Диабатический - Diabatic

Не путать с Диабетик

Смотрите также адиабатический процесс, концепция в термодинамика

В квантовая химия, то поверхности потенциальной энергии получены в рамках адиабатический или же Приближение Борна – Оппенгеймера. Это соответствует представлению молекулярного волновая функция где переменные, соответствующие молекулярная геометрия и электронный степени свободы находятся отделенный. В неотделимые условия связаны с членами кинетической энергии ядер в молекулярный гамильтониан и, как говорят, соединяют поверхности потенциальной энергии. По соседству с избежать перехода или же коническое пересечение, этими условиями нельзя пренебрегать. Поэтому обычно выполняют один унитарное преобразование от адиабатический представительство в так называемых диабатическое представление в котором оператор ядерной кинетической энергии имеет вид диагональ. В этом представлении связь обусловлена электронная энергия и является скалярной величиной, которую значительно легче оценить численно.

В диабатическом представлении поверхности потенциальной энергии более гладкие, так что низкий порядок Серия Тейлор Расширения поверхности отражают большую часть сложности исходной системы. Однако строго диабатических состояний в общем случае не бывает. Следовательно, диабатические потенциалы, генерируемые преобразованием нескольких электронных энергетических поверхностей вместе, обычно неточны. Их можно назвать псевдодиабатические потенциалы, но обычно этот термин не используется, за исключением случаев, когда необходимо подчеркнуть эту тонкость. Следовательно, псевдодиабатические потенциалы синонимичны диабатическим потенциалам.

Применимость

Мотивация для расчета диабатических потенциалов часто возникает, когда Приближение Борна – Оппенгеймера не выполняется или не оправдывается для исследуемой молекулярной системы. Для этих систем необходимо перейти вне приближение Борна – Оппенгеймера. Часто это терминология, используемая для обозначения изучения неадиабатические системы.

Хорошо известный подход включает преобразование молекулярного уравнения Шредингера в набор связанных уравнений на собственные значения. Это достигается разложением точной волновой функции по произведениям электронных и ядерных волновых функций (адиабатические состояния) с последующим интегрированием по электронным координатам. Полученные таким образом связанные операторные уравнения зависят только от ядерных координат. Недиагональные элементы в этих уравнениях - члены кинетической энергии ядра. Диабатическое преобразование адиабатических состояний заменяет эти недиагональные термины кинетической энергии терминами потенциальной энергии. Иногда это называют «адиабатическим преобразованием в диабатическое», сокращенно ADT.

Диабатическое преобразование двух электронных поверхностей

Чтобы представить диабатическое преобразование, мы предполагаем, что теперь только две поверхности потенциальной энергии (ППЭ), 1 и 2, приближаются друг к другу, а все остальные поверхности хорошо разделены; аргумент можно обобщить на большее количество поверхностей. Пусть набор электронных координат обозначен ${\displaystyle \mathbf {r} }$, пока ${\displaystyle \mathbf {R} }$ указывает на зависимость от ядерных координат. Таким образом, мы предполагаем ${\displaystyle E_{1}(\mathbf {R} )\approx E_{2}(\mathbf {R} )}$ с соответствующими ортонормированными электронными состояниями${\displaystyle \chi _{1}(\mathbf {r} ;\mathbf {R} )\,}$ и ${\displaystyle \chi _{2}(\mathbf {r} ;\mathbf {R} )\,}$. В отсутствие магнитных взаимодействий эти электронные состояния, которые параметрически зависят от ядерных координат, можно рассматривать как действительные функции.

Ядерная кинетическая энергия - это сумма ядер А с массой M_А,

${\displaystyle T_{\mathrm {n} }=\sum _{A}\sum _{\alpha =x,y,z}{\frac {P_{A\alpha }P_{A\alpha }}{2M_{A}}}\quad \mathrm {with} \quad P_{A\alpha }=-i\nabla _{A\alpha }\equiv -i{\frac {\partial \quad }{\partial R_{A\alpha }}}.}$

(Атомные единицы используются здесь). Правило Лейбница для дифференцирования матричные элементы ${\displaystyle T_{\textrm {n}}}$ есть (где мы опускаем координаты для ясности):

${\displaystyle \mathrm {T_{n}} (\mathbf {R} )_{k'k}\equiv \langle \chi _{k'}|T_{n}|\chi _{k}\rangle _{(\mathbf {r} )}=\delta _{k'k}T_{\textrm {n}}+\sum _{A,\alpha }{\frac {1}{M_{A}}}\langle \chi _{k'}|{\big (}P_{A\alpha }\chi _{k}{\big )}\rangle _{(\mathbf {r} )}P_{A\alpha }+\langle \chi _{k'}|{\big (}T_{\mathrm {n} }\chi _{k}{\big )}\rangle _{(\mathbf {r} )}.}$

Нижний индекс ${\displaystyle {(\mathbf {r} )}}$ указывает на то, что интегрирование внутри скобки производится только по электронным координатам. Предположим далее, что все недиагональные матричные элементы${\displaystyle \mathrm {T_{n}} (\mathbf {R} )_{kp}=\mathrm {T_{n}} (\mathbf {R} )_{pk}}$ можно пренебречь, за исключением k = 1 ир = 2. После расширения

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\mathbf {R} )=\chi _{1}(\mathbf {r} ;\mathbf {R} )\Phi _{1}(\mathbf {R} )+\chi _{2}(\mathbf {r} ;\mathbf {R} )\Phi _{2}(\mathbf {R} ),}$

связанные уравнения Шредингера для ядерной части принимают вид (см. статью Приближение Борна – Оппенгеймера )

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{1}(\mathbf {R} )+\mathrm {T_{n}} (\mathbf {R} )_{11}&\mathrm {T_{n}} (\mathbf {R} )_{12}\\\mathrm {T_{n}} (\mathbf {R} )_{21}&E_{2}(\mathbf {R} )+\mathrm {T_{n}} (\mathbf {R} )_{22}\\\end{pmatrix}}{\boldsymbol {\Phi }}(\mathbf {R} )=E\,{\boldsymbol {\Phi }}(\mathbf {R} )\quad \mathrm {with} \quad {\boldsymbol {\Phi }}(\mathbf {R} )\equiv {\begin{pmatrix}\Phi _{1}(\mathbf {R} )\\\Phi _{2}(\mathbf {R} )\\\end{pmatrix}}.}$

Чтобы избавиться от проблемных недиагональных членов кинетической энергии, мы определяем два новых ортонормированных состояния с помощью диабатическая трансформация из адиабатические состояния ${\displaystyle \chi _{1}\,}$ и ${\displaystyle \chi _{2}\,}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varphi _{1}(\mathbf {r} ;\mathbf {R} )\\\varphi _{2}(\mathbf {r} ;\mathbf {R} )\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \gamma (\mathbf {R} )&\sin \gamma (\mathbf {R} )\\-\sin \gamma (\mathbf {R} )&\cos \gamma (\mathbf {R} )\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\chi _{1}(\mathbf {r} ;\mathbf {R} )\\\chi _{2}(\mathbf {r} ;\mathbf {R} )\\\end{pmatrix}}}$

куда ${\displaystyle \gamma (\mathbf {R} )}$ это диабатический угол. Преобразование матрицы импульса ядра ${\displaystyle \langle \chi _{k'}|{\big (}P_{A\alpha }\chi _{k}{\big )}\rangle _{(\mathbf {r} )}}$ за ${\displaystyle k',k=1,2}$ дает для диагональ матричные элементы

${\displaystyle \langle {\varphi _{k}}|{\big (}P_{A\alpha }\varphi _{k}{\big )}\rangle _{(\mathbf {r} )}=0\quad {\textrm {for}}\quad k=1,\,2.}$

Эти элементы равны нулю, потому что ${\displaystyle \varphi _{k}}$ реально ${\displaystyle P_{A\alpha }\,}$ является эрмитовым и чисто мнимым. Недиагональные элементы оператора импульса удовлетворяют

${\displaystyle \langle {\varphi _{2}}|{\big (}P_{A\alpha }\varphi _{1}{\big )}\rangle _{(\mathbf {r} )}={\big (}P_{A\alpha }\gamma (\mathbf {R} ){\big )}+\langle \chi _{2}|{\big (}P_{A\alpha }\chi _{1}{\big )}\rangle _{(\mathbf {r} )}.}$

Предположим, что диабатический угол ${\displaystyle \gamma (\mathbf {R} )}$ существует такое, что в хорошем приближении

${\displaystyle {\big (}P_{A\alpha }\gamma (\mathbf {R} ){\big )}+\langle \chi _{2}|{\big (}P_{A\alpha }\chi _{1}{\big )}\rangle _{(\mathbf {r} )}=0}$

т.е. ${\displaystyle \varphi _{1}}$ и ${\displaystyle \varphi _{2}}$ диагонализуйте матрицу импульса ядра 2 x 2. По определению Смита^[1] ${\displaystyle \varphi _{1}}$ и ${\displaystyle \varphi _{2}}$ находятся диабатические состояния. (Смит был первым, кто дал определение этому понятию; ранее термин диабетический Лихтен использовал несколько вольно ^[2]).

Путем небольшой замены обозначений эти дифференциальные уравнения для ${\displaystyle \gamma (\mathbf {R} )}$ можно переписать в следующем, более привычном виде:

${\displaystyle F_{A\alpha }(\mathbf {R} )=-\nabla _{A\alpha }V(\mathbf {R} )\qquad \mathrm {with} \;\;V(\mathbf {R} )\equiv \gamma (\mathbf {R} )\;\;\mathrm {and} \;\;F_{A\alpha }(\mathbf {R} )\equiv \langle \chi _{2}|{\big (}iP_{A\alpha }\chi _{1}{\big )}\rangle _{(\mathbf {r} )}.}$

Хорошо известно, что дифференциальные уравнения имеют решение (т. Е. «Потенциал» V существует) тогда и только тогда, когда векторное поле («сила»)${\displaystyle F_{A\alpha }(\mathbf {R} )}$ является безвихревый,

${\displaystyle \nabla _{A\alpha }F_{B\beta }(\mathbf {R} )-\nabla _{B\beta }F_{A\alpha }(\mathbf {R} )=0.}$

Можно показать, что эти условия редко когда-либо выполняются, так что строго диабатическая трансформация существует редко. Обычно используют приближенные функции ${\displaystyle \gamma (\mathbf {R} )}$ ведущий к псевдодиабатические состояния.

В предположении, что операторы импульса представлены в точности матрицами 2 x 2, что согласуется с пренебрежением недиагональными элементами, отличными от элемента (1,2), и предположением о «строгой» диабатичности, можно показать, что

${\displaystyle \langle \varphi _{k'}|T_{n}|\varphi _{k}\rangle _{(\mathbf {r} )}=\delta _{k'k}T_{n}.}$

На основе диабатических состояний проблема движения ядра принимает следующий вид: обобщенный Борна – Оппенгеймера форма

${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{\mathrm {n} }+{\frac {E_{1}(\mathbf {R} )+E_{2}(\mathbf {R} )}{2}}&0\\0&T_{\mathrm {n} }+{\frac {E_{1}(\mathbf {R} )+E_{2}(\mathbf {R} )}{2}}\end{pmatrix}}{\tilde {\boldsymbol {\Phi }}}(\mathbf {R} )+{\tfrac {E_{2}(\mathbf {R} )-E_{1}(\mathbf {R} )}{2}}{\begin{pmatrix}\cos 2\gamma &\sin 2\gamma \\\sin 2\gamma &-\cos 2\gamma \end{pmatrix}}{\tilde {\boldsymbol {\Phi }}}(\mathbf {R} )=E{\tilde {\boldsymbol {\Phi }}}(\mathbf {R} ).}$

Важно отметить, что недиагональные элементы зависят только от диабатического угла и электронных энергий. Поверхности ${\displaystyle E_{1}(\mathbf {R} )}$ и ${\displaystyle E_{2}(\mathbf {R} )}$ представляют собой адиабатические ППЭ, полученные из расчетов электронной структуры зажатых ядер и ${\displaystyle T_{\mathrm {n} }\,}$ - обычный оператор кинетической энергии ядра, определенный выше. ${\displaystyle \gamma (\mathbf {R} )}$ - это оставшаяся проблема, прежде чем можно будет попытаться решить уравнения Шредингера. Этому определению посвящена большая часть текущих исследований в области квантовой химии. Один раз ${\displaystyle \gamma (\mathbf {R} )}$ После нахождения и решения связанных уравнений окончательная вибронная волновая функция в диабатическом приближении имеет вид

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\mathbf {R} )=\varphi _{1}(\mathbf {r} ;\mathbf {R} ){\tilde {\Phi }}_{1}(\mathbf {R} )+\varphi _{2}(\mathbf {r} ;\mathbf {R} ){\tilde {\Phi }}_{2}(\mathbf {R} ).}$

Адиабатическое преобразование в диабатическое

Здесь, в отличие от предыдущих обработок, неабелева дело рассматривается.

Феликс Смит в своей статье^[1] рассматривает адиабатическое преобразование в диабатическое (ADT) для системы с несколькими состояниями, но с одной координатой, ${\displaystyle \mathrm {R_{A\alpha }} }$. В Diabatic ADT определяется для системы двух координат. ${\displaystyle \mathrm {R_{A\alpha }} }$ и ${\displaystyle \mathrm {R_{B\beta }} }$, но он ограничен двумя состояниями. Такая система определяется как Абелев а матрица ADT выражается через угол, ${\displaystyle \gamma }$ (см. Комментарий ниже), также известный как угол ADT. В настоящем лечении предполагается, что система состоит из M (> 2) состояний, определенных для N-мерное конфигурационное пространство, где N = 2 или N > 2. Такая система определяется как неабелева. Чтобы обсудить неабелев случай, уравнение для только что упомянутого угла ADT, ${\displaystyle \gamma }$ (см. Diabatic), заменяется уравнением для матрицы MxM, ADT, ${\displaystyle \mathbf {A} }$:^[3]

${\displaystyle \nabla \mathbf {A+FA=0} }$

куда ${\displaystyle \mathbf {F} }$ - это оператор матрицы сил, введенный в Diabatic, также известный как матрица неадиабатического преобразования связи (NACT):^[4]

${\displaystyle \ \mathbf {F} _{jk}=\langle \chi _{j}\mid \nabla \chi _{k}\rangle ;\qquad j,k=1,2,\ldots ,M}$

Здесь ${\displaystyle \nabla }$ это N-мерный (ядерный) град-оператор:

${\displaystyle \nabla =\left\{{\frac {\partial \quad }{\partial q_{1}}},\quad {\frac {\partial \quad }{\partial q_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial \quad }{\partial q_{N}}}\right\}}$

и ${\displaystyle |\chi _{k}(\mathbf {r\mid q} )\rangle ;\ k=1,M}$, - собственные электронные адиабатические функции, которые явно зависят от электронных координат ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и параметрически по ядерным координатам ${\displaystyle \mathbf {q} }$.

Чтобы вывести матрицу ${\displaystyle \mathbf {A} }$ необходимо решить данное выше дифференциальное уравнение первого порядка по заданному контуру ${\displaystyle \Gamma }$. Затем это решение применяется для формирования матрицы диабатического потенциала ${\displaystyle \mathbf {W} }$:

${\displaystyle \mathbf {W} =\mathbf {A} ^{*}\mathbf {uA} }$

куда ${\displaystyle \mathbf {u} _{j}}$ ; j = 1, M являются Борн-Оппенгеймер адиабатические потенциалы. Для того чтобы ${\displaystyle \mathbf {W} }$ быть однозначным в конфигурационном пространстве, ${\displaystyle \mathbf {A} }$ должно быть аналитический и для того, чтобы ${\displaystyle \mathbf {A} }$ чтобы быть аналитическими (без учета патологических точек), компоненты векторной матрицы, ${\displaystyle \mathbf {F} }$, должны удовлетворять следующему уравнению:^[5][6]

${\displaystyle G_{{q_{i}}{q_{j}}}={\frac {{\partial }\mathbf {F} _{q_{i}}}{\partial q_{j}}}-{\frac {{\partial }\mathbf {F} _{q_{j}}}{\partial q_{i}}}-\left[\mathbf {F} _{q_{i}},\mathbf {F} _{q_{j}}\right]=0.}$

куда ${\displaystyle \mathbf {G} }$ это тензорное поле. Это уравнение известно как неабелева форма уравнения Завиток Уравнение. Решение матрицы ADT ${\displaystyle \mathbf {A} }$ по контуру ${\displaystyle \Gamma }$ можно показать как имеющую форму:^[7][8][9]

${\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {q} |\Gamma \right)={\hat {P}}\exp }$

${\displaystyle \left(-\int _{\mathbf {q_{0}} }^{\mathbf {q} }\mathbf {F} \left(\mathbf {q'} \mid \Gamma \right)\cdot d\mathbf {q'} \right)}$

(смотрите также Геометрическая фаза ). Здесь ${\displaystyle {\hat {P}}}$ является оператор заказа точка обозначает скалярное произведение и ${\displaystyle \mathbf {q} }$ и ${\displaystyle \mathbf {q_{0}} }$ две точки на ${\displaystyle \Gamma }$.

Другой тип решений основан на квазиэйлеровых углах, согласно которым любые ${\displaystyle \mathbf {A} }$-матрица может быть выражена как произведение Матрицы Эйлера.^[10][11] Например, в случае системы с тремя состояниями эта матрица может быть представлена ​​как произведение трех таких матриц, ${\displaystyle \mathbf {Q} _{j}(\gamma _{ij})}$ (я < j = 2, 3) где, например, ${\displaystyle \mathbf {Q} _{13}(\gamma _{13})}$ имеет вид:

${\displaystyle \mathbf {Q} _{13}={\begin{pmatrix}\cos \gamma _{13}&0&\sin \gamma _{13}\\0&1&0\\-\sin \gamma _{13}&0&\cos \gamma _{13}\end{pmatrix}}}$

Продукт ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} _{kl}\mathbf {Q} _{mn}\mathbf {Q} _{pq}}$ который может быть записан в любом порядке, подставляется в формулу. (1), чтобы получить три дифференциальных уравнения первого порядка для трех ${\displaystyle {\gamma }_{ij}}$-углы, в которых два из этих уравнений связаны, а третье стоит отдельно. Таким образом, предполагая: ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} _{12}\mathbf {Q} _{23}\mathbf {Q} _{13}}$ два связанных уравнения для ${\displaystyle {\gamma }_{12}}$ и ${\displaystyle {\gamma }_{23}}$ находятся:

${\displaystyle \nabla \gamma _{12}=-F_{12}-\tan {\gamma }_{23}(-F_{13}\cos \gamma _{12}+F_{23}\sin \gamma _{12})}$

${\displaystyle \nabla \gamma _{23}=-(F_{23}\cos \gamma _{12}+F_{13}\sin \gamma _{12})}$

тогда как третье уравнение (для ${\displaystyle \gamma _{13}}$) превращается в обыкновенный (линейный) интеграл:

${\displaystyle \nabla \gamma _{13}=(\cos \gamma _{23})^{-1}(-F_{13}\cos \gamma _{12}+F_{23}\sin \gamma _{12})}$

выражается исключительно в терминах ${\displaystyle \gamma _{12}}$ и ${\displaystyle \gamma _{23}}$.

Аналогично, в случае системы с четырьмя состояниями ${\displaystyle \mathbf {A} }$ представлен как произведение шести матриц Эйлера 4 x 4 (для шести квази-эйлеровых углов), и соответствующие шесть дифференциальных уравнений образуют одну систему из трех связанных уравнений, тогда как остальные три становятся, как и раньше, обычными линейными интегралами.^[12][13][14]

Комментарий к делу о двух государствах (абелева)

Поскольку рассмотрение случая двух состояний, представленное в Diabatic, вызвало многочисленные сомнения, мы рассматриваем его здесь как частный случай Неабелева случай, который только что обсуждался. для этой цели мы предполагаем, что матрица ADT 2 × 2 ${\displaystyle \mathrm {A} }$ иметь форму:

${\displaystyle \mathrm {A} ={\begin{pmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma \\\sin \gamma &\cos \gamma \end{pmatrix}}}$

Подставляя эту матрицу в данное выше дифференциальное уравнение первого порядка (для ${\displaystyle \mathrm {A} }$), после нескольких алгебраических перестановок получаем, что угол ${\displaystyle \gamma }$ удовлетворяет соответствующему дифференциальному уравнению первого порядка, а также последующему линейному интегралу:^{[3][15][16][17][18]}

${\displaystyle \nabla \mathbf {\gamma +F_{12}=0} \cdot \Longrightarrow \cdot \gamma \left(\mathbf {q} \mid \Gamma \right)=-\int _{\mathbf {q_{0}} }^{\mathbf {q} }\mathbf {F} _{12}\left(\mathbf {q'} \mid \Gamma \right)\cdot d\mathbf {q'} }$

куда ${\displaystyle \mathrm {F} _{12}}$ релевантный NACT матричный элемент, точка обозначает скалярное произведение, а ${\displaystyle \Gamma }$ - выбранный контур в конфигурационном пространстве (обычно плоский), по которому выполняется интегрирование. линейный интеграл дает значимые результаты тогда и только тогда, когда соответствующий (ранее полученный) Завиток -уравнение равно нулю для каждой точки в интересующей области (без учета патологических точек).

Рекомендации

1. Смит, Ф. (1969). "Диабатические и адиабатические представления для задач атомных столкновений". Физический обзор. Американское физическое общество. 179 (1): 111–123. Bibcode:1969ПхРв..179..111С. Дои:10.1103 / PhysRev.179.111.
2. Лихтен, В. (1963). «Резонансный обмен зарядом при атомных столкновениях». Физический обзор. Американское физическое общество. 131 (1): 229–238. Bibcode:1963ПхРв..131..229Л. Дои:10.1103 / PhysRev.131.229.
3. Баер, Майкл (1975). «Адиабатические и диабатические представления для столкновений атомов и молекул: рассмотрение коллинеарного расположения». Письма по химической физике. Elsevier BV. 35 (1): 112–118. Bibcode:1975CPL .... 35..112B. Дои:10.1016/0009-2614(75)85599-0. ISSN  0009-2614.
4. Родился М.; Хуанг, К. (1954). «IV». Динамическая теория кристаллических решеток.. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета.
5. Баер, М. (28 марта 2006 г.). «Математическое введение». Помимо Борна-Оппенгеймера; Условия электронной неадиабатической связи и конические пересечения. Хобокен, Нью-Джерси, США: John Wiley & Sons, Inc., стр. 1–25. Дои:10.1002 / 0471780081.ch1. ISBN  978-0-471-78008-3.
6. Englman, R .; Яхалом, А. (16 января 2003 г.). «Сложные состояния простых молекулярных систем». Успехи химической физики. 124. Нью-Йорк, США: John Wiley & Sons, Inc., стр. 197–282. Дои:10.1002 / 0471433462.ch4. ISBN  978-0-471-43817-5. ISSN  1934-4791. S2CID  117949858.
7. Баер, Майкл (1980)."Вывод электронных неадиабатических переходов общей матрицы адиабатического преобразования". Молекулярная физика. Informa UK Limited. 40 (4): 1011–1013. Дои:10.1080/00268978000102091. ISSN  0026-8976.
8. D.R. Ярконий, в: W. Domcke, D.R. Яркони, Х. Кёппель, ред., Конические пересечения: электронная структура, динамика и спектроскопия, (Сингапур: World Sci. 2004).
9. Рыб, Итаи; Баер, Рой (2004). «Комбинаторные инварианты и коварианты как инструменты для конических пересечений». Журнал химической физики. Издательство AIP. 121 (21): 10370–10375. Bibcode:2004ЖЧФ.12110370Р. Дои:10.1063/1.1808695. ISSN  0021-9606. PMID  15549915.
10. Top, Zvi H .; Баер, Майкл (1977). «Включение электронных неадиабатических эффектов в бимолекулярные реактивные системы. I. Теория». Журнал химической физики. Издательство AIP. 66 (3): 1363–1371. Bibcode:1977ЖЧФ..66.1363Т. Дои:10.1063/1.434032. ISSN  0021-9606.
11. Баер, Майкл; Lin, Sheng H .; Алия, Александр; Адхикари, Сатраджит; Биллинг, Герт Д. (15 августа 2000 г.). «Расширенное приближенное уравнение Борна-Оппенгеймера. I. Теория». Физический обзор A. Американское физическое общество (APS). 62 (3): 032506. Bibcode:2000PhRvA..62c2506B. Дои:10.1103 / Physreva.62.032506. ISSN  1050-2947.
12. Саркар, Биплаб; Адхикари, Сатраджит (9 октября 2008 г.). "Условие завитка для системы Борна-Оппенгеймера с четырьмя состояниями, использующей уравнение Матье". Журнал физической химии A. Американское химическое общество (ACS). 112 (40): 9868–9885. Bibcode:2008JPCA..112.9868S. Дои:10.1021 / jp8029709. ISSN  1089-5639. PMID  18785688.
13. Мукерджи, Сайкат; Адхикари, Сатраджит (2014). "Возбужденные состояния K₃ кластер: адаптированные к симметрии молекулы члены неадиабатического взаимодействия и диабатическая матрица гамильтониана ». Химическая физика. Elsevier BV. 440: 106–118. Bibcode:2014CP .... 440..106M. Дои:10.1016 / j.chemphys.2014.05.022. ISSN  0301-0104.
14. Дас, Анита; Мухопадхьяй, Дебасис (8 февраля 2012 г.). «Пересечения Яна – Теллера, вызванные введением изгиба в линейную полиатомику: исследование с HCNH, выбранной молекулярной системой». Журнал физической химии A. Американское химическое общество (ACS). 116 (7): 1774–1785. Bibcode:2012JPCA..116.1774D. Дои:10.1021 / jp208684p. ISSN  1089-5639. PMID  22313095.
15. Pacher, T .; Cederbaum, L. S .; Кеппель, Х. (11 января 1993 г.). "Адиабатические и квазидиабатические состояния в калибровочной теории". Успехи химической физики. 84. Хобокен, Нью-Джерси, США: John Wiley & Sons, Inc., стр. 293–391. Дои:10.1002 / 9780470141427.ch4. ISBN  978-0-470-14142-7. ISSN  1934-4791.
16. Яркони, Дэвид Р. (15 декабря 1996 г.). «О последствиях неизвлекаемых производных связей. I. Геометрическая фаза и квазидиабатические состояния: численное исследование». Журнал химической физики. Издательство AIP. 105 (23): 10456–10461. Bibcode:1996ЖЧФ.10510456Й. Дои:10.1063/1.472972. ISSN  0021-9606.
17. «Модельные исследования». За пределами Борна-Оппенгеймера: условия электронной неадиабатической связи и конические пересечения. Хобокен, Нью-Джерси, США: John Wiley & Sons, Inc., 28 марта 2006 г., стр. 58–83. Дои:10.1002 / 0471780081.ch3. ISBN  978-0-471-78008-3.
18. Баер, Рой (16 февраля 2010 г.). «Вырождения основного состояния оставляют узнаваемые топологические шрамы в электронной плотности». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 104 (7): 073001. arXiv:0910.2947. Bibcode:2010ПхРвЛ.104г3001Б. Дои:10.1103 / Physrevlett.104.073001. ISSN  0031-9007. PMID  20366875. S2CID  19559942.