В математика, а зависящее от времени векторное поле это конструкция в векторное исчисление что обобщает понятие векторные поля. Его можно рассматривать как векторное поле, которое движется с течением времени. Для каждого момента времени он связывает вектор к каждой точке в Евклидово пространство или в многообразие.
Определение
А зависящее от времени векторное поле на коллекторе M карта из открытого подмножества
на 


так что для каждого
,
является элементом
.
Для каждого
так что набор

является непустой,
- векторное поле в обычном смысле, определенное на открытом множестве
.
Связанное дифференциальное уравнение
Учитывая зависящее от времени векторное поле Икс на коллекторе M, мы можем связать с ним следующие дифференциальное уравнение:

который называется неавтономный по определению.
Интегральная кривая
An интегральная кривая приведенного выше уравнения (также называемого интегральной кривой Икс) - это карта

такой, что
,
является элементом область определения из Икс и
.
Эквивалентность векторным полям, не зависящим от времени
Независимое от времени векторное поле
на
можно рассматривать как векторное поле
на
куда
не зависит от 
И наоборот, связанный с зависящим от времени векторным полем
на
не зависит от времени 

на
В координатах,

Система автономных дифференциальных уравнений для
эквивалентен неавтономным для
и
является биекцией между множествами интегральных кривых
и
соответственно.
Поток
В поток зависящего от времени векторного поля Икс, - единственное дифференцируемое отображение

так что для каждого
,

интегральная кривая
из Икс это удовлетворяет
.
Характеристики
Мы определяем
в качестве 
- Если
и
тогда 
,
это диффеоморфизм с обратный
.
Приложения
Позволять Икс и Y быть гладкими зависящими от времени векторными полями и
поток Икс. Можно доказать следующее тождество:
![{frac {d} {dt}} осталось. {!! {frac {} {}}} ight | _ {{t = t_ {1}}} (F _ {{t, t_ {0}}} ^ {* } Y_ {t}) _ {p} = left (F _ {{t_ {1}, t_ {0}}} ^ {*} left ([X _ {{t_ {1}}}, Y _ {{t_ {1} }}}] + {frac {d} {dt}} влево. {!! {frac {} {}}} ight | _ {{t = t_ {1}}} Y_ {t} ight) ight) _ { п}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc669b795d3f438a4bb215cb104f523dbc0191de)
Кроме того, мы можем определить зависящие от времени тензорные поля аналогичным образом и доказать это аналогичное тождество, предполагая, что
- гладкое тензорное поле, зависящее от времени:

Последнее тождество полезно для доказательства Теорема Дарбу.
Рекомендации
- Ли, Джон М., Введение в гладкие многообразия, Springer-Verlag, Нью-Йорк (2003) ISBN 0-387-95495-3. Учебник для аспирантов по гладким многообразиям.