Кардиоидный - Cardioid

кардиоида, создаваемая катящимся кругом по кругу с тем же радиусом

А кардиоидный (от Греческий καρδία «сердце») является плоская кривая отслеживается точкой на периметре круга, который катится по фиксированному кругу того же радиуса. Его также можно определить как эпициклоида имея один куспид. Это тоже разновидность синусоидальная спираль, и обратная кривая из парабола с фокусом в качестве центра инверсии.^[1]

Название было придумано де Кастильон в 1741 г.^[2] но был предметом изучения за десятилетия до этого.^[3] Названный в честь своей сердцевидной формы, он больше похож на очертание поперечного сечения круглого яблоко без стебля.

А кардиоидный микрофон демонстрирует акустический диаграмма направленности, которая при отображении в двух измерениях напоминает кардиоиду (любая двумерная плоскость, содержащая трехмерную прямую линию корпуса микрофона). В трех измерениях кардиоида имеет форму яблока с центром вокруг микрофона, который является «стеблем» яблока.

Уравнения

Создание кардиоиды и используемой системы координат

Позволять ${\displaystyle a}$ - общий радиус двух образующих окружностей с серединами ${\displaystyle (-a,0),(a,0)}$, ${\displaystyle \varphi }$ угол качения и исходная точка - начальная точка (см. рисунок). Один получает

• параметрическое представление:

${\displaystyle x(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\cdot \cos \varphi \ ,}$

${\displaystyle y(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\cdot \sin \varphi \ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi }$

и отсюда представление в

• полярные координаты:

${\displaystyle r(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )}$.

Представляем замены ${\displaystyle \cos \varphi =x/r}$ и ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ после удаления квадратного корня получается неявное представление в

• декартовы координаты:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}+4ax(x^{2}+y^{2})-4a^{2}y^{2}\,=\,0}$ .

Доказательство параметрического представления

Доказательство может быть установлено с использованием комплексных чисел и их общего описания в качестве комплексная плоскость. Катящееся движение черного круга по синему можно разделить на два вращения. В комплексной плоскости вращение вокруг точки ${\displaystyle 0}$ (начало) под углом ${\displaystyle \varphi }$ может быть выполнено умножением точки ${\displaystyle z}$ (комплексное число) на ${\displaystyle e^{i\varphi }}$. Следовательно

вращение ${\displaystyle \Phi _{+}}$ вокруг точки ${\displaystyle a}$ является${\displaystyle :\quad z\mapsto \quad a+(z-a)e^{i\varphi }}$,

вращение ${\displaystyle \Phi _{-}}$ вокруг точки ${\displaystyle -a}$ является: ${\displaystyle z\mapsto -a+(z+a)e^{i\varphi }}$.

Точка ${\displaystyle p(\varphi )}$ кардиоиды создается вращением начала координат вокруг точки ${\displaystyle a}$ и последующее вращение вокруг ${\displaystyle -a}$ под тем же углом ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle p(\varphi )=\Phi _{-}(\Phi _{+}(0))=\Phi _{-}(a-ae^{i\varphi })=-a+(a-ae^{i\varphi }+a)e^{i\varphi }=a\;(-e^{i2\varphi }+2e^{i\varphi }-1)}$.

Отсюда можно получить параметрическое представление выше:

${\displaystyle {\begin{array}{cclcccc}x(\varphi )&=&a\;(-\cos(2\varphi )+2\cos \varphi -1)&=&2a(1-\cos \varphi )\cdot \cos \varphi &&\\y(\varphi )&=&a\;(-\sin(2\varphi )+2\sin \varphi )&=&2a(1-\cos \varphi )\cdot \sin \varphi &.&\end{array}}}$

(Следующие формулы ${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,\ (\cos \varphi )^{2}+(\sin \varphi )^{2}=1,\ \cos 2\varphi =(\cos \varphi )^{2}-(\sin \varphi )^{2},\;\sin 2\varphi =2\sin \varphi \cos \varphi }$ были использованы. Увидеть тригонометрические функции.)

Метрические свойства

Для кардиоиды, как определено выше, верны следующие формулы:

• площадь ${\displaystyle A=6\pi a^{2}}$,
• длина дуги ${\displaystyle L=16a}$ и
• радиус кривизны ${\displaystyle \rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\ .}$

Доказательства этого утверждения используют в обоих случаях полярное представление кардиоиды. Подходящие формулы см. полярная система координат (длина дуги) и полярная система координат (площадь)

доказательство формулы площади

${\displaystyle A=2\cdot {\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{(r(\varphi ))^{2}}\;d\varphi =\int _{0}^{\pi }{4a^{2}(1-\cos \varphi )^{2}}\;d\varphi =\cdots =4a^{2}\cdot {\tfrac {3}{2}}\pi =6\pi a^{2}}$ .

доказательство формулы длины дуги

${\displaystyle L=2\int _{0}^{\pi }{\sqrt {r(\varphi )^{2}+(r'(\varphi ))^{2}}}\;d\varphi =\cdots =8a\int _{0}^{\pi }{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1-\cos \varphi )}}\;d\varphi =8a\int _{0}^{\pi }\sin({\tfrac {\varphi }{2}})d\varphi =16a}$ .

Доказательство радиуса кривизны

Радиус кривизны ${\displaystyle \rho }$ кривой в полярных координатах с уравнением ${\displaystyle r=r(\varphi )}$ это (s. кривизна )

${\displaystyle \rho (\varphi )={\frac {\left[r(\varphi )^{2}+{\dot {r}}(\varphi )^{2}\right]^{3/2}}{r(\varphi )^{2}+2{\dot {r}}(\varphi )^{2}-r(\varphi ){\ddot {r}}(\varphi )}}\ .}$

Для кардиоиды ${\displaystyle r(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}}$ один получает

${\displaystyle \rho (\varphi )=\cdots ={\frac {[16a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}]^{\frac {3}{2}}}{24a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}}}={\frac {8}{3}}a\sin {\frac {\varphi }{2}}\ .}$

Свойства

Аккорды кардиоиды

Аккорды через куспид

• C1: аккорды сквозь куспид кардиоиды имеют одинаковую длину ${\displaystyle 4a}$ .
• C2: В средние точки из аккорды через куспид лежат на периметре неподвижной образующей окружности (см. рисунок).

доказательство для C1

Точки ${\displaystyle P:p(\varphi ),\;Q:p(\varphi +\pi )}$ находятся на аккорд через куспид (= начало координат). Следовательно

${\displaystyle |PQ|=r(\varphi )+r(\varphi +\pi )}$

${\displaystyle =2a(1-\cos \varphi )+2a(1-\cos(\varphi +\pi ))=\cdots =4a}$ .

доказательство для C2

Для доказательства используется представление в комплексной плоскости (см. Выше). Для очков

${\displaystyle P:\ p(\varphi )=a\;(-e^{i2\varphi }+2e^{i\varphi }-1)}$

${\displaystyle Q:\ p(\varphi +\pi )=a\;(-e^{i2(\varphi +\pi )}+2e^{i(\varphi +\pi )}-1)=a\;(-e^{i2\varphi }-2e^{i\varphi }-1)}$,

середина аккорда ${\displaystyle PQ}$ является

${\displaystyle M:\ {\tfrac {1}{2}}(p(\varphi )+p(\varphi +\pi ))=\cdots =-a-ae^{i2\varphi }}$

который лежит по периметру окружности с серединой ${\displaystyle -a}$ и радиус ${\displaystyle a}$ (см. картинку).

Кардиоида как обратная кривая параболы

кардиоида, образованная инверсией параболы через единичный круг (пунктирная линия)

Основная статья: инверсивная геометрия

• Кардиоида - это обратная кривая параболы с фокусом в центре инверсии (см. график)

В примере, показанном на графике, окружности образующих имеют радиус ${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}}$. Следовательно, кардиоида имеет полярное представление

${\displaystyle r(\varphi )=1-\cos \varphi }$

и его обратная кривая

${\displaystyle r(\varphi )={\frac {1}{1-\cos \varphi }}}$,

которая является параболой (см. парабола в полярных координатах ) с уравнением ${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}(y^{2}-1)}$ в декартовых координатах.

Замечание: Не всякая обратная кривая параболы является кардиоидой. Например, если парабола перевернута по кругу, центр которого находится в вершина параболы, то результатом будет циссоид диокла.

Кардиоида как конверт карандаша кругов

кардиоида как конверт карандаша кругов

В предыдущем разделе, если дополнительно инвертировать касательные параболы, получается пучок окружностей через центр инверсии (начало координат). Подробное рассмотрение показывает: Середины окружностей лежат на периметре фиксированной образующей окружности (образующая окружность является обратной кривой направляющей параболы).

Это свойство приводит к следующему простому способу привлечь кардиоида:

1) Выбираем круг ${\displaystyle c}$ и точка ${\displaystyle O}$ по периметру,

2) нарисуйте круги, содержащие ${\displaystyle O}$ с центрами на ${\displaystyle c}$, и

3) нарисуйте конверт этих кругов.

доказательство с условием конверта

Огибающая пучка неявно заданных кривых

${\displaystyle F(x,y,t)=0}$

с параметром ${\displaystyle t}$ состоит из таких точек ${\displaystyle (x,y)}$ которые являются решениями нелинейной системы

• ${\displaystyle F(x,y,t)=0,\quad F_{t}(x,y,t)=0\;}$ (состояние конверта ).

(${\displaystyle F_{t}}$ означает частная производная для параметра ${\displaystyle t}$.

Позволять ${\displaystyle c}$ быть кругом с серединой ${\displaystyle (-1,0)}$ и радиус ${\displaystyle 1}$. потом ${\displaystyle c}$ имеет параметрическое представление ${\displaystyle (-1+\cos t,\sin t)}$. Карандаш кругов с центрами на ${\displaystyle c}$ содержащий точку ${\displaystyle O=(0,0)}$ может быть неявно представлена ​​как

${\displaystyle F(x,y,t)=(x+1-\cos t)^{2}+(y-\sin t)^{2}-(2-2\cos t)=0}$,

что эквивалентно

${\displaystyle F(x,y,t)=x^{2}+y^{2}+2x\;(1-\cos t)-2y\;\sin t=0\;.}$

Второе условие конверта:

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x\;\sin t-2y\;\cos t=0}$.

Несложно проверить, что точки кардиоиды с параметрическим представлением

${\displaystyle x(t)=2(1-\cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1-\cos t)\sin t}$

выполнить нелинейную систему выше. Параметр ${\displaystyle t}$ идентичен угловому параметру кардиоиды.

Кардиоида как конверт карандаша линий

Кардиоида как конверт карандаша линий

Подобный и простой метод рисования кардиоиды использует карандаш линии. Это связано с Л. Кремона:

1. Нарисуйте круг, разделите его периметр на равные части с помощью ${\displaystyle 2N}$ точки (см. рисунок) и пронумеруйте их последовательно.
2. Нарисуйте аккорды: ${\displaystyle (1,2),(2,4),....,(n,2n),....,(N,2N),(N+1,2),(N+2,4),....,}$. (то есть: вторая точка перемещается с двойной скоростью.)
3. В конверт из этих хорд - кардиоида.

Генерация кардиоиды Кремоны

доказательство

Следующее рассмотрение использует тригонометрические формулы для${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta ,\ \sin \alpha +\sin \beta ,\ 1+\cos 2\alpha ,\ \cos 2\alpha ,\sin 2\alpha }$.Для упрощения вычислений доказательство приводится для кардиоиды с полярным представлением.${\displaystyle r=2(1{\color {red}+}\cos \varphi )}$ (см. раздел Кардиоиды в разных положениях ).

уравнение касательной

из кардиоидный с полярным представлением ${\displaystyle r=2(1+\cos \varphi )}$:

Из параметрического представления

${\displaystyle x(\varphi )=2(1+\cos \varphi )\cos \varphi ,}$

${\displaystyle y(\varphi )=2(1+\cos \varphi )\sin \varphi }$

получается нормальный вектор ${\displaystyle {\vec {n}}=({\dot {y}},-{\dot {x}})^{T}}$. Уравнение касательной${\displaystyle {\dot {y}}(\varphi )\cdot (x-x(\varphi ))-{\dot {x}}(\varphi )\cdot (y-y(\varphi ))=0}$ является:

${\displaystyle (\cos 2\varphi +\cos \varphi )\cdot x\ +\ (\sin 2\varphi +\sin \varphi )\cdot y=2(1+\cos \varphi )^{2}\ .}$

С помощью тригонометрических формул и последующего деления на ${\displaystyle \cos {\tfrac {1}{2}}\varphi }$, уравнение касательной можно переписать в виде:

• ${\displaystyle \cos({\tfrac {3}{2}}\varphi )\cdot x+\sin({\tfrac {3}{2}}\varphi )\cdot y=4(\cos {\tfrac {1}{2}}\varphi )^{3}\quad 0<\varphi <2\pi ,\ \varphi \neq \pi .}$

уравнение хорды

из круг с серединой ${\displaystyle (1,0)}$ и радиус ${\displaystyle 3}$: Для уравнения секущей, проходящей через две точки ${\displaystyle (1+3\cos \theta ,3\sin \theta ),\ (1+3\cos {\color {red}2}\theta ,3\sin {\color {red}2}\theta ))}$ получается:

${\displaystyle (\sin \theta -\sin 2\theta )\cdot x\ +\ (\cos 2\theta -\sin \theta )\cdot y=-2\cos \theta -\sin 2\theta \ .}$

С помощью тригонометрических формул и последующего деления на ${\displaystyle \sin {\tfrac {1}{2}}\theta }$ уравнение секущей можно переписать следующим образом:

• ${\displaystyle \cos({\tfrac {3}{2}}\theta )\cdot x+\sin({\tfrac {3}{2}}\theta )\cdot y=4(\cos {\tfrac {1}{2}}\theta )^{3}\quad 0<\theta <2\pi .}$

Несмотря на два угла ${\displaystyle \varphi ,\theta }$ иметь разные значения (см. рисунок) ${\displaystyle \varphi =\theta }$ та же линия. Следовательно, любая секущая окружности, определенная выше, также является касательной к кардиоиде:

• Кардиоида - это огибающая хорд круга.

Замечание:
Доказательство может быть выполнено с помощью условия конверта (см. предыдущий раздел) неявного пучка кривых:

${\displaystyle F(x,y,t)=\cos {\tfrac {3}{2}}t\cdot x\ +\ \sin {\tfrac {3}{2}}t\cdot y-4(\cos {\tfrac {1}{2}}t)^{3}=0\ }$ - пучок секущих окружности (см. выше) и

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-{\tfrac {3}{2}}\sin {\tfrac {3}{2}}t\cdot x\ +\ {\tfrac {3}{2}}\cos {\tfrac {3}{2}}t\cdot y+3\cos {\tfrac {1}{2}}t\sin t=0\ .}$

Для фиксированного параметра t оба уравнения представляют собой линии. Их точка пересечения

${\displaystyle x(t)=2(1+\cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1+\cos t)\sin t}$,

которая является точкой кардиоиды с полярным уравнением ${\displaystyle r=2(1+\cos t).}$

Кардиоид как едкий: источник света ${\displaystyle Z}$, луч света ${\displaystyle {\vec {s}}}$, отраженный луч ${\displaystyle {\vec {r}}}$

Кардиоида как каустика круга с источником света (справа) по периметру

Кардиоида как каустика круга

Соображения, сделанные в предыдущем разделе, служат доказательством того, что едкий окружности с источником света по периметру круга - кардиоида.

• Если в плоскости есть источник света в точке ${\displaystyle Z}$ по периметру круга, который отражает любой луч, тогда отраженные лучи внутри круга являются касательными к кардиоиде.

доказательство

Как и в предыдущем разделе, круг может иметь середину ${\displaystyle (1,0)}$ и радиус ${\displaystyle 3}$. Его параметрическое представление

${\displaystyle c(\varphi )=(1+3\cos \varphi ,3\sin \varphi )\ .}$

Касательная в точке окружности ${\displaystyle C:\ k(\varphi )}$ имеет нормальный вектор ${\displaystyle {\vec {n}}_{t}=(\cos \varphi ,\sin \varphi )^{T}}$. Следовательно, отраженный луч имеет нормальный вектор ${\displaystyle {\vec {n}}_{r}=(\cos {\color {red}{\tfrac {3}{2}}}\varphi ,\sin {\color {red}{\tfrac {3}{2}}}\varphi )^{T}}$ (см. график) и содержит точку ${\displaystyle C:\ (1+3\cos \varphi ,3\sin \varphi )}$. Отраженный луч является частью линии с уравнением (см. Предыдущий раздел)

${\displaystyle \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi \cdot x\ +\ \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi \cdot y=4(\cos {\tfrac {1}{2}}\varphi )^{3}\ ,}$

который является касательной к кардиоиде с полярным уравнением

${\displaystyle r=2(1+\cos \varphi )}$

из предыдущего раздела.

Замечание: Из таких соображений обычно пренебрегают многократными отражениями от круга.

Кардиоида как педальная кривая круга

Точка кардиоиды - это стопа опущенного перпендикуляра по касательной к окружности.

Кардиоидное поколение Cremona не следует путать со следующим поколением:

Пусть ${\displaystyle k}$ круг и ${\displaystyle O}$ точка на периметре этого круга. Верно следующее:

• Подножия перпендикуляров от точки ${\displaystyle O}$ по касательным окружности ${\displaystyle k}$ точки кардиоиды.

Следовательно, кардиоида - это особый кривая педали круга.

доказательство

В декартовой системе координат круг ${\displaystyle k}$ может иметь середину ${\displaystyle (2a,0)}$ и радиус ${\displaystyle 2a}$. Касательная в точке окружности ${\displaystyle (2a+2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi )}$ имеет уравнение

${\displaystyle (x-2a)\cdot \cos \varphi +y\cdot \sin \varphi =2a\ .}$

Основание перпендикуляра от точки ${\displaystyle O}$ по касательной точка ${\displaystyle (r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}$ с еще неизвестного расстояния ${\displaystyle r}$ к происхождению ${\displaystyle O}$. Подставляя точку в уравнение касательной, получаем

${\displaystyle (r\cos \varphi -2a)\cos \varphi +r\sin ^{2}\varphi =2a\quad \rightarrow \quad r=2a(1+\cos \varphi )}$

что является полярным уравнением кардиоиды.

Замечание: Если точка ${\displaystyle O}$ не на периметре круга ${\displaystyle k}$, каждый получает Лимасон Паскаля.

Эволюция кардиоиды

эволюция кардиоиды
пурпурный: одна точка P, ее центр кривизны M и соприкасающийся круг

В эволюционировать кривой - геометрическое место центров кривизны. Подробно: Для кривой ${\displaystyle {\vec {x}}(s)={\vec {c}}(s)}$ с радиусом кривизны ${\displaystyle \rho (s)}$ эволюция имеет представление

${\displaystyle {\vec {X}}(s)={\vec {c}}(s)+\rho (s){\vec {n}}(s).}$

с участием ${\displaystyle {\vec {n}}(s)}$ соответственно ориентированный блок нормальный.

При кардиоиде получают:

• В эволюционировать кардиоиды - это еще одна кардиоида размером в треть (см. рисунок).

доказательство

Для кардиоиды с параметрическим представлением

${\displaystyle x(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\cos \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi \ ,}$

${\displaystyle y(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\sin \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi }$

единица нормальная

${\displaystyle {\vec {n}}(\varphi )=(-\sin {\tfrac {3}{2}}\varphi ,\cos {\tfrac {3}{2}}\varphi )}$

и радиус кривизны

${\displaystyle \rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\ .}$

Следовательно, параметрические уравнения эволюции имеют вид

${\displaystyle X(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cdot \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {4}{3}}a\ ,}$

${\displaystyle Y(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi +{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cdot \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi \ =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi \ .}$

Эти уравнения описывают кардиоиду, которая втрое меньше, повернутая на 180 градусов и смещенная по оси x на ${\displaystyle -{\tfrac {4}{3}}a}$.

(Использовались тригонометрические формулы: ${\displaystyle \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi +\cos {\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi \ ,\ \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ,\ \sin \varphi =2\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cos {\tfrac {\varphi }{2}}\ ,\ \cos \varphi =\cdots \ .}$)

Ортогональные траектории

ортогональные кардиоиды

An ортогональная траектория пучка кривых - это кривая, которая ортогонально пересекает любую кривую пучка. Для кардиоидов верно следующее:

• Ортогональные траектории пучка кардиоидов с уравнениями

${\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )\ ,\;a>0\ ,\ }$

кардиоиды с уравнениями

${\displaystyle r=2b(1+\cos \varphi )\ ,\;b>0\ .}$

(Второй карандаш можно рассматривать как отражение на оси Y первого. См. Диаграмму.)

Доказательство:
Для кривой, приведенной в полярные координаты функцией ${\displaystyle r(\varphi )}$ выполняется следующая связь с декартовыми координатами:

${\displaystyle x(\varphi )=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad }$ ${\displaystyle y(\varphi )=r(\varphi )\sin \varphi \qquad }$

а для производных

${\displaystyle {\frac {dx}{d\varphi }}=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \ ,\qquad }$${\displaystyle {\frac {dy}{d\varphi }}=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi \ .}$

Деление второго уравнения на первое дает декартов наклон касательной к кривой в точке ${\displaystyle (r(\varphi ),\varphi )}$:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}$

Для кардиоид с уравнениями ${\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )\;}$ и ${\displaystyle r=2b(1+\cos \varphi )\ }$ соответственно получается:

${\displaystyle {\frac {dy_{a}}{dx}}={\frac {\cos \varphi -\cos 2\varphi }{\sin 2\varphi -\sin \varphi }}\quad }$ и ${\displaystyle \quad {\frac {dy_{b}}{dx}}=-{\frac {\cos \varphi +\cos 2\varphi }{\sin 2\varphi +\sin \varphi }}\ .}$

(Наклон любой кривой зависит от ${\displaystyle \varphi }$ только, а не из параметров ${\displaystyle a,b}$ !)
Следовательно

${\displaystyle {\frac {dy_{a}}{dx}}\cdot {\frac {dy_{b}}{dx}}=\cdots =-{\frac {\cos ^{2}\varphi -\cos ^{2}2\varphi }{\sin ^{2}2\varphi -\sin ^{2}\varphi }}=-{\frac {-1+\cos ^{2}\varphi +1-\cos ^{2}2\varphi }{\sin ^{2}2\varphi -\sin ^{2}\varphi }}=-1\ .}$

Это означает: любая кривая первого пучка пересекает любую кривую второго пучка ортогонально.

4 кардиоиды в полярном представлении и их положение в системе координат

В разных позициях

Выбор других положений кардиоиды в системе координат приводит к другим уравнениям. На рисунке показаны 4 наиболее распространенных положения кардиоиды и их полярные уравнения.

В комплексном анализе

Граница центральной, период 1, области Набор Мандельброта кардиоидный.

В комплексный анализ, то образ любого круга через начало координат под картой ${\displaystyle z\to z^{2}}$ кардиоидный. Одно из применений этого результата состоит в том, что граница центральной компоненты периода 1 Набор Мандельброта кардиоида, заданная уравнение

${\displaystyle c\,=\,{\frac {1-\left(e^{it}-1\right)^{2}}{4}}.\,}$

Набор Мандельброта содержит бесконечное количество слегка искаженных копий самого себя, и центральная лампочка любой из этих уменьшенных копий является приблизительной кардиоидой.

В едкий На поверхности этой чашки кофе появляется кардиоида.

Каустики

Определенный каустика может принимать форму кардиоидов. Катакаустика круга относительно точки на окружности - это кардиоида. Кроме того, катакустика конуса относительно лучей, параллельных образующей, представляет собой поверхность, поперечное сечение которой является кардиоидой. Это видно, как на фотографии справа, в конической чашке, частично заполненной жидкостью, когда свет светит издалека и под углом, равным углу конуса.^[4] Форма кривой на дне цилиндрической чашки составляет половину нефроид, который выглядит очень похоже.

Создание кардиоиды как педальной кривой круга

Смотрите также

• Лимасон
• Нефроид
• Дельтовидная
• Жезл Витгенштейна
• Кардиоидный микрофон
• Лемниската Бернулли
• Рамочная антенна
• Радиопеленгатор
• Радиопеленгация
• Яги антенна
• Джованни Сальвемини

Заметки

1. Вайсштейн, Эрик В. «Обратная кривая параболы». MathWorld.
2. Локвуд
3. Йейтс
4. "Surface Caustique" в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

использованная литература

• R.C. Йейтс (1952). «Кардиоидный». Справочник по кривым и их свойствам. Анн-Арбор, Мичиган: Дж. У. Эдвардс. стр. 4 и след.
• Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin. Нью-Йорк: Книги Пингвинов. стр.24–25. ISBN  0-14-011813-6.

внешние ссылки

• «Кардиоидный», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., «Кардиоидный», Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
• Сытное пережевывание кардиоидов в завязать узел
• Вайсштейн, Эрик В. «Кардиоидный». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Эпициклоида - 1-куспидная». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Кривая сердца". MathWorld.
• Кса Ли, Кардиоидный (1998) (На этом сайте представлен ряд альтернативных конструкций).
• Ян Вассенаар, Кардиоидный, (2005)