Эволют - Evolute

В эволюционировать из изгиб (синяя парабола) - это геометрическое место всех его центров кривизны (красный).

Эволюция кривой (в данном случае эллипса) - это огибающая ее нормалей.

в дифференциальная геометрия кривых, то эволюционировать из изгиб это локус всего его центры кривизны. То есть, когда центр кривизны каждой точки кривой нарисован, результирующая форма будет эволюцией этой кривой. Следовательно, эволюция круга - это единственная точка в его центре.^[1] Эквивалентно, эволюция - это конверт из нормали кривой.

Эволюция кривой, поверхности или, в более общем смысле, подмногообразие, это едкий карты нормалей. Позволять M - гладкое регулярное подмногообразие в ℝ^п. Для каждой точки п в M и каждый вектор v, на базе п и нормально к Mставим в соответствие точку п + v. Это определяет Лагранжева карта, называется картой нормалей. Каустика нормального отображения - это эволюция M.^[2]

Эволюты тесно связаны с эвольвенты: Кривая - это эволюция любой из ее эвольвент.

История

Аполлоний (c. 200 г. до н.э.) обсуждал эволюции в Книге V своего Коники. Тем не мение, Гюйгенс иногда приписывают то, что он был первым, кто их изучил (1673). Гюйгенс сформулировал свою теорию эволюции примерно в 1659 году, чтобы помочь решить проблему обнаружения кривая таутохрона, что, в свою очередь, помогло ему построить изохронный маятник. Это произошло потому, что кривая таутохрон представляет собой циклоида, а циклоида обладает тем уникальным свойством, что ее эволюция также является циклоидой. На самом деле теория эволюций позволила Гюйгенсу достичь многих результатов, которые позже будут получены с помощью математического анализа.^[3]

Эволюция параметрической кривой

Если ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]}$ является параметрическим представлением регулярная кривая в плоскости с кривизной нигде 0 и ${\displaystyle \rho (t)}$ его радиус кривизны и ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$ нормаль устройства, указывающая на центр кривизны, затем

• ${\displaystyle {\vec {E}}(t)={\vec {c}}(t)+\rho (t){\vec {n}}(t)}$

описывает эволюционировать данной кривой.

За ${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}}$ и ${\displaystyle {\vec {E}}=(X,Y)^{T}}$ один получает

• ${\displaystyle \displaystyle X(t)=x(t)-{\frac {y'(t)\cdot {\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)\cdot y''(t)-x''(t)\cdot y'(t)}}\quad }$ и

${\displaystyle \displaystyle Y(t)=y(t)+{\frac {x'(t)\cdot {\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)\cdot y''(t)-x''(t)\cdot y'(t)}}}$.

Свойства эволюции

Нормаль в точке P - это касательная в центре кривизны C.

Для получения свойств регулярной кривой целесообразно использовать длина дуги ${\displaystyle s}$ данной кривой в качестве ее параметра, поскольку ${\displaystyle \;|{\vec {c}}'|=1\;}$ и ${\displaystyle \;{\vec {n}}'=-{\vec {c}}'/\rho \;}$ (видеть Формулы Френе – Серре ). Следовательно, касательный вектор эволюции ${\displaystyle \;{\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;}$ является:

${\displaystyle {\vec {E}}'={\vec {c}}'+\rho '{\vec {n}}+\rho {\vec {n}}'=\rho '{\vec {n}}\ .}$

Из этого уравнения получаем следующие свойства эволюции:

• В точках с ${\displaystyle \rho '=0}$ эволюция не обычный. Это означает: в точках с максимальной или минимальной кривизной (вершины данной кривой) эволюция имеет куспиды (с. парабола, эллипс, нефроид).
• Для любой дуги эволюты, которая не включает куспид, длина дуги равна разнице между радиусами кривизны в ее конечных точках. Этот факт приводит к простому доказательству Теорема Тейта – Кнезера по гнездованию соприкасающиеся круги.^[4]
• Нормали данной кривой в точках ненулевой кривизны касаются эволюты, а нормали кривой в точках нулевой кривизны являются асимптотами эволюты. Следовательно: эволюция - это конверт нормалей данной кривой.
• На участках кривой с ${\displaystyle \rho '>0}$ или же ${\displaystyle \rho '<0}$ кривая - это эвольвента его эволюции. (На схеме: синяя парабола - это эвольвента красной полукубической параболы, которая на самом деле является эволюцией синей параболы.)

Доказательство последней недвижимости:
Пусть ${\displaystyle \rho '>0}$ в разделе рассмотрения. An эвольвента эволюции можно описать следующим образом:

${\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {E}}-{\frac {{\vec {E}}'}{|{\vec {E}}'|}}\;{\Big (}\int _{0}^{s}|{\vec {E}}'(w)|\;\mathrm {d} w+l_{0}\;{\Big )}\;,}$

куда ${\displaystyle l_{0}}$ является фиксированным расширением строки (см. Эвольта параметризованной кривой ).
С ${\displaystyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;,\;{\vec {E}}'=\rho '{\vec {n}}}$ и ${\displaystyle \rho '>0}$ один получает

${\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}-{\vec {n}}\;{\Big (}\int _{0}^{s}\rho '(w)\;\mathrm {d} w\;+l_{0}{\Big )}={\vec {c}}+(\rho (0)-l_{0})\;{\vec {n}}\;.}$

Это означает: для расширения строки ${\displaystyle l_{0}=\rho (0)}$ данная кривая воспроизводится.

• Параллельные кривые имеют такую ​​же эволюцию.

Доказательство: Параллельная кривая с расстоянием ${\displaystyle d}$ от заданной кривой имеет параметрическое представление ${\displaystyle {\vec {c}}_{d}={\vec {c}}+d{\vec {n}}}$ и радиус кривизны ${\displaystyle \rho _{d}=\rho -d}$ (видеть параллельная кривая ). Следовательно, эволюция параллельной кривой равна ${\displaystyle {\vec {E}}_{d}={\vec {c}}_{d}+\rho _{d}{\vec {n}}={\vec {c}}+d{\vec {n}}+(\rho -d){\vec {n}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}={\vec {E}}\;.}$

Примеры

Эволюция параболы

Для параболы с параметрическим представлением ${\displaystyle (t,t^{2})}$ из приведенных выше формул получаем:

${\displaystyle X=\cdots =-4t^{3}}$

${\displaystyle Y=\cdots ={\frac {1}{2}}+3t^{2}\;,}$

который описывает полукубическая парабола

Эволют (красный) эллипса

Эволюция эллипса

Для эллипса с параметрическим представлением ${\displaystyle (a\cos t,b\sin t)}$ получается:^[5]

${\displaystyle X=\cdots ={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t}$

${\displaystyle Y=\cdots ={\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\sin ^{3}t\;.}$

Это уравнения несимметричной астроид. Устранение параметра ${\displaystyle t}$ приводит к неявному представлению

• ${\displaystyle (aX)^{\tfrac {2}{3}}+(bY)^{\tfrac {2}{3}}=(a^{2}-b^{2})^{\tfrac {2}{3}}\ .}$

Циклоида (синяя), ее соприкасающийся круг (красный) и эволюция (зеленый).

Эволют циклоиды

Для циклоида с параметрическим представлением ${\displaystyle (r(t-\sin t),r(1-\cos t))}$ эволюция будет:^[6]

${\displaystyle X=\cdots =r(t+\sin t)}$

${\displaystyle Y=\cdots =r(\cos t-1)}$

который описывает транспонированную копию самого себя.

Эволюция большого нефроида (синий) - это маленький нефроид (красный).

Эволюты некоторых кривых

Эволюция

• из парабола полукубическая парабола (см. выше),
• из эллипс несимметричный астроид (см. выше),
• из нефроид нефроид (вдвое меньше, см. диаграмму),
• из астроид астроид (в два раза больше),
• из кардиоидный кардиоидный (1/3 от размера),
• из круг его центр,
• из дельтовидный дельтовидная (в три раза больше),
• из циклоида конгруэнтная циклоида,
• из логарифмическая спираль та же логарифмическая спираль,
• из трактрикс это цепочка.

Радиальная кривая

Кривая с аналогичным определением - это радиальный данной кривой. Для каждой точки кривой возьмите вектор от точки к центру кривизны и перенесите его так, чтобы он начинался в начале координат. Тогда геометрическое место точек на концах таких векторов называется радиалом кривой. Уравнение для радиала получается удалением Икс и у члены из уравнения эволюции. Это производит

${\displaystyle (X,Y)=\left(-y'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\;,\;x'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\right)\;.}$

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. "Круг Эволют". MathWorld.
2. Арнольд, В. I .; Варченко, А. Н .; Гусейн-Заде, С. М. (1985). Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов: особенности дифференцируемых отображений, Том 1. Биркхойзер. ISBN  0-8176-3187-9.
3. Йодер, Джоэлла Г. (2004). Время разворачивания: Христиан Гюйгенс и математизация природы. Издательство Кембриджского университета.
4. Гиз, Этьен; Табачников Сергей; Тиморин, Владлен (2013). «Оскулирующие кривые: вокруг теоремы Тейта-Кнезера». Математический интеллект. 35 (1): 61–66. arXiv:1207.5662. Дои:10.1007 / s00283-012-9336-6. МИСТЕР  3041992.
5. R.Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Группа 1, Springer-Verlag, 1955, с. 268.
6. Вайсштейн, Эрик В. «Циклоида Эволют». MathWorld.

• Вайсштейн, Эрик В. "Эволют". MathWorld.
• Соколов, Д. (2001) [1994], "Эволют", Энциклопедия математики, EMS Press
• Йетс, Р.К .: Справочник по кривым и их свойствам, Дж. У. Эдвардс (1952), «Эволюты». стр. 86ff
• Эволют на 2d кривых.