Радиус кривизны - Radius of curvature

Эта статья об общей математической концепции. Для его оптических приложений см. Радиус закругления (оптика).

Радиус кривизны и центр кривизны

В дифференциальная геометрия, то радиус кривизны, р, является обратной величиной кривизна. Для изгиб, это равно радиус из дуга окружности который лучше всего аппроксимирует кривую в этой точке. За поверхности, радиус кривизны - это радиус круга, который лучше всего подходит нормальный раздел или же комбинации из них.^[1][2][3]

Определение

В случае пространственная кривая, радиус кривизны - это длина вектор кривизны.

В случае плоская кривая, тогда р это абсолютная величина из^[3]

${displaystyle Requiv left|{frac {ds}{dvarphi }}ight|={frac {1}{kappa }},}$

куда s это длина дуги из фиксированной точки на кривой, φ это тангенциальный угол и κ это кривизна.

Если кривая приведена в Декартовы координаты в качестве у(Икс), то радиус кривизны равен (при условии, что кривая дифференцируема до порядка 2):

${displaystyle R=left|{frac {left(1+y'^{,2}ight)^{frac {3}{2}}}{y''}}ight|,qquad {mbox{where}}quad y'={frac {dy}{dx}},quad y''={frac {d^{2}y}{dx^{2}}},}$

и |z| обозначает абсолютное значение z.

Если кривая задана параметрически по функциям Икс(т) и у(т), то радиус кривизны равен

${displaystyle R=left|{frac {ds}{dvarphi }}ight|=left|{frac {left({{dot {x}}^{2}+{dot {y}}^{2}}ight)^{frac {3}{2}}}{{dot {x}}{ddot {y}}-{dot {y}}{ddot {x}}}}ight|,qquad {mbox{where}}quad {dot {x}}={frac {dx}{dt}},quad {ddot {x}}={frac {d^{2}x}{dt^{2}}},quad {dot {y}}={frac {dy}{dt}},quad {ddot {y}}={frac {d^{2}y}{dt^{2}}}.}$

Эвристически этот результат можно интерпретировать как^[2]

${displaystyle R={frac {left|mathbf {v} ight|^{3}}{left|mathbf {v} imes mathbf {dot {v}} ight|}},qquad {mbox{where}}quad left|mathbf {v} ight|={ig |}({dot {x}},{dot {y}}){ig |}=R{frac {dvarphi }{dt}}.}$

Формула

Если γ : ℝ → ℝ^п параметризованная кривая в ℝ^п тогда радиус кривизны в каждой точке кривой, ρ : ℝ → ℝ, дан кем-то^[3]

${displaystyle ho ={frac {left|{oldsymbol {gamma }}'ight|^{3}}{sqrt {left|{oldsymbol {gamma }}'ight|^{2},left|{oldsymbol {gamma }}''ight|^{2}-left({oldsymbol {gamma }}'cdot {oldsymbol {gamma }}''ight)^{2}}}}}$.

В частном случае, если ж(т) это функция от ℝ к ℝ, то радиус кривизны его график, γ(т) = (т, ж(т)), является

${displaystyle ho (t)={frac {left|1+f'^{,2}(t)ight|^{frac {3}{2}}}{left|f''(t)ight|}}.}$

Вывод

Позволять γ быть, как указано выше, и исправить т. Мы хотим найти радиус ρ параметризованного круга, который соответствует γ в своей нулевой, первой и второй производных при т. Ясно, что радиус не будет зависеть от положения γ(т), только от скорости γ′(т) и ускорение γ″(т). Есть только три независимых скаляры который может быть получен из двух векторов v и ш, а именно v · v, v · ш, и ш · ш. Таким образом, радиус кривизны должен быть функцией трех скаляров. |γ′(т)|², |γ″(т)|² и γ′(т) · γ″(т).^[3]

Общее уравнение для параметризованной окружности в ℝ^п является

${displaystyle mathbf {g} (u)=mathbf {a} cos h(u)+mathbf {b} sin h(u)+mathbf {c} }$

куда c ∈ ℝ^п является центром круга (не имеет значения, поскольку он исчезает в производных), а,б ∈ ℝ^п - перпендикулярные векторы длины ρ (то есть, а · а = б · б = ρ² и а · б = 0), и час : ℝ → ℝ - произвольная функция, дважды дифференцируемая в т.

Соответствующие производные от грамм работать, чтобы быть

${displaystyle {egin{aligned}|mathbf {g} '|^{2}&=ho ^{2}(h')^{2}mathbf {g} 'cdot mathbf {g} ''&=ho ^{2}h'h''|mathbf {g} ''|^{2}&=ho ^{2}left((h')^{4}+(h'')^{2}ight)end{aligned}}}$

Если теперь приравнять эти производные от грамм к соответствующим производным от γ в т мы получаем

${displaystyle {egin{aligned}|{oldsymbol {gamma }}'(t)|^{2}&=ho ^{2}h'^{,2}(t){oldsymbol {gamma }}'(t)cdot {oldsymbol {gamma }}''(t)&=ho ^{2}h'(t)h''(t)|{oldsymbol {gamma }}''(t)|^{2}&=ho ^{2}left(h'^{,4}(t)+h''^{,2}(t)ight)end{aligned}}}$

Эти три уравнения с тремя неизвестными (ρ, час′(т) и час″(т)) можно решить за ρ, давая формулу для радиуса кривизны:

${displaystyle ho (t)={frac {left|{oldsymbol {gamma }}'(t)ight|^{3}}{sqrt {left|{oldsymbol {gamma }}'(t)ight|^{2},left|{oldsymbol {gamma }}''(t)ight|^{2}-{ig (}{oldsymbol {gamma }}'(t)cdot {oldsymbol {gamma }}''(t){ig )}^{2}}}}}$

или, опуская параметр т для удобочитаемости,

${displaystyle ho ={frac {left|{oldsymbol {gamma }}'ight|^{3}}{sqrt {left|{oldsymbol {gamma }}'ight|^{2};left|{oldsymbol {gamma }}''ight|^{2}-left({oldsymbol {gamma }}'cdot {oldsymbol {gamma }}''ight)^{2}}}}.}$

Примеры

Полукруги и круги

Для полукруг радиуса а в верхней полуплоскости

${displaystyle y={sqrt {a^{2}-x^{2}}},quad y'={frac {-x}{sqrt {a^{2}-x^{2}}}},quad y''={frac {-a^{2}}{left(a^{2}-x^{2}ight)^{frac {3}{2}}}},quad R=|-a|=a.}$

Эллипс (красный) и его эволюционировать (синий). Точки - это вершины эллипса в точках наибольшей и наименьшей кривизны.

Для полукруга радиуса а в нижней полуплоскости

${displaystyle y=-{sqrt {a^{2}-x^{2}}},quad R=|a|=a.}$

В круг радиуса а имеет радиус кривизны, равный а.

Эллипсы

В эллипс с большой осью 2а и малая ось 2б, то вершины на большой оси имеют наименьший радиус кривизны из всех точек, р = б²/а; а вершины на малой оси имеют наибольший радиус кривизны из всех точек, р = а²/б.

Приложения

• Для использования в дифференциальная геометрия, видеть Уравнение Чезаро.
• Для радиуса кривизны Земли (аппроксимированного сплюснутым эллипсоидом) см. Радиус кривизны земли.
• Радиус кривизны также используется в уравнении из трех частей для изгиба балки.
• Радиус закругления (оптика)
• Тонкопленочные технологии
• Печатная электроника

Напряжение в полупроводниковых структурах

Стресс в полупроводник структура с испарением тонкие пленки обычно является результатом тепловое расширение (термическое напряжение) в процессе производства. Термическое напряжение возникает из-за того, что осаждение пленки обычно производится при температуре выше комнатной. При охлаждении от температуры осаждения до комнатной температуры разница в коэффициенты теплового расширения подложки и пленки вызывают термическое напряжение.^[4]

Внутренний стресс результат микроструктуры, созданной в пленке, когда атомы осаждаются на подложке. Напряжение растяжения возникает из-за микропор (небольших отверстий, которые считаются дефектами) в тонкой пленке из-за притягивающего взаимодействия атомов через пустоты.

Напряжение в тонкопленочных полупроводниковых структурах приводит к коробление вафель. Радиус кривизны напряженной конструкции связан с тензором напряжений в конструкции и может быть описан модифицированным Формула Стоуни.^[5] Топография напряженной конструкции, включая радиусы кривизны, может быть измерена с помощью методов оптического сканирования. Современные сканеры имеют возможность измерять полную топографию подложки и измерять оба главных радиуса кривизны, обеспечивая при этом точность порядка 0,1% для радиусов кривизны 90 метров и более.^[6]

Смотрите также

• Зонд АСМ
• Радиус базовой кривой
• Радиус изгиба
• Изгиб
• Кривизна
• Степень кривизны (гражданское строительство)
• Диаметр
• Минимальный радиус поворота железной дороги
• Оскулирующий круг
• Обратная кривая
• Кривая перехода трека
• Кривая перехода

Рекомендации

1. Вайстьен, Эрик. "Радиус кривизны". Вольфрам Mathworld. Получено 15 августа 2016.
2. Кишан, Хари (2007). Дифференциальное исчисление. Atlantic Publishers & Dist. ISBN  9788126908202.
3. С любовью, Клайд Э.; Рейнвилл, Эрл Д. (1962). Дифференциальное и интегральное исчисление (Шестое изд.). Нью-Йорк: Макмиллан.
4. «Контроль стресса в тонких пленках». Flipchips.com. Получено 2016-04-22.
5. «Об определении напряжения пленки от изгиба подложки: формула Стони и ее пределы» (PDF). Qucosa.de. Получено 2016-04-22.
6. Питер Валецки. "Модель X". Zebraoptical.com. Получено 2016-04-22.

дальнейшее чтение

• ду Карму, Манфреду (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей.. ISBN  0-13-212589-7.

внешняя ссылка

• Центр геометрии: основные кривизны
• 15.3 Кривизна и радиус кривизны
• Вайсштейн, Эрик В. «Основные искривления». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Главный радиус кривизны». MathWorld.