Алгебра Коломбо - Colombeau algebra

В математика, а Алгебра Коломбо является алгебра определенного вида, содержащего пространство Распределения Шварца. Хотя в классической теории распределений общее умножение распределений невозможно, алгебры Коломбо обеспечивают для этого строгую основу.

Такое умножение распределений долгое время считалось невозможным из-за результата Л. Шварца о невозможности, который в основном утверждает, что не может быть дифференциальной алгебры, содержащей пространство распределений и сохраняющей произведение непрерывных функций. Однако, если кто-то хочет сохранить только произведение гладких функций, такая конструкция становится возможной, как впервые продемонстрировал Коломбо.

Можно сказать, что как математический инструмент алгебры Коломбо объединяют в одной структуре обработку сингулярностей, дифференцирование и нелинейные операции, снимая ограничения теории распределений. Эти алгебры нашли множество приложений в области дифференциальных уравнений в частных производных, геофизики, микролокального анализа и общей теории относительности.

Результат невозможности Шварца

Попытка встроить пространство ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )}$ распределений на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ в ассоциативную алгебру ${\displaystyle (A(\mathbb {R} ),\circ ,+)}$, естественными кажутся следующие требования:

1. ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )}$ линейно вложен в ${\displaystyle A(\mathbb {R} )}$ такая, что постоянная функция ${\displaystyle 1}$ становится единством в ${\displaystyle A(\mathbb {R} )}$,
2. Есть оператор частной производной ${\displaystyle \partial }$ на ${\displaystyle A(\mathbb {R} )}$ который является линейным и удовлетворяет правилу Лейбница,
3. ограничение ${\displaystyle \partial }$ к ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )}$ совпадает с обычной частной производной,
4. ограничение ${\displaystyle \circ }$ к ${\displaystyle C(\mathbb {R} )\times C(\mathbb {R} )}$ совпадает с поточечным произведением.

Однако результат Л. Шварца^[1] означает, что эти требования не могут выполняться одновременно. То же самое верно, даже если в 4. заменить ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ к ${\displaystyle C^{k}(\mathbb {R} )}$, пространство ${\displaystyle k}$ раз непрерывно дифференцируемые функции. Хотя этот результат часто интерпретируется как утверждение, что общее умножение распределений невозможно, на самом деле он только утверждает, что нельзя неограниченно комбинировать дифференцирование, умножение непрерывных функций и наличие особых объектов, таких как дельта Дирака.

Алгебры Коломбо строятся так, чтобы удовлетворять условиям 1.– 3. и условие, подобное 4., но с ${\displaystyle C(\mathbb {R} )\times C(\mathbb {R} )}$ заменен на ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )\times C^{\infty }(\mathbb {R} )}$, т.е. они сохраняют произведение только гладких (бесконечно дифференцируемых) функций.

Основная идея

Алгебра Коломбо^[2] определяется как фактор-алгебра

${\displaystyle C_{M}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})/C_{N}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$

Здесь алгебра умеренные функции ${\displaystyle C_{M}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ алгебра семейств гладких регуляризации (ж_ε)

${\displaystyle {f:}\mathbb {R} _{+}\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

из гладкие функции на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(куда р₊ = (0, ∞) - это "регуляризация "параметр ε), такой, что для всех компактных подмножеств K из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и все мультииндексы α существует N > 0 такой, что

${\displaystyle \sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{|\alpha |}}{(\partial x_{1})^{\alpha _{1}}\cdots (\partial x_{n})^{\alpha _{n}}}}f_{\varepsilon }(x)\right|=O(\varepsilon ^{-N})\qquad (\varepsilon \to 0).}$

В идеальный ${\displaystyle C_{N}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ из незначительные функции определяется таким же образом, но с частными производными, ограниченными O (ε^{+ N}) за все N > 0.

Встраивание дистрибутивов

Пространство (а) Распределения Шварца может быть встроен в упрощенный алгебра (покомпонентно) свертка с любым элементом алгебры, имеющим в качестве представителя δ-сеть, т.е. семейство гладких функций ${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }}$ такой, что ${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }\to \delta }$ в D ' в качествеε → 0.

Это вложение неканонично, так как зависит от выбора δ-сети. Однако существуют версии алгебр Коломбо (так называемые полный алгебры), допускающие канонические вложения распределений. Известный полный версия получается путем добавления смягчителей в качестве второго набора индексации.

Смотрите также

• Обобщенная функция

Примечания

1. Л. Шварц, 1954, "Sur l'impossibilité de la multiplication des distributions", Comptes Rendus de L'Académie des Sciences 239, стр. 847–848. [1]
2. Гратус, Дж. (2013). "Алгебра Коломбо: педагогическое введение". arXiv:1308.0257 [math.FA ].

Рекомендации

• Коломбо, Дж. Ф., Новые обобщенные функции и умножение распределений. Северная Голландия, Амстердам, 1984 год.
• Коломбо, Дж. Ф., Элементарное введение в новые обобщенные функции. Северная Голландия, Амстердам, 1985 год.
• Недельков, М., Пилипович, С., Скарпалесос, Д., Линейная теория обобщенных функций Коломбо., Эддисон Уэсли, Лонгман, 1998.
• Grosser, M., Kunzinger, M., Oberguggenberger, M., Steinbauer, R .; Геометрическая теория обобщенных функций с приложениями к общей теории относительности, Математика серии Спрингера и ее приложения, Vol. 537, 2002; ISBN  978-1-4020-0145-1.