Формула Ландау – Зинера - Landau–Zener formula

Эскиз избежать перехода На графике представлены энергии системы по параметру z (который может меняться во времени). Пунктирными линиями показаны энергии диабатических состояний, которые пересекаются друг с другом на z_c, а сплошные линии - энергии адиабатических состояний (собственные значения гамильтониана).

В Формула Ландау – Зинера является аналитическое решение к уравнениям движения, определяющим динамику перехода квантовая система с двумя состояниями, с зависящим от времени Гамильтониан изменяются таким образом, что разделение энергии двух состояний является линейной функцией времени. Формула, дающая вероятность диабетический (нет адиабатический ) переход между двумя энергетическими состояниями был опубликован отдельно Лев Ландау,^[1] Кларенс Зенер,^[2] Эрнст Штюкельберг,^[3] и Этторе Майорана,^[4] в 1932 г.

Если система запускается в бесконечном прошлом в собственном состоянии с более низкой энергией, мы хотим вычислить вероятность нахождения системы в состоянии с более высокой энергией в бесконечном будущем (так называемый переход Ландау – Зинера). При бесконечно медленном изменении разности энергий (т.е. при нулевой скорости Ландау – Зинера) адиабатическая теорема говорит нам, что такого перехода не будет, поскольку система всегда будет в мгновенном собственном состоянии гамильтониана в этот момент времени. При ненулевых скоростях переходы происходят с вероятностью, как описано формулой Ландау – Зинера.

Условия и приближение

Такие переходы происходят между состояниями всей системы, поэтому любое описание системы должно включать все внешние воздействия, включая столкновения и внешний электрический и магнитный поля. Для того чтобы уравнения движения системы могли быть решены аналитически, делается ряд упрощений, известных под общим названием приближение Ландау – Зинера. Ниже приведены упрощения:

1. Параметр возмущения в гамильтониане - это известная линейная функция времени
2. Энергетическое разделение диабатических состояний линейно изменяется со временем
3. Связь в диабатической матрице гамильтониана не зависит от времени

Первое упрощение делает это лечение полуклассическим. В случае атома в магнитном поле напряженность поля становится классической переменной, которую можно точно измерить во время перехода. Это требование является весьма ограничительным, поскольку линейное изменение, как правило, не будет оптимальным профилем для достижения желаемой вероятности перехода.

Второе упрощение позволяет сделать замену

${\displaystyle \Delta E=E_{2}(t)-E_{1}(t)\equiv \alpha t,\,}$

куда ${\displaystyle \scriptstyle {E_{1}(t)}}$ и ${\displaystyle \scriptstyle {E_{2}(t)}}$ - энергии двух состояний во время ${\displaystyle \scriptstyle {t}}$, задаваемый диагональными элементами матрицы гамильтониана, и ${\displaystyle \scriptstyle {\alpha }}$ является константой. В случае атома в магнитном поле это соответствует линейному изменению магнитного поля. Для линейного Зеемановская смена это непосредственно следует из пункта 1.

Окончательное упрощение требует, чтобы зависящее от времени возмущение не связывало диабатические состояния; скорее, сцепление должно происходить из-за статического отклонения от ${\displaystyle \scriptstyle {1/r}}$ кулоновский потенциал, обычно описываемый квантовый дефект.

Формула

Детали решения Зенера несколько непрозрачны, поскольку он основан на ряде замен, чтобы преобразовать уравнение движения в форму уравнения Вебера^[5] и используя известное решение. Более прозрачное решение предлагает Курт Виттиг^[6] с помощью контурная интеграция.

Ключевым показателем этого подхода является скорость Ландау – Зинера:

${\displaystyle v_{\rm {LZ}}={{\frac {\partial }{\partial t}}|E_{2}-E_{1}| \over {\frac {\partial }{\partial q}}|E_{2}-E_{1}|}\approx {\frac {dq}{dt}},}$

куда ${\displaystyle \scriptstyle {q}}$ - переменная возмущения (электрическое или магнитное поле, длина молекулярной связи или любое другое возмущение в системе), и ${\displaystyle \scriptstyle {E_{1}}}$ и ${\displaystyle \scriptstyle {E_{2}}}$ - энергии двух диабатических (пересекающихся) состояний. Большой ${\displaystyle \scriptstyle {v_{\rm {LZ}}}}$ приводит к большой вероятности диабатического перехода и наоборот.

Используя формулу Ландау – Зинера, вероятность, ${\displaystyle \scriptstyle {P_{\rm {D}}}}$, диабатического перехода определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\rm {D}}&=e^{-2\pi \Gamma }\\\Gamma &={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {\partial }{\partial t}}(E_{2}-E_{1})\right|}={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {dq}{dt}}{\frac {\partial }{\partial q}}(E_{2}-E_{1})\right|}\\&={a^{2} \over \hbar |\alpha |}\end{aligned}}}$

Количество ${\displaystyle a}$ это недиагональный элемент гамильтониана двухуровневой системы, связывающего базисы, и, как таковая, это половина расстояния между двумя невозмущенными собственными энергиями в избегаемом пересечении, когда ${\displaystyle E_{1}=E_{2}}$.

Проблема с несколькими состояниями

Простейшим обобщением модели Ландау – Зинера с двумя состояниями является многоступенчатая система с гамильтонианом вида

${\displaystyle H(t)=A+Bt}$,

куда А и B эрмитские NИксN матрицы с элементами, не зависящими от времени. Целью многоступенчатой ​​теории Ландау – Зинера является определение элементов матрицы рассеяния и вероятностей переходов между состояниями этой модели после эволюции с таким гамильтонианом от отрицательного бесконечного к положительному бесконечному времени. Вероятности переходов представляют собой квадрат абсолютных значений элементов матрицы рассеяния.

Существуют точные формулы, называемые ограничениями иерархии, которые обеспечивают аналитические выражения для специальных элементов матрицы рассеяния в любой модели Ландау – Зинера с несколькими состояниями.^[7] Частные случаи этих соотношений известны как формула Брандоблера – Эльзера (BE) (отмеченная Брандоблером и Эльзером при численном моделировании).^[8] и строго доказано Добреску и Синицыным,^[9] после вклада Волкова и Островского^[10]), а запретная теорема ^[11], ^[12]). Дискретные симметрии часто приводят к ограничениям, которые уменьшают количество независимых элементов матрицы рассеяния.^[13][14]

Существуют условия интегрируемости, которые при их выполнении приводят к точным выражениям для матриц рассеяния в многоступенчатых моделях Ландау – Зинера.^[15] При этих условиях были идентифицированы и исследованы многочисленные полностью решаемые многоступенчатые модели Ландау – Зинера, в том числе:

• Модель Демкова – Ошерова.^[16] который описывает один уровень, пересекающий полосу параллельных уровней. Удивительным фактом в решении этой модели является совпадение точно полученной матрицы вероятностей перехода с ее формой, полученной с помощью простого квазиклассического приближения независимых пересечений. С некоторыми обобщениями это свойство проявляется почти во всех разрешимых системах Ландау – Зинера с конечным числом взаимодействующих состояний.
• Обобщенная модель галстука-бабочки.^[17] Модель описывает связь двух (или одного в пределе вырожденного случая) уровня с набором невзаимодействующих диабатических состояний, которые пересекаются в одной точке.
• Управляемая модель Тэвиса – Каммингса^[18] описывает взаимодействие N spins-½ с бозонной модой в линейно-зависящем от времени магнитном поле. Это самая богатая из известных решенных систем. Она имеет комбинаторную сложность: размерность ее векторного пространства состояний растет экспоненциально с увеличением числа спинов N. Вероятности переходов в этой модели описываются q-деформированной биномиальной статистикой.^[19]
• Спиновые кластеры, взаимодействующие с зависящими от времени магнитными полями.^[20] Этот класс моделей показывает относительно сложное поведение вероятностей переходов из-за эффектов интерференции пути в полуклассическом приближении независимого пересечения.
• Приводимые (или составные) многоступенчатые модели Ландау – Зинера.^[21][22] Этот класс состоит из систем, которые можно разделить на подмножества других решаемых и более простых моделей с помощью преобразования симметрии. Ярким примером является произвольный спиновый гамильтониан ${\textstyle H=gS_{x}+btS_{z}}$, куда S_z и S_Икс - операторы спина, а S>1/2; б и грамм являются постоянными параметрами. Это самая ранняя из известных разрешимых систем, которая обсуждалась Майораном в 1932 году. Среди других примеров есть модели пары вырожденных пересечений уровней,^[23] и одномерная квантовая цепочка Изинга в линейно изменяющемся магнитном поле.^[24][25]
• Переходы Ландау – Зинера в бесконечных линейных цепочках.^[26] В этот класс входят системы с формально бесконечным числом взаимодействующих состояний. Хотя наиболее известные их примеры могут быть получены как пределы моделей конечного размера (таких как модель Тэвиса – Каммингса), есть также случаи, которые не относятся к этой классификации. Например, существуют разрешимые бесконечные цепочки с ненулевыми связями между неближайшими состояниями.^[27]

Исследование шума

Применение решения Ландау – Зинера к задачам подготовки квантовых состояний и манипулирования ими с дискретными степенями свободы стимулировало изучение эффектов шума и декогеренции на вероятность перехода в управляемой системе с двумя состояниями. Для описания этих эффектов было получено несколько компактных аналитических результатов, включая формулу Каянумы.^[28] для сильного диагонального шума, а формула Покровского – Синицына^[29] для связи с быстрым цветным шумом с недиагональными компонентами.

Используя функцию Грина Швингера-Келдыша, Ао и Раммер в конце 1980-х провели довольно полное и всестороннее исследование влияния квантового шума во всех режимах параметров: от слабой до сильной связи, от низкой до высокой температуры, от медленного до быстрого прохождения и т. Были получены краткие аналитические выражения в различных пределах, показывающие богатое поведение такой проблемы. ^[30] Влияние спиновой ванны и термостата на процесс Ландау – Зинера исследовали Синицын и Прокофьев.^[31] и Покровский и Солнце,^[32][33][34] соответственно.

Точные результаты в многоуровневой теории Ландау – Зинера (запретная теорема и BE-формула ) может применяться к системам Ландау-Зинера, которые связаны с ваннами, состоящими из бесконечного множества осцилляторов и / или спиновых ванн (диссипативные переходы Ландау-Зинера). Они дают точные выражения для вероятностей переходов, усредненных по конечным состояниям ванны, если эволюция начинается с основного состояния при нулевой температуре, см. для ванн с осциллятором^[35] и для универсальных результатов, включая прядильные ванны, в работе.^[36]

Смотрите также

• Теория неадиабатических переходных состояний
• Адиабатическая теорема
• Смягчение связи
• Связующее затвердевание
• Уравнение Фруассара-Стора

Рекомендации

1. Л. Ландау (1932). "Zur Theorie der Energieubertragung. II". Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion. 2: 46–51.
2. К. Зенер (1932). «Неадиабатическое пересечение энергетических уровней». Труды Лондонского королевского общества A. 137 (6): 696–702. Bibcode:1932RSPSA.137..696Z. Дои:10.1098 / rspa.1932.0165. JSTOR  96038.
3. Э. К. Г. Штюкельберг (1932). "Theorie der unelastischen Stösse zwischen Atomen". Helvetica Physica Acta. 5: 369. Дои:10.5169 / пломбы-110177.
4. Э. Майорана (1932). "Atomi orientati in campo magno variabile". Il Nuovo Cimento. 9 (2): 43–50. Bibcode:1932NCim .... 9 ... 43M. Дои:10.1007 / BF02960953.
5. Abramowitz, M .; И. А. Стегун (1976). Справочник по математическим функциям (9-е изд.). Dover Publications. стр.498. ISBN  978-0-486-61272-0.
6. К. Виттиг (2005). «Формула Ландау – Зинера». Журнал физической химии B. 109 (17): 8428–8430. Дои:10.1021 / jp040627u. PMID  16851989.
7. Н. А. Синицын; J. Lin; В. Ю. Черняк (2017). «Ограничения на амплитуды рассеяния в многоступенчатой ​​теории Ландау-Зинера». Физический обзор A. 95 (1): 0112140. arXiv:1609.06285. Bibcode:2017PhRvA..95a2140S. Дои:10.1103 / PhysRevA.95.012140.
8. С. Брандоблер; В. Эльзер (1993). «S-матрица для обобщенной задачи Ландау – Зинера». Журнал физики А. 26 (5): 1211. Bibcode:1993JPhA ... 26.1211B. Дои:10.1088/0305-4470/26/5/037.
9. Б. Добреску; Синицын Н.А. (2006). Комментарий к статье «Точные результаты для вероятности выживания в многоуровневой модели Ландау – Зинера.'". Журнал физики B. 39 (5): 1253. arXiv:cond-mat / 0505571. Bibcode:2006JPhB ... 39.1253D. Дои:10.1088 / 0953-4075 / 39/5 / N01.
10. Волков М.В. Островский В. Н. (2004). «Точные результаты для вероятности выживания в многоуровневой модели Ландау – Зинера». Журнал физики B. 37 (20): 4069. Дои:10.1088/0953-4075/37/20/003.
11. Синицын Н.А. (2004). «Контринтуитивные переходы в многоступенчатой ​​задаче Ландау – Зинера с линейными пересечениями уровней». Журнал физики А. 37 (44): 10691–10697. arXiv:Quant-ph / 0403113. Bibcode:2004JPhA ... 3710691S. Дои:10.1088/0305-4470/37/44/016.
12. Волков М.В. Островский В. Н. (2005). «Теорема о запрете прохождения полос потенциальных кривых в многоступенчатой ​​модели Ландау – Зинера». Журнал физики B. 38 (7): 907. Bibcode:2005JPhB ... 38..907В. Дои:10.1088/0953-4075/38/7/011.
13. Синицын Н.А. (2015). «Точные результаты для моделей многоканальных квантовых неадиабатических переходов». Физический обзор A. 90 (7): 062509. arXiv:1411.4307. Bibcode:2014PhRvA..90f2509S. Дои:10.1103 / PhysRevA.90.062509.
14. Ф. Ли; Синицын Н.А. (2016). «Динамические симметрии и квантовые неадиабатические переходы». Химическая физика. 481: 28–33. arXiv:1604.00106. Bibcode:2016CP .... 481 ... 28L. Дои:10.1016 / j.chemphys.2016.05.029.
15. Н. А. Синицын; В. Ю. Черняк (2017). «В поисках разрешимых многоуровневых моделей Ландау-Зинера». Журнал физики А. 50 (25): 255203. arXiv:1701.01870. Bibcode:2017JPhA ... 50y5203S. Дои:10.1088 / 1751-8121 / aa6800.
16. Ю. Н. Демков; В. И. Ошеров (1968). «Стационарные и нестационарные задачи квантовой механики, которые могут быть решены с помощью контурного интегрирования». Советская физика в ЖЭТФ. 24: 916. Bibcode:1968JETP ... 26..916D.
17. Ю. Н. Демков; Островский В. Н. (2001). «Точное решение многоступенчатой ​​модели типа Ландау – Зинера: обобщенная модель галстука-бабочки». Журнал физики B. 34 (12): 2419. Bibcode:2001JPhB ... 34.2419D. Дои:10.1088/0953-4075/34/12/309.
18. Н. А. Синицын; Ф. Ли (2016). «Решаемая многоступенчатая модель переходов Ландау-Зинера в КЭД резонатора». Физический обзор A. 93 (6): 063859. arXiv:1602.03136. Bibcode:2016PhRvA..93f3859S. Дои:10.1103 / PhysRevA.93.063859.
19. C. Sun; Синицын Н.А. (2016). «Расширение Ландау-Зинера модели Тависа-Каммингса: структура решения». Физический обзор A. 94 (3): 033808. arXiv:1606.08430. Bibcode:2016PhRvA..94c3808S. Дои:10.1103 / PhysRevA.94.033808.
20. В. Ю. Черняк; Н. А. Синицын; К. Сан (2019). «Динамическая локализация спина и гамма-магниты». Физический обзор B. 10: 224304. arXiv:1905.05287. Дои:10.1103 / PhysRevB.100.224304.
21. Синицын Н.А. (2002). «Многочастичная проблема Ландау – Зинера: приложение к квантовым точкам». Физический обзор B. 66 (20): 205303. arXiv:cond-mat / 0212017. Bibcode:2002ПхРвБ..66т5303С. Дои:10.1103 / PhysRevB.66.205303.
22. А. Патра; Юзбашян Э.А. (2015). «Квантовая интегрируемость в многоступенчатой ​​задаче Ландау – Зинера». Журнал физики А. 48 (24): 245303. arXiv:1412.4926. Bibcode:2015JPhA ... 48x5303P. Дои:10.1088/1751-8113/48/24/245303.
23. Г. С. Васильев; С. С. Иванов; Витанов Н.В. (2007). «Вырожденная модель Ландау-Зинера: аналитическое решение». Физический обзор A. 75 (1): 013417. arXiv:0909.5396. Bibcode:2007PhRvA..75a3417V. Дои:10.1103 / PhysRevA.75.013417.
24. Р. В. Чернг; Левитов Л.С. (2006). «Энтропия и корреляционные функции ведомой квантовой спиновой цепочки». Физический обзор A. 73 (4): 043614. arXiv:cond-mat / 0512689. Bibcode:2006PhRvA..73d3614C. Дои:10.1103 / PhysRevA.73.043614.
25. Дж. Дзиармага (2005). «Динамика квантового фазового перехода: точное решение квантовой модели Изинга». Письма с физическими проверками. 95 (24): 245701. arXiv:cond-mat / 0509490. Bibcode:2005ПхРвЛ..95х5701Д. Дои:10.1103 / PhysRevLett.95.245701. PMID  16384394.
26. Синицын Н.А. (2013). «Переходы Ландау-Зинера в цепях». Физический обзор A. 87 (3): 032701. arXiv:1212.2907. Bibcode:2013PhRvA..87c2701S. Дои:10.1103 / PhysRevA.87.032701.
27. Покровский В. Л.; Синицын Н.А. (2002). «Переходы Ландау – Зинера в линейной цепочке». Физический обзор B. 65 (15): 153105. arXiv:cond-mat / 0112419. Bibcode:2002PhRvB..65o3105P. Дои:10.1103 / PhysRevB.65.153105. HDL:1969.1/146790.
28. Ю. Каянума (1984). «Неадиабатические переходы при пересечении уровней с флуктуацией энергии. I. Аналитические исследования». Журнал Физического общества Японии. 53 (1): 108–117. Bibcode:1984JPSJ ... 53..108K. Дои:10.1143 / JPSJ.53.108.
29. Уравнение 42 дюйм Покровский В. Л.; Синицын Н.А. (2004). «Быстрый шум в теории Ландау – Зинера». Физический обзор B. 67 (14): 045603. arXiv:cond-mat / 0212016. Bibcode:2003ПхРвБ..67н4303П. Дои:10.1103 / PhysRevB.67.144303. HDL:1969.1/127315.
30. Таблица I в П. Ао; Дж. Раммер (1991). «Квантовая динамика системы с двумя состояниями в диссипативной среде». Физический обзор B. 43 (7): 5497–5518. Дои:10.1103 / PhysRevB.43.5397.
31. Н. А. Синицын; Прокофьев Н. (2003). «Эффекты ядерной спиновой ванны на переходах Ландау – Зинера в наномагнетиках». Физический обзор B. 67 (13): 134403. Bibcode:2003ПхРвБ..67м4403С. Дои:10.1103 / PhysRevB.67.134403.
32. Покровский В. Л.; Д. Сан (2007). «Быстрый квантовый шум при переходе Ландау – Зинера». Физический обзор B. 76 (2): 024310. arXiv:cond-mat / 0702476. Bibcode:2007ПхРвБ..76б4310П. Дои:10.1103 / PhysRevB.76.024310. HDL:1969.1/127339.
33. Д. Сан; А. Абанов; Покровский В.Л. (2008). «Молекулярное производство в широком резонансе Фешбаха в ферми-газе охлажденных атомов». EPL. 83 (1): 16003. arXiv:0707.3630. Bibcode:2008ЭЛ ..... 8316003С. Дои:10.1209/0295-5075/83/16003.
34. Д. Сан; А. Абанов; Покровский В. Л. (2009). «Статические и динамические свойства ферми-газа охлажденных атомов вблизи широкого резонанса Фешбаха». arXiv:0902.2178 [cond-mat.other ].
35. М. Вубс; К. Сайто; С. Колер; П. Хангги; Я. Каянума (2006). «Измерение квантового термостата с диссипативными переходами Ландау-Зинера». Письма с физическими проверками. 97 (20): 200404. arXiv:cond-mat / 0608333. Bibcode:2006PhRvL..97t0404W. Дои:10.1103 / PhysRevLett.97.200404. PMID  17155667.
36. К. Сайто; М. Вубс; С. Колер; Ю. Каянума; П. Хангги (2007). "Диссипативные переходы Ландау-Зинера кубита: специфическое для ванны и универсальное поведение". Физический обзор B. 75 (21): 214308. arXiv:cond-mat / 0703596. Bibcode:2007PhRvB..75u4308S. Дои:10.1103 / PhysRevB.75.214308.