Тангенциальный угол - Tangential angle

Тангенциальный угол φ для произвольной кривой п.

В геометрия, то тангенциальный угол кривой на декартовой плоскости в определенной точке - это угол между касательной к кривой в данной точке и Икс-ось.^[1] (Обратите внимание, что некоторые авторы определяют угол как отклонение от направления кривой в некоторой фиксированной начальной точке. Это эквивалентно определению, данному здесь путем добавления константы к углу или путем поворота кривой.^[2])

Уравнения

Если кривая задана параметрически (Икс(т), у(т)), то тангенциальный угол φ в т определено (до кратного 2π) к^[3]

${\displaystyle {\frac {{\big (}x'(t),\ y'(t){\big )}}{{\big |}x'(t),\ y'(t){\big |}}}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).}$

Здесь главный символ обозначает производная относительно т. Таким образом, тангенциальный угол определяет направление движения скорость вектор (Икс(т), у(т)), в то время как скорость указывает его величину. Вектор

${\displaystyle {\frac {{\big (}x'(t),\ y'(t){\big )}}{{\big |}x'(t),\ y'(t){\big |}}}}$

называется единичный касательный вектор, поэтому эквивалентное определение состоит в том, что тангенциальный угол при т угол φ такой, что (потому что φгрех φ) - единичный касательный вектор в точке т.

Если кривая параметризована длина дуги s, так |Икс′(s), у′(s)| = 1, то определение упрощается до

${\displaystyle {\big (}x'(s),\ y'(s){\big )}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).}$

В этом случае кривизна κ дан кем-то φ′(s), куда κ считается положительным, если кривая изгибается влево, и отрицательным, если кривая изгибается вправо.^[1]

Если кривая задается у = ж(Икс), тогда мы можем взять (Икс, ж(Икс)) в качестве параметризации, и мы можем считать φ между −π/2 и π/2. Это дает явное выражение

${\displaystyle \varphi =\arctan f'(x).}$

Полярный тангенциальный угол^[4]

В полярные координаты, то полярный тангенциальный угол определяется как угол между касательной к кривой в данной точке и лучом от начала координат до точки.^[5] Если ψ обозначает полярный тангенциальный угол, то ψ = φ − θ, куда φ как указано выше и θ это, как обычно, полярный угол.

Если кривая определяется в полярных координатах р = ж(θ), то полярный тангенциальный угол ψ в θ определено (до кратного 2π) к

${\displaystyle {\frac {{\big (}f'(\theta ),\ f(\theta ){\big )}}{{\big |}f'(\theta ),\ f(\theta ){\big |}}}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )}$.

Если кривая параметризована длиной дуги s в качестве р = р(s), θ = θ(s), так |р′(s), rθ′(s)| = 1, то определение принимает вид

${\displaystyle {\big (}r'(s),\ r\theta '(s){\big )}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )}$.

В логарифмическая спираль можно определить кривую с постоянным полярным тангенциальным углом.^[4][5]

Смотрите также

• Дифференциальная геометрия кривых
• Уравнение Уэвелла
• Подкасательная

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Натуральное уравнение». MathWorld.
2. Например: Уэвелл, У. (1849). «О внутреннем уравнении кривой и его применении». Кембриджские философские труды. 8: 659–671. В этой статье используется φ означает угол между касательной и касательной в начале координат. Это статья, в которой вводится уравнение Уивелла - приложение тангенциального угла.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Тангенциальный угол». MathWorld.
4. Уильямсон, Бенджамин (1899). «Угол между касательной и радиус-вектором». Элементарный трактат по дифференциальному исчислению (9-е изд.). п. 222.
5. Логарифмическая спираль в PlanetMath.org.

дальнейшее чтение

• «Обозначения». Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (На французском).
• Йейтс, Р. К. (1952). Справочник по кривым и их свойствам. Анн-Арбор, Мичиган: Дж. У. Эдвардс. С. 123–126.