Группа Витта - Witt group

Для групп Витта в теории алгебраические группы, видеть Вектор Витта.

В математика, а Группа Витта из поле, названный в честь Эрнст Витт, является абелева группа элементы которого представлены симметричный билинейные формы над полем.

Определение

Исправить поле k из характеристика не равно двум. Все векторные пространства будем считать конечными -размерный. Мы говорим, что два пространства, оборудованные симметричные билинейные формы находятся эквивалент если одно можно получить из другого, добавив метаболическое квадратное пространство, то есть ноль или более копий гиперболическая плоскость, невырожденная двумерная симметричная билинейная форма с вектором нормы 0.^[1] Каждый класс представлен основная форма из Разложение Витта.^[2]

В Группа Витта k абелева группа W(k) из классы эквивалентности невырожденных симметрических билинейных форм, причем групповая операция соответствует ортогональная прямая сумма форм. Он аддитивно порождается классами одномерных форм.^[3] Хотя классы могут содержать пространства разной размерности, четность измерения постоянна для класса, и поэтому rk: W(k) → Z/2Z это гомоморфизм.^[4]

Элементы конечного порядок в группе Витта - степень двойки;^[5][6] то торсионная подгруппа это ядро из функториальный карта из W(k) к W(k^ру), куда k^ру это Пифагорейское замыкание из k;^[7] он создается Формы Пфистера ${displaystyle langle !langle wangle !angle =langle 1,-wangle }$ с ${displaystyle w}$ ненулевая сумма квадратов.^[8] Если k не является формально реальный, то группа Витта кручение, с показатель степени степень двойки.^[9] В высота поля k - показатель кручения в группе Витта, если он конечен, или ∞ в противном случае.^[8]

Структура кольца

Группа Витта k можно дать коммутативное кольцо структура, используя тензорное произведение квадратичных форм для определения кольцевого произведения. Иногда это называют Кольцо Witt W(k), хотя термин "кольцо Витта" часто также используется для совершенно другого кольца Векторы Витта.

Чтобы обсудить структуру этого кольца, предположим, что k имеет характеристику, отличную от 2, так что мы можем отождествлять симметричные билинейные формы и квадратичные формы.

Ядро гомоморфизма ранга по модулю 2 является главный идеал, я, кольца Витта^[4] назвал фундаментальный идеал.^[10] В гомоморфизмы колец из W(k) к Z соответствуют порядок полей из k, принимая подпись с учетом заказа.^[10] Кольцо Витта - это Кольцо Jacobson.^[9] Это Кольцо Нётериана тогда и только тогда, когда их конечное число квадратные классы; то есть, если квадраты в k сформировать подгруппа конечных индекс в мультипликативной группе k.^[11]

Если k формально нереален, фундаментальный идеал - единственный первичный идеал W^[12] и состоит именно из нильпотентные элементы;^[9] W это местное кольцо и имеет Измерение Крулля 0.^[13]

Если k действительна, то нильпотентные элементы - это в точности элементы конечного аддитивного порядка, а это, в свою очередь, формы, все сигнатуры которых равны нулю;^[14] W имеет размерность Крулля 1.^[13]

Если k настоящий Пифагорейское поле затем делители нуля из W элементы, для которых некоторая сигнатура равна нулю; в противном случае делители нуля и есть фундаментальный идеал.^[5][15]

Если k упорядоченное поле с положительным конусом п тогда Закон инерции Сильвестра для квадратичных форм над k и подпись определяет гомоморфизм колец из W(k) к Z, с ядром простой идеал K_п. Эти главные идеалы находятся в биекция с заказами Икс_k из k и составляют минимальный простой идеал спектр MinSpecW(k) из W(k). Биекция - это гомеоморфизм между МинСпецW(k) с Топология Зарисского и набор заказов Икс_k с Топология Харрисона.^[16]

В п-я степень фундаментального идеала аддитивно порождается п-складывать Формы Пфистера.^[17]

Примеры

• Кольцо Витта C, да и вообще любой алгебраически замкнутое поле или же квадратично замкнутое поле, является Z/2Z.^[18]
• Кольцо Витта р является Z.^[18]
• Кольцо Витта конечное поле F_q с q странный является Z/4Z если q ≡ 3 мод 4 и изоморфный к групповое кольцо (Z/2Z)[F */F *²] если q ≡ 1 мод 4.^[19]
• Кольцо Витта местное поле с максимальный идеал из норма сравнимый с 1 по модулю 4, изоморфен групповому кольцу (Z/2Z)[V] куда V это Кляйн 4-группа.^[20]
• Кольцо Витта локального поля с максимальным идеалом нормы, сравнимой с 3 по модулю 4, есть (Z/4Z)[C₂] куда C₂ это циклическая группа порядка 2.^[20]
• Кольцо Витта Q₂ имеет порядок 32 и определяется выражением^[21]

${displaystyle mathbf {Z} _{8}[s,t]/langle 2s,2t,s^{2},t^{2},st-4angle .}$

Инварианты

Некоторые инварианты квадратичной формы можно рассматривать как функции на классах Витта. Мы видели, что измерение mod 2 является функцией классов: дискриминант также хорошо определен. В Инвариант Хассе квадратичной формы снова является корректно определенной функцией на классах Витта со значениями в Группа Брауэра области определения.^[22]

Ранг и дискриминант

Определим кольцо над K, Q(K), как набор пар (d, е) с d в К */К *² и е в Z/2Z. Сложение и умножение определяются:

${displaystyle (d_{1},e_{1})+(d_{2},e_{2})=((-1)^{e_{1}e_{2}}d_{1}d_{2},e_{1}+e_{2})}$

${displaystyle (d_{1},e_{1})cdot (d_{2},e_{2})=(d_{1}^{e_{2}}d_{2}^{e_{1}},e_{1}e_{2}).}$

Тогда есть сюръективный гомоморфизм колец из W(K) к нему, полученному отображением класса на дискриминант и ранг по модулю 2. Ядро есть я².^[23] Элементы Q можно рассматривать как классифицирующие градуированные квадратичные расширения K.^[24]

Группа Брауэра – Уолла

Тройка дискриминанта, ранга по модулю 2 и инварианта Хассе определяет отображение из W(K) к Группа Брауэра – Уолла BW (K).^[25]

Кольцо Витта локального поля

Позволять K быть полным местное поле с оценкой v, униформизатор π и поле вычетов k характеристики не равной 2. Имеется инъекция W(k) → W(K), который поднимает диагональную форму ⟨а₁,...а_п⟩ к ⟨ты₁,...ты_п⟩ куда ты_я это единица K с изображением а_я в k. Это дает

${displaystyle W(K)=W(k)oplus langle pi angle cdot W(k)}$

идентификация W(k) с изображением в W(K).^[26]

Кольцо Витта числового поля

Позволять K быть числовое поле. Для квадратичных форм над K, Существует Инвариант Хассе ± 1 для каждого конечное место соответствующий Символы Гильберта. Инварианты формы над числовым полем - это в точности размерность, дискриминант, все локальные инварианты Хассе и подписи происходит из реальных вложений.^[27]

Мы определяем символ кольцо над K, Sym (K), как набор троек (d, е, ж ) с d в К */К *², е в Z/ 2 и ж последовательность элементов ± 1, пронумерованная местами K, при условии, что все, кроме конечного числа членов ж равны +1, что значение в сложных местах равно +1 и что произведение всех членов в ж в +1. Позволять [а, б] - последовательность символов Гильберта: она удовлетворяет условиям на ж только что заявил.^[28]

Мы определяем сложение и умножение следующим образом:

${displaystyle (d_{1},e_{1},f_{1})+(d_{2},e_{2},f_{2})=((-1)^{e_{1}e_{2}}d_{1}d_{2},e_{1}+e_{2},[d_{1},d_{2}][-d_{1}d_{2},(-1)^{e_{1}e_{2}}]f_{1}f_{2})}$

${displaystyle (d_{1},e_{1},f_{1})cdot (d_{2},e_{2},f_{2})=(d_{1}^{e_{2}}d_{2}^{e_{1}},e_{1}e_{2},[d_{1},d_{2}]^{1+e_{1}e_{2}}f_{1}^{e_{2}}f_{2}^{e_{1}}) .}$

Тогда существует сюръективный гомоморфизм колец из W(K) в Sym (K), полученный отображением класса на дискриминант, ранг по модулю 2 и последовательность инвариантов Хассе. Ядро я³.^[29]

Кольцо с символом - это реализация группы Брауэра-Уолла.^[30]

Кольцо Витта рациональных чисел

В Теорема Хассе – Минковского подразумевает, что есть инъекция^[31]

${displaystyle W(mathbf {Q} )ightarrow W(mathbf {R} )oplus prod _{p}W(mathbf {Q} _{p}) .}$

Мы конкретизируем это и вычисляем изображение, используя «гомоморфизм второго вычета» W (Q_п) → W (F_п). Составляется с картой W (Q) → W (Q_п) получаем гомоморфизм групп ∂_п: W (Q) → W (F_п) (за п = 2 определим ∂₂ быть 2-адической оценкой дискриминанта, взятой по модулю 2).

Тогда у нас есть разделить точную последовательность^[32]

${displaystyle mathbf {Z} ightarrow W(mathbf {Q} )ightarrow mathbf {Z} /2oplus prod _{peq 2}W(mathbf {F} _{p})ightarrow 0 }$

который можно записать как изоморфизм

${displaystyle W(mathbf {Q} )cong mathbf {Z} oplus mathbf {Z} /2oplus prod _{peq 2}W(mathbf {F} _{p}) }$

где первый компонент - подпись.^[33]

Кольцо Витта и K-теория Милнора

Позволять k - поле характеристики, не равной 2. Степени идеала я форм четного измерения («фундаментальный идеал») в ${displaystyle W(k)}$ образуют нисходящий фильтрация и можно рассматривать связанные градуированное кольцо, то есть прямая сумма частных ${displaystyle I^{n}/I^{n+1}}$. Позволять ${displaystyle langle aangle }$ квадратичная форма ${displaystyle ax^{2}}$ рассматривается как элемент кольца Витта. потом ${displaystyle langle aangle -langle 1angle }$ является элементом я и, соответственно, продукт вида

${displaystyle langle langle a_{1},ldots ,a_{n}angle angle =(langle a_{1}angle -langle 1angle )cdots (langle a_{n}angle -langle 1angle )}$

является элементом ${displaystyle I^{n}.}$ Джон Милнор в статье 1970 года ^[34] доказал, что отображение из ${displaystyle (k^{*})^{n}}$ к ${displaystyle I^{n}/I^{n+1}}$ что посылает ${displaystyle (a_{1},ldots ,a_{n})}$ к ${displaystyle langle langle a_{1},ldots ,a_{n}angle angle }$ является полилинейный и отображает элементы Стейнберга (такие, что для некоторых ${displaystyle i}$ и ${displaystyle j}$ такой, что ${displaystyle ieq j}$ надо ${displaystyle a_{i}+a_{j}=1}$) до нуля. Это означает, что это отображение определяет гомоморфизм из Кольцо Milnor из k к градуированному кольцу Витта. Милнор также показал, что этот гомоморфизм переводит элементы, делящиеся на 2, до нуля и что он сюръективен. В той же работе он высказал гипотезу, что этот гомоморфизм является изоморфизмом для всех полей k (характеристики отличной от 2). Это стало известно как гипотеза Милнора о квадратичных формах.

Гипотезу доказали Дмитрий Орлов, Александр Вишик и Владимир Воеводский^[35] в 1996 г. (опубликовано в 2007 г.) по делу ${displaystyle { extrm {char}}(k)=0}$, что привело к лучшему пониманию структуры квадратичных форм над произвольными полями.

Кольцо Гротендика-Витта

В Кольцо Гротендика-Витта ГВт - связанная конструкция, порожденная классами изометрии неособых квадратичных пространств со сложением, заданным ортогональной суммой, и умножением, заданным тензорным произведением. Поскольку два пространства, отличающиеся гиперболической плоскостью, не отождествляются в ГВтобратное для сложения должно быть введено формально через конструкцию, открытую Гротендиком (см. Группа Гротендик ). Существует естественный гомоморфизм ГВт → Z задано размером: поле квадратично замкнутый тогда и только тогда, когда это изоморфизм.^[18] Гиперболические пространства порождают идеал в ГВт и кольцо Витта W является частным.^[36] В внешняя сила дает кольцу Гротендика-Витта дополнительную структуру λ-кольцо.^[37]

Примеры

• Кольцо Гротендика-Витта C, да и вообще любой алгебраически замкнутое поле или же квадратично замкнутое поле, является Z.^[18]
• Кольцо Гротендика-Витта р изоморфно групповому кольцу Z[C₂], куда C₂ - циклическая группа порядка 2.^[18]
• Кольцо Гротендика-Витта любого конечного поля нечетной характеристики есть Z ⊕ Z/2Z с тривиальным умножением во втором компоненте.^[38] Элемент (1, 0) соответствует квадратичной форме ⟨а⟩ куда а не является квадратом в конечном поле.
• Кольцо Гротендика-Витта локального поля с максимальным идеалом нормы, сравнимой с 1 по модулю 4, изоморфно Z ⊕ (Z/2Z)³.^[20]
• Кольцом Гротендика-Витта локального поля с максимальным идеалом нормы, сравнимой с 3 по модулю 4, является Z ' ⊕ Z/4Z ⊕ Z/2Z.^[20]

Кольцо Гротендика-Витта и мотивно стабильные гомотопические группы сфер

Фабьен Морель^[39][40] показал, что кольцо Гротендика-Витта идеальное поле изоморфна мотивно стабильной гомотопической группе сфер π_0,0(S^0,0) (видеть "Все теории гомотопии ").

Эквивалентность Витта

Два поля называются Эквивалент Витта если их кольца Витта изоморфны.

Для глобальных полей существует принцип от локального к глобальному: два глобальных поля эквивалентны Витту тогда и только тогда, когда существует взаимно однозначное соответствие между их местами, так что соответствующие локальные поля эквивалентны Витту.^[41] В частности, два числовых поля K и L эквивалентны Витту тогда и только тогда, когда существует биекция Т между местами K и места L и групповой изоморфизм т между их группы квадратного класса, сохраняющие гильбертовые символы степени 2. В этом случае пара (Т, т) называется эквивалентность взаимности или эквивалентность символа Гильберта степени 2.^[42] Некоторые вариации и расширения этого условия, такие как «ручная степень л Эквивалентность символа Гильберта ».^[43]

Обобщения

Основная статья: L-теория

Группы Витта могут быть определены таким же образом для кососимметричные формы, и для квадратичные формы, и в более общем плане ε-квадратичные формы, по любому *-звенеть р.

Полученные группы (и их обобщения) известны как четномерные симметричные L-группы L^2k(р) и четномерные квадратичные L-группы L_2k(р). Квадратичный L-группы 4-периодичны, причем L₀(р), являющаяся группой Витта (1) -квадратичных форм (симметричных), и L₂(р) - группа Витта (−1) -квадратичных форм (кососимметричная); симметричный L-группы не являются 4-периодическими для всех колец, поэтому они дают менее точное обобщение.

L-группы - центральные объекты в теория хирургии, образуя один из трех членов точная последовательность операции.

Смотрите также

• Уменьшенная высота поля

Примечания

1. Милнор и Хусемоллер (1973) стр. 14
2. Лоренц (2008) стр. 30
3. Милнор и Хусемоллер (1973) стр. 65
4. Милнор и Хусемоллер (1973) стр. 66
5. Лоренц (2008) стр. 37
6. Милнор и Хусемоллер (1973) стр. 72
7. Лам (2005) стр. 260
8. Лам (2005) стр. 395
9. Лоренц (2008) стр. 35 год
10. Лоренц (2008) стр. 31 год
11. Лам (2005) стр. 32
12. Лоренц (2008) стр. 33
13. Лам (2005) стр. 280
14. Лоренц (2008) стр. 36
15. Лам (2005) стр. 282
16. Лам (2005), стр. 277–280
17. Лам (2005) стр.316
18. Лам (2005) стр. 34
19. Лам (2005) стр.37
20. Лам (2005) стр.152
21. Лам (2005) стр.166
22. Лам (2005) стр.119
23. Коннер и Перлис (1984) стр.12
24. Лам (2005) стр.113
25. Лам (2005) стр.117
26. Гарибальди, Меркурьев и Серр (2003) с.64
27. Коннер и Перлис (1984) стр.16
28. Коннер и Перлис (1984) стр. 16-17.
29. Коннер и Перлис (1984) стр.18
30. Лам (2005) стр.116
31. Лам (2005) стр.174
32. Лам (2005) стр.175
33. Лам (2005) стр.178
34. Милнор, Джон Уиллард (1970), «Алгебраическая K-теория и квадратичные формы», Inventiones Mathematicae, 9 (4): 318–344, Дои:10.1007 / BF01425486, ISSN  0020-9910, МИСТЕР  0260844
35. Орлов Дмитрий; Вишик, Александр; Воеводский, Владимир (2007), "Точная последовательность для K_*^M/2 с приложениями к квадратичным формам », Анналы математики, 165 (1): 1–13, arXiv:математика / 0101023, Дои:10.4007 / annals.2007.165.1
36. Лам (2005) стр. 28
37. Гарибальди, Меркурьев и Серр (2003) с.63
38. Лам (2005) с.36, теорема 3.5
39. , О мотивационной устойчивости π₀ спектра сфер, В: Axiomatic, Enriched and Motivic Homotopy Theory, стр. 219–260, J.P.C. Гринлис (ред.), 2004 Kluwer Academic Publishers.
40. Фабьен Морель, А¹-Алгебраическая топология над полем. Конспект лекций по математике 2052, Springer Verlag, 2012.
41. Perlis, R .; Szymiczek, K .; Коннер, П.Е .; Литерленд, Р. (1994). «Сопоставление Виттса с глобальными полями». В Jacob, William B .; и другие. (ред.). Последние достижения в реальной алгебраической геометрии и квадратичных формах. Contemp. Математика. 155. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 365–387. ISBN  0-8218-5154-3. Zbl  0807.11024.
42. Шимичек, Казимеж (1997). «Гильбертово-символьная эквивалентность числовых полей». Tatra Mt. Математика. Publ. 11: 7–16. Zbl  0978.11012.
43. Чогала, А. (1999). «Высшая степень ручной гильбертово-символьной эквивалентности числовых полей». Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург. 69: 175–185. Дои:10.1007 / bf02940871. Zbl  0968.11038.

Рекомендации

• Коннер, Пьер Э.; Перлис, Роберт (1984). Обзор форм следов полей алгебраических чисел. Серия по чистой математике. 2. World Scientific. ISBN  9971-966-05-0. Zbl  0551.10017.
• Гарибальди, Скип; Меркурьев Александр; Серр, Жан-Пьер (2003). Когомологические инварианты в когомологиях Галуа. Серия университетских лекций. 28. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-3287-5. Zbl  1159.12311.
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями. Аспирантура по математике. 67. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1095-2. МИСТЕР  2104929. Zbl  1068.11023.
• Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, МИСТЕР  1878556, Zbl  0984.00001
• Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и сложные темы. Springer. ISBN  978-0-387-72487-4. Zbl  1130.12001.
• Милнор, Джон; Хусемоллер, Дейл (1973). Симметричные билинейные формы. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 73. Springer-Verlag. ISBN  3-540-06009-Х. Zbl  0292.10016.
• Витт, Эрнст (1936), "Theorie der quadratischen Formen in trustbigen Korpern", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 176 (3): 31–44, Zbl  0015.05701

дальнейшее чтение

• Балмер, Пол (2005). «Группы Витта». В Friedlander, Eric M .; Грейсон, Д. Р. (ред.). Справочник по K-теория. 2. Springer-Verlag. С. 539–579. ISBN  3-540-23019-Х. Zbl  1115.19004.

внешняя ссылка

• Кольца Витта в энциклопедии математики Спрингера