Группа Кубик Рубикс - Rubiks Cube group

Манипуляции с Кубик Рубика образуют группу Кубик Рубика.

В Группа кубика Рубика это группа ${\displaystyle (G,\cdot )}$ что представляет собой структуру Кубик Рубика механическая головоломка. Каждый элемент набор ${\displaystyle G}$ соответствует перемещению куба, которое является результатом любой последовательности вращений граней куба. В этом представлении можно представить не только любое перемещение куба, но также и любое его положение, детализируя перемещения куба, необходимые для поворота решенного куба в это положение. Действительно, с решенной позицией в качестве отправной точки существует индивидуальная переписка между каждой из правовых позиций Кубика Рубика и элементами ${\displaystyle G}$.^[1][2] Группа операция ${\displaystyle \cdot }$ это сочинение перемещений куба, соответствующих результату выполнения одного хода куба за другим.

Группа кубика Рубика создается путем присвоения каждой из 48 нецентральных граней целых чисел от 1 до 48. Каждая конфигурация куба может быть представлена ​​как перестановка меток от 1 до 48, в зависимости от положения каждой грани. Используя это представление, решенный куб - это тождественная перестановка, которая оставляет куб без изменений, в то время как двенадцать движений куба, которые поворачивают слой куба на 90 градусов, представлены их соответствующими перестановками. Группа Кубик Рубика - это подгруппа из симметричная группа ${\displaystyle S_{48}}$ генерируется шестью перестановками, соответствующими шести движениям куба по часовой стрелке. При такой конструкции любая конфигурация куба, достижимая через последовательность движений куба, находится внутри группы. Его работа ${\displaystyle \cdot }$ относится к сочинение двух перестановок; внутри куба это относится к объединению двух последовательностей движений куба, выполняемых одно за другим. Группа кубика Рубика неабелев поскольку композиция движений куба не коммутативный; выполнение двух последовательностей движений куба в разном порядке может привести к другой конфигурации.

Куб движется

А ${\displaystyle 3\times 3\times 3}$ Кубик Рубика состоит из ${\displaystyle 6}$ лица, каждый с ${\displaystyle 9}$ цветные квадраты называются грани в общей сложности ${\displaystyle 54}$ грани. Все грани решенного куба имеют одинаковый цвет.

Движение куба вращает один из ${\displaystyle 6}$ лица: ${\displaystyle 90^{\circ },180^{\circ }}$ или же ${\displaystyle -90^{\circ }}$ (метрическая метрическая).^[3] Центральный фасет вращается вокруг своей оси, но в остальном остается в том же положении.^[1]

Движения куба описываются Певчий мастер обозначение:^[4]

Базовый 90 °	180°	-90°
${\displaystyle F}$ поворачивает переднюю по часовой стрелке	${\displaystyle F^{2}}$ дважды поворачивает переднюю часть по часовой стрелке	${\displaystyle F^{\prime }}$ поворачивает переднюю часть против часовой стрелки
${\displaystyle B}$ поворачивает назад по часовой стрелке	${\displaystyle B^{2}}$ дважды поворачивает назад по часовой стрелке	${\displaystyle B^{\prime }}$ поворачивает назад против часовой стрелки
${\displaystyle U}$ поворачивает верх по часовой стрелке	${\displaystyle U^{2}}$ дважды поворачивает верх по часовой стрелке	${\displaystyle U^{\prime }}$ поворачивает верх против часовой стрелки
${\displaystyle D}$ поворачивает дно по часовой стрелке	${\displaystyle D^{2}}$ дважды поворачивает дно по часовой стрелке	${\displaystyle D^{\prime }}$ поворачивает дно против часовой стрелки
${\displaystyle L}$ поворачивает левую грань по часовой стрелке	${\displaystyle L^{2}}$ дважды поворачивает левую грань по часовой стрелке	${\displaystyle L^{\prime }}$ поворачивает левую грань против часовой стрелки
${\displaystyle R}$ поворачивает вправо по часовой стрелке	${\displaystyle R^{2}}$ дважды поворачивает вправо по часовой стрелке	${\displaystyle R^{\prime }}$ поворачивает правую грань против часовой стрелки

Пустой ход ${\displaystyle E}$. Конкатенация ${\displaystyle LLLL}$ такой же как ${\displaystyle E}$, и ${\displaystyle RRR}$ такой же как ${\displaystyle R^{\prime }}$.

Структура группы

Далее используются обозначения, описанные в Как собрать кубик Рубика. Ориентация шести центральных граней фиксирована.

Мы можем идентифицировать каждое из шести вращений лица как элементы в симметричная группа на множестве нецентральных граней. Более конкретно, мы можем обозначить нецентральные грани цифрами от 1 до 48, а затем идентифицировать шесть поворотов граней как элементы симметричная группа S₄₈ в зависимости от того, как каждый ход переставляет различные грани. Группа Кубик Рубика, грамм, тогда определяется как подгруппа из S₄₈ генерируется за счет шести вращений граней, ${\displaystyle \{F,B,U,D,L,R\}}$.

В мощность из грамм дан кем-то

${\displaystyle |G|=43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000\,\!=12!\cdot 2^{10}\cdot 8!\cdot 3^{7}=2^{27}3^{14}5^{3}7^{2}11}$.^[5][6]

Несмотря на такие большие размеры, Число Бога для кубика Рубика - 20; то есть любая позиция может быть решена за 20 или меньше ходов^[3] (где полувруч считается одним ходом; если полувруч считается как два четвертьворота, то число Бога - 26^[7]).

Самый большой порядок элемента в грамм равно 1260. Например, один такой элемент порядка 1260 - это

${\displaystyle (RU^{2}D^{-1}BD^{-1})}$.^[1]

грамм является неабелев поскольку, например, ${\displaystyle FR}$ не то же самое, что ${\displaystyle RF}$. То есть не все кубики движутся ездить друг с другом.^[2]

Подгруппы

Рассмотрим две подгруппы в грамм: Сначала подгруппа C_о из ориентации куба, движения, которые оставляют положение каждого блока фиксированным, но могут изменять ориентацию блоков. Эта группа нормальная подгруппа из грамм. Его можно представить как обычное завершение некоторых ходов, при которых несколько ребер или углов поворачиваются. Например, это нормальное закрытие из следующих двух ходов:

${\displaystyle BR^{\prime }D^{2}RB^{\prime }U^{2}BR^{\prime }D^{2}RB^{\prime }U^{2},\,\!}$ (закручиваем два угла)

${\displaystyle RUDB^{2}U^{2}B^{\prime }UBUB^{2}D^{\prime }R^{\prime }U^{\prime },\,\!}$ (переверните два края).

Во-вторых, берем подгруппу ${\displaystyle C_{P}}$ из кубические перестановки, движения, которые могут изменять положение блоков, но оставлять ориентацию неизменной. Для этой подгруппы есть несколько вариантов, в зависимости от точного способа определения ориентации.^{[примечание 1]} Один из вариантов - следующая группа, заданная генераторами (последний генератор - это 3 цикла на ребрах):

${\displaystyle C_{p}=[U^{2},D^{2},F,B,L^{2},R^{2},R^{2}U^{\prime }FB^{\prime }R^{2}F^{\prime }BU^{\prime }R^{2}].\,\!}$

С C_о нормальная подгруппа и пересечение C_о и C_п является тождеством, а их продуктом является вся группа куба, из этого следует, что группа куба грамм это полупрямой продукт этих двух групп. То есть

${\displaystyle G=C_{o}\rtimes C_{p}.\,}$

Далее мы можем более подробно рассмотреть эти две группы. Структура C_о является

${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}^{7}\times \mathbb {Z} _{2}^{11},\ }$

поскольку группа поворотов каждого углового (соответственно ребра) куба равна ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$ (соотв. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$), и в каждом случае все, кроме одного, могут свободно вращаться, но эти вращения определяют ориентацию последнего. Замечание, что есть 8 углов и 12 ребер, и что все группы вращений абелевы, дает указанную выше структуру.

Кубические перестановки, C_п, немного сложнее. Он имеет следующие две непересекающиеся нормальные подгруппы: группа четных перестановок на углах А₈ и группа четных перестановок на ребрах А₁₂. Дополнением к этим двум подгруппам является перестановка, которая меняет местами два угла и меняет местами два ребра. Оказывается, они генерируют все возможные перестановки, что означает

${\displaystyle C_{p}=(A_{8}\times A_{12})\,\rtimes \mathbb {Z} _{2}.}$

Собирая все части вместе, получаем, что группа куба изоморфна

${\displaystyle (\mathbb {Z} _{3}^{7}\times \mathbb {Z} _{2}^{11})\rtimes \,((A_{8}\times A_{12})\rtimes \mathbb {Z} _{2}).}$

Эту группу также можно описать как подпрямой продукт

${\displaystyle [(\mathbb {Z} _{3}^{7}\rtimes \mathrm {S} _{8})\times (\mathbb {Z} _{2}^{11}\rtimes \mathrm {S} _{12})]^{\frac {1}{2}}}$,

в обозначении Грисс^{[нужна цитата ]}.

Обобщения

При учете симметрии центральной грани группа симметрии подгруппа из

${\displaystyle [\mathbb {Z} _{4}^{6}\times (\mathbb {Z} _{3}^{7}\rtimes \mathrm {S} _{8})\times (\mathbb {Z} _{2}^{11}\rtimes \mathrm {S} _{12})]^{\frac {1}{2}}.}$

(Эта незначительность поворота центральной грани является неявным примером факторгруппа на работе, защищая читателя от полного группа автоморфизмов рассматриваемого объекта.)

Группа симметрии кубика Рубика, полученная при его разборке и повторной сборке, немного больше: а именно: прямой продукт

${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}^{6}\times (\mathbb {Z} _{3}\wr \mathrm {S} _{8})\times (\mathbb {Z} _{2}\wr \mathrm {S} _{12}).}$

Первый фактор объясняется исключительно поворотами центральных частей, второй - исключительно симметрией углов, а третий - исключительно симметрией краев. Последние два фактора являются примерами обобщенные симметрические группы, которые сами по себе являются примерами венки.

В простые группы которые встречаются как частные в серия композиций стандартной группы кубов (т.е. игнорирование поворотов центральной части) ${\displaystyle A_{8}}$, ${\displaystyle A_{12}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$ (7 раз), и ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ (12 раз).

Классы сопряженности

Сообщается, что группа «Кубик Рубика» насчитывает 81 120 классы сопряженности.^[8] Это число было вычислено путем отдельного подсчета количества четных и нечетных классов сопряженности в группах ребер и углов, а затем их умножения, гарантируя, что общая четность всегда будет четной. Особое внимание следует уделять подсчету так называемых чувствительный к четности классы сопряженности, элементы которых всегда отличаются при сопряжении с любым четным элементом по сравнению с любым нечетным элементом.^[9]

Количество классов сопряженности в группе кубика Рубика и различных подгруппах^[9]

Группа	Нет даже	Нет, странно	Нет пс	Общий
Угловые позиции	12	10	2	22
Позиции краев	40	37	3	77
Все позиции				856
Углы	140	130	10	270
Края	308	291	17	599
Целый куб				81,120

Смотрите также

• Коммутатор
• Класс сопряженности
• Coset
• Оптимальные решения для кубика Рубика
• Решаемая группа
• Алгоритм Thistlethwaite

Примечания

1. Один из способов определения ориентации следующий, адаптированный со страниц 314–315 Метамагические темы к Дуглас Хофштадтер. Определите два понятия: главный цвет блока и главный аспект должности, где позиция означает расположение блока. В главный аспект должности будет на передней или задней грани куба, если эта позиция имеет такую ​​грань; в противном случае он будет на левой или правой грани. На F девять главных граней, девять на B, два на L и два на R. главный цвет блока определяется как цвет, который должен быть на главном фасете блока, когда блок «возвращается домой» в свое надлежащее положение в собранном кубе. Кубический ход ${\displaystyle X}$ сохраняет ориентацию, если, когда ${\displaystyle X}$ был применен к собранному кубу, главный цвет каждого блока находится на главной грани его положения.

Рекомендации

1. Джойнер, Дэвид (2002). Приключения в теории групп: кубик Рубика, машина Мерлина и другие математические игрушки. Издательство Университета Джона Хопкинса. ISBN  0-8018-6947-1.
2. Дэвис, Том (2006). «Теория групп через кубик Рубика» (PDF).
3. Рокицки, Томас; и другие. «Число Бога - 20».
4. Singmaster, Дэвид (1981). Заметки о волшебном кубе Рубика. Книги пингвинов. ISBN  0907395007.
5. Шёнерт, Мартин. «Анализ кубика Рубика с помощью GAP».
6. Том Дэвис, "Кубик Рубика. Часть II", стр. 23 в, Звезделина Станкова, Том Рике (редакторы), Десятилетие математического кружка Беркли, Американское математическое общество, 2015 г. ISBN  9780821849125.
7. Число Бога - 26 в четвертьоборотной метрике.
8. Гаррон, Лукас (8 марта 2010 г.). «Группа перестановок кубика Рубика» (PDF). Получено 1 августа, 2020.
9. brac37 (20 октября 2009 г.). «Классы сопряженности куба». Домен куба Форум. Получено 1 августа, 2020.