Уравнение в частных производных - Partial differential equation

Визуализация решения двумерной уравнение теплопроводности с температурой, представленной в вертикальном направлении

В математика, а уравнение в частных производных (PDE) представляет собой уравнение, которое устанавливает отношения между различными частные производные из функция многих переменных.

Функцию часто считают "неизвестной", которую нужно решить, аналогично тому, как Икс рассматривается как неизвестное число, которое необходимо решить в алгебраическом уравнении, таком как Икс² − 3Икс + 2 = 0. Однако обычно невозможно выписать явные формулы для решений уравнений в частных производных. Соответственно, существует огромное количество современных математических и научных исследований методов численно приблизительный решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных с помощью компьютеров. Уравнения с частными производными также занимают большой сектор чисто математическое исследование, в котором обычные вопросы, вообще говоря, касаются выявления общих качественных особенностей решений различных уравнений в частных производных.^{[нужна цитата ]}

Уравнения с частными производными повсеместно используются в математически ориентированных научных областях, таких как физика и инженерное дело. Например, они лежат в основе современного научного понимания звука, тепла, распространение, электростатика, электродинамика, динамика жидкостей, эластичность, общая теория относительности, и квантовая механика.^{[нужна цитата ]} Они также возникают из многих чисто математических соображений, таких как дифференциальная геометрия и вариационное исчисление; среди других известных приложений, они являются фундаментальным инструментом в доказательстве Гипотеза Пуанкаре из геометрическая топология.

Частично из-за такого разнообразия источников существует широкий спектр различных типов дифференциальных уравнений в частных производных, и были разработаны методы для работы со многими возникающими отдельными уравнениями. Таким образом, обычно признается, что не существует «общей теории» уравнений в частных производных, а специальные знания в некоторой степени разделены между несколькими существенно различными подполями.^[1]

Обыкновенные дифференциальные уравнения образуют подкласс дифференциальных уравнений в частных производных, соответствующих функциям одной переменной. Стохастические уравнения в частных производных и нелокальные уравнения являются, по состоянию на 2020 год, особенно широко изученными расширениями понятия «PDE». Более классические темы, по которым все еще ведется много активных исследований, включают: эллиптический и параболический уравнения в частных производных, механика жидкости, Уравнения Больцмана, и диспергирующий уравнения в частных производных.

Вступление

Говорят, что функция ты(Икс, у, z) трех переменных "гармонический "или" решение то Уравнение лапласа "если он удовлетворяет условию

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.}$

Такие функции широко изучались в девятнадцатом веке из-за их актуальности для классическая механика. Если функция задана явно, то проверка гармоничности ее обычно сводится к простому вычислению. Например

${\displaystyle u(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-2x+y^{2}+z^{2}+1}}}{\text{ and }}u(x,y,z)=2x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

оба гармоничны, в то время как

${\displaystyle u(x,y,z)=\sin(xy)+z}$

не является. Может показаться удивительным, что два приведенных примера гармонических функций имеют столь разительно отличающуюся друг от друга форму. Это отражение того факта, что они нет, в любом случае, оба частных случая «общей формулы решения» уравнения Лапласа. Это разительно отличается от случая обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) примерно похоже к уравнению Лапласа, с целью многих вводных учебников найти алгоритмы, приводящие к общим формулам решения. Для уравнения Лапласа, как и для большого числа дифференциальных уравнений в частных производных, такие формулы решения не существуют.

Более конкретно природу этого отказа можно увидеть в случае следующей PDE: для функции v(Икс, у) двух переменных рассмотрим уравнение

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x\partial y}}=0.}$

Непосредственно можно проверить, что любая функция v формы v(Икс, у) = ж(Икс) + грамм(у), для любых функций с одной переменной ж и грамм что бы то ни было, удовлетворяет этому условию. Это выходит далеко за рамки вариантов, доступных в формулах решений ODE, которые обычно допускают свободный выбор некоторых чисел. При изучении PDE обычно предоставляется свободный выбор функций.

Природа этого выбора варьируется от PDE к PDE. Чтобы понять это для любого данного уравнения, теоремы существования и единственности обычно являются важными организационными принципами. Во многих вводных учебниках роль теоремы существования и единственности для ОДУ может быть несколько непрозрачным; половина существования обычно не нужна, поскольку можно напрямую проверить любую предложенную формулу решения, в то время как половина уникальности часто присутствует только в фоновом режиме, чтобы гарантировать, что предлагаемая формула решения является как можно более общей. Напротив, для PDE теоремы существования и единственности часто являются единственными средствами, с помощью которых можно перемещаться по множеству различных имеющихся решений. По этой причине они также имеют основополагающее значение при выполнении чисто численного моделирования, так как необходимо иметь представление о том, какие данные должны быть прописаны пользователем, а какие оставить компьютеру для расчета.

Чтобы обсудить такие теоремы существования и единственности, необходимо уточнить домен «неизвестной функции». В противном случае, говоря только в терминах типа «функция двух переменных», невозможно осмысленно сформулировать результаты. То есть область определения неизвестной функции должна рассматриваться как часть структуры самого PDE.

Ниже приведены два классических примера таких теорем существования и единственности. Несмотря на то, что два рассматриваемых PDE настолько похожи, есть поразительное различие в поведении: для первого PDE один имеет бесплатное назначение одной функции, а для второго PDE один имеет бесплатное задание двух функций.

• Позволять B обозначим круг единичного радиуса вокруг начала координат на плоскости. Для любой непрерывной функции U на единичном круге есть ровно одна функция ты на B такой, что

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$

и чье ограничение на единичную окружность дается формулой U.

• Для любых функций ж и грамм на реальной линии ℝ, есть ровно одна функция ты на ℝ × (−1, 1) такой, что

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$

и с ты(Икс, 0) = ж(Икс) и ∂ты/∂у(Икс, 0) = грамм(Икс) для всех значений Икс.

Возможны даже другие явления. Например, следующий PDE, естественно возникающие в области дифференциальная геометрия, иллюстрирует пример, в котором есть простая и полностью явная формула решения, но со свободным выбором только трех чисел и даже не одной функции.

• Если ты это функция на ℝ² с

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\frac {\partial u}{\partial x}}{\sqrt {1+({\frac {\partial u}{\partial x}})^{2}+({\frac {\partial u}{\partial y}})^{2}}}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\frac {\partial u}{\partial y}}{\sqrt {1+({\frac {\partial u}{\partial x}})^{2}+({\frac {\partial u}{\partial y}})^{2}}}}=0,}$

тогда есть числа а, б, и c с ты(Икс, у) = топор + к + c.

В отличие от предыдущих примеров, это PDE нелинейный, благодаря квадратным корням и квадратам. А линейный PDE является таким, что сумма любых двух решений также является решением, и все постоянные кратные любого решения также являются решением.

Корректность

Корректность относится к общему схематическому пакету информации о PDE. Чтобы сказать, что PDE корректна, нужно иметь:

• теорема существования и единственности, утверждающая, что по предписанию некоторых свободно выбранных функций можно выделить одно конкретное решение уравнения в частных производных
• к непрерывно изменяя свободный выбор, мы постоянно меняем соответствующее решение

Это несколько расплывчато из-за необходимости применимости к нескольким различным PDE. В частности, требование «непрерывности» неоднозначно, поскольку обычно существует множество неэквивалентных средств, с помощью которых оно может быть строго определено. Однако довольно необычно изучать PDE без определения того, каким образом она правильно сформулирована.

Наличие локальных решений

В слегка слабой форме Теорема Коши – Ковалевского по существу заявляет, что если все члены в дифференциальном уравнении в частных производных состоят из аналитические функции, то в определенных областях обязательно существуют решения УЧП, которые также являются аналитическими функциями. Хотя это фундаментальный результат, во многих ситуациях он бесполезен, поскольку невозможно легко контролировать область получаемых решений. Кроме того, известны примеры линейных дифференциальных уравнений в частных производных, коэффициенты которых имеют производные всех порядков (которые, тем не менее, не являются аналитическими), но вообще не имеют решений: это удивительно пример был обнаружен Ганс Леви в 1957 г. Таким образом, теорема Коши-Ковалевского обязательно ограничивается в своем объеме аналитическими функциями. Этот контекст исключает многие явления, представляющие как физический, так и математический интерес.

Классификация

Обозначение

При написании PDE частные производные обычно обозначают индексами. Например:

${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}},\quad u_{xx}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},\quad u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right).}$

В общей ситуации это ты является функцией п переменные, то ты_я обозначает первую частную производную относительно яый вход, ты_ij обозначает вторую частную производную относительно яй и jые входы и так далее.

Греческая буква Δ обозначает Оператор Лапласа; если ты является функцией п переменные, то

${\displaystyle \Delta u=u_{11}+u_{22}+\cdots +u_{nn}.}$

В физической литературе оператор Лапласа часто обозначается как ∇²; в математической литературе, ∇²ты может также обозначать гессианская матрица из ты.

Уравнения первого порядка

Основная статья: Уравнение в частных производных первого порядка

Линейные и нелинейные уравнения

PDE называется линейный если оно линейно относительно неизвестного и его производных. Например, для функции ты из Икс и у, линейное уравнение в частных производных второго порядка имеет вид

${\displaystyle a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+a_{5}(x,y)u_{x}+a_{6}(x,y)u_{y}+a_{7}(x,y)u=f(x,y)}$

куда а_я и ж являются функциями только независимых переменных. (Часто смешанные частные производные ты_ху и ты_yx будет приравнено, но это не требуется для обсуждения линейности.) Если а_я константы (не зависящие от Икс и у), то PDE называется линейный с постоянными коэффициентами. Если ж равен нулю всюду, то линейное уравнение в частных производных однородный, иначе это неоднородный. (Это отдельно от Асимптотическая гомогенизация, в которой изучается влияние высокочастотных колебаний коэффициентов на решения УЧП.)

Ближайшими к линейным PDE являются полулинейный УЧП, в которых производные высшего порядка появляются только как линейные члены с коэффициентами, которые являются функциями только независимых переменных. В противном случае производные более низкого порядка и неизвестная функция могут появляться произвольно. Например, общее полулинейное уравнение в частных производных второго порядка от двух переменных имеет вид

${\displaystyle a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$

В квазилинейный PDE производные высшего порядка также появляются только как линейные члены, но с коэффициентами, возможно, функциями неизвестных производных и производных более низкого порядка:

${\displaystyle a_{1}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xx}+a_{2}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xy}+a_{3}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yx}+a_{4}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$

Многие из фундаментальных УЧП в физике квазилинейны, например Уравнения Эйнштейна из общая теория относительности и Уравнения Навье-Стокса описание движения жидкости.

УЧП без каких-либо свойств линейности называется полностью нелинейный, и обладает нелинейностями на одной или нескольких производных высшего порядка. Примером может служить Уравнение Монжа – Ампера, возникающий в дифференциальная геометрия.^[2]

Линейные уравнения второго порядка

Эллиптический, параболический, и гиперболический Уравнения в частных производных второго порядка широко изучаются с начала двадцатого века. Однако есть много других важных типов PDE, включая Уравнение Кортевега – де Фриза. Есть также гибриды, такие как Уравнение Эйлера – Трикоми, которые варьируются от эллиптических до гиперболических для разных областей области. Существуют также важные расширения этих базовых типов для PDE более высокого порядка, но такие знания являются более специализированными.

Эллиптическая / параболическая / гиперболическая классификация обеспечивает руководство для подходящих начальных и граничные условия и к гладкости решений. Предполагая ты_ху = ты_yx, общее линейное уравнение в частных производных второго порядка от двух независимых переменных имеет вид

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+\cdots {\mbox{(lower order terms)}}=0,}$

где коэффициенты А, B, C... может зависеть от Икс и у. Если А² + B² + C² > 0 над регионом ху-плоскость, PDE второго порядка в этой области. Эта форма аналогична уравнению для конического сечения:

${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.}$

Точнее замена ∂_Икс к Икс, и то же самое для других переменных (формально это делается преобразование Фурье ), преобразует PDE с постоянным коэффициентом в многочлен той же степени с членами высшей степени (a однородный многочлен, здесь квадратичная форма ) является наиболее значимым для классификации.

Так же, как классифицируют конические секции и квадратичные формы на параболические, гиперболические и эллиптические на основе дискриминант B² − 4AC, то же самое можно сделать для PDE второго порядка в данной точке. Тем не менее дискриминант в PDE определяется как B² − AC из-за соглашения ху срок 2B скорее, чем B; формально дискриминант (ассоциированной квадратичной формы) есть (2B)² − 4AC = 4(B² − AC), с пониженным коэффициентом 4 для простоты.

1. B² − AC < 0 (эллиптическое уравнение в частных производных ): Решения эллиптические уравнения в частных производных настолько гладкие, насколько позволяют коэффициенты, в пределах области, где определены уравнение и решения. Например, решения Уравнение Лапласа являются аналитическими в той области, в которой они определены, но решения могут принимать негладкие граничные значения. Движение жидкости с дозвуковыми скоростями можно аппроксимировать с помощью эллиптических УЧП, а уравнение Эйлера – Трикоми является эллиптическим, где Икс < 0.
2. B² − AC = 0 (параболическое уравнение в частных производных ): Уравнения, которые параболический в любой точке может быть преобразован в форму, аналогичную уравнение теплопроводности заменой независимых переменных. Решения сглаживаются по мере увеличения преобразованной временной переменной. Уравнение Эйлера – Трикоми имеет параболический тип на прямой, где Икс = 0.
3. B² − AC > 0 (гиперболическое уравнение в частных производных ): гиперболический уравнения сохраняют любые разрывы функций или производных в исходных данных. Примером может служить волновое уравнение. Движение жидкости со сверхзвуковой скоростью можно аппроксимировать с помощью гиперболических УЧП, а уравнение Эйлера – Трикоми является гиперболическим, где Икс > 0.

Если есть п независимые переменные Икс₁, Икс₂ ,… Икс_п, общее линейное уравнение в частных производных второго порядка имеет вид

${\displaystyle Lu=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\quad {\text{ plus lower-order terms}}=0.}$

Классификация зависит от сигнатуры собственных значений матрицы коэффициентов а_я,j.

1. Эллиптический: все собственные значения либо положительные, либо отрицательные.
2. Параболический: все собственные значения либо положительные, либо отрицательные, за исключением нулевого.
3. Гиперболический: есть только одно отрицательное собственное значение, а все остальные положительные, или есть только одно положительное собственное значение, а все остальные отрицательны.
4. Ультрагиперболический: существует более одного положительного собственного значения и более одного отрицательного собственного значения, и нет нулевых собственных значений. Существует лишь ограниченная теория ультрагиперболических уравнений (Курант и Гильберт, 1962).

Системы уравнений первого порядка и характеристические поверхности

Классификацию дифференциальных уравнений в частных производных можно распространить на системы уравнений первого порядка, в которых неизвестные ты сейчас вектор с м компоненты, а матрицы коэффициентов А_ν находятся м к м матрицы для ν = 1, 2,… п. Уравнение в частных производных принимает вид

${\displaystyle Lu=\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial u}{\partial x_{\nu }}}+B=0,}$

где матрицы коэффициентов А_ν и вектор B может зависеть от Икс и ты. Если гиперповерхность S дается в неявной форме

${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},\ldots x_{n})=0,}$

куда φ имеет ненулевой градиент, то S это характерная поверхность для оператора L в данной точке, если характеристическая форма обращается в нуль:

${\displaystyle Q\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\ldots {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right)=\det \left[\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\nu }}}\right]=0.\,}$

Геометрическая интерпретация этого условия такова: если данные для ты прописаны на поверхности S, тогда можно будет определить нормальную производную от ты на S из дифференциального уравнения. Если данные на S а дифференциальное уравнение определяет нормальную производную от ты на S, тогда S нехарактерен. Если данные на S и дифференциальное уравнение не определить нормальную производную от ты на S, то поверхность характеристика, а дифференциальное уравнение ограничивает данные на S: дифференциальное уравнение имеет вид внутренний к S.

1. Система первого порядка Лу = 0 является эллиптический если для L: значения ты на S а дифференциальное уравнение всегда определяет нормальную производную от ты на S.
2. Система первого порядка - это гиперболический в момент, если есть космический поверхность S с нормальным ξ в таком случае. Это означает, что для любого нетривиального вектора η ортогонален ξ, и скалярный множитель λ, уравнение Q(λξ + η) = 0 имеет м настоящие корни λ₁, λ₂,… λ_м. Система строго гиперболический если эти корни всегда различны. Геометрическая интерпретация этого условия такова: характерная форма Q(ζ) = 0 определяет конус (нормальный конус) с однородными координатами ζ. В гиперболическом случае этот конус имеет м листы, а ось ζ = λξ проходит внутри этих листов: он не пересекает ни один из них. Но при смещении от начала координат на η эта ось пересекает каждый лист. В эллиптическом случае нормальный конус не имеет реальных листов.

Аналитические решения

Разделение переменных

Основная статья: Разделимое уравнение в частных производных

Линейные уравнения в частных производных могут быть сведены к системам обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью важной техники разделения переменных. Этот метод основан на характеристике решений дифференциальных уравнений: если можно найти какое-либо решение, которое решает уравнение и удовлетворяет граничным условиям, то оно то решение (это также относится к ODE). Мы предполагаем в качестве анзац что зависимость решения от параметров пространства и времени может быть записана как произведение членов, каждый из которых зависит от одного параметра, а затем посмотреть, можно ли это сделать для решения проблемы.^[3]

В методе разделения переменных PDE сводится к PDE с меньшим количеством переменных, что является обыкновенным дифференциальным уравнением с одной переменной - их, в свою очередь, легче решить.

Это возможно для простых PDE, которые называются разделимые дифференциальные уравнения в частных производных, а область обычно представляет собой прямоугольник (произведение интервалов). Разделимые PDE соответствуют диагональные матрицы - думая о «стоимости фиксированного Икс«как координату, каждую координату можно понимать отдельно.

Это обобщает метод характеристик, а также используется в интегральные преобразования.

Метод характеристик

Основная статья: Метод характеристик

В особых случаях можно найти характеристические кривые, на которых уравнение сводится к ОДУ - изменение координат в области для выпрямления этих кривых позволяет разделить переменные и называется метод характеристик.

В более общем плане можно найти характерные поверхности.

Интегральное преобразование

An интегральное преобразование может преобразовать PDE в более простой, в частности, разделяемый PDE. Это соответствует диагонализации оператора.

Важным примером этого является Анализ Фурье, который диагонализует уравнение теплопроводности с помощью собственный базис синусоидальных волн.

Если область конечна или периодична, бесконечная сумма решений, таких как Ряд Фурье уместно, но интеграл таких решений, как Интеграл Фурье обычно требуется для бесконечных доменов. Приведенное выше решение для точечного источника уравнения теплопроводности является примером использования интеграла Фурье.

Замена переменных

Часто PDE можно преобразовать в более простую форму с помощью известного решения с помощью подходящего замена переменных. Например, Блэк – Скоулз PDE

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$

сводится к уравнение теплопроводности

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

заменой переменных (подробнее см. Решение уравнения Блэка-Шоулза на Wayback Machine (архивировано 11 апреля 2008 г.))

${\displaystyle {\begin{aligned}V(S,t)&=Kv(x,\tau ),\\[5px]x&=\ln \left({\tfrac {S}{K}}\right),\\[5px]\tau &={\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t),\\[5px]v(x,\tau )&=e^{-\alpha x-\beta \tau }u(x,\tau ).\end{aligned}}}$

Фундаментальное решение

Основная статья: Фундаментальное решение

Неоднородные уравнения^{[требуется разъяснение ]} часто может быть решена (для PDE с постоянным коэффициентом всегда решается) путем нахождения фундаментальное решение (решение для точечного источника), затем взяв свертка с граничными условиями для получения решения.

Это аналогично в обработка сигналов понять фильтр по его импульсивный ответ.

Принцип суперпозиции

Дальнейшая информация: Принцип суперпозиции

Принцип суперпозиции применим к любой линейной системе, включая линейные системы УЧП. Распространенной визуализацией этой концепции является взаимодействие двух синхронизированных по фазе волн, которые объединяются для получения большей амплитуды, например грех Икс + грех Икс = 2 греха Икс. Тот же принцип можно наблюдать в PDE, где решения могут быть действительными или сложными и аддитивными. суперпозиция Если ты₁ и ты₂ являются решениями линейных уравнений в частных производных в некотором функциональном пространстве р, тогда ты = c₁ты₁ + c₂ты₂ с любыми константами c₁ и c₂ также являются решением этого УЧП в том же функциональном пространстве.

Методы для нелинейных уравнений

Смотрите также: нелинейное уравнение в частных производных

Нет общеприменимых методов для решения нелинейных уравнений в частных производных. Тем не менее, результаты существования и уникальности (например, Теорема Коши – Ковалевского ) часто возможны, как и доказательства важных качественных и количественных свойств решений (получение этих результатов является важной частью анализ ). Вычислительное решение нелинейных УЧП, двухступенчатый метод, существуют для конкретных уравнений, таких как нелинейное уравнение Шредингера.

Тем не менее, некоторые методы можно использовать для нескольких типов уравнений. В час-принцип это самый мощный метод решения недоопределенный уравнения. В Теория Рикье-Жане эффективный метод получения информации о многих аналитических сверхопределенный системы.

В метод характеристик может использоваться в некоторых очень частных случаях для решения уравнений в частных производных.

В некоторых случаях PDE можно решить с помощью анализ возмущений в котором решение рассматривается как поправка к уравнению с известным решением. Альтернативы числовой анализ техники из простых конечная разница схемы для более зрелых многосеточный и методы конечных элементов. Таким способом решаются многие интересные задачи науки и техники. компьютеры, иногда высокая производительность суперкомпьютеры.

Метод группы Ли

С 1870 г. Софус Ли Работа поставила теорию дифференциальных уравнений на более удовлетворительную основу. Он показал, что теории интеграции старых математиков могут, введя то, что сейчас называется Группы Ли, быть отнесенными к общему источнику; и те обыкновенные дифференциальные уравнения, которые допускают то же бесконечно малые преобразования представляют сопоставимые трудности интеграции. Он также подчеркнул тему трансформации контакта.

Общий подход к решению УЧП использует свойство симметрии дифференциальных уравнений, непрерывную бесконечно малые преобразования решений к решениям (Теория лжи ). Непрерывный теория групп, Алгебры Ли и дифференциальная геометрия используются, чтобы понять структуру линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для генерации интегрируемых уравнений, чтобы найти ее Слабые пары, операторы рекурсии, Преобразование Бэклунда и, наконец, нахождение точных аналитических решений для PDE.

Признано, что методы симметрии используются для изучения дифференциальных уравнений, возникающих в математике, физике, технике и многих других дисциплинах.

Полуаналитические методы

В Метод разложения Адомиана, то Ляпунов искусственный метод малого параметра и его гомотопический метод возмущения все являются частными случаями более общего метод гомотопического анализа. Это методы разложения в ряд и, за исключением метода Ляпунова, не зависят от малых физических параметров по сравнению с хорошо известными теория возмущений, что придает этим методам большую гибкость и универсальность решения.

Численные решения

Три наиболее широко используемых численные методы решения УЧП являются метод конечных элементов (FEM), методы конечных объемов (FVM) и методы конечных разностей (FDM), а также другие методы, называемые Meshfree методы, которые были созданы для решения проблем, в которых вышеупомянутые методы ограничены. FEM занимает видное место среди этих методов, особенно его исключительно эффективная версия более высокого порядка. hp-FEM. Другие гибридные версии методов FEM и Meshfree включают обобщенный метод конечных элементов (GFEM), расширенный метод конечных элементов (XFEM), спектральный метод конечных элементов (SFEM), бессеточный метод конечных элементов, разрывной метод конечных элементов Галеркина (DGFEM), Безэлементный метод Галеркина (EFGM), Интерполяция безэлементного метода Галеркина (IEFGM) и др.

Метод конечных элементов

Основная статья: Метод конечных элементов

Метод конечных элементов (FEM) (его практическое применение, часто известное как анализ конечных элементов (FEA)) представляет собой численный метод для поиска приближенных решений уравнений в частных производных (PDE), а также интегральных уравнений. Подход к решению основан либо на полном исключении дифференциального уравнения (задачи установившегося состояния), либо на преобразовании УЧП в аппроксимирующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которые затем численно интегрируются с использованием стандартных методов, таких как метод Эйлера, Рунге – Кутта и т. Д.

Метод конечных разностей

Основная статья: Метод конечных разностей

Конечно-разностные методы - это численные методы аппроксимации решений дифференциальных уравнений с использованием конечная разница уравнения для аппроксимации производных.

Метод конечных объемов

Основная статья: Метод конечных объемов

Подобно методу конечных разностей или методу конечных элементов, значения вычисляются в дискретных точках сетчатой ​​геометрии. «Конечный объем» относится к небольшому объему, окружающему каждую узловую точку на сетке. В методе конечного объема поверхностные интегралы в дифференциальном уравнении с частными производными, которые содержат член дивергенции, преобразуются в объемные интегралы с использованием теорема расходимости. Затем эти члены оцениваются как потоки на поверхностях каждого конечного объема. Поскольку поток, входящий в данный объем, идентичен потоку, выходящему из соседнего объема, эти методы сохраняют массу конструктивно.

Энергетический метод

Энергетический метод - это математическая процедура, которая может использоваться для проверки корректности начально-краевых задач.^[4] В следующем примере энергетический метод используется, чтобы решить, где и какие граничные условия должны быть наложены, чтобы результирующий IBVP был корректным. Рассмотрим одномерный гиперболический УЧП в виде

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\alpha {\frac {\partial u}{\partial x}}=0,\quad x\in [a,b],\operatorname {t} >0,}$

куда ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ является константой и ${\displaystyle u(x,t)}$ неизвестная функция с начальным условием ${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$. Умножение на ${\displaystyle u}$ и интегрирование по области дает

${\displaystyle \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial t}}\operatorname {d} x+\alpha \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial x}}\operatorname {d} x=0.}$

Используя это

${\displaystyle \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial t}}\operatorname {d} x={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\quad {\text{and}}\quad \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial x}}\operatorname {d} x={\frac {1}{2}}u(b,t)^{2}-{\frac {1}{2}}u(a,t)^{2},.}$

где для второго отношения использовалось интегрирование по частям, получаем

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}+\alpha u(b,t)^{2}-\alpha u(a,t)^{2}=0.}$

Здесь ${\displaystyle \|\cdot \|}$ обозначает стандартную L2-норму. для корректности потребуем, чтобы энергия решения не возрастала, т. е. чтобы ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\leq 0}$, что достигается указанием ${\displaystyle u}$ в ${\displaystyle x=a}$ если ${\displaystyle \alpha >0}$ и в ${\displaystyle x=b}$ если ${\displaystyle \alpha <0}$. Это соответствует только наложению граничных условий на притоке. Обратите внимание, что корректность допускает рост с точки зрения данных (начальных и граничных), и поэтому достаточно показать, что ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\leq 0}$ удерживается, когда все данные установлены в ноль.

Смотрите также

Основные примеры PDE

• уравнение теплопроводности
• волновое уравнение
• Уравнение Лапласа
• Уравнение Гельмгольца
• Уравнение Клейна – Гордона
• Уравнение Пуассона

Типы граничных условий

• Граничное условие Дирихле
• Граничное условие Неймана
• Граничное условие Робина
• Задача Коши

Различные темы

• Пакет струйных
• Преобразование Лапласа применяется к дифференциальным уравнениям
• Список тем о динамических системах и дифференциальных уравнениях
• Матричное дифференциальное уравнение
• Численные уравнения в частных производных
• Алгебраическое уравнение с частными производными
• Отношение рецидива
• Случайные процессы и краевые задачи

Примечания

1. Клайнерман, Серджиу. PDE как единый предмет. GAFA 2000 (Тель-Авив, 1999). Геом. Функц. Анальный. 2000 г., специальный том, часть I, 279–315.
2. Клайнерман, Серджиу (2008), "Уравнения с частными производными", в Гауэрсе, Тимоти; Барроу-Грин, июнь; Лидер, Имре (ред.), Принстонский компаньон математики, Princeton University Press, стр. 455–483.
3. Гершенфельд, Нил (2000). Сущность математического моделирования (Перепечатано (с корр.) Под ред.). Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите. п.27. ISBN  0521570956.
4. Густафссон, Бертил (2008). Методы разности высокого порядка для зависимых от времени PDE. Ряды Спрингера в вычислительной математике. 38. Springer. Дои:10.1007/978-3-540-74993-6. ISBN  978-3-540-74992-9.

Рекомендации

• Адомян, Г. (1994). Решение пограничных задач физики: метод декомпозиции. Kluwer Academic Publishers. ISBN  9789401582896.
• Курант, Р. & Гильберт, Д. (1962), Методы математической физики, II, Нью-Йорк: Wiley-Interscience, ISBN  9783527617241.
• Эванс, Л.С. (1998), Уравнения с частными производными, Провиденс: Американское математическое общество, ISBN  0-8218-0772-2.
• Драбек, Павел; Голубова, Габриэла (2007). Элементы дифференциальных уравнений в частных производных ([Online-Ausg.]. Ред.). Берлин: де Грюйтер. ISBN  9783110191240.
• Ибрагимов, Наиль Х. (1993), CRC Справочник по анализу групп Ли дифференциальных уравнений Vol. 1-3, Провиденс: CRC-Press, ISBN  0-8493-4488-3.
• Джон, Ф. (1982), Уравнения с частными производными (4-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  0-387-90609-6.
• Йост, Дж. (2002), Уравнения с частными производными, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  0-387-95428-7.
• Ляо, С.Дж. (2003), За пределами возмущения: введение в метод гомотопического анализа, Бока-Ратон: Chapman & Hall / CRC Press, ISBN  1-58488-407-X
• Олвер, П.Дж. (1995), Эквивалентность, инварианты и симметрия, Cambridge Press.
• Петровский, И. (1967), Уравнения с частными производными, Филадельфия: W. B. Saunders Co..
• Пинчовер Ю. и Рубинштейн Дж. (2005), Введение в уравнения с частными производными, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-84886-5.
• Полянин, А. (2002), Справочник по линейным дифференциальным уравнениям с частными производными для инженеров и ученых, Бока-Ратон: Chapman & Hall / CRC Press, ISBN  1-58488-299-9.
• Полянин, А. И Зайцев, В. Ф. (2004), Справочник по нелинейным уравнениям с частными производными, Бока-Ратон: Chapman & Hall / CRC Press, ISBN  1-58488-355-3.
• Полянин, А.; Зайцев, В. Ф., Муссио, А. (2002), Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка, Лондон: Тейлор и Фрэнсис, ISBN  0-415-27267-X.
• Рубичек, Т. (2013), Нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными с приложениями. (PDF), Международная серия вычислительной математики, 153 (2-е изд.), Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, Дои:10.1007/978-3-0348-0513-1, ISBN  978-3-0348-0512-4, МИСТЕР  3014456
• Солин, П. (2005), Уравнения с частными производными и метод конечных элементов., Хобокен, Нью-Джерси: J. Wiley & Sons, ISBN  0-471-72070-4.
• Солин, П .; Сегет К. и Долезел И. (2003), Методы конечных элементов высшего порядка, Бока-Ратон: Chapman & Hall / CRC Press, ISBN  1-58488-438-X.
• Стефани, Х. (1989), Дифференциальные уравнения: их решение с помощью симметрий. Под редакцией М. МакКаллума, Издательство Кембриджского университета.
• Вазваз, Абдул-Маджид (2009). Уравнения с частными производными и теория уединенных волн. Пресса о высшем образовании. ISBN  978-3-642-00251-9.
• Вазваз, Абдул-Маджид (2002). Методы и приложения дифференциальных уравнений в частных производных. А.А. Балкема. ISBN  90-5809-369-7.
• Цвиллинджер, Д. (1997), Справочник по дифференциальным уравнениям (3-е изд.), Бостон: Academic Press, ISBN  0-12-784395-7.
• Гершенфельд, Н. (1999), Природа математического моделирования (1-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, Нью-Йорк, Нью-Йорк, США, ISBN  0-521-57095-6.
• Красильщик, И. & Виноградов А.М. / Под ред. (1999), Симметрии и законы сохранения дифференциальных уравнений математической физики, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, США, ISBN  0-8218-0958-X.
• Красильщик И.С .; Лычагин, В. & Виноградов, А. (1986), Геометрия струйных пространств и нелинейные уравнения с частными производными, Издательство Gordon and Breach Science Publishers, Нью-Йорк, Лондон, Париж, Монтрё, Токио, ISBN  2-88124-051-8.
• Виноградов, А. (2001), Когомологический анализ уравнений с частными производными и вторичное исчисление, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, США, ISBN  0-8218-2922-X.
• Густафссон, Бертил (2008). Методы разности высокого порядка для зависимых от времени PDE. Серия Спрингера в вычислительной математике. 38. Springer. Дои:10.1007/978-3-540-74993-6. ISBN  978-3-540-74992-9.

дальнейшее чтение

• Кахори, Флориан (1928). «Ранняя история дифференциальных уравнений с частными производными, а также дифференциальных уравнений с частными производными и интегрирования» (PDF). Американский математический ежемесячник. 35 (9): 459–467. Дои:10.2307/2298771. JSTOR  2298771. Архивировано из оригинал (PDF) на 2018-11-23. Получено 2016-05-15.
• Ниренберг, Луи (1994). «Уравнения с частными производными в первой половине века». Развитие математики 1900–1950 (Люксембург, 1992), 479–515, Birkhäuser, Basel.
• Брезис, Х., & Браудер, Ф. (1998). «Уравнения с частными производными в ХХ веке». Успехи в математике, 135 (1), 76–144. DOI: 10.1006 / aima.1997.1713

внешняя ссылка

• «Дифференциальное уравнение в частном», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Уравнения с частными производными: точные решения в EqWorld: мир математических уравнений.
• Уравнения в частных производных: индекс в EqWorld: мир математических уравнений.
• Уравнения с частными производными: методы. в EqWorld: мир математических уравнений.
• Примеры проблем с решениями на exampleproblems.com
• Уравнения с частными производными на mathworld.wolfram.com
• Уравнения с частными производными с Mathematica
• Уравнения с частными производными в Cleve Moler: Численные вычисления с MATLAB
• Уравнения с частными производными на nag.com
• Сандерсон, Грант (21 апреля 2019 г.). "Но что такое уравнение в частных производных?". 3Синий 1Коричневый - через YouTube.