Дельтовидная кривая - Deltoid curve

Красная кривая - это дельтовидная мышца.

В геометрия, а дельтовидная дуга, также известный как трикуспоидная кривая или же Кривая Штейнера, это гипоциклоида из трех куспиды. Другими словами, это рулетка создается точкой на окружности круга, когда он катится без скольжения по внутренней части круга с радиусом в три или полтора раза больше его. Он назван в честь греческой буквы дельта на который он похож.

В более широком смысле, дельтоид может относиться к любой замкнутой фигуре с тремя вершинами, соединенными кривыми, вогнутыми с внешней стороны, что делает внутренние точки невыпуклым множеством.^[1]

Уравнения

Дельтовид может быть представлен (с точностью до вращения и перемещения) следующим образом: параметрические уравнения

${\displaystyle x=(b-a)\cos(t)+a\cos \left({\frac {b-a}{a}}t\right)\,}$

${\displaystyle y=(b-a)\sin(t)-a\sin \left({\frac {b-a}{a}}t\right)\,,}$

куда а - радиус катящегося круга, б - радиус круга, в котором катится вышеупомянутый круг. (На иллюстрации выше b = 3a.)

В сложных координатах это становится

${\displaystyle z=2ae^{it}+ae^{-2it}}$.

Переменная т можно исключить из этих уравнений и получить декартово уравнение

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}+18a^{2}(x^{2}+y^{2})-27a^{4}=8a(x^{3}-3xy^{2}),\,}$

так что дельтовидная плоская алгебраическая кривая четвертой степени. В полярные координаты это становится

${\displaystyle r^{4}+18a^{2}r^{2}-27a^{4}=8ar^{3}\cos 3\theta \,.}$

Кривая имеет три особенности, точки возврата соответствуют ${\displaystyle t=0,\,\pm {\tfrac {2\pi }{3}}}$. Приведенная выше параметризация подразумевает, что кривая рациональна, что означает, что она имеет род нуль.

Сегмент линии может скользить каждым концом по дельтовидной мышце и оставаться касательной к дельтовидной. Точка касания проходит вокруг дельтовидной мышцы дважды, в то время как каждый конец проходит вокруг нее один раз.

В двойная кривая дельтовидной мышцы

${\displaystyle x^{3}-x^{2}-(3x+1)y^{2}=0,\,}$

который имеет двойную точку в начале координат, которую можно сделать видимой для построения воображаемым поворотом y ↦ iy, давая кривую

${\displaystyle x^{3}-x^{2}+(3x+1)y^{2}=0\,}$

с двойной точкой в ​​начале реальной плоскости.

Площадь и периметр

Площадь дельтовидной мышцы составляет ${\displaystyle 2\pi a^{2}}$ где снова а - радиус катящегося круга; таким образом, площадь дельтовидной мышцы вдвое больше, чем у катящегося круга.^[2]

Периметр (общая длина дуги) дельтовидной мышцы составляет 16а.^[2]

История

Обычный циклоиды были изучены Галилео Галилей и Марин Мерсенн еще в 1599 году, но циклоидальные кривые были впервые задуманы Оле Рёмер в 1674 году при изучении лучшей формы зубьев шестерни. Леонард Эйлер заявляет о первом рассмотрении настоящей дельтовидной мышцы в 1745 году в связи с оптической проблемой.

Приложения

Дельтоиды возникают в нескольких областях математики. Например:

• Набор комплексных собственных значений неистохастический матрицы третьего порядка образуют дельтовидную мышцу.
• Поперечное сечение набора неистохастический матрицы третьего порядка образуют дельтовидную мышцу.
• Множество возможных следов унитарных матриц, принадлежащих группа SU (3) образует дельтовидную мышцу.
• Пересечение двух дельтоидов параметризует семейство комплексные матрицы Адамара порядка шесть.
• Набор всех Линии Симсона данного треугольника, образуют конверт в форме дельтовидной мышцы. Это известно как дельтовидная мышца Штейнера или гипоциклоида Штейнера после Якоб Штайнер который описал форму и симметрию кривой в 1856 г.^[3]
• В конверт из биссектрисы площади из треугольник является дельтоидом (в более широком смысле, определенном выше) с вершинами в середине медианы. Стороны дельтовидной мышцы представляют собой дуги гиперболы которые асимптотический к сторонам треугольника.^[4] [1]
• Дельтовидная мышца была предложена как решение Проблема с иглой какея.

Смотрите также

• Astroid, кривая с четырьмя выступами
• Псевдотреугольник
• Треугольник Рело
• Суперэллипс
• Пара туси
• Кайт (геометрия), также называемый дельтовидной

Рекомендации

1. «Площадь биссектрисы треугольника». www.se16.info. Получено 26 октября 2017.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Дельтовидная мышца». Из MathWorld - Веб-ресурс Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Deltoid.html
3. Локвуд
4. Данн, Дж. А., Претти, Дж. А., «Деление треугольника пополам». Математический вестник 56, май 1972 г., 105-108.

• Э. Х. Локвуд (1961). «Глава 8: Дельтовидная мышца». Книга кривых. Издательство Кембриджского университета.
• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых. Dover Publications. стр.131–134. ISBN  0-486-60288-5.
• Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin. Нью-Йорк: Книги Пингвинов. стр.52. ISBN  0-14-011813-6.
• "Трикуспоид" в списке известных кривых MacTutor
• "Дельтовидная мышца" в MathCurve
• Соколов, Д. (2001) [1994], «Кривая Штейнера», Энциклопедия математики, EMS Press