Серпинский ковер - Sierpiński carpet

«Снежинка Серпинского» перенаправляется сюда. Для использования в других целях см. Кривая Серпинского.
6 ступеней ковра Серпинского.

В Серпинский ковер это самолет фрактал впервые описан Вацлав Серпинский в 1916 году. Ковер - одно из обобщений Кантор набор до двух измерений; другой - это Канторовская пыль.

Техника разделение фигуры на уменьшенные копии самой себя, удалив одну или несколько копий и продолжив рекурсивно может быть расширен на другие формы. Например, разделение равностороннего треугольника на четыре равносторонних треугольника, удаление среднего треугольника и повторение приводит к Серпинский треугольник. В трех измерениях аналогичная конструкция, основанная на кубах, известна как Губка менгера.

Строительство

Строительство ковра Серпинского начинается с квадрат. Квадрат разрезан на 9 конгруэнтный подквадраты в сетке 3 на 3, а центральный подквадрат удаляется. Затем применяется та же процедура. рекурсивно в оставшиеся 8 подквадратов, до бесконечности. Это может быть реализовано как набор точек в единичном квадрате, координаты которых, записанные в базе три, не имеют цифры «1» в одной и той же позиции.[1]

Процесс рекурсивного удаления квадратов является примером правило конечного подразделения.

Ковер Серпинского 1.svg Ковер Серпинского 2.svg Ковер Серпинского 3.svg Ковер Серпинского 4.svg Ковер Серпинского 5.svg Ковер Серпинского 6.svg

Характеристики

Вариант Кривая Пеано со стертой средней линией образует ковер Серпинского

Площадь ковра равна нулю (в стандартном Мера Лебега ).

Доказательство: Обозначим как ая область итерации я. потом ая + 1 = 8/9ая. Так ая = (8/9)я, который стремится к 0 при я уходит в бесконечность.

В интерьер ковра пусто.

Доказательство: Предположим от противного, что существует точка п в интерьере ковролин. Тогда есть квадрат с центром в п который полностью содержится в ковре. Этот квадрат содержит меньший квадрат, координаты которого кратны 1/3k для некоторых k. Но в этом квадрате должно быть отверстие в итерации. k, поэтому его нельзя вместить в ковер - противоречие.

В Хаусдорфово измерение ковра журнал 8/журнал 3 ≈ 1.8928.[2]

Серпинский продемонстрировал, что его ковер представляет собой универсальную плоскую кривую.[3] То есть: ковер Серпинского - это компактное подмножество плоскости с Размер покрытия Лебега 1, и каждое подмножество плоскости с этими свойствами гомеоморфный к некоторому подмножеству ковра Серпинского.

Эта «универсальность» ковра Серпинского не является истинно универсальным свойством в смысле теории категорий: она не характеризует это пространство однозначно с точностью до гомеоморфизма. Например, непересекающееся соединение ковра Серпинского и круга также является универсальной плоской кривой. Однако в 1958 г. Гордон Уайберн[4] однозначно характеризует ковер Серпинского следующим образом: любая кривая, которая локально связанный и не имеет «локальных точек разреза», гомеоморфен ковру Серпинского. Здесь местная точка отсечения это точка п для которого некоторая связная окрестность U из п имеет свойство, что U − {п} не связано. Так, например, любая точка окружности является локальной точкой разреза.

В той же статье Уайберн дал другую характеристику ковру Серпинского. Напомним, что континуум - непустое связное компактное метрическое пространство. Предполагать Икс - континуум, вложенный в плоскость. Предположим, что его дополнение на плоскости имеет счетное число компонент связности C1, C2, C3, ... и предположим:

  • диаметр Cя стремится к нулю как я → ∞;
  • граница Cя и граница Cj не пересекаются, если я ≠ j;
  • граница Cя простая замкнутая кривая для каждого я;
  • объединение границ множеств Cя плотно в Икс.

потом Икс гомеоморфен ковру Серпинского.

Броуновское движение на ковре Серпинского

Тема Броуновское движение на ковре Серпинского вызывает интерес в последние годы.[5] Мартин Барлоу и Ричард Басс показали, что случайная прогулка на ковре Серпинского распространяется медленнее, чем при неограниченном случайном блуждании по плоскости. Последний достигает среднего расстояния, пропорционального √п после п шагов, но случайное блуждание по дискретному ковру Серпинского достигает только среднего расстояния, пропорционального β√п для некоторых β > 2. Они также показали, что это случайное блуждание удовлетворяет более сильным большое отклонение неравенства (так называемые «субгауссовские неравенства») и что оно удовлетворяет эллиптическому Неравенство Гарнака без удовлетворения параболической. Существование такого примера долгие годы оставалось открытой проблемой.

Сито Уоллиса

Третья итерация сита Уоллиса

Вариант ковра Серпинского, названный Сито Уоллиса, начинается таким же образом, с разделения единичного квадрата на девять меньших квадратов и удаления середины из них. На следующем уровне подразделения он подразделяет каждый из квадратов на 25 меньших квадратов и удаляет средний, и продолжается до я-й шаг, разделив каждый квадрат на (2я + 1)2 (в нечетные квадраты[6]) квадратов меньшего размера и удаления среднего.

Посредством Уоллис продукт, площадь полученного множества равна π/4,[7][8] в отличие от стандартного ковра Серпинского, у которого нет предельной площади.

Однако по результатам упомянутого выше Уайберна мы видим, что сито Уоллиса гомеоморфно ковру Серпинского. В частности, его интерьер по-прежнему пуст.

Приложения

Мобильный телефон и Вай фай фрактальные антенны были произведены в виде нескольких версий ковра Серпинского. Благодаря самоподобию и масштабной инвариантности они легко адаптируются к нескольким частотам. Их также легко изготовить, и они меньше обычных антенн с аналогичными характеристиками, что делает их оптимальными для карманных мобильных телефонов.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Аллуш, Жан-Поль; Шаллит, Джеффри (2003). Автоматические последовательности: теория, приложения, обобщения. Издательство Кембриджского университета. стр.405 –406. ISBN  978-0-521-82332-6. Zbl  1086.11015.
  2. ^ Семмс, Стивен (2001). Некоторые новые типы фрактальной геометрии. Оксфордские математические монографии. Издательство Оксфордского университета. п. 31. ISBN  0-19-850806-9. Zbl  0970.28001.
  3. ^ Серпинский, Вацлав (1916). "Sur une Courbe cantorienne qui contient une image biunivoque et continue de toute courbe donnée". C. R. Acad. Sci. Париж (На французском). 162: 629–632. ISSN  0001-4036. JFM  46.0295.02.
  4. ^ Уайберн, Гордон (1958). «Топологическая характеристика кривой Серпинского». Фонд. Математика. 45: 320–324. Дои:10.4064 / FM-45-1-320-324.
  5. ^ Барлоу, Мартин; Басс, Ричард, Броуновское движение и гармонический анализ на коврах Серпинского (PDF)
  6. ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A016754 (Нечетные квадраты: a (n) = (2n + 1) ^ 2. Также центрированные восьмиугольные числа.)». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.
  7. ^ Руммлер, Хансклав (1993). «Квадратная дырочка». Американский математический ежемесячник. 100 (9): 858–860. Дои:10.2307/2324662. JSTOR  2324662. МИСТЕР  1247533.
  8. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Сито Уоллис". MathWorld.

внешняя ссылка