Дельта-потенциал - Delta potential

В квантовая механика то дельта-потенциал это потенциальная яма математически описывается Дельта-функция Дирака - а обобщенная функция. Качественно он соответствует потенциалу, который везде равен нулю, кроме единственной точки, где он принимает бесконечное значение. Это можно использовать для моделирования ситуаций, когда частица может свободно перемещаться в двух областях пространства с барьером между двумя областями. Например, электрон может почти свободно перемещаться в проводящем материале, но если две проводящие поверхности расположены близко друг к другу, граница раздела между ними действует как барьер для электрона, который можно аппроксимировать дельта-потенциалом.

Дельта-потенциальная яма - это предельный случай из конечная потенциальная яма, который получается, если сохранить произведение ширины ямы на постоянную потенциала, уменьшая ширину ямы и увеличивая потенциал.

В этой статье для простоты рассматривается только одномерная потенциальная яма, но анализ можно расширить до других измерений.

Единый дельта-потенциал

Независимый от времени Уравнение Шредингера для волновая функция ψ(Икс) частицы в одном измерении в потенциал V(Икс) является

${displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}psi }{dx^{2}}}(x)+V(x)psi (x)=Epsi (x)~,}$

куда час сокращенный Постоянная Планка и E это энергия частицы.

Дельта-потенциал - это потенциал

${displaystyle displaystyle V(x)=lambda delta (x)~,}$

куда δ(Икс) это Дельта-функция Дирака.

Это называется дельта потенциальная яма если λ отрицательный и дельта потенциальный барьер если λ положительный. Для простоты определено, что дельта возникает в начале координат; сдвиг аргумента дельта-функции не меняет никаких результатов обработки.

Решение уравнения Шредингера

Потенциал разбивает пространство на две части ( Икс <0 и Икс > 0). В каждой из этих частей потенциальная энергия равна нулю, и уравнение Шредингера сводится к

${displaystyle {frac {d^{2}psi }{dx^{2}}}=-{frac {2mE}{hbar ^{2}}}psi ~;}$

это линейное дифференциальное уравнение с постоянные коэффициенты чьи решения линейные комбинации из е^ikx и е^−ikx, где волновое число k связана с энергией соотношением

${displaystyle k={frac {sqrt {2mE}}{hbar }}~.}$

Как правило, из-за наличия дельта-потенциала в начале координат коэффициенты решения не обязательно должны быть одинаковыми в обоих полупространствах:

${displaystyle psi (x)={egin{cases}psi _{mathrm {L} }(x)=A_{mathrm {r} }e^{ikx}+A_{mathrm {l} }e^{-ikx},&{ ext{ if }}x<0;psi _{mathrm {R} }(x)=B_{mathrm {r} }e^{ikx}+B_{mathrm {l} }e^{-ikx},&{ ext{ if }}x>0,end{cases}}}$

где в случае положительных энергий (реальные k), е^ikx представляет собой волну, бегущую вправо, и е^−ikx один едет налево.

Связь между коэффициентами получается, предполагая, что волновая функция непрерывна в начале координат,

${displaystyle psi (0)=psi _{L}(0)=psi _{R}(0)=A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}~,}$

Второе соотношение можно найти, изучая производную волновой функции. Обычно мы также можем наложить дифференцируемость в начале координат, но это невозможно из-за дельта-потенциала. Однако, если мы проинтегрируем уравнение Шредингера вокруг Икс = 0 в интервале [-ε, +ε]:

${displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}int _{-epsilon }^{+epsilon }psi ''(x),dx+int _{-epsilon }^{+epsilon }V(x)psi (x),dx=Eint _{-epsilon }^{+epsilon }psi (x),dx.}$

В пределе как ε → 0 правая часть этого уравнения равна нулю; левая часть становится

${displaystyle extstyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}[psi '_{R}(0)-psi '_{L}(0)]+lambda psi (0),}$

потому что

${displaystyle int _{-epsilon }^{+epsilon }psi ''(x),dx=[psi '({+epsilon })-psi '({-epsilon })].}$

Подставляя определение ψ в это выражение дает

${displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}ik(-A_{r}+A_{l}+B_{r}-B_{l})+lambda (A_{r}+A_{l})=0~.}$

Таким образом, граничные условия дают следующие ограничения на коэффициенты

${displaystyle {egin{cases}A_{r}+A_{l}-B_{r}-B_{l}&=0;-A_{r}+A_{l}+B_{r}-B_{l}&={frac {2mlambda }{ikhbar ^{2}}}(A_{r}+A_{l})~.end{cases}}}$

Связанное состояние (E <0)

График решения волновой функции связанного состояния для потенциала дельта-функции непрерывен всюду, но его производная не определена при х = 0.

В любом одномерном привлекательном потенциале будет связанное состояние. Чтобы найти его энергию, обратите внимание, что для E < 0, k = я√2м|E|/час = iκ является мнимым, а волновые функции, которые колебались при положительных энергиях в приведенном выше расчете, теперь являются экспоненциально возрастающими или убывающими функциями от Икс (см. выше). Требование, чтобы волновые функции не расходились на бесконечности, исключает половину членов: А_р = B_л = 0. Тогда волновая функция равна

${displaystyle psi (x)={egin{cases}psi _{ ext{L}}(x)=A_{l}e^{kappa x},&{ ext{ if }}x<0;psi _{ ext{R}}(x)=B_{r}e^{-kappa x},&{ ext{ if }}x>0.end{cases}}}$

Из граничных условий и условий нормировки следует, что

${displaystyle {egin{cases}A_{l}=B_{r}={sqrt {kappa }};kappa =-{frac {mlambda }{hbar ^{2}}}~;end{cases}}}$

откуда следует, что λ должно быть отрицательным, то есть связанное состояние существует только для ямы, а не для барьера. Преобразование Фурье этой волновой функции есть Функция Лоренца.

Тогда энергия связанного состояния равна

${displaystyle E=-{frac {hbar ^{2}kappa ^{2}}{2m}}=-{frac {mlambda ^{2}}{2hbar ^{2}}}.}$

Рассеяние (E> 0)

Вероятность прохождения (T) и отражения (R) дельта-потенциальной ямы. Энергия E> 0 в единицах ${displaystyle {frac {mlambda ^{2}}{2hbar ^{2}}},!}$. Пунктиром: классический результат. Сплошная линия: квантовая механика.

Для положительных энергий частица может двигаться в любом полупространстве: Икс <0 или Икс > 0. Он может рассеиваться на потенциале дельта-функции.

Квантовый случай можно изучить в следующей ситуации: частица, падающая на барьер с левой стороны (А_р). Это может быть отражено (А_л) или передан (B_р).Чтобы найти амплитуды отражения и прохождения при падении слева, мы подставляем в приведенные выше уравнения А_р = 1 (падающая частица), А_л =  р (отражение), B_л = 0 (нет падающей частицы справа) и B_р =  т (передача), и решите для р и т хотя у нас нет уравнений в т. Результат

${displaystyle t={cfrac {1}{1-{cfrac {mlambda }{ihbar ^{2}k}}}},!}$

${displaystyle r={cfrac {1}{{cfrac {ihbar ^{2}k}{mlambda }}-1}},!}$

Из-за зеркала симметрия Для модели амплитуды падения справа такие же, как и слева. В результате существует ненулевая вероятность

${displaystyle R=|r|^{2}={cfrac {1}{1+{cfrac {hbar ^{4}k^{2}}{m^{2}lambda ^{2}}}}}={cfrac {1}{1+{cfrac {2hbar ^{2}E}{mlambda ^{2}}}}}.,!}$

для отражения частицы. Это не зависит от знака λ, то есть барьер имеет такую ​​же вероятность отражения частицы, как и колодец. Это существенное отличие от классической механики, где вероятность отражения будет равна 1 для барьера (частица просто отскакивает) и 0 для ямы (частица проходит через яму без помех).

Таким образом, вероятность передачи равна

${displaystyle T=|t|^{2}=1-R={cfrac {1}{1+{cfrac {m^{2}lambda ^{2}}{hbar ^{4}k^{2}}}}}={cfrac {1}{1+{cfrac {mlambda ^{2}}{2hbar ^{2}E}}}},!}$.

Замечания и применение

Представленный выше расчет на первый взгляд может показаться нереальным и малополезным. Тем не менее, она оказалась подходящей моделью для множества реальных систем.

Один из таких примеров касается интерфейсов между двумя проведение материалы. В объеме материалов движение электронов квазисвободно и может быть описано кинетическим членом в указанном выше гамильтониане с эффективная масса м. Часто поверхности таких материалов покрыты оксидными слоями или не идеальны по другим причинам. Этот тонкий непроводящий слой можно затем смоделировать с помощью локального дельта-функционального потенциала, как указано выше. Затем электроны могут туннелировать из одного материала в другой, вызывая ток.

Работа сканирующий туннельный микроскоп (STM) полагается на этот туннельный эффект. В этом случае барьер возникает из-за наличия воздуха между концом СТМ и нижележащим объектом. Прочность барьера связана с тем, что разделение тем сильнее, чем дальше друг от друга они находятся. Для более общей модели этой ситуации см. Конечный потенциальный барьер (QM). Дельта-функция потенциального барьера является предельным случаем рассматриваемой здесь модели для очень высоких и узких барьеров.

Вышеупомянутая модель одномерна, а пространство вокруг нас трехмерно. Таким образом, фактически следует решать уравнение Шредингера в трех измерениях. С другой стороны, многие системы изменяются только вдоль одного координатного направления и трансляционно инвариантны относительно других. Тогда уравнение Шредингера может быть сведено к рассматриваемому здесь случаю с помощью анзаца для волновой функции типа ${displaystyle Psi (x,y,z)=psi (x)phi (y,z),!}$.

В качестве альтернативы можно обобщить дельта-функцию для существования на поверхности некоторой области D (видеть Лапласиан индикатора ).^[1]

Модель дельта-функции на самом деле является одномерной версией модели Атом водорода согласно масштабирование метод, разработанный группой Дадли Р. Хершбах^[2]Модель дельта-функции становится особенно полезной с двойной колодец Модель дельта-функции Дирака, которая представляет собой одномерную версию Ион молекулы водорода, как показано в следующем разделе.

Двойной дельта-потенциал

Симметричные и антисимметричные волновые функции для двухъямной модели дельта-функции Дирака с «межъядерным» расстоянием R = 2.

Двухъямная дельта-функция Дирака моделирует двухатомную молекулу водорода с помощью соответствующего уравнения Шредингера:

${displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}psi }{dx^{2}}}(x)+V(x)psi (x)=Epsi (x)}$

где сейчас потенциал:

${displaystyle V(x)=-qleft[delta left(x+{frac {R}{2}}ight)+lambda delta left(x-{frac {R}{2}}ight)ight]}$

куда ${displaystyle 0<R<infty }$ это «межъядерное» расстояние с пиками дельта-функции Дирака (отрицательными), расположенными на Икс=±р/ 2 (показано на схеме коричневым цветом). Принимая во внимание связь этой модели с ее трехмерным молекулярным аналогом, мы используем атомные единицы и установить ${displaystyle hbar =m=1}$. Здесь ${displaystyle 0<lambda <1}$ - формально регулируемый параметр. Из случая с одной скважиной мы можем сделать вывод о "анзац "чтобы решение было:

${displaystyle psi (x)~=~Ae^{-dleft|x+{frac {R}{2}}ight|}+Be^{-dleft|x-{frac {R}{2}}ight|}}$

Согласование волновой функции на пиках дельта-функции Дирака дает определитель:

${displaystyle left|{egin{array}{cc}q-d&qe^{-dR}qlambda e^{-dR}&qlambda -dend{array}}ight|=0quad {mbox{where}}quad E=-{frac {d^{2}}{2}}~.}$

Таким образом, ${displaystyle d}$ установлено, что регулируется псевдоквадратичный уравнение:

${displaystyle d_{pm }(lambda )~=~{ extstyle {frac {1}{2}}}q(lambda +1)pm { extstyle {frac {1}{2}}}left{q^{2}(1+lambda )^{2}-4,lambda q^{2}lbrack 1-e^{-2d_{pm }(lambda )R}]ight}^{1/2}}$

который имеет два решения ${displaystyle d=d_{pm }}$. В случае равных зарядов (симметричный гомоядерный случай) λ= 1, а псевдоквадратичный сводится к:

${displaystyle d_{pm }=q[1pm e^{-d_{pm }R}]}$

Случай «+» соответствует волновой функции, симметричной относительно средней точки (показано красным на диаграмме), где А = B и называется Gerade. Соответственно, случай "-" - это волновая функция, которая антисимметрична относительно середины, где А = –B называется отменить (показаны на схеме зеленым цветом). Они представляют собой приближение двух низших дискретных энергетических состояний трехмерного ${displaystyle H_{2}^{+}}$ и полезны при его анализе. Аналитические решения для собственных значений энергии для случая симметричных зарядов даются как:^[3]

${displaystyle d_{pm }=q~+~W(pm qRe^{-qR})/R}$

куда W это стандарт W функция Ламберта. Обратите внимание, что самая низкая энергия соответствует симметричному решению ${displaystyle d_{+}}$. В случае неравный зарядов, и в этом отношении трехмерной молекулярной задачи решения даются обобщение функции Ламберта W (см. раздел об обобщении W функция Ламберта и ссылки здесь).

Один из самых интересных случаев - когда qR ≤ 1, что приводит к ${displaystyle d_{-}=0}$. Таким образом, имеется нетривиальное решение связанного состояния с E= 0. Для этих конкретных параметров проявляется много интересных свойств, одним из которых является необычный эффект, заключающийся в том, что коэффициент передачи равна единице при нулевой энергии.^[4]

Смотрите также

• Бесплатная частица
• Частица в коробке
• Конечная потенциальная яма
• W функция Ламберта
• Частица в кольце
• Частица в сферически-симметричном потенциале
• Квантовый гармонический осциллятор
• Атом водорода или же водородоподобный атом
• Кольцо волновод
• Частица в одномерной решетке (периодический потенциал)
• Молекулярный ион водорода
• Метод голштинской селедки
• Лапласиан индикатора
• Список квантово-механических систем с аналитическими решениями

Рекомендации

1. Ланге, Рутгер-Ян (2012), "Теория потенциала, интегралы по путям и лапласиан индикатора", Журнал физики высоких энергий, 2012 (11): 1–49, arXiv:1302.0864, Bibcode:2012JHEP ... 11..032L, Дои:10.1007 / JHEP11 (2012) 032
2. D.R. Herschbach, J.S. Эйвери и О. Госцински (ред.), Масштабирование размеров в химической физике, Springer, (1992). [1]
3. T.C. Скотт, Дж. Ф. Бэбб, А. Дальгарно и Джон Д. Морган III, «Расчет обменных сил: общие результаты и конкретные модели», J. Chem. Phys., 99, pp. 2841-2854, (1993). [2]
4. В. ван Дейк и К. А. Кирс, "Запаздывание в простых одномерных системах", Являюсь. J. Phys. 60, стр. 520-527 (1992). [3]

• Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл. С. 68–78. ISBN  978-0-13-111892-8.
• Для трехмерного случая ищите «потенциал дельта-оболочки»; см. также К. Готфрид (1966), Квантовая механика Том I: Основы, ch III, sec 15.

внешняя ссылка

• СМИ, связанные с Дельта-потенциал в Wikimedia Commons