Суперэллипс - Superellipse

Примеры суперэллипсов для ${\displaystyle a=1,\ b=0.75}$

А суперэллипс, также известный как Кривая Ламе после Габриэль Ламе, представляет собой замкнутую кривую, напоминающую эллипс, сохраняя геометрические особенности большая полуось и малая полуось, и симметрия относительно них, но другая общая форма.

в Декартова система координат, множество всех точек (Икс, у) на кривой удовлетворяют уравнению

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,}$

куда п, а и б положительные числа, а вертикальные черты | | вокруг числа укажите абсолютная величина числа.

Конкретные случаи

Эта формула определяет замкнутая кривая содержится в прямоугольник −а ≤ Икс ≤ +а и -б ≤ у ≤ +б. Параметры а и б называются полудиаметры кривой.

${\displaystyle 0<n<1}$	Суперэллипс выглядит как четырехрукая звезда с вогнутый (загнутые внутрь) стороны. За п = 1/2, в частности, каждая из четырех дуг является отрезком парабола. An астроид это особый случай а = б, п = 2/3.	Суперэллипс с п = ​^1⁄2, а = б = 1
${\displaystyle n=1}$	Кривая - это ромб с углами (±а, 0) и (0, ±б).
${\displaystyle 1<n<2}$	Кривая выглядит как ромб с такими же углами, но с выпуклый (загнутые наружу) стороны. В кривизна увеличивается без предел по мере приближения к его крайним точкам.	Суперэллипс с п = ​^3⁄2, а = б = 1
${\displaystyle n=2}$	Кривая обычная эллипс (в частности, круг если а = б).
${\displaystyle n>2}$	Кривая внешне выглядит как прямоугольник с закругленными углами. Кривизна равна нулю в точках (±а, 0) и (0, ±б).	Squircle, суперэллипс с п = 4, а = б = 1

Если п <2 фигуру также называют гипоэллипс; если п > 2, а гиперэллипс.

Когда п ≥ 1 и а = б, суперэллипс - граница мяч из р² в п-норма.

Крайние точки суперэллипса - это (±а, 0) и (0, ±б), а его четыре «угла» равны (±сб, ± сб), куда ${\displaystyle s=2^{-1/n}}$ (иногда называют «сверхъестественностью»^[1]).

Математические свойства

Когда п положительный Рациональное число п/q (в низших членах), то каждый квадрант суперэллипса является плоская алгебраическая кривая порядка pq.^[2] В частности, когда а = б = 1 и п - четное целое число, то это Кривая Ферма степени п. В этом случае это не единственное число, но в целом это будет единственное число. Если числитель не четный, тогда кривая составляется из частей одной и той же алгебраической кривой в разных ориентациях.

Кривая задается параметрические уравнения (с параметром ${\displaystyle t}$ не имеющий элементарной геометрической интерпретации)

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}x\left(t\right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}t\\y\left(t\right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}t\end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}}$

где каждый ± можно выбрать отдельно так, чтобы каждое значение ${\displaystyle t}$ дает четыре точки на кривой. Эквивалентно позволяя ${\displaystyle t}$ диапазон более ${\displaystyle 0\leq t<2\pi ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(t\right)&={|\cos t|}^{\frac {2}{n}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos t)\\y\left(t\right)&={|\sin t|}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin t)\end{aligned}}}$

где функция знака является

${\displaystyle \operatorname {sgn}(w)={\begin{cases}-1,&w<0\\0,&w=0\\+1,&w>0.\end{cases}}}$

Здесь ${\displaystyle t}$ не является углом между положительной горизонтальной осью и лучом от начала координат до точки, поскольку тангенс этого угла равен у / х а в параметрических выражениях у / х = (б / а) (загар ${\displaystyle t)}$^2/п ≠ загар ${\displaystyle t.}$

Площадь внутри суперэллипса можно выразить через гамма-функция, Γ (Икс), в качестве

${\displaystyle \mathrm {Area} =4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}}.}$

В кривая педали относительно просто вычислить. В частности, педаль

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,}$

дается в полярные координаты к^[3]

${\displaystyle (a\cos \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}+(b\sin \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}=r^{\tfrac {n}{n-1}}.}$

Обобщения

Вариации суперэллипса с разными показателями

Суперэллипс далее обобщается как:

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1;\qquad m,n>0.}$

или же

${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(t\right)&={|\cos t|}^{\frac {2}{m}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos t)\\y\left(t\right)&={|\sin t|}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin t).\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что ${\displaystyle t}$ это параметр, который не связан с физическим углом через элементарные функции.

История

Общее декартово обозначение формы пришло от французского математика Габриэль Ламе (1795–1870), который обобщил уравнение для эллипса.

Внешние очертания букв «o» и «O» шрифта Zapf Melior описываются суперэллипсами с п = журнал (1/2) / журнал (7/9) ≈ 2.758

Герман Цапф с шрифт Мелиор, опубликованный в 1952 году, использует суперэллипсы для таких букв, как о. Тридцать лет спустя Дональд Кнут создаст способность выбирать между истинными эллипсами и суперэллипсами (оба аппроксимируются кубические шлицы ) в его Компьютер Модерн тип семьи.

Суперэллипс был назван Датский поэт и ученый Пит Хайн (1905–1996), хотя он не обнаружил этого, как иногда утверждают. В 1959 году градостроители в Стокгольм, Швеция объявил конкурс дизайна для кольцевой на их городской площади Сергельс Торг. Победившее предложение Пита Хайна было основано на суперэллипсе с п = 2,5 и а/б = 6/5.^[4] Как он это объяснил:

Человек - это животное, которое рисует линии, о которых он сам спотыкается. Во всей структуре цивилизации было две тенденции: одна - к прямым линиям и прямоугольным образцам, а другая - к круговым линиям. У обеих тенденций есть причины, механические и психологические. Вещи, сделанные с прямыми линиями, хорошо сочетаются друг с другом и экономят место. И мы можем легко перемещаться - физически или мысленно - вокруг вещей, сделанных из круглых линий. Но мы находимся в смирительной рубашке, вынуждены принимать одно или другое, тогда как часто промежуточная форма была бы лучше. Нарисовать что-то от руки - например, лоскутное кольцо, которое пробовали в Стокгольме - не годится. Он не фиксирован, не определен, как круг или квадрат. Вы не знаете, что это такое. Это не эстетично. Суперэллипс решил проблему. Он не круглый и не прямоугольный, а промежуточный. И все же он фиксирован, определен - в нем есть единство.

Строительство Сергель-Торга было завершено в 1967 году. Тем временем Пит Хейн продолжал использовать суперэллипс в других артефактах, таких как кровати, посуда, столы и т. Д.^[5] Вращая суперэллипс вокруг самой длинной оси, он создал суперэггик, твердая яйцеобразная форма, которая могла стоять вертикально на плоской поверхности, и продавалась как новинка игрушка.

В 1968 году, когда переговорщики в Париж для война во Вьетнаме не мог договориться о форме стола переговоров, Балински, Кирон Андервуд и Холт предложил суперэллиптическую таблицу в письме к Нью-Йорк Таймс.^[4] Суперэллипс был использован для формы 1968 года. Олимпийский стадион Ацтека, в Мехико.

Уолдо Р. Тоблер разработал картографическая проекция, то Гиперэллиптическая проекция Tobler, опубликовано в 1973 г.,^[6] в которой меридианы дуги суперэллипсов.

Логотип для новостной компании Местный представляет собой наклонный суперэллипс, повторяющий пропорции Сергельс Торга. В логотипе чемпионата использованы три связанных суперэллипса. Питтсбург Стилерс.

В вычислениях, мобильная операционная система iOS использует суперэллиптическую кривую для значков приложений, заменяя закругленные углы стиль использовался до версии 6.^[7]

Смотрите также

• Astroid, суперэллипс с п = ​²⁄₃ и а = б, представляет собой гипоциклоиду с четырьмя бугорками.
  • Дельтовидная кривая, гипоциклоида три бугорки.
• Squircle, суперэллипс с п = 4 и а = б, похоже на "Четырехугольное колесо".
  • Треугольник Рело, "Трехугольное колесо".
• Суперформула, обобщение суперэллипса.
• Суперквадрика и суперэллипсоиды, трехмерные «родственники» суперэллипсов.
• Суперэллиптическая кривая, уравнение вида Y^п = ж(Икс).
• L^п пробелы

Рекомендации

1. Дональд Кнут: МЕТАФОНТбук, п. 126
2. Для вывода алгебраического уравнения в случае, когда п = 2/3, см. Стр. 3 из http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.pdf.
3. Дж. Эдвардс (1892). Дифференциальное исчисление. Лондон: MacMillan and Co., стр.164.
4. Гарднер, Мартин (1977), "Суперэллипс Пита Хайна", Математический карнавал. Новый обзор дразнилок и головоломок от Scientific American, Нью-Йорк: Винтаж Пресс, стр.240–254, ISBN  978-0-394-72349-5
5. Суперэллипс, в Путеводитель по жизни, Вселенной и всему остальному к BBC (27 июня 2003 г.)
6. Тоблер, Уолдо (1973), «Гиперэллиптические и другие новые псевдоцилиндрические картографические проекции с равной площадью», Журнал геофизических исследований, 78 (11): 1753–1759, Bibcode:1973JGR .... 78.1753T, CiteSeerX  10.1.1.495.6424, Дои:10.1029 / JB078i011p01753.
7. http://iosdesign.ivomynttinen.com/

• Барр, Алан Х. (1983), Геометрическое моделирование и гидродинамический анализ плавающих сперматозоидов, Политехнический институт Ренсселера (Кандидатская диссертация по суперэллипсоидам)
• Барр, Алан Х. (1992), «Жесткие физические суперквадрики», Кирк, Дэвид (ред.), Графика Самоцветы III, Академическая пресса, стр. 137–159 (код: 472–477), ISBN  978-0-12-409672-1
• Гиелис, Йохан (2003), Изобретая круг: геометрия природы, Антверпен: Geniaal Press, ISBN  978-90-807756-1-9

внешняя ссылка

• Соколов, Д. (2001) [1994], «Кривая Ламе», Энциклопедия математики, EMS Press
• "Кривая Ламе" в MathCurve.
• Вайсштейн, Эрик В. «Суперэллипс». MathWorld.
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., «Хромые кривые», Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
• «Супер Эллипс» на 2dcurves.com
• Калькулятор суперэллипсов и генератор шаблонов
• C-код для установки суперэллипсов