Зависящее от времени векторное поле - Time dependent vector field

В математика, а зависящее от времени векторное поле это конструкция в векторное исчисление что обобщает понятие векторные поля. Его можно рассматривать как векторное поле, которое движется с течением времени. Для каждого момента времени он связывает вектор к каждой точке в Евклидово пространство или в многообразие.

Определение

А зависящее от времени векторное поле на коллекторе M карта из открытого подмножества ${displaystyle Omega subset mathbb {R} imes M}$ на ${displaystyle TM}$

${displaystyle X:Omega subset mathbb {R} imes Mlongrightarrow TM}$

${displaystyle (t,x)longmapsto X(t,x)=X_{t}(x)in T_{x}M}$

так что для каждого ${displaystyle (t,x)in Omega }$, ${displaystyle X_{t}(x)}$ является элементом ${displaystyle T_{x}M}$.

Для каждого ${displaystyle tin mathbb {R} }$ так что набор

${displaystyle Omega _{t}={xin M|(t,x)in Omega }subset M}$

является непустой, ${displaystyle X_{t}}$ - векторное поле в обычном смысле, определенное на открытом множестве ${displaystyle Omega _{t}subset M}$.

Связанное дифференциальное уравнение

Учитывая зависящее от времени векторное поле Икс на коллекторе M, мы можем связать с ним следующие дифференциальное уравнение:

${displaystyle {frac {dx}{dt}}=X(t,x)}$

который называется неавтономный по определению.

Интегральная кривая

An интегральная кривая приведенного выше уравнения (также называемого интегральной кривой Икс) - это карта

${displaystyle alpha :Isubset mathbb {R} longrightarrow M}$

такой, что ${displaystyle forall t_{0}in I}$, ${displaystyle (t_{0},alpha (t_{0}))}$ является элементом область определения из Икс и

${displaystyle {frac {dalpha }{dt}}left.{!!{frac {}{}}}ight|_{t=t_{0}}=X(t_{0},alpha (t_{0}))}$.

Эквивалентность векторным полям, не зависящим от времени

Независимое от времени векторное поле ${displaystyle X}$ на ${displaystyle M}$ можно рассматривать как векторное поле ${displaystyle { ilde {X}}}$ на ${displaystyle mathbb {R} imes M,}$ куда ${displaystyle { ilde {X}}(t,p)in T_{(t,p)}(mathbb {R} imes M)}$ не зависит от ${displaystyle t.}$

И наоборот, связанный с зависящим от времени векторным полем ${displaystyle X}$ на ${displaystyle M}$ не зависит от времени ${displaystyle { ilde {X}}}$

${displaystyle mathbb {R} imes Mi (t,p)mapsto {dfrac {partial }{partial t}}{Biggl |}_{t}+X(p)in T_{(t,p)}(mathbb {R} imes M)}$

на ${displaystyle mathbb {R} imes M.}$ В координатах,

${displaystyle { ilde {X}}(t,x)=(1,X(t,x)).}$

Система автономных дифференциальных уравнений для ${displaystyle { ilde {X}}}$ эквивалентен неавтономным для ${displaystyle X,}$ и ${displaystyle x_{t}leftrightarrow (t,x_{t})}$ является биекцией между множествами интегральных кривых ${displaystyle X}$ и ${displaystyle { ilde {X}},}$ соответственно.

Поток

В поток зависящего от времени векторного поля Икс, - единственное дифференцируемое отображение

${displaystyle F:D(X)subset mathbb {R} imes Omega longrightarrow M}$

так что для каждого ${displaystyle (t_{0},x)in Omega }$,

${displaystyle tlongrightarrow F(t,t_{0},x)}$

интегральная кривая ${displaystyle alpha }$ из Икс это удовлетворяет ${displaystyle alpha (t_{0})=x}$.

Характеристики

Мы определяем ${displaystyle F_{t,s}}$ в качестве ${displaystyle F_{t,s}(p)=F(t,s,p)}$

1. Если ${displaystyle (t_{1},t_{0},p)in D(X)}$ и ${displaystyle (t_{2},t_{1},F_{t_{1},t_{0}}(p))in D(X)}$ тогда ${displaystyle F_{t_{2},t_{1}}circ F_{t_{1},t_{0}}(p)=F_{t_{2},t_{0}}(p)}$
2. ${displaystyle forall t,s}$, ${displaystyle F_{t,s}}$ это диффеоморфизм с обратный ${displaystyle F_{s,t}}$.

Приложения

Позволять Икс и Y быть гладкими зависящими от времени векторными полями и ${displaystyle F}$ поток Икс. Можно доказать следующее тождество:

${displaystyle {frac {d}{dt}}left.{!!{frac {}{}}}ight|_{t=t_{1}}(F_{t,t_{0}}^{*}Y_{t})_{p}=left(F_{t_{1},t_{0}}^{*}left([X_{t_{1}},Y_{t_{1}}]+{frac {d}{dt}}left.{!!{frac {}{}}}ight|_{t=t_{1}}Y_{t}ight)ight)_{p}}$

Кроме того, мы можем определить зависящие от времени тензорные поля аналогичным образом и доказать это аналогичное тождество, предполагая, что ${displaystyle eta }$ - гладкое тензорное поле, зависящее от времени:

${displaystyle {frac {d}{dt}}left.{!!{frac {}{}}}ight|_{t=t_{1}}(F_{t,t_{0}}^{*}eta _{t})_{p}=left(F_{t_{1},t_{0}}^{*}left({mathcal {L}}_{X_{t_{1}}}eta _{t_{1}}+{frac {d}{dt}}left.{!!{frac {}{}}}ight|_{t=t_{1}}eta _{t}ight)ight)_{p}}$

Последнее тождество полезно для доказательства Теорема Дарбу.

Рекомендации

• Ли, Джон М., Введение в гладкие многообразия, Springer-Verlag, Нью-Йорк (2003) ISBN  0-387-95495-3. Учебник для аспирантов по гладким многообразиям.