Тензорное произведение квадратичных форм - Tensor product of quadratic forms

В математика, то тензорное произведение из квадратичные формы легче всего понять, если рассматривать квадратичные формы как квадратичные пространства. Если р это коммутативное кольцо где 2 обратимый, и если ${displaystyle (V_{1},q_{1})}$ и ${displaystyle (V_{2},q_{2})}$ два квадратичных пространства над р, то их тензорное произведение ${displaystyle (V_{1}otimes V_{2},q_{1}otimes q_{2})}$ - квадратичное пространство, лежащее в основе р-модуль это тензорное произведение ${displaystyle V_{1}otimes V_{2}}$ из р-модулей, квадратичная форма которых является квадратичной формой, ассоциированной с тензорным произведением билинейные формы связано с ${displaystyle q_{1}}$ и ${displaystyle q_{2}}$.

В частности, форма ${displaystyle q_{1}otimes q_{2}}$ удовлетворяет

${displaystyle (q_{1}otimes q_{2})(v_{1}otimes v_{2})=q_{1}(v_{1})q_{2}(v_{2})quad forall v_{1}in V_{1}, v_{2}in V_{2}}$

(что, однако, однозначно его характеризует). Из этого следует, что если квадратичные формы диагонализуемы (что всегда возможно, если 2 обратима в р), т.е.

${displaystyle q_{1}cong langle a_{1},...,a_{n}angle }$

${displaystyle q_{2}cong langle b_{1},...,b_{m}angle }$

то тензорное произведение имеет диагонализацию

${displaystyle q_{1}otimes q_{2}cong langle a_{1}b_{1},a_{1}b_{2},...a_{1}b_{m},a_{2}b_{1},...,a_{2}b_{m},...,a_{n}b_{1},...a_{n}b_{m}angle .}$