Каталонцы постоянная - Catalans constant

В математика, Каталонская постоянная грамм, который появляется в комбинаторика, определяется

куда β это Бета-функция Дирихле. Его числовое значение[1] приблизительно (последовательность A006752 в OEIS )

грамм = 0.915965594177219015054603514932384110774
Вопрос, Web Fundamentals.svgНерешенная проблема в математике:
Каталонский постоянный иррациональный? Если да, то трансцендентно ли это?
(больше нерешенных задач по математике)

Неизвестно, были ли грамм является иррациональный, не говоря уже о трансцендентный.[2]

Каталонская постоянная была названа в честь Эжен Шарль Каталан.

Похожая, но явно более сложная серия

вычисляется точно и равно π3/32.

Интегральные тождества

Некоторые личности с участием определенные интегралы включают

где последние три формулы связаны с интегралами Мальмстена.[3]

Если K (k) это полный эллиптический интеграл первого рода, как функция эллиптического модуля k, тогда

С гамма-функция Γ (Икс + 1) = Икс!

Интегральный

известная специальная функция, называемая обратный касательный интеграл, и был тщательно изучен Шриниваса Рамануджан.

Использует

грамм появляется в комбинаторика, а также в значениях второй полигамма функция, также называемый функция тригаммы, при дробных аргументах:

Саймон Плафф дает бесконечный набор тождеств между тригамма-функцией, π2 и каталонская постоянная; они выражаются как пути на графе.

В низкоразмерная топология, Постоянная Каталана является рациональным кратным объему идеального гиперболического октаэдр, и, следовательно, гиперболический объем дополнения Ссылка Уайтхеда.[4]

Он также появляется в связи с гиперболическое секущее распределение.

Отношение к другим специальным функциям

Каталонская константа часто встречается по отношению к Функция Clausen, то обратный касательный интеграл, то обратный синусоидальный интеграл, то Barnes грамм-функция, а также интегралы и ряды, суммируемые по указанным выше функциям.

В качестве конкретного примера, сначала выразив обратный касательный интеграл в его закрытой форме - в терминах функций Clausen - а затем выражая эти функции Clausen в терминах Барнса грамм-функция, получается следующее выражение (см. Функция Clausen для большего):

.

Если определить Лерх трансцендентный Φ (z,s,α) (связанный с Дзета-функция Лерха ) к

тогда

Быстро сходящиеся серии

Следующие две формулы включают быстро сходящиеся ряды и поэтому подходят для численных вычислений:

и

Теоретические основы таких рядов даны Бродхерстом для первой формулы[5] и Рамануджан для второй формулы.[6] Алгоритмы быстрого вычисления каталонской константы были построены Э. Карацубой.[7][8]

Известные цифры

Количество известных цифр каталонской константы грамм резко возросло за последние десятилетия. Это связано как с увеличением производительности компьютеров, так и с улучшениями алгоритмов.[9]

Количество известных десятичных цифр каталонской константы грамм
ДатаДесятичные цифрыВычисление выполнено
183216Томас Клаузен
185819Карл Йохан Даниэльссон Хилл
186414Эжен Шарль Каталан
187720Джеймс В. Л. Глейшер
191332Джеймс В. Л. Глейшер
199020000Грег Дж. Фи
199650000Грег Дж. Фи
14 августа 1996 г.100000Грег Дж. Фи и Саймон Плафф
29 сентября 1996 г.300000Томас Папаниколау
19961500000Томас Папаниколау
19973379957Патрик Демичел
4 января 1998 г.12500000Ксавье Гурдон
2001100000500Ксавье Гурдон и Паскаль Себа
2002201000000Ксавье Гурдон и Паскаль Себа
Октябрь 2006 г.5000000000Сигеру Кондо и Стив Пальяруло[10]
Август 2008 г.10000000000Сигеру Кондо и Стив Пальяруло[11]
31 января 2009 г.15510000000Александр Дж. Йи и Раймонд Чан[12]
16 апреля 2009 г.31026000000Александр Дж. Йи и Раймонд Чан[12]
7 июня 2015 г.200000001100Роберт Дж. Сетти[13]
12 апреля 2016 г.250000000000Рон Уоткинс[13]
16 февраля 2019 г.,300000000000Тициан Хансельманн[13]
29 марта 2019 г.,500000000000Майк Эй и Ян Катресс[13]
16 июля 2019 г.,600000000100Сынмин Ким[14][15]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Папаниколау, Томас (март 1997 г.). «Постоянная Каталонии на 1 500 000 мест». Gutenberg.org.
  2. ^ Нестеренко, Ю. В. (январь 2016 г.), «О каталонской постоянной», Труды Математического института им. В. А. Стеклова., 292 (1): 153–170, Дои:10.1134 / s0081543816010107, S2CID  124903059.
  3. ^ Благушин, Ярослав (2014). «Повторное открытие интегралов Мальмстена, их вычисление методами контурного интегрирования и некоторые связанные результаты» (PDF). Рамануджанский журнал. 35: 21–110. Дои:10.1007 / s11139-013-9528-5. S2CID  120943474. Архивировано из оригинал (PDF) на 2018-10-02. Получено 2018-10-01.
  4. ^ Агол, Ян (2010), "Минимальные ориентируемые по объему гиперболические 3-многообразия с каспами", Труды Американского математического общества, 138 (10): 3723–3732, arXiv:0804.0043, Дои:10.1090 / S0002-9939-10-10364-5, МИСТЕР  2661571, S2CID  2016662.
  5. ^ Бродхерст, Д. Дж. (1998). «Полилогарифмические лестницы, гипергеометрические ряды и десятимиллионные цифры ζ(3) и ζ(5)". arXiv:math.CA/9803067.
  6. ^ Берндт, Б.С. (1985). Записная книжка Рамануджана, часть I. Springer Verlag. п. 289.[ISBN отсутствует ]
  7. ^ Карацуба, Э.А. (1991). «Быстрая оценка трансцендентных функций». Пробл. Инф. Трансм. 27 (4): 339–360. МИСТЕР  1156939. Zbl  0754.65021.
  8. ^ Карацуба, Э.А. (2001). «Быстрое вычисление некоторых специальных интегралов математической физики». In Krämer, W .; фон Гуденберг, Дж. У. (ред.). Научные вычисления, проверенные числа, интервальные методы. стр.29 –41.[ISBN отсутствует ]
  9. ^ Гурдон, X .; Себах, П. «Константы и записи вычислений».
  10. ^ «Сайт Сигеру Кондо». Архивировано из оригинал на 2008-02-11. Получено 2008-01-31.
  11. ^ Константы и записи вычислений
  12. ^ а б Большие вычисления
  13. ^ а б c d Постоянные записи Каталонии с использованием YMP
  14. ^ Постоянные записи Каталонии с использованием YMP
  15. ^ Постоянный мировой рекорд Каталонии от Сынмин Ким

внешняя ссылка