Комплект волнового фронта - Wave front set

В математический анализ, точнее в микролокальный анализ, то волновой фронт (набор) WF (ж) характеризует особенности из обобщенная функция жне только в Космос, но и в отношении его преобразование Фурье в каждой точке. Термин «волновой фронт» был введен Ларс Хёрмандер около 1970 г.

Вступление

Говоря более привычным языком, WF (ж) говорит не только куда функция ж сингулярна (что уже описывается его исключительная поддержка ), но также как или же Почему это особенность, если быть более точным в отношении направления, в котором возникает сингулярность. Эта концепция в основном полезна как минимум в двух измерениях, поскольку в одном измерении есть только два возможных направления. Дополнительное понятие функции, неособой по направлению, имеет вид микролокальная гладкость.

В качестве примера интуитивно рассмотрим функцию, особый носитель которой сосредоточен на гладкой кривой на плоскости, на которой функция имеет скачкообразный разрыв. В направлении, касательном к кривой, функция остается гладкой. Напротив, в направлении, перпендикулярном кривой, функция имеет особенность. Чтобы решить, будет ли функция плавной в другом направлении v, можно попытаться сгладить функцию усреднением в направлениях, перпендикулярных v. Если полученная функция гладкая, то мы считаем гладкой в ​​направлении v. Иначе, v находится в наборе волнового фронта.

Формально в Евклидово пространство, то набор фронта волны определяется как дополнять множества всех пар (Икс₀,v) такая, что существует тестовая функция ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }}$ с ${\displaystyle \phi }$(Икс₀) ≠ 0 и открытая конус Γ, содержащий v такая, что оценка

${\displaystyle |(\phi f)^{\wedge }(\xi )|\leq C_{N}(1+|\xi |)^{-N}\quad {\mbox{for all }}\ \xi \in \Gamma }$

выполняется для всех натуральных чисел N. Здесь ${\displaystyle (\phi f)^{\wedge }}$ обозначает преобразование Фурье. Обратите внимание, что набор волнового фронта конический в том смысле, что если (Икс,v) ∈ Wf (ƒ), то (Икс, λv) ∈ Wf (ƒ) для всех λ> 0. В примере, рассмотренном в предыдущем абзаце, множество волновых фронтов является теоретико-множественным дополнением образа касательного расслоения кривой внутри касательного расслоения к плоскости.

Поскольку определение включает обрезание функцией с компактным носителем, понятие волнового фронта может быть перенесено на любой дифференцируемое многообразие Икс. В этой более общей ситуации набор волновых фронтов представляет собой замкнутое коническое подмножество котангенсный пучок Т^*(Икс), поскольку переменная ξ естественным образом локализуется на ковектор а не вектор. Набор волнового фронта определяется таким образом, что его проекция на Икс равно исключительная поддержка функции.

Определение

В евклидовом пространстве набор волновых фронтов распределение ƒ определяется как

${\displaystyle {\rm {WF}}(f)=\{(x,\xi )\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\mid \xi \in \Sigma _{x}(f)\}}$

куда ${\displaystyle \Sigma _{x}(f)}$ - особый слой в точке Икс. Особый слой определяется как дополнять всех направлений ${\displaystyle \xi }$ такое, что преобразование Фурье ж, локализован на Икс, достаточно регулярна при ограничении на открытый конус, содержащий ${\displaystyle \xi }$. Точнее направление v входит в состав ${\displaystyle \Sigma _{x}(f)}$ если существует гладкая функция φ с компактным носителем такая, что φ (Икс) ≠ 0 и открытый конус Γ, содержащий v такая, что для каждого натурального числа справедлива следующая оценка N:

${\displaystyle (\phi f)^{\wedge }(\xi )<c_{N}(1+|\xi |)^{-N}\quad {\rm {for~all}}\ \xi \in \Gamma .}$

Если такая оценка верна для конкретной срезающей функции φ в точке Икс, оно также верно для всех срезающих функций с меньшим носителем, возможно, для другого открытого конуса, содержащего v.

На дифференцируемое многообразие M, используя местные координаты ${\displaystyle x,\xi }$ на котангенсный пучок, волновой фронт множество WF (ж) распределения можно определить следующим образом:

${\displaystyle {\rm {WF}}(f)=\{(x,\xi )\in T^{*}(X)\mid \xi \in \Sigma _{x}(f)\}}$

где особый слой ${\displaystyle \Sigma _{x}(f)}$ это снова дополнение всех направлений ${\displaystyle \xi }$ такое, что преобразование Фурье ж, локализован на Икс, достаточно регулярна, если ограничиваться конической окрестностью точки ${\displaystyle \xi }$. Проблема регулярности является локальной, поэтому ее можно проверить в локальной системе координат, используя преобразование Фурье на Икс переменные. Требуемая оценка регулярности хорошо трансформируется при диффеоморфизм, поэтому понятие регулярности не зависит от выбора локальных координат.

Обобщения

Понятие набора волнового фронта может быть адаптировано для включения других понятий регулярности функции. Локализованный здесь можно выразить, сказав, что ж усечен некоторыми гладкий функция отсечки не исчезает в Икс. (Процесс локализации можно было бы сделать более элегантным способом, используя микробы.)

Более конкретно, это можно выразить как

${\displaystyle \xi \notin \Sigma _{x}(f)\iff \xi =0{\text{ or }}\exists \phi \in {\mathcal {D}}_{x},\ \exists V\in {\mathcal {V}}_{\xi }:{\widehat {\phi f}}|_{V}\in O(V)}$

куда

• ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{x}}$ находятся компактно поддерживается гладкие функции не исчезает в Икс,
• ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{\xi }}$ находятся конические кварталы из ${\displaystyle \xi }$, т.е. окрестности V такой, что ${\displaystyle c\cdot V\subset V}$ для всех ${\displaystyle c>0}$,
• ${\displaystyle {\widehat {u}}|_{V}}$ обозначает преобразование Фурье функции (обобщенной с компактным носителем) ты, ограниченный V,
• ${\displaystyle O:\Omega \to O(\Omega )}$ фиксированный предпучка функций (или распределений), выбор которых обеспечивает желаемую регулярность преобразования Фурье.

Обычно разделы О требуются для удовлетворения некоторого условия роста (или убывания) на бесконечности, например такой, что ${\displaystyle (1+|\xi |)^{s}v(\xi )}$ принадлежат некоторым L^п Космос Это определение имеет смысл, потому что преобразование Фурье становится более регулярным (с точки зрения роста на бесконечности), когда ж усечен с плавной обрезкой ${\displaystyle \phi }$.

Самая сложная "проблема" с теоретической точки зрения - найти адекватную связку О характеризующие функции, принадлежащие данному подпучку E пространства грамм обобщенных функций.

Пример

Если мы возьмем грамм = D′ Пространство Распределения Шварца и хотите охарактеризовать распределения, которые локально ${\displaystyle C^{\infty }}$ функции, мы должны взять за О(Ω) классические функциональные пространства, называемые О′_M(Ω) в литературе.

Тогда проекция на первую составляющую множества волновых фронтов распределения есть не что иное, как его классический исключительная поддержка, т.е. дополнение множества, на которое его ограничение было бы гладкая функция.

Приложения

Набор волновых фронтов полезен, среди прочего, при изучении распространение из особенности к псевдодифференциальные операторы.

Смотрите также

• Преобразование ФБР
• Сингулярный спектр
• Основная поддержка

Рекомендации

• Ларс Хёрмандер, Интегральные операторы Фурье I, Acta Math. 127 (1971), стр. 79–183.
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных дифференциальных уравнений с частными производными I: теория распределений и анализ Фурье, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 256 (2-е изд.), Springer, стр. 251–279, ISBN  0-387-52345-6 Глава VIII, Спектральный анализ особенностей