Частные значения гамма-функции - Particular values of the gamma function

В гамма-функция это важный специальная функция в математика. Его конкретные значения могут быть выражены в закрытой форме для целое число и полуцелое число аргументы, но не известны простые выражения для значений в рациональный баллы в целом. Другие дробные аргументы могут быть аппроксимированы эффективными бесконечными произведениями, бесконечными рядами и рекуррентными соотношениями.

Целые и полуцелые числа

Для положительных целочисленных аргументов гамма-функция совпадает с факториал. То есть,

${displaystyle Gamma (n)=(n-1)!,}$

и поэтому

${displaystyle {egin{aligned}Gamma (1)&=1,Gamma (2)&=1,Gamma (3)&=2,Gamma (4)&=6,Gamma (5)&=24,end{aligned}}}$

и так далее. Для целых неположительных чисел гамма-функция не определена.

Для положительных полуцелых чисел значения функции задаются в точности как

${displaystyle Gamma left({ frac {n}{2}}ight)={sqrt {pi }}{frac {(n-2)!!}{2^{frac {n-1}{2}}}},,}$

или, что то же самое, для неотрицательных целых значенийп:

${displaystyle {egin{aligned}Gamma left({ frac {1}{2}}+night)&={frac {(2n-1)!!}{2^{n}}},{sqrt {pi }}={frac {(2n)!}{4^{n}n!}}{sqrt {pi }}Gamma left({ frac {1}{2}}-night)&={frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}},{sqrt {pi }}={frac {(-4)^{n}n!}{(2n)!}}{sqrt {pi }}end{aligned}}}$

куда п!! обозначает двойной факториал. Особенно,

${displaystyle Gamma left({ frac {1}{2}}ight),}$	${displaystyle ={sqrt {pi }},}$	${displaystyle approx 1.772,453,850,905,516,0273,,}$	OEIS: A002161
${displaystyle Gamma left({ frac {3}{2}}ight),}$	${displaystyle ={ frac {1}{2}}{sqrt {pi }},}$	${displaystyle approx 0.886,226,925,452,758,0137,,}$	OEIS: A019704
${displaystyle Gamma left({ frac {5}{2}}ight),}$	${displaystyle ={ frac {3}{4}}{sqrt {pi }},}$	${displaystyle approx 1.329,340,388,179,137,0205,,}$	OEIS: A245884
${displaystyle Gamma left({ frac {7}{2}}ight),}$	${displaystyle ={ frac {15}{8}}{sqrt {pi }},}$	${displaystyle approx 3.323,350,970,447,842,5512,,}$	OEIS: A245885

и с помощью формула отражения,

${displaystyle Gamma left(-{ frac {1}{2}}ight),}$	${displaystyle =-2{sqrt {pi }},}$	${displaystyle approx -3.544,907,701,811,032,0546,,}$	OEIS: A019707
${displaystyle Gamma left(-{ frac {3}{2}}ight),}$	${displaystyle ={ frac {4}{3}}{sqrt {pi }},}$	${displaystyle approx 2.363,271,801,207,354,7031,,}$	OEIS: A245886
${displaystyle Gamma left(-{ frac {5}{2}}ight),}$	${displaystyle =-{ frac {8}{15}}{sqrt {pi }},}$	${displaystyle approx -0.945,308,720,482,941,8812,,}$	OEIS: A245887

Общий рациональный аргумент

По аналогии с полуцелой формулой,

${displaystyle {egin{aligned}Gamma left(n+{ frac {1}{3}}ight)&=Gamma left({ frac {1}{3}}ight){frac {(3n-2)!!!}{3^{n}}}Gamma left(n+{ frac {1}{4}}ight)&=Gamma left({ frac {1}{4}}ight){frac {(4n-3)!!!!}{4^{n}}}Gamma left(n+{ frac {1}{p}}ight)&=Gamma left({ frac {1}{p}}ight){frac {{ig (}pn-(p-1){ig )}!^{(p)}}{p^{n}}}end{aligned}}}$

куда п!^(п) обозначает пth многофакторный из п. Численно

${displaystyle Gamma left({ frac {1}{3}}ight)approx 2.678,938,534,707,747,6337}$ OEIS: A073005

${displaystyle Gamma left({ frac {1}{4}}ight)approx 3.625,609,908,221,908,3119}$ OEIS: A068466

${displaystyle Gamma left({ frac {1}{5}}ight)approx 4.590,843,711,998,803,0532}$ OEIS: A175380

${displaystyle Gamma left({ frac {1}{6}}ight)approx 5.566,316,001,780,235,2043}$ OEIS: A175379

${displaystyle Gamma left({ frac {1}{7}}ight)approx 6.548,062,940,247,824,4377}$ OEIS: A220086

${displaystyle Gamma left({ frac {1}{8}}ight)approx 7.533,941,598,797,611,9047}$ OEIS: A203142.

Неизвестно, являются ли эти константы трансцендентный в общем, но Γ (1/3) и Γ (1/4) были показаны трансцендентными Г. В. Чудновский. Γ (1/4) / ⁴√π также давно известно, что они трансцендентны, и Юрий Нестеренко доказал в 1996 году, что Γ (1/4), π, и е^π находятся алгебраически независимый.

Номер Γ (1/4) относится к Постоянная Гаусса грамм к

${displaystyle Gamma left({ frac {1}{4}}ight)={sqrt {2G{sqrt {2pi ^{3}}}}},}$

и Грамейн предположил, что

${displaystyle Gamma left({ frac {1}{4}}ight)={sqrt[{4}]{4pi ^{3}e^{2gamma -mathrm {delta } +1}}}}$

куда δ это Константа Массера – Грамена OEIS: A086058, хотя численная работа Melquiond et al. указывает на то, что это предположение неверно.^[1]

Борвейн и Цукер обнаружили, что Γ (п/24) можно алгебраически выразить через π, K(k(1)), K(k(2)), K(k(3)), и K(k(6)) куда K(k(N)) это полный эллиптический интеграл первого рода. Это позволяет эффективно аппроксимировать гамма-функцию рациональных аргументов с высокой точностью, используя квадратично сходящийся среднее арифметико-геометрическое итераций. Подобные отношения неизвестны Γ (1/5) или другие знаменатели.

В частности, где AGM () - среднее арифметико-геометрическое, у нас есть^[2]

${displaystyle Gamma left({ frac {1}{3}}ight)={frac {2^{frac {7}{9}}cdot pi ^{frac {2}{3}}}{3^{frac {1}{12}}cdot operatorname {AGM} left(2,{sqrt {2+{sqrt {3}}}}ight)^{frac {1}{3}}}}}$

${displaystyle Gamma left({ frac {1}{4}}ight)={sqrt {frac {(2pi )^{frac {3}{2}}}{operatorname {AGM} left({sqrt {2}},1ight)}}}}$

${displaystyle Gamma left({ frac {1}{6}}ight)={frac {2^{frac {14}{9}}cdot 3^{frac {1}{3}}cdot pi ^{frac {5}{6}}}{operatorname {AGM} left(1+{sqrt {3}},{sqrt {8}}ight)^{frac {2}{3}}}}.}$

Другие формулы включают бесконечные продукты

${displaystyle Gamma left({ frac {1}{4}}ight)=(2pi )^{frac {3}{4}}prod _{k=1}^{infty } anh left({frac {pi k}{2}}ight)}$

и

${displaystyle Gamma left({ frac {1}{4}}ight)=A^{3}e^{-{frac {G}{pi }}}{sqrt {pi }}2^{frac {1}{6}}prod _{k=1}^{infty }left(1-{frac {1}{2k}}ight)^{k(-1)^{k}}}$

куда А это Константа Глейшера – Кинкелина и грамм является Каталонская постоянная.

Следующие два представления для Γ (3/4) предоставлены И. Мезо^[3]

${displaystyle {sqrt {frac {pi {sqrt {e^{pi }}}}{2}}}{frac {1}{Gamma ^{2}left({frac {3}{4}}ight)}}=isum _{k=-infty }^{infty }e^{pi (k-2k^{2})}vartheta _{1}left({frac {ipi }{2}}(2k-1),e^{-pi }ight),}$

и

${displaystyle {sqrt {frac {pi }{2}}}{frac {1}{Gamma ^{2}left({frac {3}{4}}ight)}}=sum _{k=-infty }^{infty }{frac {vartheta _{4}(ikpi ,e^{-pi })}{e^{2pi k^{2}}}},}$

куда ϑ₁ и ϑ₄ два из Тета-функции Якоби.

Товары

Некоторые идентификаторы продукта включают:

${displaystyle prod _{r=1}^{2}Gamma left({ frac {r}{3}}ight)={frac {2pi }{sqrt {3}}}approx 3.627,598,728,468,435,7012}$ OEIS: A186706

${displaystyle prod _{r=1}^{3}Gamma left({ frac {r}{4}}ight)={sqrt {2pi ^{3}}}approx 7.874,804,972,861,209,8721}$ OEIS: A220610

${displaystyle prod _{r=1}^{4}Gamma left({ frac {r}{5}}ight)={frac {4pi ^{2}}{sqrt {5}}}approx 17.655,285,081,493,524,2483}$

${displaystyle prod _{r=1}^{5}Gamma left({ frac {r}{6}}ight)=4{sqrt {frac {pi ^{5}}{3}}}approx 40.399,319,122,003,790,0785}$

${displaystyle prod _{r=1}^{6}Gamma left({ frac {r}{7}}ight)={frac {8pi ^{3}}{sqrt {7}}}approx 93.754,168,203,582,503,7970}$

${displaystyle prod _{r=1}^{7}Gamma left({ frac {r}{8}}ight)=4{sqrt {pi ^{7}}}approx 219.828,778,016,957,263,6207}$

В целом:

${displaystyle prod _{r=1}^{n}Gamma left({ frac {r}{n+1}}ight)={sqrt {frac {(2pi )^{n}}{n+1}}}}$

Из этих продуктов можно вывести другие значения, например, из прежних уравнений для ${displaystyle prod _{r=1}^{3}Gamma left({ frac {r}{4}}ight)}$, ${displaystyle Gamma left({ frac {1}{4}}ight)}$ и ${displaystyle Gamma left({ frac {2}{4}}ight)}$, можно вывести:

${displaystyle Gamma left({ frac {3}{4}}ight)=left({ frac {pi }{2}}ight)^{ frac {1}{4}}{operatorname {AGM} left({sqrt {2}},1ight)}^{ frac {1}{2}}}$

Другие рациональные отношения включают

${displaystyle {frac {Gamma left({ frac {1}{5}}ight)Gamma left({ frac {4}{15}}ight)}{Gamma left({ frac {1}{3}}ight)Gamma left({ frac {2}{15}}ight)}}={frac {{sqrt {2}},{sqrt[{20}]{3}}}{{sqrt[{6}]{5}},{sqrt[{4}]{5-{frac {7}{sqrt {5}}}+{sqrt {6-{frac {6}{sqrt {5}}}}}}}}}}$

${displaystyle {frac {Gamma left({ frac {1}{20}}ight)Gamma left({ frac {9}{20}}ight)}{Gamma left({ frac {3}{20}}ight)Gamma left({ frac {7}{20}}ight)}}={frac {{sqrt[{4}]{5}}left(1+{sqrt {5}}ight)}{2}}}$^[4]

${displaystyle {frac {Gamma left({frac {1}{5}}ight)^{2}}{Gamma left({frac {1}{10}}ight)Gamma left({frac {3}{10}}ight)}}={frac {sqrt {1+{sqrt {5}}}}{2^{ frac {7}{10}}{sqrt[{4}]{5}}}}}$

и многие другие отношения для Γ (п/d) где знаменатель d делит 24 или 60.^[5]

Гамма-факторы с алгебраическими значениями должны быть «сбалансированы» в том смысле, что сумма аргументов одинакова (по модулю 1) для знаменателя и числителя.

Более сложный пример:

${displaystyle {frac {Gamma left({frac {11}{42}}ight)Gamma left({frac {2}{7}}ight)}{Gamma left({frac {1}{21}}ight)Gamma left({frac {1}{2}}ight)}}={frac {8sin left({frac {pi }{7}}ight){sqrt {sin left({frac {pi }{21}}ight)sin left({frac {4pi }{21}}ight)sin left({frac {5pi }{21}}ight)}}}{2^{frac {1}{42}}3^{frac {9}{28}}7^{frac {1}{3}}}}}$^[6]

Воображаемые и сложные аргументы

Гамма-функция на мнимая единица я = √−1 дает OEIS: A212877, OEIS: A212878:

${displaystyle Gamma (i)=(-1+i)!approx -0.1549-0.4980i.}$

Это также может быть дано с точки зрения Barnes грамм-функция:

${displaystyle Gamma (i)={frac {G(1+i)}{G(i)}}=e^{-log G(i)+log G(1+i)}.}$

Как ни странно, ${displaystyle Gamma (i)}$ появляется в следующей интегральной оценке:^[7]

${displaystyle int _{0}^{pi /2}{cot(x)},dx=1-{frac {pi }{2}}+{frac {i}{2}}log left({frac {pi }{sinh(pi )Gamma (i)^{2}}}ight).}$

Здесь ${displaystyle {cdot }}$ обозначает дробная часть.

Из-за Формула отражения Эйлера, и тот факт, что ${displaystyle Gamma ({ar {z}})={ar {Gamma }}(z)}$, у нас есть выражение для квадрата модуля гамма-функции, вычисленной на мнимой оси:

${displaystyle left|Gamma (ikappa )ight|^{2}={frac {pi }{kappa sinh(pi kappa )}}}$

Таким образом, указанный выше интеграл относится к фазе ${displaystyle Gamma (i)}$.

Гамма-функция с другими сложными аргументами возвращает

${displaystyle Gamma (1+i)=iGamma (i)approx 0.498-0.155i}$

${displaystyle Gamma (1-i)=-iGamma (-i)approx 0.498+0.155i}$

${displaystyle Gamma ({ frac {1}{2}}+{ frac {1}{2}}i)approx 0.818,163,9995-0.763,313,8287,i}$

${displaystyle Gamma ({ frac {1}{2}}-{ frac {1}{2}}i)approx 0.818,163,9995+0.763,313,8287,i}$

${displaystyle Gamma (5+3i)approx 0.016,041,8827-9.433,293,2898,i}$

${displaystyle Gamma (5-3i)approx 0.016,041,8827+9.433,293,2898,i.}$

Прочие константы

Гамма-функция имеет местный минимум на положительной действительной оси

${displaystyle x_{min }=1.461,632,144,968,362,341,262ldots ,}$ OEIS: A030169

со значением

${displaystyle Gamma left(x_{min }ight)=0.885,603,194,410,888ldots ,}$ OEIS: A030171.

Интеграция обратная гамма-функция вдоль положительной действительной оси также дает Константа Франсена – Робинсона.

На отрицательной действительной оси первые локальные максимумы и минимумы (нули функция дигаммы ) находятся:

Приблизительные локальные экстремумы Γ (Икс)

Икс	Γ (Икс)	OEIS
−0.5040830082644554092582693045	−3.5446436111550050891219639933	OEIS: A175472
−1.5734984731623904587782860437	−2.3024072583396801358235820396	OEIS: A175473
−2.6107208684441446500015377157	−0.8881363584012419200955280294	OEIS: A175474
−3.6352933664369010978391815669	−0.2451275398343662504382300889	OEIS: A256681
−4.6532377617431424417145981511	−0.0527796395873194007604835708	OEIS: A256682
−5.6671624415568855358494741745	−0.0093245944826148505217119238	OEIS: A256683
−6.6784182130734267428298558886	−0.0013973966089497673013074887	OEIS: A256684
−7.6877883250316260374400988918	−0.0001818784449094041881014174	OEIS: A256685
−8.6957641638164012664887761608	−0.0000209252904465266687536973	OEIS: A256686
−9.7026725400018637360844267649	−0.0000021574161045228505405031	OEIS: A256687

Смотрите также

• Формула Чоула – Сельберга

Рекомендации

1. Мелькионд, Гийом; Новак, В. Георг; Циммерманн, Пауль (2013). «Численное приближение постоянной Массера – Грамейна с точностью до четырех знаков после запятой». Математика. Comp. 82 (282): 1235–1246. Дои:10.1090 / S0025-5718-2012-02635-4.
2. «Архивная копия». Получено 2015-03-09.
3. Мезо, Иштван (2013), "Формулы дублирования с участием тета-функций Якоби и Госпера q-тригонометрические функции », Труды Американского математического общества, 141 (7): 2401–2410, Дои:10.1090 / с0002-9939-2013-11576-5
4. Вайсштейн, Эрик В. «Гамма-функция». MathWorld.
5. Раймундас Видунас, Выражения для значений гамма-функции
6. math.stackexchange.com
7. Веб-страница Иштвана Мезо

• Грамейн, Ф. (1981). "Sur le théorème de Fukagawa-Gel'fond". Изобретать. Математика. 63 (3): 495–506. Bibcode:1981InMat..63..495G. Дои:10.1007 / BF01389066.
• Borwein, J.M .; Цукер, И. Дж. (1992). «Быстрое вычисление гамма-функции для малых рациональных дробей с использованием полных эллиптических интегралов первого рода». Журнал численного анализа IMA. 12 (4): 519–526. Дои:10.1093 / imanum / 12.4.519. МИСТЕР  1186733.
• X. Gourdon & P. ​​Sebah. Введение в гамма-функцию
• С. Финч. Константы гамма-функции Эйлера^{[мертвая ссылка ]}
• Вайсштейн, Эрик В. «Гамма-функция». MathWorld.
• Видунас, Раймундас (2005). «Выражения для значений гамма-функции». Кюсю Журнал математики. 59 (2): 267–283. arXiv:math.CA/0403510. Дои:10.2206 / kyushujm.59.267.
• Видунас, Раймундас (2005). «Выражения для значений гамма-функции». Кюсю Дж. Математика. 59 (2): 267–283. arXiv:математика / 0403510. Дои:10.2206 / kyushujm.59.267. МИСТЕР  2188592.
• Адамчик, В. С. (2005). «Кратная гамма-функция и ее применение для вычисления рядов» (PDF). Рамануджанский журнал. 9 (3): 271–288. arXiv:математика / 0308074. Дои:10.1007 / s11139-005-1868-3. МИСТЕР  2173489.
• Duke, W .; Имамоглу, Ö. (2006). «Особые значения нескольких гамма-функций» (PDF). Журнал де Теори де Номбр де Бордо. 18 (1): 113–123. Дои:10.5802 / jtnb.536. МИСТЕР  2245878.