на гиперсферической поверхности в импульсных координатах радиуса U. С другой стороны, если система состоит из смеси двух разных газов, образцы которых можно отличить друг от друга, например А и B, то количество микросостояний увеличивается, так как две точки, в которых А и B Частицы, обмениваемые в фазовом пространстве, больше не являются частью одного и того же микросостояния. Тем не менее, две идентичные частицы можно различить, например, по их положению. (Видеть конфигурационная энтропия.) Если ящик содержит идентичные частицы и находится в состоянии равновесия, и вставлена ​​перегородка, разделяющая объем пополам, частицы в одной ячейке теперь можно отличить от частиц во второй ячейке. В фазовом пространстве N / 2 частицы в каждом ящике теперь ограничены объемом V / 2, а их энергия ограничена U / 2, и количество точек, описывающих отдельное микросостояние, изменится: описание фазового пространства не то же самое.

Это имеет значение как для Парадокс гиббса и правильный счет Больцмана. Что касается счета Больцмана, то именно множественность точек в фазовом пространстве эффективно уменьшает количество микросостояний и увеличивает энтропию. Что касается парадокса Гибба, важным результатом является то, что увеличение числа микросостояний (и, следовательно, увеличение энтропии) в результате вставки раздела точно соответствует уменьшению числа микросостояний (и, следовательно, уменьшению числа микросостояний). энтропия) в результате уменьшения объема, доступного каждой частице, что дает нулевое изменение чистой энтропии.

Смотрите также

• Квантовая статистическая механика
• Степени свободы (физика и химия)
• Эргодическая гипотеза
• Фазовое пространство

Рекомендации

1. Макросостояния и микросостояния В архиве 2012-03-05 в Wayback Machine
2. Рейф, Фредерик (1965). Основы статистической и теплофизики. Макгроу-Хилл. С. 66–70. ISBN  978-0-07-051800-1.
3. Патрия, Р. К. (1965). Статистическая механика. Баттерворт-Хайнеманн. п. 10. ISBN  0-7506-2469-8.
4. «Статистическое описание физических систем».
5. Бартельманн, Маттиас (2015). Теоретическая физика. Springer Spektrum. С. 1142–1145. ISBN  978-3-642-54617-4.

внешняя ссылка

• Некоторые иллюстрации микросостояний и макросостояния