Функция Clausen - Clausen function

График функции Клаузена Cl₂(θ)

В математика, то Функция Clausen, представлен Томас Клаузен  (1832 ), является трансцендентной специальной функцией одной переменной. Его можно по-разному выразить в виде определенный интеграл, а тригонометрический ряд, и различные другие специальные функции. Это тесно связано с полилогарифм, обратный касательный интеграл, полигамма функция, Дзета-функция Римана, Эта функция Дирихле, и Бета-функция Дирихле.

В Функция Clausen порядка 2 - часто называют то Функция Clausen, несмотря на то, что она одна из многих, задается интегралом:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=-\int _{0}^{\varphi }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx:}$

В диапазоне ${\displaystyle 0<\varphi <2\pi \,}$ то функция синуса внутри абсолютная величина Знак остается строго положительным, поэтому знаки абсолютного значения могут быть опущены. Функция Clausen также имеет Ряд Фурье представление:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\varphi }{k^{2}}}=\sin \varphi +{\frac {\sin 2\varphi }{2^{2}}}+{\frac {\sin 3\varphi }{3^{2}}}+{\frac {\sin 4\varphi }{4^{2}}}+\cdots }$

Функции Клаузена как класс функций широко используются во многих областях современных математических исследований, особенно в отношении оценки многих классов логарифмический и полилогарифмические интегралы, как определенные, так и неопределенные. У них также есть множество приложений в отношении суммирования гипергеометрический ряд, суммирования, содержащие инверсию центральный биномиальный коэффициент, суммы полигамма функция, и Дирихле L-серия.

Основные свойства

В Функция Clausen (порядка 2) имеет простые нули при всех (целых) кратных ${\displaystyle \pi ,\,}$ так как если ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} \,}$ целое число, тогда ${\displaystyle \sin k\pi =0}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(m\pi )=0,\quad m=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 3,\,\cdots }$

Имеет максимумы при ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{3}}+2m\pi \quad [m\in \mathbb {Z} ]}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}+2m\pi \right)=1.01494160\ldots }$

и минимумы при ${\displaystyle \theta =-{\frac {\pi }{3}}+2m\pi \quad [m\in \mathbb {Z} ]}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left(-{\frac {\pi }{3}}+2m\pi \right)=-1.01494160\ldots }$

Следующие свойства являются непосредственными следствиями определения ряда:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta +2m\pi )=\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(-\theta )=-\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}$

(Ссылка: См. Lu and Perez, 1992, ниже для этих результатов, хотя никаких доказательств не приводится).

Общее определение

Стандартные функции Clausen

Функции Глейшера – Клаузена

В более общем смысле, можно определить две обобщенные функции Clausen:

${\displaystyle \operatorname {S} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{z}}}}$

${\displaystyle \operatorname {C} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{z}}}}$

которые действительны для сложных z с Re z > 1. Определение может быть распространено на всю комплексную плоскость через аналитическое продолжение.

Когда z заменяется на неотрицательное целое число, Стандартные функции Clausen определяются следующими Ряд Фурье:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}}$

N.B. В Функции Clausen типа SL иметь альтернативное обозначение ${\displaystyle \operatorname {Gl} _{m}(\theta )\,}$ и иногда их называют Функции Глейшера – Клаузена (после Джеймс Уитбред Ли Глейшер, отсюда и GL-обозначение).

Связь с полиномами Бернулли

В Функция Clausen типа SL являются многочленами от ${\displaystyle \,\theta \,}$, и тесно связаны с Полиномы Бернулли. Эта связь очевидна из Ряд Фурье представления полиномов Бернулли:

${\displaystyle B_{2n-1}(x)={\frac {2(-1)^{n}(2n-1)!}{(2\pi )^{2n-1}}}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin 2\pi kx}{k^{2n-1}}}.}$

${\displaystyle B_{2n}(x)={\frac {2(-1)^{n-1}(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos 2\pi kx}{k^{2n}}}.}$

Параметр ${\displaystyle \,x=\theta /2\pi \,}$ в приведенном выше примере, а затем перестановка членов дает следующие выражения в замкнутой форме (полиномиальные):

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m}(\theta )={\frac {(-1)^{m-1}(2\pi )^{2m}}{2(2m)!}}B_{2m}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right),}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m-1}(\theta )={\frac {(-1)^{m}(2\pi )^{2m-1}}{2(2m-1)!}}B_{2m-1}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right),}$

где Полиномы Бернулли ${\displaystyle \,B_{n}(x)\,}$ определены в терминах Числа Бернулли ${\displaystyle \,B_{n}\equiv B_{n}(0)\,}$ соотношением:

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}B_{j}x^{n-j}.}$

Явные оценки, полученные на основе вышеизложенного, включают:

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{1}(\theta )={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\theta }{2}},}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2}(\theta )={\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {\pi \theta }{2}}+{\frac {\theta ^{2}}{4}},}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{3}(\theta )={\frac {\pi ^{2}\theta }{6}}-{\frac {\pi \theta ^{2}}{4}}+{\frac {\theta ^{3}}{12}},}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{4}(\theta )={\frac {\pi ^{4}}{90}}-{\frac {\pi ^{2}\theta ^{2}}{12}}+{\frac {\pi \theta ^{3}}{12}}-{\frac {\theta ^{4}}{48}}.}$

Формула дублирования

За ${\displaystyle 0<\theta <\pi }$, формула дублирования может быть доказана непосредственно из определения интеграла (результат см. также в Lu and Perez, 1992, ниже, хотя никаких доказательств не приводится):

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )}$

Обозначение Каталонская постоянная к ${\displaystyle K=\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)}$, непосредственными следствиями формулы дублирования являются отношения:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)-\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)={\frac {K}{2}}}$

${\displaystyle 2\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=3\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)}$

Для функций Clausen более высокого порядка формулы дублирования могут быть получены из приведенной выше; просто замените ${\displaystyle \,\theta \,}$ с фиктивная переменная ${\displaystyle x}$, и проинтегрируем по интервалу ${\displaystyle \,[0,\theta ].\,}$ Повторное применение одного и того же процесса дает:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{3}(2\theta )=4\operatorname {Cl} _{3}(\theta )+4\operatorname {Cl} _{3}(\pi -\theta )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{4}(2\theta )=8\operatorname {Cl} _{4}(\theta )-8\operatorname {Cl} _{4}(\pi -\theta )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{5}(2\theta )=16\operatorname {Cl} _{5}(\theta )+16\operatorname {Cl} _{5}(\pi -\theta )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{6}(2\theta )=32\operatorname {Cl} _{6}(\theta )-32\operatorname {Cl} _{6}(\pi -\theta )}$

И вообще, после индукции по ${\displaystyle \,m,\,\,m\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{m+1}(2\theta )=2^{m}{\Bigg [}\operatorname {Cl} _{m+1}(\theta )+(-1)^{m}\operatorname {Cl} _{m+1}(\pi -\theta ){\Bigg ]}}$

Использование обобщенной формулы дублирования позволяет расширить результат для функции Clausen порядка 2, включая Каталонская постоянная. За ${\displaystyle \,m\in \mathbb {Z} \geq 1\,}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=2^{2m-1}\left[\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{4}}\right)-\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)\right]=\beta (2m)}$

Где ${\displaystyle \,\beta (x)\,}$ это Бета-функция Дирихле.

Доказательство формулы дублирования

Из интегрального определения

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=-\int _{0}^{2\theta }\log {\Bigg |}2\sin {\frac {x}{2}}{\Bigg |}\,dx}$

Примените формулу дублирования для функция синуса, ${\displaystyle \sin x=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}$ чтобы получить

${\displaystyle {\begin{aligned}&-\int _{0}^{2\theta }\log {\Bigg |}\left(2\sin {\frac {x}{4}}\right)\left(2\cos {\frac {x}{4}}\right){\Bigg |}\,dx\\={}&-\int _{0}^{2\theta }\log {\Bigg |}2\sin {\frac {x}{4}}{\Bigg |}\,dx-\int _{0}^{2\theta }\log {\Bigg |}2\cos {\frac {x}{4}}{\Bigg |}\,dx\end{aligned}}}$

Применить замену ${\displaystyle x=2y,dx=2\,dy}$ по обоим интегралам:

${\displaystyle {\begin{aligned}&-2\int _{0}^{\theta }\log {\Bigg |}2\sin {\frac {x}{2}}{\Bigg |}\,dx-2\int _{0}^{\theta }\log {\Bigg |}2\cos {\frac {x}{2}}{\Bigg |}\,dx\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\int _{0}^{\theta }\log {\Bigg |}2\cos {\frac {x}{2}}{\Bigg |}\,dx\end{aligned}}}$

На этом последнем интеграле положим ${\displaystyle y=\pi -x,\,x=\pi -y,\,dx=-dy}$, и используйте тригонометрическое тождество ${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}$ чтобы показать, что:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \left({\frac {\pi -y}{2}}\right)=\sin {\frac {y}{2}}\\\Longrightarrow \qquad &\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\int _{0}^{\theta }\log {\Bigg |}2\cos {\frac {x}{2}}{\Bigg |}\,dx\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )+2\int _{\pi }^{\pi -\theta }\log {\Bigg |}2\sin {\frac {y}{2}}{\Bigg |}\,dy\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )+2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi )\end{aligned}}}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\pi )=0\,}$

Следовательно,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )\,.\,\Box }$

Производные функций Клаузена общего порядка

Прямая дифференциация Ряд Фурье расширения для функций Clausen дают:

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+2}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}=\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m}}}=-\operatorname {Cl} _{2m}(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+2}}}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=-\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m}}}=\operatorname {Sl} _{2m}(\theta )}$

Обращаясь к Первая основная теорема исчисления, у нас также есть:

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\left[-\int _{0}^{\theta }\log {\Bigg |}2\sin {\frac {x}{2}}{\Bigg |}\,dx\,\right]=-\log {\Bigg |}2\sin {\frac {\theta }{2}}{\Bigg |}=\operatorname {Cl} _{1}(\theta )}$

Связь с обратным касательным интегралом

В обратный касательный интеграл определяется на интервале ${\displaystyle 0<z<1}$ к

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{2}}}}$

С точки зрения функции Clausen он имеет следующую закрытую форму:

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\theta \log(\tan \theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )}$

Доказательство интегрального отношения обратной касательной

Из интегрального определения обратный касательный интеграл, у нас есть

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx}$

Выполнение интеграции по частям

${\displaystyle \int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx=\tan ^{-1}x\log x\,{\Bigg |}_{0}^{\tan \theta }-\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\log x}{1+x^{2}}}\,dx=}$

${\displaystyle \theta \log \tan \theta -\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\log x}{1+x^{2}}}\,dx}$

Применить замену ${\displaystyle x=\tan y,\,y=\tan ^{-1}x,\,dy={\frac {dx}{1+x^{2}}}\,}$ чтобы получить

${\displaystyle \theta \log \tan \theta -\int _{0}^{\theta }\log(\tan y)\,dy}$

Для этого последнего интеграла примените преобразование:${\displaystyle y=x/2,\,dy=dx/2\,}$ получить

${\displaystyle {\begin{aligned}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left({\frac {\sin(x/2)}{\cos(x/2)}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left({\frac {2\sin(x/2)}{2\cos(x/2)}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\sin {\frac {x}{2}}\right)\,dx+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta +{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$

Наконец, как и в случае доказательства формулы дублирования, подстановка ${\displaystyle x=(\pi -y)\,}$ сводит этот последний интеграл к

${\displaystyle \int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx=\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )-\operatorname {Cl} _{2}(\pi )=\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )}$

Таким образом

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\theta \log \tan \theta +{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )\,.\,\Box }$

Связь с G-функцией Барнса

Серьезно ${\displaystyle 0<z<1}$, функция Клаузена второго порядка может быть выражена через G-функция Барнса и (Эйлер) Гамма-функция:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)}$

Или эквивалентно

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)}$

Ссылка: см. Адамчик, "Вклад в теорию функции Барнса", ниже.

Отношение к полилогарифму

Функции Clausen представляют действительную и мнимую части полилогарифма на единичный круг:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}(\theta )=\Im (\operatorname {Li} _{2m}(e^{i\theta })),\quad m\in \mathbb {Z} \geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\Re (\operatorname {Li} _{2m+1}(e^{i\theta })),\quad m\in \mathbb {Z} \geq 0}$

В этом легко убедиться, обратившись к определению серии полилогарифм.

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}\quad \Longrightarrow \operatorname {Li} _{n}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(e^{i\theta }\right)^{k}}{k^{n}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{ik\theta }}{k^{n}}}}$

По теореме Эйлера

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$

и по теореме де Муавра (Формула де Муавра )

${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{k}=\cos k\theta +i\sin k\theta \quad \Rightarrow \operatorname {Li} _{n}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{n}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{n}}}}$

Следовательно

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2m}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m}}}=\operatorname {Sl} _{2m}(\theta )+i\operatorname {Cl} _{2m}(\theta )}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2m+1}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )+i\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )}$

Связь с функцией полигаммы

Функции Clausen тесно связаны с полигамма функция. В самом деле, можно выразить функции Клаузена как линейные комбинации синусоидальных и полигамма-функций. Одно из таких соотношений показано здесь и доказано ниже:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)={\frac {1}{(2p)^{2m}(2m-1)!}}\,\sum _{j=1}^{p}\sin \left({\tfrac {qj\pi }{p}}\right)\,\left[\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j}{2p}}\right)+(-1)^{q}\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j+p}{2p}}\right)\right]}$

Позволять ${\displaystyle \,p\,}$ и ${\displaystyle \,q\,}$ быть натуральными числами, такими что ${\displaystyle \,q/p\,}$ это рациональное число ${\displaystyle \,0<q/p<1\,}$, то по определению ряда для функции Clausen более высокого порядка (четного индекса):

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(kq\pi /p)}{k^{2m}}}}$

Мы разбиваем эту сумму ровно на п-частей, так что первая серия содержит все и только те термины, которые соответствуют ${\displaystyle \,kp+1,\,}$ вторая серия содержит все члены, соответствующие ${\displaystyle \,kp+2,\,}$ и т. д., до финала п-я часть, содержащая все термины, соответствующие ${\displaystyle \,kp+p\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+1){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(kp+1)^{2m}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+2){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(kp+2)^{2m}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+3){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(kp+3)^{2m}}}+\cdots \\&\cdots +\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+p-2){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(kp+p-2)^{2m}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+p-1){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(kp+p-1)^{2m}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+p){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(kp+p)^{2m}}}\end{aligned}}}$

Мы можем проиндексировать эти суммы, чтобы получить двойную сумму:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)=\sum _{j=1}^{p}{\Bigg \{}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+j){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(kp+j)^{2m}}}{\Bigg \}}\\={}&\sum _{j=1}^{p}{\frac {1}{p^{2m}}}{\Bigg \{}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+j){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(k+(j/p))^{2m}}}{\Bigg \}}\end{aligned}}}$

Применяя формулу сложения для функция синуса, ${\displaystyle \,\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\,}$ синусоидальный член в числителе становится:

${\displaystyle \sin \left[(kp+j){\frac {q\pi }{p}}\right]=\sin \left(kq\pi +{\frac {qj\pi }{p}}\right)=\sin kq\pi \cos {\frac {qj\pi }{p}}+\cos kq\pi \sin {\frac {qj\pi }{p}}}$

${\displaystyle \sin m\pi \equiv 0,\quad \,\cos m\pi \equiv (-1)^{m}\quad \Longleftrightarrow m=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 3,\,\ldots }$

${\displaystyle \sin \left[(kp+j){\frac {q\pi }{p}}\right]=(-1)^{kq}\sin {\frac {qj\pi }{p}}}$

Как следствие,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)=\sum _{j=1}^{p}{\frac {1}{p^{2m}}}\sin \left({\frac {qj\pi }{p}}\right)\,{\Bigg \{}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{kq}}{(k+(j/p))^{2m}}}{\Bigg \}}}$

Чтобы преобразовать внутренняя сумма в двойной сумме в непеременную сумму, разделенную на две части точно так же, как предыдущая сумма была разделена на п-части:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{kq}}{(k+(j/p))^{2m}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(2k)q}}{((2k)+(j/p))^{2m}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(2k+1)q}}{((2k+1)+(j/p))^{2m}}}\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+(j/p))^{2m}}}+(-1)^{q}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1+(j/p))^{2m}}}\\={}&{\frac {1}{2^{p}}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+(j/2p))^{2m}}}+(-1)^{q}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+\left({\frac {j+p}{2p}}\right))^{2m}}}\right]\end{aligned}}}$

За ${\displaystyle \,m\in \mathbb {Z} \geq 1\,}$, то полигамма функция имеет представление серии

${\displaystyle \psi _{m}(z)=(-1)^{m+1}m!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+z)^{m+1}}}}$

Итак, с точки зрения полигамма-функции предыдущий внутренняя сумма становится:

${\displaystyle {\frac {1}{2^{2m}(2m-1)!}}\left[\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j}{2p}}\right)+(-1)^{q}\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j+p}{2p}}\right)\right]}$

Вставив это обратно в двойная сумма дает желаемый результат:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)={\frac {1}{(2p)^{2m}(2m-1)!}}\,\sum _{j=1}^{p}\sin \left({\tfrac {qj\pi }{p}}\right)\,\left[\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j}{2p}}\right)+(-1)^{q}\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j+p}{2p}}\right)\right]}$

Связь с обобщенным логином интегралом

В обобщенный журнал интеграл определяется:

${\displaystyle {\mathcal {L}}s_{n}^{m}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }x^{m}\log ^{n-m-1}{\Bigg |}2\sin {\frac {x}{2}}{\Bigg |}\,dx}$

В этой обобщенной записи функция Clausen может быть выражена в форме:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )={\mathcal {L}}s_{2}^{0}(\theta )}$

Отношение Куммера

Эрнст Куммер и Роджерс дают соотношение

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(e^{i\theta })=\zeta (2)-\theta (2\pi -\theta )/4+i\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}$

Годен до ${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }$.

Связь с функцией Лобачевского

В Функция Лобачевского Λ или A - по сути, одна и та же функция с заменой переменной:

${\displaystyle \Lambda (\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log |2\sin(t)|\,dt=\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )/2}$

хотя название «функция Лобачевского» не совсем исторически достоверно, так как формулы Лобачевского для гиперболического объема использовали несколько иную функцию

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log |\sec(t)|\,dt=\Lambda (\theta +\pi /2)+\theta \log 2.}$

Связь с L-функциями Дирихле

Для рациональных значений ${\displaystyle \theta /\pi }$ (то есть для ${\displaystyle \theta /\pi =p/q}$ для некоторых целых чисел п и q), функция ${\displaystyle \sin(n\theta )}$ можно понимать как периодическую орбиту элемента в циклическая группа, и поэтому ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{s}(\theta )}$ можно выразить в виде простой суммы, включающей Дзета-функция Гурвица.^{[нужна цитата ]} Это позволяет установить отношения между определенными L-функции Дирихле быть легко вычисленным.

Серийное ускорение

А серийное ускорение для функции Clausen задается

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=1-\log |\theta |+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}}$

что справедливо для ${\displaystyle |\theta |<2\pi }$. Здесь, ${\displaystyle \zeta (s)}$ это Дзета-функция Римана. Более быстро сходящаяся форма дается

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=3-\log \left[|\theta |\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\right]-{\frac {2\pi }{\theta }}\log \left({\frac {2\pi +\theta }{2\pi -\theta }}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}.}$

Конвергенции способствует то, что ${\displaystyle \zeta (n)-1}$ быстро приближается к нулю для больших значений п. Обе формы можно получить с помощью методов пересуммирования, используемых для получения рациональная дзета-серия. (см. Borwein, et al., 2000, ниже).

Особые ценности

Напомним G-функция Барнса и Каталонская постоянная K. Некоторые специальные значения включают

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=K}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=3\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-3\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+\pi \log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+{\frac {2\pi }{3}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{8}}\right)}{G\left({\frac {1}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)+{\frac {\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {5}{8}}\right)}{G\left({\frac {3}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)+{\frac {3\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {11}{12}}\right)}{G\left({\frac {1}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{12}}\right)+{\frac {\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}-1}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {5\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{12}}\right)}{G\left({\frac {5}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {5}{12}}\right)+{\frac {5\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}+1}}\right)}$

В общем, из Формула отражения G-функции Барнса,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)}$

Эквивалентно, используя Эйлера формула отражения для гамма-функции, то

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log {\big (}\Gamma (z)\Gamma (1-z){\big )}}$

Обобщенные специальные значения

Некоторые специальные значения для функций Clausen более высокого порядка включают

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}t(0)=\operatorname {Cl} _{2m}(\pi )=\operatorname {Cl} _{2m}(2\pi )=0}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=\beta (2m)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(0)=\operatorname {Cl} _{2m+1}(2\pi )=\zeta (2m+1)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(\pi )=-\eta (2m+1)=-\left({\frac {2^{2m}-1}{2^{2m}}}\right)\zeta (2m+1)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=-{\frac {1}{2^{2m+1}}}\eta (2m+1)=-\left({\frac {2^{2m}-1}{2^{4m+1}}}\right)\zeta (2m+1)}$

куда ${\displaystyle \beta (x)}$ это Бета-функция Дирихле, ${\displaystyle \eta (x)}$ это Эта функция Дирихле (также называемая чередующейся дзета-функцией), и ${\displaystyle \zeta (x)}$ это Дзета-функция Римана.

Интегралы прямой функции

Следующие интегралы легко доказываются из представлений функции Клаузена в серии:

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Cl} _{2m}(x)\,dx=\zeta (2m+1)-\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Cl} _{2m+1}(x)\,dx=\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Sl} _{2m}(x)\,dx=\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Sl} _{2m+1}(x)\,dx=\zeta (2m+2)-\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )}$

С помощью Фурье-аналитических методов можно найти первые моменты квадрата функции ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(x)}$ на интервале ${\displaystyle [0,\pi ]}$:^[1]

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx=\zeta (4),}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }t\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx={\frac {221}{90720}}\pi ^{6}-4\zeta ({\overline {5}},1)-2\zeta ({\overline {4}},2),}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }t^{2}\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx=-{\frac {2}{3}}\pi \left[12\zeta ({\overline {5}},1)+6\zeta ({\overline {4}},2)-{\frac {23}{10080}}\pi ^{6}\right].}$

Здесь ${\displaystyle \zeta }$ обозначает Множественная дзета-функция.

Интегральные оценки, включающие прямую функцию

Большое количество тригонометрических и логарифм-тригонометрических интегралов можно вычислить с помощью функции Клаузена и различных общих математических констант, таких как ${\displaystyle \,K\,}$ (Каталонская постоянная ), ${\displaystyle \,\log 2\,}$, и частные случаи дзета-функция, ${\displaystyle \,\zeta (2)\,}$ и ${\displaystyle \,\zeta (3)\,}$.

Примеры, перечисленные ниже, следуют непосредственно из интегрального представления функции Клаузена, и для доказательства требуется немного больше, чем базовая тригонометрия, интегрирование по частям и случайное поэтапное интегрирование функции. Ряд Фурье определения функций Clausen.

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(\sin x)\,dx=-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )-\theta \log 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(\cos x)\,dx={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )-\theta \log 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(\tan x)\,dx=-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(1+\cos x)\,dx=2\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )-\theta \log 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(1-\cos x)\,dx=-2\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-\theta \log 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(1+\sin x)\,dx=2K-2\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)-\theta \log 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(1-\sin x)\,dx=-2K+2\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)-\theta \log 2}$

Рекомендации

1. Иштван, Мезо (2020). «Лог-синус-интегралы и знакопеременные суммы Эйлера». Acta Mathematica Hungarica (160): 45–57.

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 27.8». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое издание). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 1005. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253.
• Клаузен, Томас (1832). "Über die Функция sin φ + (1/2²) sin 2φ + (1/3²) sin 3φ + и т. д. ". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 8: 298–300. ISSN  0075-4102.
• Вуд, Ван Э. (1968). «Эффективное вычисление интеграла Клаузена». Математика. Comp. 22 (104): 883–884. Дои:10.1090 / S0025-5718-1968-0239733-9. МИСТЕР  0239733.
• Леонард Левин, (Ред.). Структурные свойства полилогарифмов. (1991) Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд. ISBN  0-8218-4532-2
• Лу, Хунг Юнг; Перес, Кристофер А. (1992). «Безмассовый однопетлевой скалярный трехточечный интеграл и связанные с ним функции Клаузена, Глейшера и L-функции» (PDF).
• Кёльбиг, Курт Зигфрид (1995). «Коэффициенты Чебышева для функции Клаузена Cl₂(Икс)". J. Comput. Appl. Математика. 64 (3): 295–297. Дои:10.1016/0377-0427(95)00150-6. МИСТЕР  1365432.
• Борвейн, Джонатан М.; Брэдли, Дэвид М .; Крэндалл, Ричард Э. (2000). «Вычислительные стратегии для дзета-функции Римана» (PDF). J. Comp. Приложение. Математика. 121 (1–2): 247–296. Bibcode:2000JCoAM.121..247B. Дои:10.1016 / s0377-0427 (00) 00336-8. МИСТЕР  1780051.
• Адамчик Виктор. С. (2003). «Вклад в теорию функции Барнса». arXiv:математика / 0308086v1.
• Калмыков Михаил Юрьевич; Шепляков, А. (2005). «LSJK - библиотека C ++ для числового вычисления произвольной точности обобщенного логарифмического синусоидального интеграла». Comput. Phys. Сообщество. 172: 45–59. arXiv:hep-ph / 0411100. Bibcode:2005CoPhC.172 ... 45K. Дои:10.1016 / j.cpc.2005.04.013.
• Borwein, Jonathan M .; Штрауб, Армин (2013). «Отношения для полилогарифмов Нильсена». J. Прибл. Теория. 193. С. 74–88. Дои:10.1016 / j.jat.2013.07.003.
• Матар, Р. Дж. (2013). «Реализация сумм Clausen C99». arXiv:1309.7504 [math.NA ].