Бете анзац - Bethe ansatz

В физика, то Бете анзац является анзац метод нахождения точных волновых функций некоторых одномерных квантовых моделей многих тел. Это было изобретено Ганс Бете в 1931 г.^[1] найти точные собственные значения и собственные векторы одномерного антиферромагнитный Модель Гейзенберга Гамильтониан. С тех пор метод был распространен на другие модели в одном измерении: (анизотропная) цепочка Гейзенберга (модель XXZ), взаимодействие Либа-Линигера Бозе-газ, то Модель Хаббарда, то Кондо модель, то Модель примеси Андерсона, модель Ричардсона и др.

Обсуждение

В рамках многотельной квантовая механика, модели, решаемые анзацем Бете, можно противопоставить моделям свободных фермионов. Можно сказать, что динамика свободной модели сводится к одному телу: многочастичная волновая функция для фермионы (бозоны ) - антисимметризованное (симметризованное) произведение однотельных волновых функций. Модели, разрешимые анзацем Бете, не являются бесплатными: двухчастичный сектор имеет нетривиальную матрица рассеяния, который в общем случае зависит от импульсов.

С другой стороны, динамика моделей, решаемых анзацем Бете, сводима по двум телам: матрица многочастичного рассеяния является продуктом двухчастичных матриц рассеяния. Столкновения многих тел происходят как последовательность столкновений двух тел, и волновая функция многих тел может быть представлена ​​в форме, содержащей только элементы из волновых функций двух тел. Матрица многочастичного рассеяния равна произведению матриц попарного рассеяния.

Общая форма анзаца Бете для волновой функции многих тел:

${displaystyle Psi _{M}(j_{1},cdots ,j_{M})=prod _{Mgeq a>bgeq 1}{ ext{sgn}}(j_{a}-j_{b})sum _{Pin P_{M}}(-1)^{[P]}e^{isum _{a=1}^{M}k_{P_{a}}j_{a}+{frac {i}{2}}sum _{Mgeq a>bgeq 1}{ ext{sgn}}(j_{a}-j_{b})phi (k_{P_{a}},k_{P_{b}})}}$

в котором ${displaystyle M}$ - количество частиц, ${displaystyle j_{a},a=1,cdots M}$ их позиция, ${displaystyle P_{M}}$ - это множество всех перестановок целых чисел ${displaystyle 1,cdots ,M}$, ${displaystyle k_{a}}$ - (квази) импульс ${displaystyle a}$-я частица, ${displaystyle phi }$ - функция фазового сдвига рассеяния, а ${displaystyle sgn}$ - знаковая функция. Эта форма универсальна (по крайней мере, для невложенных систем), при этом функции импульса и рассеяния зависят от модели.

В Уравнение Янга – Бакстера гарантирует целостность конструкции. В Принцип исключения Паули справедливо для моделей, решаемых анзацем Бете, даже для моделей взаимодействующих бозоны.

В основное состояние это Сфера Ферми. Периодические граничные условия приводят к уравнениям анзаца Бете. В логарифмической форме уравнения анзаца Бете могут быть получены с помощью Ян действие. Квадрат нормы волновой функции Бете равен определителю матрицы вторых производных действия Янга.^[2] Недавно^{[когда? ]} развитый алгебраический анзац Бете^[3] привели к существенному прогрессу, заявив^{[кто? ]} это

В квантовый метод обратной задачи ... хорошо разработанный метод ... позволил решить широкий класс нелинейных эволюционных уравнений. Это объясняет алгебраическую природу анзаца Бете.

Точные решения так называемого s-d модель (автор P.B. Wiegmann^[4] в 1980 г. и самостоятельно Н. Андреем,^[5] также в 1980 г.) и модель Андерсона (П.Б. Вигманн^[6] в 1981 г., а также Н. Каваками и А. Окиджи^[7] в 1981 г.) также оба основаны на анзаце Бете. Существуют многоканальные обобщения этих двух моделей, также допускающие точные решения (Н. Андрея и К. Дестри.^[8] и С.Дж. Болеч и Н. Андрей.^[9]). Недавно несколько моделей, решаемых анзацем Бете, были экспериментально реализованы в твердых телах и оптических решетках. Важную роль в теоретическом описании этих экспериментов сыграли Жан-Себастьен Ко и Алексей Цвелик.^{[нужна цитата ]}

Пример: антиферромагнитная цепочка Гейзенберга

Антиферромагнитная цепочка Гейзенберга определяется гамильтонианом (в предположении периодических граничных условий)

${displaystyle H=Jsum _{j=1}^{N}{oldsymbol {S}}_{j}cdot {oldsymbol {S}}_{j+1},qquad {oldsymbol {S}}_{j+N}equiv {oldsymbol {S}}_{j}.}$

Эта модель решается с помощью анзаца Бете. Функция сдвига фазы рассеяния имеет вид ${displaystyle phi (k_{a}(lambda _{a}),k_{b}(lambda _{b}))= heta _{2}(lambda _{a}-lambda _{b})}$, с участием ${displaystyle heta _{n}(lambda )equiv 2arctan {frac {2lambda }{n}}}$ в котором импульс был удобно перепараметризован как ${displaystyle k(lambda )=pi -2arctan 2lambda }$ с точки зрения быстрота ${displaystyle lambda }$. Граничные условия (здесь периодические) накладывают Уравнения Бете

${displaystyle left[{frac {lambda _{a}+i/2}{lambda _{a}-i/2}}ight]^{N}=prod _{beq a}^{M}{frac {lambda _{a}-lambda _{b}+i}{lambda _{a}-lambda _{b}-i}},qquad a=1,...,M}$

или, что более удобно, в логарифмической форме

${displaystyle heta _{1}(lambda _{a})-{frac {1}{N}}sum _{b=1}^{M} heta _{2}(lambda _{a}-lambda _{b})=2pi {frac {I_{a}}{N}}}$

где квантовые числа ${displaystyle I_{j}}$ - различные полунечетные целые числа для ${displaystyle N-M}$ даже, целые числа для ${displaystyle N-M}$ нечетный (с ${displaystyle I_{j}}$ определенный мод${displaystyle (N)}$).

Хронология

• 1928: Вернер Гейзенберг издает свою модель.^[10]
• 1930: Феликс Блох предлагает чрезмерно упрощенный анзац, который неверно учитывает количество решений уравнения Шредингера для цепи Гейзенберга.^[11]
• 1931: Ганс Бете предлагает правильный анзац и тщательно показывает, что он дает правильное количество собственных функций.^[1]
• 1938: Ламек Хюльтен (де ) получает точную энергию основного состояния модели Гейзенберга.^[12]
• 1958: Раймонд Ли Орбах использует анзац Бете для решения модели Гейзенберга с анизотропными взаимодействиями.^[13]
• 1962: Ж. де Клуазо и Ж. Дж. Пирсон получили правильный спектр антиферромагнетика Гейзенберга (соотношение дисперсии спинонов),^[14] показывая, что это отличается от предсказаний теории спиновых волн Андерсона^[15] (постоянный префактор другой).
• 1963: Эллиотт Х. Либ и Вернер Линигер дают точное решение 1d δ-функции взаимодействующего бозе-газа^[16] (теперь известный как Модель Либа-Линигера ). Либ изучает спектр и определяет два основных типа возбуждений.^[17]
• 1964: Роберт Б. Гриффитс получает кривую намагничивания модели Гейзенберга при нулевой температуре.^[18]
• 1966: C.N. Ян и C.P. Ян строго доказать, что основное состояние цепи Гейзенберга задается анзацем Бете.^[19] Они изучают свойства и приложения в^[20] и.^[21]
• 1967: C.N. Ян обобщает решение Либа и Линигера для δ-функции, взаимодействующей с бозе-газом, на произвольную перестановочную симметрию волновой функции, в результате чего возникает вложенный анзац Бете.^[22]
• 1968 Эллиотт Х. Либ и Ф. Я. Ву решить 1d модель Хаббарда.^[23]
• 1969: C.N. Ян и C.P. Ян получить термодинамику модели Либа-Линигера,^[24] лежащая в основе термодинамического анзаца Бете (ТБА).

использованная литература

1. Бете, Х. (март 1931 г.). "Zur Theorie der Metalle. I. Eigenwerte und Eigenfunktionen der linearen Atomkette". Zeitschrift für Physik. 71 (3–4): 205–226. Дои:10.1007 / BF01341708.
2. Корепин, Владимир Евгеньевич (1982). «Расчет норм волновых функций Бете». Коммуникации по математической физике. 86 (3): 391–418. Дои:10.1007 / BF01212176. ISSN  0010-3616.
3. Корепин, В.Е .; Боголюбов, Н. М .; Изергин, А.Г. (1997-03-06). Квантовый метод обратной задачи рассеяния и корреляционные функции. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521586467.
4. Вигманн, П. (1980). «Точное решение модели s-d обмена при T = 0» (PDF). Письма в ЖЭТФ. 31 (7): 364.
5. Андрей, Н. (1980). «Диагонализация гамильтониана Кондо». Письма с физическими проверками. 45 (5): 379–382. Дои:10.1103 / PhysRevLett.45.379. ISSN  0031-9007.
6. Вигманн, П. (1980). «К точному решению модели Андерсона». Письма о физике A. 80 (2–3): 163–167. Дои:10.1016/0375-9601(80)90212-1. ISSN  0375-9601.
7. Каваками, Норио; Окиджи, Аяо (1981). «Точное выражение энергии основного состояния для симметричной модели Андерсона». Письма о физике A. 86 (9): 483–486. Дои:10.1016/0375-9601(81)90663-0. ISSN  0375-9601.
8. Андрей, Н .; Дестри, К. (1984). «Решение многоканальной проблемы Кондо». Письма с физическими проверками. 52 (5): 364–367. Дои:10.1103 / PhysRevLett.52.364. ISSN  0031-9007.
9. Bolech, C.J .; Андрей, Н. (2002). "Решение двухканальной примесной модели Андерсона: последствия для тяжелого фермиона UBe13". Письма с физическими проверками. 88 (23). arXiv:cond-mat / 0204392. Дои:10.1103 / PhysRevLett.88.237206. ISSN  0031-9007.
10. Гейзенберг, В. (сентябрь 1928 г.). "Zur Theorie des Ferromagnetismus". Zeitschrift für Physik. 49 (9–10): 619–636. Дои:10.1007 / BF01328601.
11. Блох, Ф. (март 1930). "Zur Theorie des Ferromagnetismus". Zeitschrift für Physik. 61 (3–4): 206–219. Дои:10.1007 / BF01339661.
12. Хюльтен, Ламек (1938). "Über das Austauschproblem eines Kristalles". Аркив Мат. Astron. Фысик. 26А: 1.
13. Орбах, Р. (15 октября 1958 г.). «Линейная антиферромагнитная цепь с анизотропной связью». Физический обзор. 112 (2): 309–316. Дои:10.1103 / PhysRev.112.309.
14. де Клуазо, Жак; Пирсон, Дж. Дж. (1 декабря 1962 г.). "Спин-волновой спектр антиферромагнитной линейной цепочки". Физический обзор. 128 (5): 2131–2135. Дои:10.1103 / PhysRev.128.2131.
15. Андерсон, П. У. (1 июня 1952 г.). «Приближенная квантовая теория основного антиферромагнитного состояния». Физический обзор. 86 (5): 694–701. Дои:10.1103 / PhysRev.86.694.
16. Lieb, Elliott H .; Линигер, Вернер (15 мая 1963 г.). «Точный анализ взаимодействующего бозе-газа. I. Общее решение и основное состояние». Физический обзор. 130 (4): 1605–1616. Дои:10.1103 / PhysRev.130.1605.
17. Либ, Эллиотт Х. (15 мая 1963 г.). «Точный анализ взаимодействующего бозе-газа. II. Спектр возбуждения». Физический обзор. 130 (4): 1616–1624. Дои:10.1103 / PhysRev.130.1616.
18. Гриффитс, Роберт Б. (3 февраля 1964 г.). "Кривая намагничивания при нулевой температуре для антиферромагнитной линейной цепи Гейзенберга". Физический обзор. 133 (3A): A768 – A775. Дои:10.1103 / PhysRev.133.A768.
19. Yang, C.N .; Ян, К. П. (7 октября 1966 г.). "Одномерная цепочка анизотропных спин-спиновых взаимодействий. I. Доказательство гипотезы Бете об основном состоянии в конечной системе". Физический обзор. 150 (1): 321–327. Дои:10.1103 / PhysRev.150.321.
20. Yang, C.N .; Ян, К. П. (7 октября 1966 г.). "Одномерная цепочка анизотропных спин-спиновых взаимодействий. II. Свойства основной энергии на узле решетки для бесконечной системы". Физический обзор. 150 (1): 327–339. Дои:10.1103 / PhysRev.150.327.
21. Yang, C.N .; Ян, К. П. (4 ноября 1966 г.). "Одномерная цепочка анизотропных спин-спиновых взаимодействий. III. Приложения". Физический обзор. 151 (1): 258–264. Дои:10.1103 / PhysRev.151.258.
22. Ян, К. Н. (4 декабря 1967 г.). «Некоторые точные результаты для задачи многих тел в одном измерении с отталкивающим взаимодействием дельта-функций». Письма с физическими проверками. 19 (23): 1312–1315. Дои:10.1103 / PhysRevLett.19.1312.
23. Lieb, Elliott H .; Ву Ф. Я. (17 июня 1968 г.). «Отсутствие перехода Мотта в точном решении короткодействующей, однополосной модели в одном измерении». Письма с физическими проверками. 20 (25): 1445–1448. Дои:10.1103 / PhysRevLett.20.1445.
24. Yang, C.N .; Ян, К. П. (июль 1969 г.). «Термодинамика одномерной системы бозонов с отталкивающим дельта-функциональным взаимодействием». Журнал математической физики. 10 (7): 1115–1122. Дои:10.1063/1.1664947.

внешние ссылки

• Введение в анзац Бете