Случайные процессы и краевые задачи - Stochastic processes and boundary value problems

В математика, немного краевые задачи можно решить с помощью методов стохастический анализ. Возможно, самый знаменитый пример - Шизуо Какутани решение 1944 г. Задача Дирихле для Оператор Лапласа с помощью Броуновское движение. Однако оказывается, что для большого класса полуэллиптический второго порядка уравнения в частных производных связанную краевую задачу Дирихле можно решить с помощью Itō процесс который решает связанный стохастическое дифференциальное уравнение.

Введение: решение Какутани классической проблемы Дирихле

Позволять ${\displaystyle D}$ быть доменом ( открыто и подключенный набор ) в ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$. Позволять ${\displaystyle \Delta }$ быть Оператор Лапласа, позволять ${\displaystyle g}$ быть ограниченная функция на граница ${\displaystyle \partial D}$, и рассмотрим проблему:

${\displaystyle {\begin{cases}-\Delta u(x)=0,&x\in D\\\displaystyle {\lim _{y\to x}u(y)}=g(x),&x\in \partial D\end{cases}}}$

Можно показать, что если решение ${\displaystyle u}$ существует, тогда ${\displaystyle u(x)}$ это ожидаемое значение из ${\displaystyle g(x)}$ в (случайной) первой точке выхода из ${\displaystyle D}$ для канонического Броуновское движение начинается с ${\displaystyle x}$. См. Теорему 3 в Kakutani 1944, стр. 710.

Проблема Дирихле – Пуассона.

Позволять ${\displaystyle D}$ быть доменом в ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ и разреши ${\displaystyle L}$ - полуэллиптический дифференциальный оператор на ${\textstyle C^{2}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$ формы:

${\displaystyle L=\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}}$

где коэффициенты ${\displaystyle b_{i}}$ и ${\displaystyle a_{ij}}$ находятся непрерывные функции и все собственные значения из матрица ${\displaystyle \alpha (x)=a_{ij}(x)}$ неотрицательны. Позволять ${\textstyle f\in C(D;\mathbb {R} )}$ и ${\textstyle g\in C(\partial D;\mathbb {R} )}$. Рассмотрим Проблема Пуассона:

${\displaystyle {\begin{cases}-Lu(x)=f(x),&x\in D\\\displaystyle {\lim _{y\to x}u(y)}=g(x),&x\in \partial D\end{cases}}\quad {\mbox{(P1)}}}$

Идея стохастического метода решения этой задачи заключается в следующем. Во-первых, можно найти It распространение ${\displaystyle X}$ чей бесконечно малый генератор ${\displaystyle A}$ совпадает с ${\displaystyle L}$ на компактно поддерживаемый ${\displaystyle C^{2}}$ функции ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$. Например, ${\displaystyle X}$ можно принять за решение стохастического дифференциального уравнения:

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} B_{t}}$

куда ${\displaystyle B}$ является п-мерное броуновское движение, ${\displaystyle b}$ имеет компоненты ${\displaystyle b_{i}}$ как указано выше, а матричное поле ${\displaystyle \sigma }$ выбирается так, чтобы:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (x)\sigma (x)^{\top }=a(x),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}}$

Для точки ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, позволять ${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$ обозначают закон ${\displaystyle X}$ с учетом исходных данных ${\displaystyle X_{0}=x}$, и разреши ${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}}$обозначают ожидание относительно ${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$. Позволять ${\displaystyle \tau _{D}}$ обозначают время первого выхода ${\displaystyle X}$ из ${\displaystyle D}$.

В этих обозначениях возможное решение для (P1):

${\displaystyle u(x)=\mathbb {E} ^{x}\left[g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}\cdot \chi _{\{\tau _{D}<+\infty \}}\right]+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{t})\,\mathrm {d} t\right]}$

при условии, что ${\displaystyle g}$ это ограниченная функция и что:

${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}{\big |}f(X_{t}){\big |}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty }$

Оказывается, требуется еще одно условие:

${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}{\big (}\tau _{D}<\infty {\big )}=1,\quad \forall x\in D}$

Для всех ${\displaystyle x}$, процесс ${\displaystyle X}$ начинается с ${\displaystyle x}$ почти наверняка листья ${\displaystyle D}$ в конечное время. При этом предположении приведенное выше возможное решение сводится к:

${\displaystyle u(x)=\mathbb {E} ^{x}\left[g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}\right]+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{t})\,\mathrm {d} t\right]}$

и решает (P1) в том смысле, что если ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ обозначает характеристический оператор для ${\displaystyle X}$ (что согласуется с ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle C^{2}}$ функции), затем:

${\displaystyle {\begin{cases}-{\mathcal {A}}u(x)=f(x),&x\in D\\\displaystyle {\lim _{t\uparrow \tau _{D}}u(X_{t})}=g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )},&\mathbb {P} ^{x}{\mbox{-a.s.,}}\;\forall x\in D\end{cases}}\quad {\mbox{(P2)}}}$

Более того, если ${\textstyle v\in C^{2}(D;\mathbb {R} )}$ удовлетворяет (P2) и существует постоянная ${\displaystyle C}$ такое, что для всех ${\displaystyle x\in D}$:

${\displaystyle |v(x)|\leq C\left(1+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}{\big |}g(X_{s}){\big |}\,\mathrm {d} s\right]\right)}$

тогда ${\displaystyle v=u}$.

Рекомендации

• Какутани, Шизуо (1944). «Двумерное броуновское движение и гармонические функции». Proc. Imp. Акад. Токио. 20 (10): 706–714. Дои:10.3792 / pia / 1195572706.
• Какутани, Шизуо (1944). "О броуновских движениях в п-Космос". Proc. Imp. Акад. Токио. 20 (9): 648–652. Дои:10.3792 / pia / 1195572742.
• Эксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (Шестое изд.). Берлин: Springer. ISBN  3-540-04758-1. (См. Раздел 9)