Адиабатическая теорема - Adiabatic theorem

Эта статья посвящена адиабатической теореме в квантовой механике. Об адиабатических процессах в термодинамике см. адиабатический процесс.

В адиабатическая теорема это концепция в квантовая механика. Его первоначальная форма, благодаря Макс Борн и Владимир Фок (1928), было сказано следующее:

Физическая система остается в своей мгновенной собственное состояние если данный возмущение действует на него достаточно медленно и если есть зазор между собственное значение и остальные Гамильтониан с спектр.^[1]

Проще говоря, квантово-механическая система, подверженная постепенно изменяющимся внешним условиям, адаптирует свою функциональную форму, но когда она подвергается быстро меняющимся условиям, у функциональной формы недостаточно времени для адаптации, поэтому пространственная плотность вероятности остается неизменной.

Диабатические и адиабатические процессы

Диабатический процесс: Быстро меняющиеся условия не позволяют системе адаптировать свою конфигурацию во время процесса, поэтому пространственная плотность вероятности остается неизменной. Обычно нет собственного состояния конечного гамильтониана с той же функциональной формой, что и начальное состояние. Система заканчивается линейной комбинацией состояний, сумма которых воспроизводит исходную плотность вероятности.

Адиабатический процесс: Постепенно изменяющиеся условия позволяют системе адаптировать свою конфигурацию, следовательно, плотность вероятности изменяется в процессе. Если система начинается в собственном состоянии начального гамильтониана, она заканчивается в соответствующий собственное состояние конечного гамильтониана.^[2]

В какое-то начальное время ${\displaystyle \scriptstyle {t_{0}}}$ квантово-механическая система имеет энергию, заданную гамильтонианом ${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}(t_{0})}}$; система находится в собственном состоянии ${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}(t_{0})}}$ маркированный ${\displaystyle \scriptstyle {\psi (x,t_{0})}}$. Изменение условий непрерывно модифицирует гамильтониан, в результате чего получается окончательный гамильтониан ${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}(t_{1})}}$ в более позднее время ${\displaystyle \scriptstyle {t_{1}}}$. Система будет развиваться в зависимости от времени. Уравнение Шредингера, чтобы достичь конечного состояния ${\displaystyle \scriptstyle {\psi (x,t_{1})}}$. Адиабатическая теорема утверждает, что модификация системы критически зависит от времени ${\displaystyle \scriptstyle {\tau =t_{1}-t_{0}}}$ во время которого происходит модификация.

Для действительно адиабатического процесса нам требуется ${\displaystyle \scriptstyle {\tau \rightarrow \infty }}$; в этом случае конечное состояние ${\displaystyle \scriptstyle {\psi (x,t_{1})}}$ будет собственным состоянием финального гамильтониана ${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}(t_{1})}}$, с измененной конфигурацией:

${\displaystyle |\psi (x,t_{1})|^{2}\neq |\psi (x,t_{0})|^{2}}$.

Степень, в которой данное изменение приближается к адиабатическому процессу, зависит как от энергетического разделения между ${\displaystyle \scriptstyle {\psi (x,t_{0})}}$ и соседних состояний, а отношение интервала ${\displaystyle \scriptstyle {\tau }}$ к характерному масштабу времени эволюции ${\displaystyle \scriptstyle {\psi (x,t_{0})}}$ для гамильтониана, не зависящего от времени, ${\displaystyle \scriptstyle {\tau _{int}=2\pi \hbar /E_{0}}}$, куда ${\displaystyle \scriptstyle {E_{0}}}$ это энергия ${\displaystyle \scriptstyle {\psi (x,t_{0})}}$.

Наоборот, в пределе ${\displaystyle \scriptstyle {\tau \rightarrow 0}}$ у нас есть бесконечно быстрый или диабатический переход; конфигурация состояния остается неизменной:

${\displaystyle |\psi (x,t_{1})|^{2}=|\psi (x,t_{0})|^{2}\quad }$.

Так называемое «условие разрыва», включенное в исходное определение Борна и Фока, данное выше, относится к требованию, чтобы спектр из ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {H}}}$ является дискретный и невырожденный, так что нет неоднозначности в порядке состояний (легко установить, какое собственное состояние ${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}(t_{1})}}$ соответствует к ${\displaystyle \scriptstyle {\psi (t_{0})}}$). В 1999 г. Дж. Э. Аврон и А. Элгарт переформулировали адиабатическую теорему, чтобы адаптировать ее к ситуациям без пробелов.^[3]

Сравнение с адиабатической концепцией в термодинамике

Обратите внимание, что термин «адиабатический» традиционно используется в термодинамика для описания процессов без теплообмена между системой и окружающей средой (см. адиабатический процесс ), точнее, эти процессы обычно происходят быстрее, чем шкала времени теплообмена (как волна давления адиабатична по сравнению с волной тепла, которая не является адиабатической). Адиабатика в контексте термодинамики часто используется как синоним быстрого процесса.

В Классический и Квантовый определение механики^[4] ближе к термодинамической концепции квазистатический процесс, которые являются процессами, которые почти всегда находятся в равновесии (т. е. медленнее, чем временные масштабы взаимодействия внутреннего энергообмена, а именно "нормальная" атмосферная тепловая волна является квазистатической, а волна давления - нет). Адиабатика в контексте механики часто используется как синоним медленного процесса.

В квантовом мире адиабатика означает, например, что временная шкала взаимодействий электронов и фотонов намного быстрее или почти мгновенна по сравнению со средней шкалой времени распространения электронов и фотонов. Следовательно, мы можем моделировать взаимодействия как часть непрерывного распространения электронов и фотонов (то есть состояний в равновесии) плюс квантовый скачок между состояниями (то есть мгновенные).

Адиабатическая теорема в этом эвристическом контексте по существу говорит о том, что предпочтительно избегать квантовых скачков и что система пытается сохранить состояние и квантовые числа.^[5]

Квантово-механическое понятие адиабаты связано с Адиабатический инвариант, он часто используется в Старая квантовая теория и не имеет прямого отношения к теплообмену.

Примеры систем

Простой маятник

В качестве примера рассмотрим маятник колеблется в вертикальной плоскости. Если опору сдвинуть, режим колебаний маятника изменится. Если опора перемещена достаточно медленно, движение маятника относительно опоры не изменится. Постепенное изменение внешних условий позволяет системе адаптироваться, так что она сохраняет свой первоначальный характер. Подробный классический пример доступен в Адиабатический инвариант страницу и здесь.^[6]

Квантовый гармонический осциллятор

Рисунок 1. Изменение плотности вероятности, ${\displaystyle \scriptstyle {|\psi (t)|^{2}}}$квантового гармонического осциллятора в основном состоянии из-за адиабатического увеличения жесткости пружины.

В классический природа маятника не позволяет полностью описать эффекты адиабатической теоремы. В качестве следующего примера рассмотрим квантовый гармонический осциллятор как жесткость пружины ${\displaystyle \scriptstyle {k}}$ увеличена. Классически это эквивалентно увеличению жесткости пружины; квантово-механически эффект заключается в сужении потенциальная энергия кривая в системе Гамильтониан.

Если ${\displaystyle \scriptstyle {k}}$ увеличивается адиабатически ${\displaystyle \scriptstyle {\left({\frac {dk}{dt}}\rightarrow 0\right)}}$ тогда система во время ${\displaystyle \scriptstyle {t}}$ будет в мгновенном собственном состоянии ${\displaystyle \scriptstyle {\psi (t)}}$ из Текущий Гамильтониан ${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}(t)}}$, соответствующее начальному собственному состоянию ${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}(0)}}$. В частном случае системы, подобной квантовому гармоническому осциллятору, описываемому одним квантовое число, это означает, что квантовое число останется неизменным. Рисунок 1 показывает, как гармонический осциллятор, первоначально находящийся в основном состоянии, ${\displaystyle \scriptstyle {n=0}}$, остается в основном состоянии при сжатии кривой потенциальной энергии; функциональная форма адаптации состояния к медленно меняющимся условиям.

При быстро увеличивающейся жесткости пружины система подвергается диабатическому процессу. ${\displaystyle \scriptstyle {\left({\frac {dk}{dt}}\rightarrow \infty \right)}}$ в котором система не успевает адаптировать свою функциональную форму к меняющимся условиям. Хотя конечное состояние должно выглядеть идентично исходному состоянию ${\displaystyle \scriptstyle {\left(|\psi (t)|^{2}=|\psi (0)|^{2}\right)}}$ для процесса, происходящего за исчезающий период времени, у нового гамильтониана нет собственного состояния, ${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}(t)}}$, что напоминает исходное состояние. Конечное состояние состоит из линейная суперпозиция множества различных собственных состояний ${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}(t)}}$ сумма которых воспроизводит форму исходного состояния.

Избегайте пересечения кривой

Основная статья: Избегаемый переход

Фигура 2. Избегание пересечения уровней энергии в двухуровневой системе во внешнем магнитном поле. Обратите внимание на энергии диабатических состояний, ${\displaystyle \scriptstyle {|1\rangle }}$ и ${\displaystyle \scriptstyle {|2\rangle }}$ и собственные значения гамильтониана, давая энергии собственных состояний ${\displaystyle \scriptstyle {|\phi _{1}\rangle }}$ и ${\displaystyle \scriptstyle {|\phi _{2}\rangle }}$ (адиабатические состояния). (Фактически, ${\displaystyle \scriptstyle {|\phi _{1}\rangle }}$ и ${\displaystyle \scriptstyle {|\phi _{2}\rangle }}$ должен быть переключен на этом изображении.)

Для более широко применимого примера рассмотрим 2-уровень атом подвергается внешнему магнитное поле.^[7] Состояния, помеченные ${\displaystyle \scriptstyle {|1\rangle }}$ и ${\displaystyle \scriptstyle {|2\rangle }}$ с помощью обозначение бюстгальтера, можно рассматривать как атомные состояния с угловым моментом, каждый с определенной геометрией. По причинам, которые станут ясными, эти состояния впредь будут называться диабатическими. Волновую функцию системы можно представить как линейную комбинацию диабатических состояний:

${\displaystyle |\Psi \rangle =c_{1}(t)|1\rangle +c_{2}(t)|2\rangle .}$

При отсутствии поля энергетическое разделение диабатических состояний равно ${\displaystyle \scriptstyle {\hbar \omega _{0}}}$; энергия состояния ${\displaystyle \scriptstyle {|1\rangle }}$ увеличивается с увеличением магнитного поля (состояние с малым полем), а энергия состояния ${\displaystyle \scriptstyle {|2\rangle }}$ уменьшается с увеличением магнитного поля (состояние поиска сильного поля). Предполагая линейную зависимость от магнитного поля, Матрица гамильтониана для системы с приложенным полем можно записать

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}\mu B(t)-\hbar \omega _{0}/2&a\\a^{*}&\hbar \omega _{0}/2-\mu B(t)\end{pmatrix}}}$

куда ${\displaystyle \scriptstyle {\mu }}$ это магнитный момент атома, предполагаемого одинаковым для двух диабатических состояний, и ${\displaystyle \scriptstyle {a}}$ не зависит от времени связь между двумя государствами. Диагональные элементы - это энергии диабатических состояний (${\displaystyle \scriptstyle {E_{1}(t)}}$ и ${\displaystyle \scriptstyle {E_{2}(t)}}$), однако как ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {H} }}$ это не диагональная матрица, ясно, что эти состояния не являются собственными состояниями нового гамильтониана, включающего вклад магнитного поля.

Собственные векторы матрицы ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {H} }}$ - собственные состояния системы, которые мы обозначим ${\displaystyle \scriptstyle {|\phi _{1}(t)\rangle }}$ и ${\displaystyle \scriptstyle {|\phi _{2}(t)\rangle }}$, с соответствующими собственными значениями

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}(t)&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}+(\hbar \omega _{0}-2\mu B(t))^{2}}}\\\varepsilon _{2}(t)&=+{\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}+(\hbar \omega _{0}-2\mu B(t))^{2}}}.\\\end{aligned}}}$

Важно понимать, что собственные значения ${\displaystyle \scriptstyle {\varepsilon _{1}(t)}}$ и ${\displaystyle \scriptstyle {\varepsilon _{2}(t)}}$ являются единственными разрешенными выходами для любого индивидуального измерения энергии системы, тогда как диабатические энергии ${\displaystyle \scriptstyle {E_{1}(t)}}$ и ${\displaystyle \scriptstyle {E_{2}(t)}}$ соответствуют ожидаемые значения для энергии системы в диабатических состояниях ${\displaystyle \scriptstyle {|1\rangle }}$ и ${\displaystyle \scriptstyle {|2\rangle }}$.

фигура 2 показывает зависимость диабатической и адиабатической энергий от величины магнитного поля; обратите внимание, что для ненулевой связи собственные значения гамильтониана не может быть выродиться, и, таким образом, мы имеем избегаемый переход. Если атом изначально находится в состоянии ${\displaystyle \scriptstyle {|\phi _{2}(t_{0})\rangle }}$ в нулевом магнитном поле (на красной кривой, крайний слева), адиабатическое увеличение магнитного поля ${\displaystyle \scriptstyle {\left({\frac {dB}{dt}}\rightarrow 0\right)}}$ гарантирует, что система останется в собственном состоянии гамильтониана ${\displaystyle \scriptstyle {|\phi _{2}(t)\rangle }}$ на протяжении всего процесса (по красной кривой). Дьявольское увеличение магнитного поля ${\displaystyle \scriptstyle {\left({\frac {dB}{dt}}\rightarrow \infty \right)}}$ будет гарантировать, что система следует диабатическому пути (пунктирная синяя линия), так что система претерпевает переход в состояние ${\displaystyle \scriptstyle {|\phi _{1}(t_{1})\rangle }}$. Для конечных скоростей нарастания магнитного поля ${\displaystyle \scriptstyle {\left(0<{\frac {dB}{dt}}<\infty \right)}}$ будет конечная вероятность обнаружения системы в любом из двух собственных состояний. Видеть ниже для подходов к вычислению этих вероятностей.

Эти результаты чрезвычайно важны в атомный и молекулярная физика для управления распределением энергетических состояний в популяции атомов или молекул.

Доказательство адиабатической теоремы

Математическая формулировка адиабатической теоремы

Математически теорему можно сформулировать следующим образом. [1]:

Для медленно меняющегося гамильтониана ${\displaystyle {\hat {H}}}$ во временном диапазоне T решение уравнения Шредингера ${\displaystyle \Psi (t)}$ с начальными условиями ${\displaystyle \Psi (0)=\psi _{n}(0)}$

куда ${\displaystyle \psi _{n}(t)}$ является собственным вектором мгновенного уравнения Шредингера ${\displaystyle {\hat {H}}(t)\psi _{n}(t)=E_{n}(t)\psi _{n}(t)}$ можно приблизительно представить как:

${\displaystyle \left\|{\Psi (t)-\psi _{adiabatic}(t)}\right\|\approx o({\frac {1}{T}})}$

где адиабатическое приближение:

${\displaystyle |\psi _{adiabatic}(t)\rangle =e^{\theta _{n}(t)}e^{\gamma _{n}(t)}|\psi _{n}(t)\rangle }$

и

${\displaystyle \theta _{n}(t)=-{\frac {1}{\hbar }}\int _{0}^{t}E_{n}(t')dt'}$

${\displaystyle \gamma _{n}(t)=\int _{0}^{t}\nu _{n}(t')dt'}$ также называемый Ягодная фаза

${\displaystyle \nu _{n}(t)=i\langle \psi _{n}(t)|{\dot {\psi }}_{n}(t)\rangle }$

Доказательство

Рассмотрим зависящий от времени Уравнение Шредингера

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}({\tfrac {t}{T}})|\psi (t)\rangle }$

с Гамильтониан ${\displaystyle {\hat {H}}(t).}$Мы хотели бы знать связь между начальным состоянием ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$ и его конечное состояние ${\displaystyle |\psi (T)\rangle }$ в ${\displaystyle t=T}$ в адиабатическом пределе ${\displaystyle T\to \infty .}$

Первое переопределение времени как ${\displaystyle \lambda ={\tfrac {t}{T}}\in [0,1]}$:

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial \lambda }|\psi (\lambda )\rangle =T{\hat {H}}(\lambda )|\psi (\lambda )\rangle .}$

В любой момент времени ${\displaystyle {\hat {H}}(\lambda )}$ можно диагонализовать ${\displaystyle {\hat {H}}(\lambda )|\psi _{n}(\lambda )\rangle =E_{n}(\lambda )|\psi _{n}(\lambda )\rangle }$ с собственными значениями ${\displaystyle E_{n}}$ и собственные векторы ${\displaystyle |\psi _{n}(\lambda )\rangle }$. Поскольку собственные векторы образуют полный базис в любой момент, мы можем разложить ${\displaystyle |\psi (\lambda )\rangle }$ в качестве:

${\displaystyle |\psi (\lambda )\rangle =\sum _{n}c_{n}(\lambda )|\psi _{n}(\lambda )\rangle e^{iT\theta _{n}(\lambda )}}$, куда ${\displaystyle \theta _{n}(\lambda )=-{\frac {1}{\hbar }}\int \limits _{0}^{\lambda }E_{n}(\lambda ')d\lambda '.}$

Фаза ${\displaystyle \theta _{n}(t)}$ называется динамический фазовый коэффициент. Путем подстановки в уравнение Шредингера можно получить другое уравнение для вариации коэффициентов:

${\displaystyle i\hbar \sum _{n}({\dot {c}}_{n}|\psi _{n}\rangle +c_{n}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle +ic_{n}|\psi _{n}\rangle T{\dot {\theta }}_{n})e^{iT\theta _{n}}=\sum _{n}c_{n}TE_{n}|\psi _{n}\rangle e^{iT\theta _{n}}.}$

Период, термин ${\displaystyle {\dot {\theta }}_{n}}$ дает ${\displaystyle -E_{n}/\hbar }$, поэтому третий член левой части компенсируется правой частью, оставляя

${\displaystyle \sum _{n}{\dot {c}}_{n}|\psi _{n}\rangle e^{iT\theta _{n}}=-\sum _{n}c_{n}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT\theta _{n}}.}$

Теперь возьмем скалярное произведение с произвольной собственной функцией ${\displaystyle \langle \psi _{m}|}$, то ${\displaystyle \langle \psi _{m}|\psi _{n}\rangle }$ слева дает ${\displaystyle \delta _{nm}}$, который равен 1 только для м = п а в противном случае исчезает. Оставшаяся часть дает

${\displaystyle {\dot {c}}_{m}=-\sum _{n}c_{n}\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})}.}$

За ${\displaystyle T\to \infty }$ то ${\displaystyle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})}}$ будет колебаться все быстрее и быстрее и интуитивно в конечном итоге подавит почти все термины с правой стороны. Единственные исключения - когда ${\displaystyle \theta _{n}-\theta _{m}}$ имеет критическую точку, т.е. ${\displaystyle E_{n}(\lambda )=E_{m}(\lambda )}$. Это тривиально верно для ${\displaystyle m=n}$. Поскольку адиабатическая теорема предполагает разрыв между собственными энергиями в любой момент времени, это не может выполняться для ${\displaystyle m\neq n}$. Поэтому только ${\displaystyle m=n}$ срок останется в пределах ${\displaystyle T\to \infty }$.

Чтобы показать это более строго, нам сначала нужно удалить ${\displaystyle m=n}$ срок. Это можно сделать, определив ${\displaystyle d_{m}(\lambda )=c_{m}(\lambda )e^{\int _{0}^{\lambda }\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{m}\rangle d\lambda }=c_{m}(\lambda )e^{-i\gamma _{m}(\lambda )}.}$

Мы получаем:

${\displaystyle {\dot {d}}_{m}=-\sum _{n\neq m}d_{n}\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}.}$

Это уравнение можно интегрировать:

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{m}(1)-d_{m}(0)&=-\int _{0}^{1}\sum _{n\neq m}d_{n}\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}d\lambda \\&=-\int _{0}^{1}\sum _{n\neq m}(d_{n}-d_{n}(0))\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}d\lambda -\int _{0}^{\lambda }\sum _{n\neq m}d_{n}(0)\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}d\lambda \end{aligned}}}$

или записано в векторной записи

${\displaystyle {\vec {d}}(1)-{\vec {d}}(0)=-\int _{0}^{1}{\hat {A}}(T,\lambda )({\vec {d}}(\lambda )-{\vec {d}}(0))d\lambda -{\vec {\alpha }}(T).}$

Здесь ${\displaystyle {\hat {A}}(T,\lambda )}$ матрица и

${\displaystyle \alpha _{m}(T)=\int _{0}^{1}\sum _{n\neq m}d_{n}(0)\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}d\lambda }$ по сути является преобразованием Фурье.

Это следует из Лемма Римана-Лебега который ${\displaystyle {\vec {\alpha }}(T)\to 0}$ в качестве ${\displaystyle T\to \infty }$. В качестве последнего шага возьмите норму с обеих сторон приведенного выше уравнения:

${\displaystyle \Vert {\vec {d}}(1)-{\vec {d}}(0)\Vert \leq \Vert {\vec {\alpha }}(T)\Vert +\int _{0}^{1}\Vert {\hat {A}}(T,\lambda )\Vert \Vert {\vec {d}}(\lambda )-{\vec {d}}(0)\Vert d\lambda }$

и применить Неравенство Гренвалла чтобы получить

${\displaystyle \Vert {\vec {d}}(1)-{\vec {d}}(0)\Vert \leq \Vert {\vec {\alpha }}(T)\Vert e^{\int _{0}^{1}\Vert {\hat {A}}(T,\lambda )\Vert d\lambda }.}$

С ${\displaystyle {\vec {\alpha }}(T)\to 0}$ следует ${\displaystyle \Vert {\vec {d}}(1)-{\vec {d}}(0)\Vert \to 0}$ за ${\displaystyle T\to \infty }$. Это завершает доказательство адиабатической теоремы.

В адиабатическом пределе собственные состояния гамильтониана эволюционируют независимо друг от друга. Если система подготовлена ​​в собственном состоянии ${\displaystyle |\psi (0)\rangle =|\psi _{n}(0)\rangle }$ его эволюция во времени определяется следующим образом:

${\displaystyle |\psi (\lambda )\rangle =|\psi _{n}(\lambda )\rangle e^{iT\theta _{n}(\lambda )}e^{i\gamma _{n}(\lambda )}.}$

Итак, для адиабатического процесса система, начиная с псобственное состояние также остается в этом псобственное состояние, как и для не зависящих от времени процессов, только с учетом пары фазовых факторов. Фактор новой фазы ${\displaystyle \gamma _{n}(t)}$ можно исключить подходящим выбором калибровки собственных функций. Однако если адиабатическая эволюция циклический, тогда ${\displaystyle \gamma _{n}(t)}$ становится калибровочно-инвариантной физической величиной, известной как Ягодная фаза.

Примеры приложений

Часто твердый кристалл моделируется как набор независимых валентных электронов, движущихся в среднем идеально периодическом потенциале, создаваемом жесткой решеткой ионов. С помощью адиабатической теоремы мы также можем включить вместо этого движение валентных электронов через кристалл и тепловое движение ионов, как в Приближение Борна – Оппенгеймера.^[8]

Это объясняет многие явления в области:

• термодинамика: Температурная зависимость удельная теплоемкость, тепловое расширение, таяние
• явления переноса: температурная зависимость удельное электрическое сопротивление из проводники, температурная зависимость электропроводность в изоляторы, Некоторые свойства низких температур сверхпроводимость
• оптика: оптика поглощение в инфракрасный за ионные кристаллы, Рассеяние Бриллюэна, Рамановское рассеяние

Выведение условий для диабатического и адиабатического перехода

Теперь мы проведем более тщательный анализ.^[9] Используя обозначение бюстгальтера, то вектор состояния системы во время ${\displaystyle \scriptstyle {t}}$ можно написать

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}^{A}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|\phi _{n}\rangle }$,

где пространственная волновая функция, упомянутая ранее, представляет собой проекцию вектора состояния на собственные состояния оператор позиции

${\displaystyle \psi (x,t)=\langle x|\psi (t)\rangle }$.

Поучительно рассмотреть предельные случаи, когда ${\displaystyle \scriptstyle {\tau }}$ очень большой (адиабатический или постепенное изменение) и очень маленький (диабатический или внезапное изменение).

Рассмотрим гамильтониан системы, непрерывно изменяющийся от начального значения ${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}_{0}}}$, вовремя ${\displaystyle \scriptstyle {t_{0}}}$, к окончательному значению ${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}_{1}}}$, вовремя ${\displaystyle \scriptstyle {t_{1}}}$, куда ${\displaystyle \scriptstyle {\tau =t_{1}-t_{0}}}$. Эволюцию системы можно описать в Картина Шредингера оператором временной эволюции, определяемым интегральное уравнение

${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {H}}(t^{\prime }){\hat {U}}(t^{\prime },t_{0})dt^{\prime }}$,

что эквивалентно Уравнение Шредингера.

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {U}}(t,t_{0})={\hat {H}}(t){\hat {U}}(t,t_{0})}$,

вместе с начальным условием ${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {U}}(t_{0},t_{0})=1}}$. Учитывая знание системы волновая функция в ${\displaystyle \scriptstyle {t_{0}}}$, эволюция системы до более позднего времени ${\displaystyle \scriptstyle {t}}$ можно получить с помощью

${\displaystyle |\psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$

Проблема определения адиабатичность данного процесса равносильно установлению зависимости ${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {U}}(t_{1},t_{0})}}$ на ${\displaystyle \scriptstyle {\tau }}$.

Чтобы определить справедливость адиабатического приближения для данного процесса, можно вычислить вероятность нахождения системы в состоянии, отличном от того, в котором она началась. С помощью обозначение бюстгальтера и используя определение ${\displaystyle \scriptstyle {|0\rangle \equiv |\psi (t_{0})\rangle }}$, у нас есть:

${\displaystyle \zeta =\langle 0|{\hat {U}}^{\dagger }(t_{1},t_{0}){\hat {U}}(t_{1},t_{0})|0\rangle -\langle 0|{\hat {U}}^{\dagger }(t_{1},t_{0})|0\rangle \langle 0|{\hat {U}}(t_{1},t_{0})|0\rangle }$.

Мы можем расширить ${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {U}}(t_{1},t_{0})}}$

${\displaystyle {\hat {U}}(t_{1},t_{0})=1+{1 \over i\hbar }\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\hat {H}}(t)dt+{1 \over (i\hbar )^{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt^{\prime }\int _{t_{0}}^{t^{\prime }}dt^{\prime \prime }{\hat {H}}(t^{\prime }){\hat {H}}(t^{\prime \prime })+\ldots }$.

в пертурбативный предел мы можем взять только первые два члена и подставить их в наше уравнение для ${\displaystyle \scriptstyle {\zeta }}$, признавая, что

${\displaystyle {1 \over \tau }\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\hat {H}}(t)dt\equiv {\bar {H}}}$

- гамильтониан системы, усредненный по интервалу ${\displaystyle \scriptstyle {t_{0}\rightarrow t_{1}}}$, у нас есть:

${\displaystyle \zeta =\langle 0|(1+{\frac {i}{\hbar }}\tau {\bar {H}})(1-{i \over \hbar }\tau {\bar {H}})|0\rangle -\langle 0|(1+{i \over \hbar }\tau {\bar {H}})|0\rangle \langle 0|(1-{i \over \hbar }\tau {\bar {H}})|0\rangle }$.

После расширения продуктов и соответствующей отмены у нас остается:

${\displaystyle \zeta ={\frac {\tau ^{2}}{\hbar ^{2}}}\left(\langle 0|{\bar {H}}^{2}|0\rangle -\langle 0|{\bar {H}}|0\rangle \langle 0|{\bar {H}}|0\rangle \right)}$,

давая

${\displaystyle \zeta ={\frac {\tau ^{2}\Delta {\bar {H}}^{2}}{\hbar ^{2}}}}$,

куда ${\displaystyle \scriptstyle {\Delta {\bar {H}}}}$ это среднеквадратическое значение отклонение гамильтониана системы, усредненного по интересующему интервалу.

Внезапное приближение действительно, когда ${\displaystyle \scriptstyle {\zeta \ll 1}}$ (вероятность нахождения системы в состоянии, отличном от того, в котором запущена, приближается к нулю), таким образом, условие достоверности определяется выражением

${\displaystyle \tau \ll {\hbar \over \Delta {\bar {H}}}}$,

что является заявлением Энергетическая форма принципа неопределенности Гейзенберга.

Диабатический переход

В пределе ${\displaystyle \scriptstyle {\tau \rightarrow 0}}$ у нас есть бесконечно быстрый или диабатический переход:

${\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow 0}{\hat {U}}(t_{1},t_{0})=1}$.

Функциональная форма системы остается неизменной:

${\displaystyle |\langle x|\psi (t_{1})\rangle |^{2}=|\langle x|\psi (t_{0})\rangle |^{2}\quad }$.

Иногда это называют внезапным приближением. Справедливость приближения для данного процесса можно охарактеризовать вероятностью того, что состояние системы останется неизменным:

${\displaystyle P_{D}=1-\zeta \quad }$.

Адиабатический переход

В пределе ${\displaystyle \scriptstyle {\tau \rightarrow \infty }}$ у нас есть бесконечно медленный или адиабатический проход. Система развивается, адаптируя свою форму к меняющимся условиям,

${\displaystyle |\langle x|\psi (t_{1})\rangle |^{2}\neq |\langle x|\psi (t_{0})\rangle |^{2}}$.

Если система изначально находится в собственное состояние из ${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}(t_{0})}}$, после периода ${\displaystyle \scriptstyle {\tau }}$ он перейдет в соответствующий собственное состояние ${\displaystyle \scriptstyle {{\hat {H}}(t_{1})}}$.

Это называется адиабатическим приближением. Достоверность приближения для данного процесса можно определить по вероятности того, что конечное состояние системы отличается от начального состояния:

${\displaystyle P_{A}=\zeta \quad }$.

Расчет вероятностей адиабатического прохождения

Формула Ландау – Зинера

Основная статья: Формула Ландау – Зинера

В 1932 г. аналитическое решение задачи вычисления вероятностей адиабатических переходов было опубликовано отдельно. Лев Ландау и Кларенс Зенер,^[10] для частного случая линейно меняющегося возмущения, в котором изменяющаяся во времени составляющая не связывает соответствующие состояния (следовательно, связь в диабатической матрице гамильтониана не зависит от времени).

Ключевым показателем этого подхода является скорость Ландау – Зинера:

${\displaystyle v_{\text{LZ}}={{\frac {\partial }{\partial t}}|E_{2}-E_{1}| \over {\frac {\partial }{\partial q}}|E_{2}-E_{1}|}\approx {\frac {dq}{dt}}}$,

куда ${\displaystyle q}$ - переменная возмущения (электрическое или магнитное поле, длина молекулярной связи или любое другое возмущение в системе), и ${\displaystyle E_{1}}$ и ${\displaystyle E_{2}}$ - энергии двух диабатических (пересекающихся) состояний. Большой ${\displaystyle v_{\text{LZ}}}$ приводит к большой вероятности диабатического перехода и наоборот.

Используя формулу Ландау – Зинера, вероятность, ${\displaystyle P_{\rm {D}}}$, диабатического перехода определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\rm {D}}&=e^{-2\pi \Gamma }\\\Gamma &={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {\partial }{\partial t}}(E_{2}-E_{1})\right|}={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {dq}{dt}}{\frac {\partial }{\partial q}}(E_{2}-E_{1})\right|}\\&={a^{2} \over \hbar |\alpha |}\\\end{aligned}}}$

Численный подход

Основная статья: Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Для перехода, включающего нелинейное изменение переменной возмущения или зависящую от времени связь между диабатическими состояниями, уравнения движения для динамики системы не могут быть решены аналитически. Вероятность диабатического перехода все еще может быть получена с использованием одного из самых разнообразных алгоритмы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Решаемые уравнения можно получить из нестационарного уравнения Шредингера:

${\displaystyle i\hbar {\dot {\underline {c}}}^{A}(t)=\mathbf {H} _{A}(t){\underline {c}}^{A}(t)}$,

куда ${\displaystyle {\underline {c}}^{A}(t)}$ это вектор содержащие амплитуды адиабатических состояний, ${\displaystyle \mathbf {H} _{A}(t)}$ - нестационарный адиабатический гамильтониан,^[7] точка представляет собой производную по времени.

Сравнение используемых начальных условий со значениями амплитуд состояний после перехода может дать вероятность диабатического перехода. В частности, для системы с двумя состояниями:

${\displaystyle P_{D}=|c_{2}^{A}(t_{1})|^{2}}$

для системы, которая началась с ${\displaystyle |c_{1}^{A}(t_{0})|^{2}=1}$.

Смотрите также

• Формула Ландау – Зинера
• Ягодная фаза
• Квантовое перемешивание, трещотки и откачка
• Адиабатический квантовый двигатель
• Приближение Борна – Оппенгеймера
• Диабатический

Рекомендации

1. М. Борн и В. А. Фок (1928). "Beweis des Adiabatensatzes". Zeitschrift für Physik A. 51 (3–4): 165–180. Bibcode:1928ZPhy ... 51..165B. Дои:10.1007 / BF01343193. S2CID  122149514.
2. Т. Като (1950). «Об адиабатической теореме квантовой механики». Журнал Физического общества Японии. 5 (6): 435–439. Bibcode:1950JPSJ .... 5..435K. Дои:10.1143 / JPSJ.5.435.
3. Дж. Э. Аврон и А. Элгарт (1999). «Адиабатическая теорема без условия разрыва». Коммуникации по математической физике. 203 (2): 445–463. arXiv:math-ph / 9805022. Bibcode:1999CMaPh.203..445A. Дои:10.1007 / s002200050620. S2CID  14294926.
4. Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). «10». Введение в квантовую механику. Пирсон Прентис Холл. ISBN  0-13-111892-7.
5. Бартон Цвибах (весна 2018). «L15.2 Классический адиабатический инвариант». MIT 8.06 Квантовая физика III.
6. Бартон Цвибах (весна 2018). «Классический аналог: генератор с медленно меняющейся частотой». MIT 8.06 Квантовая физика III.
7. С. Стенхольм (1994). «Квантовая динамика простых систем». 44-я летняя школа по физике при шотландских университетах: 267–313.
8. © Карло Э. Боттани (2017–2018). Конспект лекций по физике твердого тела. С. 64–67.
9. Мессия, Альберт (1999). «XVII». Квантовая механика. Dover Publications. ISBN  0-486-40924-4.
10. К. Зенер (1932). «Неадиабатическое пересечение энергетических уровней». Труды Лондонского королевского общества, серия A. 137 (6): 692–702. Bibcode:1932RSPSA.137..696Z. Дои:10.1098 / rspa.1932.0165. JSTOR  96038.