Обобщенная функция - Generalized function

В математика, обобщенные функции являются объектами, расширяющими понятие функции. Существует несколько признанных теорий, например, теория распределения. Обобщенные функции особенно полезны при создании прерывистые функции скорее гладкие функции, и описывая дискретные физические явления, такие как точечные сборы. Они широко применяются, особенно в физика и инженерное дело.

Общей чертой некоторых подходов является то, что они основаны на оператор аспекты повседневных числовых функций. Ранняя история связана с некоторыми представлениями о операционное исчисление, и более современные разработки в определенных направлениях тесно связаны с идеями Микио Сато, по тому, что он называет алгебраический анализ. Важное влияние на эту тему оказали технические требования теорий уравнения в частных производных, и групповое представительство теория.

Некоторая ранняя история

В математике девятнадцатого века появились аспекты теории обобщенных функций, например, в определении Функция Грина, в Преобразование Лапласа, И в Риман теория тригонометрический ряд, которые не обязательно были Ряд Фурье из интегрируемая функция. Это были отдельные аспекты математический анализ в это время.

Интенсивное использование преобразования Лапласа в технике привело к эвристический использование символических методов, называемых операционное исчисление. Поскольку были даны обоснования, использованные расходящийся ряд, эти методы имели плохую репутацию с точки зрения чистая математика. Они типичны для более позднего применения методов обобщенных функций. Влиятельная книга по операционному исчислению была Оливер Хевисайд с Электромагнитная теория 1899 г.

Когда Интеграл Лебега было введено понятие обобщенной функции, центральное в математике. Интегрируемая функция в теории Лебега эквивалентна любой другой, которая является такой же почти всюду. Это означает, что его ценность в данной точке (в некотором смысле) не является его самой важной особенностью. В функциональный анализ дана четкая формулировка существенный особенность интегрируемой функции, а именно то, как она определяет линейный функционал по другим функциям. Это позволяет определить слабая производная.

В конце 1920-х и 1930-х годах были предприняты дальнейшие шаги, необходимые для будущей работы. В Дельта-функция Дирака был смело определен Поль Дирак (аспект его научный формализм ); это было лечить меры, понимаемые как плотности (например, плотность заряда ) как настоящие функции. Сергей Соболев, работает в теория уравнений в частных производных, определил первую адекватную с математической точки зрения теорию обобщенных функций для работы с слабые решения уравнений в частных производных.^[1] Другие, предлагавшие похожие теории в то время, были Саломон Бохнер и Курт Фридрихс. Дальнейшее развитие творчество Соболева в развернутой форме получили Лоран Шварц.^[2]

Распределения Шварца

Реализацией такой концепции, которая должна была стать окончательной для многих целей, была теория распределения, разработан Лоран Шварц. Это можно назвать принципиальной теорией, основанной на теория двойственности для топологические векторные пространства. Его главный соперник, в Прикладная математика, заключается в использовании последовательностей гладких приближений ('Джеймс Лайтхилл 'объяснение), что больше для этого случая. Теперь это входит в теорию как успокаивающее средство теория.^[3]

Эта теория оказалась очень успешной и до сих пор широко используется, но имеет главный недостаток, заключающийся в том, что она позволяет только линейный операции. Другими словами, распределения нельзя умножать (за исключением очень особых случаев): в отличие от большинства классических функциональные пространства, они не алгебра. Например, не имеет смысла возводить квадрат Дельта-функция Дирака. Работа Шварца примерно в 1954 году показала, что это внутренняя трудность.

Предложены некоторые решения проблемы умножения. Один основан на очень простом и интуитивно понятном определении обобщенной функции, данном Ю. В. Егоров^[4] (см. также его статью в книге Демидова в списке книг ниже), который допускает произвольные операции с обобщенными функциями и между ними.

Другое решение проблемы умножения продиктовано формулировка интеграла по путям из квантовая механика.Поскольку это требуется, чтобы быть эквивалентным Шредингер теория квантовая механика который инвариантен относительно преобразований координат, это свойство должно разделяться интегралами по путям. Это исправляет все продукты обобщенных функций, как показано Х. Кляйнерт и А. Червяков.^[5] Результат эквивалентен тому, что можно получить изразмерная регуляризация.^[6]

Алгебры обобщенных функций

Было предложено несколько конструкций алгебр обобщенных функций, в том числе Ю. М. Широков^[7] Э. Розингера, Ю. Егорова и Р. Робинсона.^{[нужна цитата ]}В первом случае умножение определяется некоторой регуляризацией обобщенной функции. Во втором случае алгебра строится как умножение распределений. Оба случая обсуждаются ниже.

Некоммутативная алгебра обобщенных функций

Алгебра обобщенных функций может быть построена с помощью соответствующей процедуры проектирования функции ${\displaystyle ~F=F(x)~}$ к его гладкому ${\displaystyle F_{\rm {smooth}}}$ и его особенный ${\displaystyle F_{\rm {singular}}}$ части. Произведение обобщенных функций ${\displaystyle ~F~}$ и ${\displaystyle ~G~}$ выглядит как

${\displaystyle (1)~~~~~FG~=~F_{\rm {smooth}}~G_{\rm {smooth}}~+~F_{\rm {smooth}}~G_{\rm {singular}}~+F_{\rm {singular}}~G_{\rm {smooth}}.}$

Такое правило применяется как к пространству основных функций, так и к пространству операторов, действующих в пространстве основных функций. Достигается ассоциативность умножения; а функция signum определена таким образом, что ее квадрат равен единице всюду (включая начало координат). Обратите внимание, что произведение особых частей не появляется в правой части (1); особенно, ${\displaystyle ~\delta (x)^{2}=0~}$. Такой формализм включает обычную теорию обобщенных функций (без их произведения) как частный случай. Однако полученная алгебра некоммутативна: обобщенные функции signum и delta антикоммутируют.^[7] Было предложено несколько приложений алгебры.^[8][9]

Умножение распределений

Проблема умножение распределений, ограничение теории распределения Шварца, становится серьезным для нелинейный проблемы.

Сегодня используются разные подходы. Самый простой из них основан на определении обобщенной функции, данном Ю. В. Егоров.^[4] Другой подход к построению ассоциативный дифференциальные алгебры основан на Ж.-Ф. Конструкция Коломбо: см. Алгебра Коломбо. Эти факторные пространства

${\displaystyle G=M/N}$

«умеренных» по модулю «ничтожных» сетей функций, где «умеренность» и «пренебрежимость» относятся к росту по отношению к индексу семьи.

Пример: алгебра Коломбо

Простой пример получается при использовании полиномиальной шкалы на N,${\displaystyle s=\{a_{m}:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,n\mapsto n^{m};~m\in \mathbb {Z} \}}$. Тогда для любой полунормированной алгебры (E, P) фактор-пространство будет

${\displaystyle G_{s}(E,P)={\frac {\{f\in E^{\mathbb {N} }\mid \forall p\in P,\exists m\in \mathbb {Z} :p(f_{n})=o(n^{m})\}}{\{f\in E^{\mathbb {N} }\mid \forall p\in P,\forall m\in \mathbb {Z} :p(f_{n})=o(n^{m})\}}}.}$

В частности, для (E, п)=(C, |. |) получается (Коломбо) обобщенные комплексные числа (которые могут быть «бесконечно большими» и «бесконечно малыми» и при этом допускать строгую арифметику, очень похожую на нестандартные числа ). Для (E, п) = (C^∞(р),{п_k}) (где п_k является супремумом всех производных порядка меньше или равного k на шаре радиуса k) получается Упрощенная алгебра Коломбо.

Введение распределений Шварца

Эта алгебра «содержит» все распределения Т из D ' через инъекцию

j(Т) = (φ_п ∗ Т)_п + N,

где ∗ - свертка операция, и

φ_п(Икс) = п φ (nx).

Эта инъекция неканонический в том смысле, что это зависит от выбора успокаивающее средство φ, который должен быть C^∞, целого единицы и все ее производные в 0 обращаются в нуль. Чтобы получить каноническую инъекцию, набор индексации можно изменить так, чтобы он N × D(р), с удобным основание фильтра на D(р) (функции исчезающих моменты до заказа q).

Структура снопа

Если (E,п) является (пре-)пучок полунормированных алгебр на некотором топологическом пространстве Икс, тогда г_s(E, п) также будет иметь это свойство. Это означает, что понятие ограничение будет определено, что позволяет определить поддержка обобщенной функции относительно подсучок, в частности:

• Для подпучка {0} получается обычная опора (дополнение к наибольшему открытому подмножеству, где функция равна нулю).
• Для подпучка E (внедренный с использованием канонической (константной) инъекции), получается то, что называется исключительная поддержка, т.е., грубо говоря, замыкание множества, в котором обобщенная функция не является гладкой функцией (при E = C^∞).

Микролокальный анализ

В Преобразование Фурье будучи (хорошо) определенным для обобщенных функций с компактным носителем (покомпонентно), можно применить ту же конструкцию, что и для распределений, и определить Ларс Хёрмандер с набор фронта волны также для обобщенных функций.

Это имеет особенно важное применение при анализе распространение из особенности.

Другие теории

К ним относятся: коэффициент свертки теория Ян Микусинский, на основе поле дробей из свертка алгебры, которые целостные области; и теории гиперфункции, исходя (в их первоначальном понимании) на граничных значениях аналитические функции, и теперь используя теория связок.

Топологические группы

Брюа представил класс тестовые функции, то Функции Шварца – Брюа как их теперь называют, по классу локально компактные группы что выходит за рамки коллекторы это типичные функциональные области. Приложения в основном находятся в теория чисел особенно для адельные алгебраические группы. Андре Вайль переписал Тезис Тейта на этом языке, характеризуя дзета-распределение на группа иделей; а также применил его к явная формула L-функции.

Обобщенный раздел

Дальнейшее расширение теории: обобщенные разделы гладкой векторный набор. Это шаблон Шварца, построение объектов, двойственных тестовым объектам, гладких участков связки, которые имеют компактная опора. Наиболее развитая теория - теория Течения де Рама, двойное к дифференциальные формы. Они гомологичны по своей природе в том смысле, что дифференциальные формы порождают Когомологии де Рама. Их можно использовать для формулировки очень общего Теорема Стокса.

Смотрите также

• Пространство Беппо-Леви
• Дельта-функция Дирака
• Обобщенная собственная функция
• Распределение (математика)
• Гиперфункция
• Лапласиан индикатора
• Оснащенное гильбертово пространство
• Предел раздачи

Книги

• Л. Шварц: Теория распределений
• Л. Шварц: Sur l'impossibilité de la multiplication des distributions. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Париж, 239 (1954) 847-848.
• И. М. Гельфанд и др .: Обобщенные функции, т. I – VI, Academic Press, 1964. (Пер. с рус.)
• Л. Хёрмандер: Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, Springer Verlag, 1983.
• Демидов А. С. Обобщенные функции в математической физике: основные идеи и концепции (Издательство Nova Science, Хантингтон, 2001). С добавлением Ю. В. Егоров.
• М. Обергуггенбергер: Умножение распределений и приложения к уравнениям в частных производных (Longman, Harlow, 1992).
• Обергуггенбергер, М. (2001). «Обобщенные функции в нелинейных моделях - обзор». Нелинейный анализ. 47 (8): 5029–5040. Дои:10.1016 / s0362-546x (01) 00614-9.
• Ж.-Ф. Colombeau: Новые обобщенные функции и умножение распределений, Северная Голландия, 1983.
• М. Гроссер и др.: Геометрическая теория обобщенных функций с приложениями к общей теории относительности, Kluwer Academic Publishers, 2001.
• Х. Кляйнерт, Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках, 4-е издание, World Scientific (Сингапур, 2006 г.) (онлайн здесь ). См. Главу 11 о продуктах обобщенных функций.

использованная литература

1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Фомин С. В. (1999). Элементы теории функций и функционального анализа (Том 1). Courier Dover Publications.
2. Шварц, L (1952). "Теория распределений". Бык. Амер. Математика. Soc. 58: 78–85. Дои:10.1090 / S0002-9904-1952-09555-0.
3. Гальперин, И., и Шварц, Л. (1952). Введение в теорию распределений. Торонто: Университет Торонто Press. (Краткая лекция Гальперина по теории Шварца)
4. Ю. В. Егоров (1990). «Вклад в теорию обобщенных функций». Русская математика. Обзоры. 45 (5): 1–49. Bibcode:1990RuMaS..45 .... 1E. Дои:10.1070 / rm1990v045n05abeh002683.
5. Х. Клейнерт и А. Червяков (2001). "Правила для интегралов по произведениям распределений от координатной независимости интегралов по путям" (PDF). Евро. Phys. J. C. 19 (4): 743–747. arXiv:Quant-ph / 0002067. Bibcode:2001EPJC ... 19..743K. Дои:10.1007 / с100520100600.
6. Х. Кляйнерт и А. Червяков (2000). «Координатная независимость квантово-механических интегралов по траекториям» (PDF). Phys. Латыш. А 269 (1–2): 63. arXiv:Quant-ph / 0003095. Bibcode:2000ФЛА..273 .... 1К. Дои:10.1016 / S0375-9601 (00) 00475-8.
7. Ю. М. Широков (1979). «Алгебра одномерных обобщенных функций». Теоретическая и математическая физика. 39 (3): 291–301. Bibcode:1979ТМП .... 39..471С. Дои:10.1007 / BF01017992.
8. О. Г. Горяга; Ю. М. Широков (1981). «Уровни энергии осциллятора с сингулярным сосредоточенным потенциалом». Теоретическая и математическая физика. 46 (3): 321–324. Bibcode:1981ТМП .... 46..210Г. Дои:10.1007 / BF01032729.
9. Толоконников Г.К. (1982). «Дифференциальные кольца, используемые в алгебрах Широкова». Теоретическая и математическая физика. 53 (1): 952–954. Bibcode:1982ТМП .... 53..952Т. Дои:10.1007 / BF01014789.