Каталонцы постоянная - Catalans constant
В математика, Каталонская постоянная грамм, который появляется в комбинаторика, определяется
куда β это Бета-функция Дирихле. Его числовое значение[1] приблизительно (последовательность A006752 в OEIS )
- грамм = 0.915965594177219015054603514932384110774…
Нерешенная проблема в математике: Каталонский постоянный иррациональный? Если да, то трансцендентно ли это? (больше нерешенных задач по математике) |
Неизвестно, были ли грамм является иррациональный, не говоря уже о трансцендентный.[2]
Каталонская постоянная была названа в честь Эжен Шарль Каталан.
Похожая, но явно более сложная серия
вычисляется точно и равно π3/32.
Интегральные тождества
Некоторые личности с участием определенные интегралы включают
где последние три формулы связаны с интегралами Мальмстена.[3]
Если K (k) это полный эллиптический интеграл первого рода, как функция эллиптического модуля k, тогда
С гамма-функция Γ (Икс + 1) = Икс!
Интегральный
известная специальная функция, называемая обратный касательный интеграл, и был тщательно изучен Шриниваса Рамануджан.
Использует
грамм появляется в комбинаторика, а также в значениях второй полигамма функция, также называемый функция тригаммы, при дробных аргументах:
Саймон Плафф дает бесконечный набор тождеств между тригамма-функцией, π2 и каталонская постоянная; они выражаются как пути на графе.
В низкоразмерная топология, Постоянная Каталана является рациональным кратным объему идеального гиперболического октаэдр, и, следовательно, гиперболический объем дополнения Ссылка Уайтхеда.[4]
Он также появляется в связи с гиперболическое секущее распределение.
Отношение к другим специальным функциям
Каталонская константа часто встречается по отношению к Функция Clausen, то обратный касательный интеграл, то обратный синусоидальный интеграл, то Barnes грамм-функция, а также интегралы и ряды, суммируемые по указанным выше функциям.
В качестве конкретного примера, сначала выразив обратный касательный интеграл в его закрытой форме - в терминах функций Clausen - а затем выражая эти функции Clausen в терминах Барнса грамм-функция, получается следующее выражение (см. Функция Clausen для большего):
- .
Если определить Лерх трансцендентный Φ (z,s,α) (связанный с Дзета-функция Лерха ) к
тогда
Быстро сходящиеся серии
Следующие две формулы включают быстро сходящиеся ряды и поэтому подходят для численных вычислений:
и
Теоретические основы таких рядов даны Бродхерстом для первой формулы[5] и Рамануджан для второй формулы.[6] Алгоритмы быстрого вычисления каталонской константы были построены Э. Карацубой.[7][8]
Известные цифры
Количество известных цифр каталонской константы грамм резко возросло за последние десятилетия. Это связано как с увеличением производительности компьютеров, так и с улучшениями алгоритмов.[9]
Дата | Десятичные цифры | Вычисление выполнено |
---|---|---|
1832 | 16 | Томас Клаузен |
1858 | 19 | Карл Йохан Даниэльссон Хилл |
1864 | 14 | Эжен Шарль Каталан |
1877 | 20 | Джеймс В. Л. Глейшер |
1913 | 32 | Джеймс В. Л. Глейшер |
1990 | 20000 | Грег Дж. Фи |
1996 | 50000 | Грег Дж. Фи |
14 августа 1996 г. | 100000 | Грег Дж. Фи и Саймон Плафф |
29 сентября 1996 г. | 300000 | Томас Папаниколау |
1996 | 1500000 | Томас Папаниколау |
1997 | 3379957 | Патрик Демичел |
4 января 1998 г. | 12500000 | Ксавье Гурдон |
2001 | 100000500 | Ксавье Гурдон и Паскаль Себа |
2002 | 201000000 | Ксавье Гурдон и Паскаль Себа |
Октябрь 2006 г. | 5000000000 | Сигеру Кондо и Стив Пальяруло[10] |
Август 2008 г. | 10000000000 | Сигеру Кондо и Стив Пальяруло[11] |
31 января 2009 г. | 15510000000 | Александр Дж. Йи и Раймонд Чан[12] |
16 апреля 2009 г. | 31026000000 | Александр Дж. Йи и Раймонд Чан[12] |
7 июня 2015 г. | 200000001100 | Роберт Дж. Сетти[13] |
12 апреля 2016 г. | 250000000000 | Рон Уоткинс[13] |
16 февраля 2019 г., | 300000000000 | Тициан Хансельманн[13] |
29 марта 2019 г., | 500000000000 | Майк Эй и Ян Катресс[13] |
16 июля 2019 г., | 600000000100 | Сынмин Ким[14][15] |
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Папаниколау, Томас (март 1997 г.). «Постоянная Каталонии на 1 500 000 мест». Gutenberg.org.
- ^ Нестеренко, Ю. В. (январь 2016 г.), «О каталонской постоянной», Труды Математического института им. В. А. Стеклова., 292 (1): 153–170, Дои:10.1134 / s0081543816010107, S2CID 124903059.
- ^ Благушин, Ярослав (2014). «Повторное открытие интегралов Мальмстена, их вычисление методами контурного интегрирования и некоторые связанные результаты» (PDF). Рамануджанский журнал. 35: 21–110. Дои:10.1007 / s11139-013-9528-5. S2CID 120943474. Архивировано из оригинал (PDF) на 2018-10-02. Получено 2018-10-01.
- ^ Агол, Ян (2010), "Минимальные ориентируемые по объему гиперболические 3-многообразия с каспами", Труды Американского математического общества, 138 (10): 3723–3732, arXiv:0804.0043, Дои:10.1090 / S0002-9939-10-10364-5, МИСТЕР 2661571, S2CID 2016662.
- ^ Бродхерст, Д. Дж. (1998). «Полилогарифмические лестницы, гипергеометрические ряды и десятимиллионные цифры ζ(3) и ζ(5)". arXiv:math.CA/9803067.
- ^ Берндт, Б.С. (1985). Записная книжка Рамануджана, часть I. Springer Verlag. п. 289.[ISBN отсутствует ]
- ^ Карацуба, Э.А. (1991). «Быстрая оценка трансцендентных функций». Пробл. Инф. Трансм. 27 (4): 339–360. МИСТЕР 1156939. Zbl 0754.65021.
- ^ Карацуба, Э.А. (2001). «Быстрое вычисление некоторых специальных интегралов математической физики». In Krämer, W .; фон Гуденберг, Дж. У. (ред.). Научные вычисления, проверенные числа, интервальные методы. стр.29 –41.[ISBN отсутствует ]
- ^ Гурдон, X .; Себах, П. «Константы и записи вычислений».
- ^ «Сайт Сигеру Кондо». Архивировано из оригинал на 2008-02-11. Получено 2008-01-31.
- ^ Константы и записи вычислений
- ^ а б Большие вычисления
- ^ а б c d Постоянные записи Каталонии с использованием YMP
- ^ Постоянные записи Каталонии с использованием YMP
- ^ Постоянный мировой рекорд Каталонии от Сынмин Ким
внешняя ссылка
- Виктор Адамчик, 33 представления каталонской постоянной (без даты)
- Адамчик, Виктор (2002). «Некий ряд, связанный с каталонской константой». Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen. 21 (3): 1–10. Дои:10.4171 / ZAA / 1110. МИСТЕР 1929434.
- Plouffe, Саймон (1993). «Несколько идентичностей (III) с каталонским». (Предоставляет более сотни различных идентификаторов).
- Саймон Плафф, Несколько тождеств с каталонской константой и Pi ^ 2, (1999) (Обеспечивает графическую интерпретацию отношений)
- Вайсштейн, Эрик В. "Константа Каталонии". MathWorld.
- Каталонская постоянная: обобщенный степенной ряд на сайте Wolfram Functions
- Грег Фи, Константа Каталонии (формула Рамануджана) (1996) (Предоставляет первые 300 000 цифр каталонской константы.).
- Плата, Грег (1990), "Вычисление постоянной Каталонии с использованием формулы Рамануджана", Материалы международного симпозиума по символьным и алгебраическим вычислениям - ISSAC '90, Proceedings of the ISSAC '90, pp. 157–160, Дои:10.1145/96877.96917, ISBN 0201548925, S2CID 1949187
- Брэдли, Дэвид М. (1999). «Класс серийных формул ускорения для постоянной Каталонии». Рамануджанский журнал. 3 (2): 159–173. arXiv:0706.0356. Дои:10.1023 / А: 1006945407723. МИСТЕР 1703281. S2CID 5111792.
- Брэдли, Дэвид М. (2007). «Класс серийных формул ускорения для постоянной Каталонии». Рамануджанский журнал. 3 (2): 159–173. arXiv:0706.0356. Bibcode:2007arXiv0706.0356B. Дои:10.1023 / А: 1006945407723. S2CID 5111792.
- Брэдли, Дэвид М. (2001), Представления каталонской постоянной, CiteSeerX 10.1.1.26.1879