Гипотеза кручения - Torsion conjecture

По поводу определения равномерно ограниченных функций см. Равномерная ограниченность. Результат функционального анализа см. Принцип равномерной ограниченности.

В алгебраическая геометрия и теория чисел, то гипотеза кручения или же гипотеза о равномерной ограниченности за абелевы разновидности заявляет, что порядок из торсионная группа абелевого многообразия над числовое поле может быть ограничен в терминах размерности разнообразия и числового поля. Более сильная версия гипотезы состоит в том, что кручение ограничено в терминах размерности многообразия и степени числового поля.

Эллиптические кривые

Гипотеза кручения для эллиптических кривых

Поле	Теория чисел
Предполагается	Эндрю Огг
Предполагается в	1973
Первое доказательство	Барри Мазур Шелдон Каменны Лоик Мерел
Первое доказательство в	1977–1996

Гипотеза (сильного) кручения, впервые высказанная Огг (1973) полностью решено в случае эллиптические кривые. Барри Мазур  (1977, 1978 ) доказал равномерную ограниченность эллиптических кривых над рациональными числами. Его методы были обобщены Каменный (1992) и Каменный и Мазур (1995), получившие равномерную ограниченность для квадратичные поля и числовые поля степени не выше 8 соответственно. Ну наконец то, Лоик Мерел (1996 Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREF1996 (помощь)) доказал гипотезу для эллиптических кривых над любым числовым полем. Доказательство сосредоточено вокруг тщательного изучения рациональных точек зрения. классические модульные кривые. Эффективная оценка размера торсионной группы в терминах степени числового поля дается формулой Родитель (1999).

Мазур предоставил полный список возможных подгрупп кручения для рациональных эллиптических кривых. Если C_п обозначает циклическая группа порядка п, то возможными подгруппами кручения являются C_п с 1 ≤ п ≤ 10, а также C₁₂; и прямая сумма из C₂ с C₂, C₄, C₆ или же C₈. В обратном направлении все эти торсионные структуры возникают бесконечно часто над Q, поскольку все соответствующие модулярные кривые суть кривые нулевого рода с рациональной точкой. Полный список возможных торсионных групп также доступен для эллиптических кривых над полями квадратичных чисел. Существуют существенные частные результаты для полей четвертой и пятой чисел (Сазерленд 2012 ).

Смотрите также

• Гипотеза Бомбьери – Ланга

Рекомендации

• Каменный, Шелдон (1992). «Точки кручения на эллиптических кривых и ${\displaystyle q}$-коэффициенты модульных форм ». Inventiones Mathematicae. 109 (2): 221–229. Bibcode:1992InMat.109..221K. Дои:10.1007 / BF01232025. МИСТЕР  1172689. S2CID  118750444.
• Каменный, Шелдон; Мазур, Барри (1995). С приложением А. Гранвилля. «Рациональное кручение простого порядка в эллиптических кривых над числовыми полями». Astérisque. 228: 81–100. МИСТЕР  1330929.
• Мазур, Барри (1977). «Модульные кривые и идеал Эйзенштейна». Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 47 (1): 33–186. Дои:10.1007 / BF02684339. МИСТЕР  0488287. S2CID  122609075.
• Мазур, Барри (1978), с приложением Дориан Гольдфельд, "Рациональные изогении первой степени", Inventiones Mathematicae, 44 (2): 129–162, Bibcode:1978InMat..44..129M, Дои:10.1007 / BF01390348, МИСТЕР  0482230, S2CID  121987166
• Мерел, Лоик (1996). "Bornes pour la torsion des Courbes elliptiques sur les corps de nombres" [Границы кручения эллиптических кривых над числовыми полями]. Inventiones Mathematicae (На французском). 124 (1): 437–449. Bibcode:1996InMat.124..437M. Дои:10.1007 / s002220050059. МИСТЕР  1369424. S2CID  3590991.
• Огг, Эндрю (1973). «Рациональные точки на некоторых эллиптических модульных кривых». Proc. Symp. Чистая математика. Труды симпозиумов по чистой математике. 24: 221–231. Дои:10.1090 / pspum / 024/0337974. ISBN  9780821814246.
• Родитель, Пьер (1999). «Эффективные оценки кручения эллиптических кривых над числовыми полями» [Эффективные оценки кручения эллиптических кривых над числовыми полями]. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (На французском). 1999 (506): 85–116. arXiv:alg-geom / 9611022. Дои:10.1515 / crll.1999.009. МИСТЕР  1665681.
• Сазерленд, Эндрю В. (2012), Подгруппы кручения эллиптических кривых над числовыми полями (PDF)