Бета-функция Дирихле - Dirichlet beta function

Эта статья о бета-функции Дирихле. Для других бета-функций см. Бета-функция (значения).

Бета-функция Дирихле

В математика, то Бета-функция Дирихле (также известный как Каталонская бета-функция) это специальная функция, тесно связанный с Дзета-функция Римана. Это особый L-функция Дирихле, L-функция для знакопеременного персонаж четвертого периода.

Определение

Бета-функция Дирихле определяется как

${\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}},}$

или, что то же самое,

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.}$

В каждом случае предполагается, что Re (s) > 0.

В качестве альтернативы, следующее определение в терминах Дзета-функция Гурвица, действует во всем комплексе s-самолет:

${\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta \left(s,{3 \over 4}\right)\right).}$ доказательство

Другое эквивалентное определение с точки зрения Лерх трансцендентный, является:

${\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{{1} \over {2}}\right),}$

что еще раз верно для всех комплексных значений s.

Также представление ряда бета-функции Дирихле может быть сформировано в терминах полигамма функция

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{2^{s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{s}}}={\frac {1}{(-2)^{2s}(s-1)!}}\left[\psi ^{(s-1)}\left({\frac {1}{4}}\right)-\psi ^{(s-1)}\left({\frac {3}{4}}\right)\right].}$

Формула произведения Эйлера

Также это простейший пример серии, не имеющей прямого отношения к ${\displaystyle \zeta (s)}$ который также можно разложить на множители как Произведение Эйлера, что привело к идее Dirichlet персонаж определение точного набора Серия Дирихле имея факторизацию по простые числа.

По крайней мере, для Re (s) ≥ 1:

${\displaystyle \beta (s)=\prod _{p\equiv 1\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\prod _{p\equiv 3\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1+p^{-s}}}}$

куда п≡1 мод 4 простые числа формы 4п+1 (5,13,17, ...) и п≡3 мод 4 простые числа формы 4п+3 (3,7,11, ...). Это можно записать компактно как

${\displaystyle \beta (s)=\prod _{p>2 \atop p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-\,\scriptstyle (-1)^{\frac {p-1}{2}}\textstyle p^{-s}}}.}$

Функциональное уравнение

В функциональное уравнение расширяет бета-функцию до левой части комплексная плоскость Re (s) ≤ 0. Он задается формулой

${\displaystyle \beta (1-s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}s\right)\Gamma (s)\beta (s)}$

где Γ (s) это гамма-функция.

Особые ценности

Некоторые особые значения включают:

${\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle \beta (1)\;=\;\arctan(1)\;=\;{\frac {\pi }{4}},}$

${\displaystyle \beta (2)\;=\;G,}$

куда грамм представляет Каталонская постоянная, и

${\displaystyle \beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}},}$

${\displaystyle \beta (4)\;=\;{\frac {1}{768}}\left(\psi _{3}\left({\frac {1}{4}}\right)-8\pi ^{4}\right),}$

${\displaystyle \beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}},}$

${\displaystyle \beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}},}$

куда ${\displaystyle \psi _{3}(1/4)}$ в приведенном выше примере полигамма функция. В более общем смысле, для любого положительного целого числа k:

${\displaystyle \beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!},}$

куда ${\displaystyle \!\ E_{n}}$ представляют Числа Эйлера. Для целого числа k ≥ 0, это распространяется на:

${\displaystyle \beta (-k)={{E_{k}} \over {2}}.}$

Следовательно, функция обращается в нуль для всех нечетных отрицательных целых значений аргумента.

Для каждого положительного целого числа k:

${\displaystyle \beta (2k)={\frac {1}{2(2k-1)!}}\sum _{m=0}^{\infty }\left(\left(\sum _{l=0}^{k-1}{\binom {2k-1}{2l}}{\frac {(-1)^{l}A_{2k-2l-1}}{2l+2m+1}}\right)-{\frac {(-1)^{k-1}}{2m+2k}}\right){\frac {A_{2m}}{(2m)!}}{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}^{2m+2k},}$^{[нужна цитата ]}

куда ${\displaystyle A_{k}}$ это Зигзагообразное число Эйлера.

Также он был получен Мальмстен в 1842 г.

${\displaystyle \beta '(1)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {\ln(2n+1)}{2n+1}}\,=\,{\frac {\pi }{4}}{\big (}\gamma -\ln \pi )+\pi \ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}$

s	приблизительное значение β (s)	OEIS
1/5	0.5737108471859466493572665	A261624
1/4	0.5907230564424947318659591	A261623
1/3	0.6178550888488520660725389	A261622
1/2	0.6676914571896091766586909	A195103
1	0.7853981633974483096156608	A003881
2	0.9159655941772190150546035	A006752
3	0.9689461462593693804836348	A153071
4	0.9889445517411053361084226	A175572
5	0.9961578280770880640063194	A175571
6	0.9986852222184381354416008	A175570
7	0.9995545078905399094963465
8	0.9998499902468296563380671
9	0.9999496841872200898213589
10	0.9999831640261968774055407

В позиции -1 есть нули; -3; -5; -7 и т. Д.

Смотрите также

• Дзета-функция Гурвица
• Эта функция Дирихле
• Полилогарифм

Рекомендации

• Глассер, М. Л. (1972). «Вычисление решеточных сумм. I. Аналитические процедуры». J. Math. Phys. 14 (3): 409. Bibcode:1973JMP .... 14..409G. Дои:10.1063/1.1666331.
• Дж. Спаниер и К. Б. Олдхэм, Атлас функций, (1987) Полушарие, Нью-Йорк.
• Вайсштейн, Эрик В. «Бета-функция Дирихле». MathWorld.