Проекция Меркатора - Mercator projection

Проекция Меркатора между 85 ° южной широты и 85 ° северной широты. Обратите внимание на сравнение размеров Гренландии и Африки.

Проекция Меркатора с Индикатриса Тиссо деформации.

Карта мира Меркатор 1569 года (Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendate Accommodation) с координатами от 66 ° до 80 ° северной широты.

В Проекция Меркатора (/мərˈkeɪтər/) это цилиндрическая картографическая проекция представленный Фламандский географ и картограф Герард Меркатор в 1569 году. Она стала стандартной картографической проекцией для навигация потому что он уникален тем, что везде изображает север как верх, а юг как низ, сохраняя при этом местные направления и формы. Таким образом, карта конформный. В качестве побочного эффекта проекция Меркатора увеличивает размер объектов вдали от экватора. Эта инфляция очень мала вблизи экватора, но ускоряется с увеличением широты и становится бесконечной на полюсах. Так, например, суши, такие как Гренландия и Антарктида кажутся намного больше, чем они есть на самом деле, по сравнению с массивами суши около экватора, такими как Центральная Африка.

История

Существуют некоторые разногласия по поводу происхождения Меркатора. Немецкий эрудит Эрхард Эцлауб выгравированы миниатюрные «компасные карты» (около 10 × 8 см) Европы и некоторых частей Африки, которые охватывают широту 0–67 °, что позволяет регулировать его портативный карманный размер солнечные часы. Проекция, найденная на этих картах, датируемая 1511 годом, была утверждена Снайдером.^[1] в 1987 г. - такая же проекция, как и у Меркатора. Однако, учитывая геометрию солнечных часов, эти карты вполне могли быть основаны на аналогичных центральный цилиндрический выступ, предельный случай гномоническая проекция, который является основой солнечных часов. Снайдер дополняет свою оценку «аналогичным прогнозом» в 1994 году.^[2]

Джозеф Нидхэм, историк Китая, писал, что китайцы разработали проекцию Меркатора на сотни лет раньше, чем Меркатор, и использовали ее в звездных картах во время Династия Сун.^[3] Однако это был простой и распространенный случай ошибочной идентификации. Используемая проекция была равнопрямоугольная проекция.

Португальский математик и космограф Педро Нунес впервые описал математический принцип локсодрома и его использование в морской навигации. В 1537 году он предложил построить морской атлас, состоящий из нескольких крупномасштабных листов в цилиндрической эквидистантной проекции, как способ минимизировать искажение направлений. Если бы эти листы были приведены к одному и тому же масштабу и собраны, они бы приблизительно соответствовали проекции Меркатора.

В 1569 году Герхард Кремер, известный под своим торговым именем Герард Меркатор, объявил о новой проекции, опубликовав большой планисферический карта размером 202 на 124 см (80 на 49 дюймов), отпечатанная на восемнадцати отдельных листах. Меркатор назвал карту Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendata: «Новое и дополненное описание Земли, исправленное для использования моряками». Этот заголовок, наряду с подробным объяснением использования проекции, которая появляется как часть текста на карте, показывает, что Меркатор точно понял, чего он достиг, и что он предназначал проекцию для облегчения навигации. Меркатор никогда не объяснял метод построения или как он к нему пришел. На протяжении многих лет выдвигались различные гипотезы, но в любом случае дружба Меркатора с Педро Нунесом и его доступ к таблицам локсодромии, созданным Нунесом, вероятно, помогли его усилиям.

Английский математик Эдвард Райт опубликовал первые точные таблицы для построения проекции в 1599 году и, более подробно, в 1610 году, назвав свой трактат «Некоторые ошибки в навигации». Первая математическая формулировка была опубликована около 1645 года математиком Генри Бондом (около 1600–1678). Однако математика была разработана, но никогда не публиковалась математиками. Томас Харриот примерно с 1589 г.^[4]

Создание проекции Меркатора стало крупным прорывом в морской картографии 16 века. Однако он намного опередил свое время, так как старые методы навигации и съемки были несовместимы с его использованием в навигации. Его немедленному применению помешали две основные проблемы: невозможность определения долготы в море с достаточной точностью и тот факт, что магнитные направления вместо географических направлений, использовались в навигации. Только в середине 18 века, после морской хронометр было изобретено и пространственное распределение магнитное склонение было известно, может ли проекция Меркатора быть полностью принята мореплавателями.

Несмотря на эти ограничения определения местоположения, проекцию Меркатора можно было найти на многих картах мира за столетия после первой публикации Меркатора. Однако он не стал доминировать на картах мира до 19 века, когда проблема определения местоположения была в значительной степени решена. После того, как Меркатор стал обычной проекцией для коммерческих и образовательных карт, картографы постоянно критиковали его за несбалансированное изображение суши и неспособность эффективно показать полярные регионы.

Критика, направленная против ненадлежащего использования проекции Меркатора, привела к шквалу новых изобретений в конце 19-го и начале 20-го веков, часто прямо рекламируемых как альтернативы проекции Меркатора. Из-за этого давления издатели постепенно сокращали использование проекции в течение 20 века. Однако появление веб-картографии резко возродило эту проекцию в виде Веб-проекция Меркатора.

Сегодня Меркатор можно найти на морских картах, случайных картах мира и в картографических веб-сервисах, но коммерческие атласы по большей части отказались от него, а настенные карты мира можно найти во многих альтернативных проекциях. Карты Гугл, который полагался на него с 2005 года, по-прежнему использует его для карт местности, но в 2017 году отказался от проекции с настольных платформ для карт, которые были уменьшены за пределы локальных областей. Многие другие картографические онлайн-сервисы по-прежнему используют исключительно Web Mercator.

Характеристики

Сравнение касательной и секущей форм нормальной, косой и поперечной проекций Меркатора со стандартными параллелями красного цвета

Как и во всех цилиндрические выступы, параллели и меридианы на Меркаторе прямые и перпендикулярные друг другу. При этом неизбежное растяжение карты с востока на запад, которое увеличивается по мере удаления от экватор увеличивается, сопровождается в проекции Меркатора соответствующим растяжением с севера на юг, так что в каждой точке шкала восток-запад такая же, как шкала север-юг, что делает ее конформная картографическая проекция. Конформные проекции сохраняют углы во всех местах.

Поскольку линейный масштаб карты Меркатора увеличивается с увеличением широты, он искажает размер географических объектов, удаленных от экватора, и передает искаженное восприятие общей геометрии планеты. На широтах более 70 ° северной или южной широты проекция Меркатора практически непригодна для использования, поскольку линейная шкала становится бесконечно большим на полюсах. Поэтому карта Меркатора никогда не может полностью показать полярные районы (если проекция основана на цилиндре с центром на оси вращения Земли; см. поперечная проекция Меркатора для другого приложения).

Проекция Меркатора отображает все линии с постоянным несущий (румянец (математически известные как локсодромы - те, которые образуют постоянный угол с меридианами) до прямых линий. Два свойства, конформность и прямые линии румба делают эту проекцию уникальной для морских навигация: курсы и пеленги измеряются с помощью розы ветров или транспортиром, и соответствующие направления легко переносятся от точки к точке на карте с помощью параллельная линейка (Например).

Искажение размеров

Пропорции видимого и реального размера (анимированные)

Как и на всех картографические проекции, формы или размеры являются искажениями истинного расположения поверхности Земли.

Проекция Меркатора увеличивает площади, далекие от экватор.

Примеры искажения размера

• Антарктида кажется чрезвычайно большим (и если бы весь земной шар был нанесен на карту, Антарктида будет бесконечно надуваться) по размеру. хотя на самом деле это третий самый маленький континент по площади. Антарктида чуть меньше Россия, или размер Соединенные Штаты и Индия комбинированный.

• Остров Элсмир на севере Канада с Арктический архипелаг выглядит примерно того же размера, что и Австралия, хотя Австралия более 39 раз больше. Все острова канадского арктического архипелага выглядят как минимум в 4 раза больше, а более северные острова кажутся еще больше.

• Гренландия появляется того же размера, что и Африка, когда на самом деле территория Африки 14 раз больше.
  • Реальная площадь Гренландии сопоставима с Демократическая Республика Конго один.
  • Африка кажется примерно такого же размера, как Южная Америка, тогда как на самом деле Африка более чем в 1,5 раза больше.

• Свальбард кажется больше чем Борнео, на самом деле Борнео имеет около 12 раз больше площади Свальбарда.

• Аляска кажется того же размера, что и Австралия, хотя на самом деле Австралия 4.5 раз больше.
  • Аляска также занимает на карте столько же области, сколько Бразилия, когда площадь Бразилии почти 5 раз больше, чем на Аляске.

• Мадагаскар и объединенное Королевство выглядят примерно одинакового размера, а Мадагаскар является 2 раз больше, чем Великобритания, например по размеру он более сопоставим с Швеция.
  • Швеция, находящаяся частично за Полярным кругом, кажется намного больше тропического Мадагаскара.

• Россия кажется больше, чем целое Африка или больше чем Северная Америка без островов; это также кажется 2 раз больше Китай и смежные Соединенные Штаты комбинированный; на самом деле сумма сопоставима по размеру.
  • Искажение также сильно влияет на облик России; контур на Меркаторе кажется ромбовидным (или рыбьим, с массивным «плавником», образованным Полуостров Таймыр ); однако на земном шаре очертания России имеют другую форму, напоминающую полумесяц (Карелия и Чукотка являются острыми концами).

Критика

Из-за больших искажений площади суши он не подходит для общих карт мира. Поэтому сам Меркатор использовал равновеликий синусоидальная проекция чтобы показать относительные области. Однако, несмотря на такие искажения, проекция Меркатора была, особенно в конце 19-го и начале 20-го веков, возможно, наиболее распространенной проекцией, используемой на картах мира, несмотря на то, что ее много критиковали за такое использование.^[5][6][7][8]

Предполагается, что из-за своего очень распространенного использования проекция Меркатора повлияла на восприятие мира людьми.^[9] и поскольку он показывает страны около экватора как слишком маленькие по сравнению со странами Европы и Северной Америки, предполагается, что это заставит людей считать эти страны менее важными.^[10] В результате этой критики современные атласы больше не используйте проекцию Меркатора для карт мира или для областей, удаленных от экватора, предпочитая другие цилиндрические выступы, или формы равновеликая проекция. Однако проекция Меркатора обычно используется для областей вблизи экватора, где искажения минимальны. Он также часто встречается на картах часовых поясов.

Арно Петерс вызвало споры, начиная с 1972 года, когда он предложил то, что сейчас обычно называют Проекция Галла – Петерса чтобы исправить проблемы Меркатора. Предложенная им проекция - это конкретная параметризация цилиндрическая равновеликая проекция. В ответ на это в резолюции 1989 г. семь североамериканских географических групп пренебрегли использованием цилиндрических проекций для карт мира общего назначения, которые будут включать как Меркатора, так и Галла – Петерса.^[11]

Использует

Практически каждая печатаемая морская карта основана на проекции Меркатора из-за ее уникально благоприятных свойств для навигации. Он также широко используется картографическими службами улиц, размещенными в Интернете, из-за его уникальных свойств для карт местности, рассчитываемых по запросу.^[12]

Морская навигация

Проекция Меркатора была разработана для использования в морских навигация из-за его уникального свойства представлять любой курс постоянного несущий как прямой отрезок. Такой курс, известный как румба (или, математически, локсодромия) предпочтительнее в морской навигации, потому что корабли могут двигаться в постоянном направлении по компасу, уменьшая сложные, подверженные ошибкам корректировки курса, которые в противном случае часто потребовались бы при движении другим курсом. Для расстояний, малых по сравнению с радиусом Земли, разница между прямым и технически кратчайшим курсом составляет большой круг сегмент пренебрежимо мал, и даже для больших расстояний простота постоянного подшипника делает его привлекательным. По наблюдениям Меркатора, на таком курсе корабль не придет кратчайшим путем, но обязательно прибудет. Плавание по румбу означало, что все, что нужно было делать морякам, - это держать постоянный курс, пока они знали, где они были, когда они стартовали, где они собирались быть, когда закончили, и имели карту в проекции Меркатора, которая правильно показывала этих двоих. координаты.

Web Mercator

Основная статья: Веб-проекция Меркатора

Многие крупные онлайн-службы картографии улиц (Карты Bing, Карты Гугл, MapQuest, OpenStreetMap, Yahoo! Карты, и другие) используют вариант проекции Меркатора для своих картографических изображений.^{[нужна цитата ]} называется Web Mercator или Google Web Mercator. Несмотря на очевидные вариации масштаба при малых масштабах, проекция хорошо подходит в качестве интерактивной карты мира, которую можно плавно масштабировать до крупномасштабных (локальных) карт, на которых имеется относительно небольшое искажение из-за близкого к размеру варианта проекции.конформность.

Тайлинговые системы основных онлайн-сервисов картографии улиц отображают большую часть мира с минимальным масштабом в виде одного квадратного изображения, исключая полярные регионы путем усечения на широтах φ_{Максимум} = ± 85,05113 °. (Видеть ниже.) Значения широты за пределами этого диапазона отображаются с использованием другого отношения, которое не расходится вφ = ±90°.^{[нужна цитата ]}

Математика

Сферическая модель

Хотя поверхность Земли лучше всего моделируется сжатый эллипсоид вращения, за малый масштаб На карте эллипсоид аппроксимируется сферой радиуса а. Существует множество различных методов расчета а. К простейшим относятся (а) экваториальный радиус эллипсоида, (б) среднее арифметическое или геометрическое полуосей эллипсоида и (в) радиус сферы, имеющей такой же объем, как и эллипсоид.^[13] Ассортимент для а среди возможных вариантов - около 35 км, но для приложений малого масштаба (большой регион) это изменение можно игнорировать, а средние значения 6 371 км и 40 030 км могут быть приняты для радиуса и окружности соответственно. Эти значения используются в числовых примерах в следующих разделах. Только высокоточная картография на крупномасштабный карты требует эллипсоидальной модели.

Цилиндрические выступы

Сферическое приближение Земли с радиусом а можно моделировать меньшей сферой радиуса р, называется глобус в этой секции. Глобус определяет масштаб карты. Различные цилиндрические выступы укажите, как географическая деталь переносится с земного шара на цилиндр, касательный к нему на экваторе. Затем цилиндр разворачивают, чтобы получить планарную карту.^[14][15] Фракция р/а называется представительная фракция (РФ) или основная шкала проекции. Например, карта Меркатора, напечатанная в книге, может иметь экваториальную ширину 13,4 см, соответствующую радиусу земного шара 2,13 см и RF приблизительно 1/300 млн (M используется как аббревиатура для 1000000 при написании RF), тогда как оригинальная карта Меркатора 1569 года имеет ширину 198 см, что соответствует радиусу земного шара 31,5 см и RF примерно 1/20 млн.

Цилиндрическая проекция карты задается формулами, связывающими географические координаты широты.φ и долготаλ в декартовы координаты на карте с началом на экваторе и Икс- ось вдоль экватора. По построению все точки одного меридиана лежат на одном генератор^[а] цилиндра при постоянном значении Икс, но расстояние у вдоль генератора (отсчитывается от экватора) - произвольная^[b] функция широты, у(φ). В общем, эта функция не описывает геометрическую проекцию (как световых лучей на экран) от центра земного шара к цилиндру, что является лишь одним из неограниченного числа способов концептуального проецирования цилиндрической карты.

Поскольку цилиндр касается земного шара на экваторе, масштаб Между глобусом и цилиндром есть единство на экваторе, но нигде больше. В частности, поскольку радиус параллели или окружности широты равен р потому чтоφ, соответствующая параллель на карте должна была быть растянута в раз 1/потому что φ = сек φ. Этот масштабный коэффициент на параллели условно обозначается как k а соответствующий масштабный коэффициент на меридиане обозначенчас.^[16]

Геометрия малых элементов

Отношения между у(φ) и свойства проекции, такие как преобразование углов и изменение масштаба, следуют из геометрии соответствующих маленький элементы на земном шаре и карте. На рисунке ниже показана точка P на широте.φ и долготаλ на земном шаре и ближайшей точке Q на широте φ + δφ и долгота λ + δλ. Вертикальные линии PK и MQ представляют собой дуги меридианов длиной Rδφ.^[c] Горизонтальные прямые PM и KQ представляют собой дуги параллелей длиной р(потому чтоφ)δλ.^[d]

Для небольших элементов угол PKQ составляет примерно прямой угол и, следовательно,

${displaystyle an alpha approx {frac {Rcos varphi ,delta lambda }{R,delta varphi }},qquad qquad an eta ={frac {delta x}{delta y}},}$

Ранее упомянутые коэффициенты масштабирования от шара до цилиндра даются как

параллельный масштабный коэффициент     ${displaystyle quad k(varphi );=;{frac {P'M'}{PM}};=;{frac {delta x}{Rcos varphi ,delta lambda }},}$

масштабный коэффициент меридиана   ${displaystyle quad h(varphi );=;{frac {P'K'}{PK}};=;{frac {delta y}{Rdelta varphi ,}}.}$

Поскольку меридианы сопоставляются с линиями постоянного Икс, мы должны иметь Икс = р(λ − λ₀) и δx = Rδλ, (λ в радианах). Следовательно, в пределе бесконечно малых элементов

${displaystyle an eta ={frac {Rsec varphi }{y'(varphi )}} an alpha ,,qquad k=sec varphi ,,qquad h={frac {y'(varphi )}{R}}.}$

Вывод проекции Меркатора

Выбор функции у(φ) для проекции Меркатора определяется требованием, чтобы проекция была конформной, условие, которое можно определить двумя эквивалентными способами:

• Равенство углов. Условие того, что плавание по курсу постоянного азимута α на земном шаре отображается в постоянную сетку подшипников β на карте. Параметр α = β в приведенных выше уравнениях дает y ′(φ) = р секφ.
• Изотропия масштабных коэффициентов. Это утверждение, что коэффициент точечного масштабирования не зависит от направления, так что небольшие формы сохраняются проекцией. Параметр час = k в приведенных выше уравнениях снова дает y ′(φ) = р секφ.

Интегрируя уравнение

${displaystyle y'(varphi )=Rsec varphi ,}$

с у(0) = 0, используя интегральные таблицы^[17] или же элементарные методы,^[18] дает y (φ). Следовательно,

${displaystyle x=R(lambda -lambda _{0}),qquad y=Rln left[ an left({frac {pi }{4}}+{frac {varphi }{2}}ight)ight].}$

В первом уравнении λ₀ - это долгота произвольного центрального меридиана, обычно, но не всегда, долгота Гринвича (т. е. ноль). Разница (λ − λ₀) выражается в радианах.

Функция у(φ) наносится рядом с φ для случая р = 1: стремится к бесконечности на полюсах. Линейный у-значения осей обычно не отображаются на печатных картах; вместо этого на некоторых картах справа отображается нелинейная шкала значений широты. Чаще всего на картах отображается только сетка выбранных меридианов и параллелей.

Обратные преобразования

${displaystyle lambda =lambda _{0}+{frac {x}{R}},qquad varphi =2 an ^{-1}left[exp left({frac {y}{R}}ight)ight]-{frac {pi }{2}},.}$

Выражение справа от второго уравнения определяет Функция Гудермана; т.е. φ = gd (у/р): поэтому прямое уравнение можно записать как у = р· Gd⁻¹(φ).^[17]

Альтернативные выражения

Есть много альтернативных выражений для у(φ), все получено элементарными манипуляциями.^[18]

${displaystyle {egin{aligned}y&=&{frac {R}{2}}ln left[{frac {1+sin varphi }{1-sin varphi }}ight]&=&{R}ln left[{frac {1+sin varphi }{cos varphi }}ight]&=Rln left(sec varphi + an varphi ight)[2ex]&=&R anh ^{-1}left(sin varphi ight)&=&Rsinh ^{-1}left( an varphi ight)&=Roperatorname {sgn} (varphi )cosh ^{-1}left(sec varphi ight)=Roperatorname {gd} ^{-1}(varphi ).end{aligned}}}$

Соответствующие инверсии:

${displaystyle varphi =sin ^{-1}left( anh {frac {y}{R}}ight)= an ^{-1}left(sinh {frac {y}{R}}ight)=operatorname {sgn} (y)sec ^{-1}left(cosh {frac {y}{R}}ight)=operatorname {gd} {frac {y}{R}}.}$

Для углов, выраженных в градусах:

${displaystyle x={frac {pi R(lambda ^{circ }-lambda _{0}^{circ })}{180}},qquad quad y=Rln left[ an left(45+{frac {varphi ^{circ }}{2}}ight)ight].}$

Приведенные выше формулы записаны в терминах радиуса глобуса р. Часто удобно работать напрямую с шириной карты W = 2πр. Например, основные уравнения преобразования становятся

${displaystyle x={frac {W}{2pi }}left(lambda -lambda _{0}ight),qquad quad y={frac {W}{2pi }}ln left[ an left({frac {pi }{4}}+{frac {varphi }{2}}ight)ight].}$

Усечение и соотношение сторон

Ордината у проекции Меркатора становится бесконечной на полюсах, и карта должна быть усечена на некоторой широте менее девяноста градусов. Это не обязательно делать симметрично. Исходная карта Меркатора усечена на 80 ° северной широты и 66 ° южной широты, в результате чего европейские страны были перемещены к центру карты. В соотношение сторон его карта 198/120 = 1,65. Были использованы еще более экстремальные усечения: Финский школьный атлас был усечен приблизительно на 76 ° N и 56 ° S, соотношение сторон 1,97.

Во многих веб-картах используется масштабируемая версия проекции Меркатора с соотношением сторон один. В этом случае достигнутая максимальная широта должна соответствовать у = ±W/2, или эквивалентно у/р = π. Для вычисления соответствующих широт можно использовать любую из формул обратного преобразования:

${displaystyle varphi = an ^{-1}left[sinh left({frac {y}{R}}ight)ight]= an ^{-1}left[sinh pi ight]= an ^{-1}left[11.5487ight]=85.05113^{circ }.}$

Масштаб

В фигура сравнение бесконечно малых элементов на глобусе и проекции показывает, что когда α = β, треугольники PQM и P′Q′M ′ подобны, так что масштабный коэффициент в произвольном направлении такой же, как параллельный и меридиональный масштабные коэффициенты:

${displaystyle {frac {delta s'}{delta s}}={frac {P'Q'}{PQ}}={frac {P'M'}{PM}}=k={frac {P'K'}{PK}}=h=sec varphi .}$

Этот результат верен для произвольного направления: определение изотропия коэффициента балльной шкалы. График показывает изменение масштабного коэффициента в зависимости от широты. Некоторые числовые значения перечислены ниже.

на широте 30 ° масштабный коэффициент равен k = сек 30 ° = 1,15,

на широте 45 ° масштабный коэффициент равен k = сек 45 ° = 1,41,

на широте 60 ° масштабный коэффициент равен k = сек 60 ° = 2,

на широте 80 ° масштабный коэффициент равен k = сек 80 ° = 5,76,

на широте 85 ° масштабный коэффициент равен k = сек 85 ° = 11,5

Для работы с проецируемой картой требуется масштабный коэффициент по ординате Меркатора. у (если на карте не указан явный масштаб широты). Поскольку измерения линейки могут предоставить ординату карты у а также ширина W карты тогда у/р = 2πу/W а масштабный коэффициент определяется с использованием одной из альтернативных форм для форм обратного преобразования:

${displaystyle k=sec varphi =cosh left({frac {y}{R}}ight)=cosh left({frac {2pi y}{W}}ight).}$

Изменение широты иногда обозначается несколькими шкалами столбцов, как показано ниже и, например, на Финский школьный атлас. Интерпретация таких шкал нетривиальна. См. Обсуждение формул расстояния ниже.

Масштаб площади

Коэффициент масштабирования площади является произведением параллельной и меридиональной шкал. гонконгский = сек²φ. Для Гренландии, принимая 73 ° за среднюю широту, гонконгский = 11,7. Для Австралии, принимая 25 ° за среднюю широту, гонконгский = 1,2. Для Великобритании, принимая 55 ° за среднюю широту, гонконгский = 3.04.

Искажение

Индикатрисы Тиссо на проекции Меркатора

Классический способ показать искажение, присущее проекции, - использовать Индикатриса Тиссо. Николя Тиссо отметил, что масштабные коэффициенты в точке на проекции карты, указанные числами час и k, определите эллипс в этой точке. Для цилиндрических проекций оси эллипса совмещены с меридианами и параллелями.^[16][19][e] Для проекции Меркатора час = k, поэтому эллипсы вырождаются в круги с радиусом, пропорциональным значению масштабного коэффициента для этой широты. Эти круги отображаются на проецируемой карте с очень разными размерами, что указывает на вариации масштаба Меркатора.

Точность

Одним из показателей точности карты является сравнение длины соответствующих линейных элементов на карте и глобусе. Следовательно, проекция Меркатора по построению совершенно точна, k = 1, вдоль экватора и больше нигде. На широте ± 25 ° значение сек.φ составляет около 1,1, и поэтому проекция может считаться точной с точностью до 10% в полосе шириной 50 ° с центром на экваторе. Лучше использовать более узкие полосы: sec 8 ° = 1,01, поэтому полоса шириной 16 ° (с центром на экваторе) имеет точность в пределах 1% или 1 часть из 100. Аналогично sec 2,56 ° = 1,001, поэтому полоса шириной 5,12 °. (с центром на экваторе) с точностью до 0,1% или 1 часть из 1000. Таким образом, проекция Меркатора подходит для картографирования стран, близких к экватору.

Секущая проекция

В секущей (в смысле разрезания) проекции Меркатора земной шар проецируется на цилиндр, который разрезает сферу по двум параллелям с широтой ±φ₁. Масштаб теперь соответствует этим широтам, тогда как параллели между этими широтами сокращаются проекцией, и их масштабный коэффициент должен быть меньше единицы. В результате отклонение шкалы от единицы уменьшается в более широком диапазоне широт.

Пример такой проекции:

${displaystyle x=0.99Rlambda qquad y=0.99Rln an !left({frac {pi }{4}}+{frac {varphi }{2}}ight)qquad k;=0.99sec varphi .}$

Масштаб на экваторе 0,99; масштаб k = 1 на широте примерно ± 8 ° (значение φ₁); масштаб k = 1,01 на широте приблизительно ± 11,4 °. Следовательно, проекция имеет точность 1% на более широкой полосе 22 ° по сравнению с 16 ° нормальной (касательной) проекции. Это стандартный метод расширения области, на которую проекция карты имеет заданную точность.

Обобщение на эллипсоид

Когда Земля моделируется сфероид (эллипсоид вращения) проекция Меркатора должна быть изменена, чтобы она оставалась конформный. Уравнения преобразования и масштабный коэффициент для несекущей версии:^[20]

${displaystyle {egin{aligned}x&=Rleft(lambda -lambda _{0}ight),y&=Rln left[ an left({frac {pi }{4}}+{frac {varphi }{2}}ight)left({frac {1-esin varphi }{1+esin varphi }}ight)^{frac {e}{2}}ight]=Rleft(sinh ^{-1}left( an varphi ight)-e anh ^{-1}(esin varphi )ight),k&=sec varphi {sqrt {1-e^{2}sin ^{2}varphi }}.end{aligned}}}$

Масштабный коэффициент равен единице на экваторе, как и должно быть, поскольку цилиндр касается эллипсоида на экваторе. Эллипсоидальная поправка масштабного коэффициента увеличивается с широтой, но никогда не превышает е², коррекция менее 1%. (Значение е² составляет около 0,006 для всех опорных эллипсоидов.) Это намного меньше, чем погрешность масштаба, за исключением очень близкого к экватору положения. Только точные проекции Меркатора областей вблизи экватора потребуют эллипсоидальных поправок.

Формулы для расстояния

Преобразование расстояния линейки на карте Меркатора в истинное (большой круг ) расстояние на сфере строго по экватору, но нигде больше. Одна проблема - это изменение масштаба в зависимости от широты, а другая - прямые линии на карте (румба ), кроме меридианов или экватора, не соответствуют большим кругам.

Меркатор ясно понимал различие между расстоянием румба (парусным) и расстоянием по дуге (истинным). (Видеть Легенда 12 на карте 1569 года.) Он подчеркнул, что расстояние по прямой линии является приемлемым приближением для истинного расстояния по большому кругу для курсов короткой или средней дальности, особенно на низких широтах. Он даже количественно оценивает свое утверждение: «Когда расстояния большого круга, которые должны быть измерены в районе экватора, не превышают 20 градусов большого круга, или 15 градусов возле Испании и Франции, или 8 и даже 10 градусов в северных частях. удобно использовать расстояния румба ».

Для линейки измерения короткая линия, с серединой на широтеφ, где масштабный коэффициент k = секφ = 1/потому чтоφ:

Истинное расстояние = прямое расстояние ≅ линейное расстояние × cosφ / РФ. (короткие строки)

При радиусе и окружности большого круга 6 371 км и 40 030 км соответственно RF 1/300 млн, для которого р = 2,12 см и W = 13,34 см, подразумевается, что линейка размером 3 мм. в любом направлении от точки на экваторе соответствует примерно 900 км. Соответствующие расстояния для широт 20 °, 40 °, 60 ° и 80 ° составляют 846 км, 689 км, 450 км и 156 км соответственно.

Более длинные расстояния требуют разных подходов.

На экваторе

Масштаб равен единице на экваторе (для несекущей проекции). Следовательно, интерпретировать измерения линейки на экваторе просто:

Истинное расстояние = расстояние по линейке / RF (экватор)

Для указанной выше модели с RF =1/300 млн, 1 см соответствует 3000 км.

О других параллелях

На любой другой параллели масштабный коэффициент равен сек. φ так что

Параллельное расстояние = расстояние линейки × cosφ / РФ (параллельно).

Для приведенной выше модели 1 см соответствует 1500 км на широте 60 °.

Это не самое короткое расстояние между выбранными конечными точками параллели, потому что параллель не является большим кругом. Разница небольшая для коротких расстояний, но увеличивается по мере увеличения λ, продольный отрыв увеличивается. Для двух точек, A и B, разделенных на 10 ° долготы на параллели под углом 60 °, расстояние вдоль параллели примерно на 0,5 км больше, чем расстояние большого круга. (Расстояние AB по параллели равно (а потому чтоφ) λ. Длина хорды AB равна 2 (а потому чтоφ) грехλ/2. Эта хорда образует в центре угол, равный 2arcsin (cosφ грехλ/2), а расстояние по большому кругу между A и B равно 2а arcsin (cosφ грехλ/2).) В крайнем случае, когда продольное разделение составляет 180 °, расстояние вдоль параллели составляет половину окружности этой параллели; то есть 10 007,5 км. С другой стороны, геодезический между этими точками проходит дуга большого круга, проходящая через полюс под углом 60 ° в центре: длина этой дуги составляет одну шестую окружности большого круга, то есть около 6672 км. Разница составляет 3 338 км, поэтому расстояние по линейке, измеренное по карте, вводит в заблуждение даже после поправки на изменение масштабного коэффициента по широте.

По меридиану

Меридиан карты - это большой круг на земном шаре, но непрерывное изменение масштаба означает, что одно только линейное измерение не может определить истинное расстояние между удаленными точками на меридиане. Однако, если на карте нанесена точная шкала широт с мелкими интервалами, по которой широта может быть считана напрямую, как в случае Карта мира Меркатор 1569 года (листы 3, 9, 15) и все последующие морские карты - меридиональное расстояние между двумя широтами. φ₁ и φ₂ просто

${displaystyle m_{12}=a|varphi _{1}-varphi _{2}|.}$

Если широты конечных точек не могут быть определены с уверенностью, их можно найти, вычислив расстояние по линейке. Вызов линейки расстояний до конечных точек на меридиане карты, отсчитываемых от экватора у₁ и у₂, истинное расстояние между этими точками на сфере определяется с помощью любой из обратной формулы Меркатора æ:

${displaystyle m_{12}=aleft| an ^{-1}left[sinh left({frac {y_{1}}{R}}ight)ight]- an ^{-1}left[sinh left({frac {y_{2}}{R}}ight)ight]ight|,}$

куда р можно рассчитать по ширине W карты р = W/2π. Например, на карте с р = 1 значения у = 0, 1, 2, 3 соответствуют широтам φ = 0 °, 50 °, 75 °, 84 °, и, следовательно, последовательные интервалы в 1 см на карте соответствуют интервалам широты на земном шаре в 50 °, 25 °, 9 ° и расстояниям в 5560 км, 2780 км и 1000 км на Земле.

На румбе

Прямая линия на карте Меркатора под углом α к меридианам линия румба. Когда α = π/2 или же 3π/2 румб соответствует одной из параллелей; только один, экватор, представляет собой большой круг. Когда α = 0 или π он соответствует большому кругу меридиана (если он продолжается вокруг Земли). Для всех остальных значений это спираль от полюса к полюсу на земном шаре, пересекающая все меридианы под одним и тем же углом, и поэтому не является большим кругом.^[18] В этом разделе обсуждается только последний из этих случаев.

Если α не равно ни 0, ни π затем над цифрой бесконечно малых элементов показывает, что длина бесконечно малой прямой прямой линии на сфере между широтами φ; и φ + δφ является а секα δφ. С α является константой на румбе, это выражение можно проинтегрировать и получить для конечных строк румба на Земле:

${displaystyle r_{12}=asec alpha ,|varphi _{1}-varphi _{2}|=a,sec alpha ;Delta varphi .}$

Еще раз, если Δφ может быть прочитан непосредственно с точной шкалы широты на карте, затем прямое расстояние между точками карты с широтами φ₁ и φ₂ дается выше. Если такой шкалы нет, то линейка расстояния между конечными точками и экватором, у₁ и у₂, дайте результат по обратной формуле:

${displaystyle r_{12}=asec alpha left| an ^{-1}sinh left({frac {y_{1}}{R}}ight)- an ^{-1}sinh left({frac {y_{2}}{R}}ight)ight|.}$

Эти формулы дают приблизительные расстояния на сфере, которые могут сильно отличаться от истинных расстояний, определение которых требует более сложных вычислений.^[f]

Смотрите также

• Картография
• Центральная цилиндрическая проекция - более искаженный; иногда ошибочно описывается как метод построения проекции Меркатора
• Конформная картографическая проекция
• Равнопрямоугольная проекция - меньше искажений, но не равной площади
• Проекция Галла – Петерса - цилиндрический выступ равной площади
• Иордания поперек Меркатора
• Список картографических проекций
• Карта мира Меркатор 1569 года
• Морская карта
• Сеть Rhumbline
• Индикатриса Тиссо
• Поперечная проекция Меркатора
• Универсальная поперечная система координат Меркатора

Примечания

1. Образующая цилиндра - это прямая линия на поверхности, параллельная оси цилиндра.
2. Функция у(φ) не является полностью произвольным: он должен быть монотонно возрастающим и антисимметричным (у(−φ) = −у(φ), так что у(0) = 0): обычно непрерывно с непрерывной первой производной.
3. р это радиус земного шара и φ измеряется в радианах.
4. λ измеряется в радианах. Соответствующие точки на проекции определяют прямоугольник ширинойδx и высотаδy.
5. Более общий пример индикатрисы Тиссо: Винкель трипель проекция.
6. Видеть расстояние по дуге, то Формулы Винсенти, или же Mathworld.

Рекомендации

1. Снайдер, Джон П. (1987). Картографические проекции - рабочее руководство. Профессиональный документ геологической службы США 1395. Типография правительства США, Вашингтон, округ Колумбия, стр.38.
2. Снайдер, Джон П. (1993). Сглаживание Земли: две тысячи лет картографических проекций. Издательство Чикагского университета. п. 48. ISBN  0-226-76747-7.
3. Нидхэм, Джозеф (1971). Наука и цивилизация в Китае. 4. Издательство Кембриджского университета. п. 359.
4. Монмонье 2004, п. 72.
5. Келлавей, Г. (1946). Картографические проекции п. 37–38. Лондон: Methuen & Co. LTD. (Согласно этому источнику, утверждалось, что проекция Меркатора использовалась по «империалистическим мотивам»
6. Абельсон, К.Е. (1954). Общие картографические проекции с. 4. Севеноукс: W.H. Смит и сыновья.
7. Чемберлин, Веллман (1947). Круглая Земля на плоской бумаге с. 99. Вашингтон, округ Колумбия: Национальное географическое общество.
8. Фишер, Ирвинг (1943). «Карта мира на правильном икосаэдре в гномонической проекции». Географический обзор 33 (4): 605.
9. "Проекция Меркатора против проекции Петерса, часть 2". Мэтт Т. Розенберг, about.com.
10. "Проекция Меркатора против проекции Петерса, часть 1". Мэтт Т. Розенберг, about.com.
11. Американский картограф. 1989. 16 (3): 222–223.
12. [1]^{[самостоятельно опубликованный источник ]}
13. Maling, страницы 77–79.
14. Снайдер, Рабочее руководство с. 37—95.
15. Снайдер, Сплющивание Земли.
16. Снайдер. Рабочее руководство, страница 20.
17. NIST. См. Разделы 4.26 # ii и 4.23 # viii
18. Осборн 2013, Глава 2
19. Снайдер, Flattening the Earth, стр. 147–149.
20. Осборн 2013, Главы 5, 6

Библиография

• Малинг, Дерек Хилтон (1992), Системы координат и картографические проекции (второе изд.), Pergamon Press, ISBN  0-08-037233-3.
• Монмонье, Марк (2004), Линии Румба и войны карт: социальная история проекции Меркатора (Ред. В твердом переплете), Чикаго: Издательство Чикагского университета, ISBN  0-226-53431-6
• Olver, F. W.J .; Lozier, D.W .; Boisvert, R.F .; и др., ред. (2010), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета
• Осборн, Питер (2013), Проекции Меркатора, Дои:10.5281 / zenodo.35392. (Дополнения: Файлы Maxima и Латексный код и цифры )
• Снайдер, Джон П. (1993), Сглаживание Земли: две тысячи лет картографических проекций, Издательство Чикагского университета, ISBN  0-226-76747-7
• Снайдер, Джон П. (1987), Картографические проекции - рабочее руководство. Профессиональный документ геологической службы США 1395, Типография правительства США, Вашингтон, округ Колумбия Эту статью можно скачать с Страницы USGS. Он дает полную информацию о большинстве прогнозов вместе с интересными вводными разделами, но он не выводит какие-либо прогнозы из первых принципов.

дальнейшее чтение

• Рапп, Ричард Х (1991), Геометрическая геодезия, часть I, HDL:1811/24333

внешняя ссылка

• Ad maiorem Gerardi Mercatoris gloriam - содержит изображения высокого разрешения карты мира Меркатора 1569 года.
• Таблица примеров и свойств всех распространенных проекций, с сайта radicartography.net.
• Интерактивный Java-апплет для изучения метрических деформаций проекции Меркатора.
• Web Mercator: Non-Conformal, Non-Mercator (Ноэль Зинн, Hydrometronics LLC)
• Проекция Меркатора в Университете Британской Колумбии
• Координаты Google Maps