Константа Франсена – Робинсона - Fransén–Robinson constant

В Константа Франсена – Робинсона, иногда обозначается F, это математическая константа который представляет собой область между графиком обратная гамма-функция, 1 / Γ (Икс), а положительный Икс ось. То есть,

${displaystyle F=int _{0}^{infty }{frac {1}{Gamma (x)}},dx=2.8077702420285...}$

Другие выражения

Постоянная Франсена – Робинсона имеет числовое значение F = 2.8077702420285... (последовательность A058655 в OEIS ), и непрерывная дробь представление [2; 1, 4, 4, 1, 18, 5, 1, 3, 4, 1, 5, 3, 6, ...] (последовательность A046943 в OEIS ). Константа несколько близка к Число Эйлера е = 2.71828... . Этот факт можно объяснить, аппроксимируя интеграл суммой:

${displaystyle F=int _{0}^{infty }{frac {1}{Gamma (x)}},dxapprox sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{Gamma (n)}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{n!}},}$

и эта сумма является стандартным рядом для е. Разница в том

${displaystyle F-e=int _{0}^{infty }{frac {e^{-x}}{pi ^{2}+(ln x)^{2}}},dx}$

или эквивалентно

${displaystyle F=e+{frac {1}{pi }}int _{-pi /2}^{pi /2}e^{pi an heta }e^{-e^{pi an heta }},d heta .}$

Константу Франсена – Робинсона также можно выразить с помощью Функция Миттаг-Леффлера как предел

${displaystyle F=lim _{alpha o 0}alpha E_{alpha ,0}(1).}$

Однако неизвестно, были ли F можно выразить в закрытая форма с точки зрения других известных констант.

История расчетов

Было приложено немало усилий для расчета числового значения постоянной Франсена – Робинсона с высокой точностью.

Значение было вычислено с точностью до 36 знаков после запятой Германом П. Робинсоном с использованием 11 точек. Квадратура Ньютона – Котеса, до 65 цифр по A. Fransén с использованием Суммирование Эйлера – Маклорена., и до 80 цифр Франсена и С. Ригге, используя Серия Тейлор и другие методы. Уильям А. Джонсон вычислил 300 цифр, а Паскаль Себах смог вычислить 600 цифр, используя Интеграция Кленшоу-Кертиса.^{[нужна цитата ]}

Рекомендации

• Франсен, Арне (1979). «Точное определение обратного гамма-интеграла». КУСОЧЕК. 19 (1): 137–138. Дои:10.1007 / BF01931232. МИСТЕР  0530126.

• Франсен, Арне; Ригге, Стаффан (1980). «Высокоточные значения гамма-функции и некоторых связанных коэффициентов». Математика вычислений. 34 (150): 553–566. Дои:10.2307/2006104. МИСТЕР  0559204.

• Франсен, Арне (1981). «Дополнение и исправление к» Высокоточные значения гамма-функции и некоторых связанных коэффициентов"". Математика вычислений. 37 (155): 233–235. Дои:10.2307/2007517. МИСТЕР  0616377.

• Финч, Стив. "Франсен – Робинсон Констан".^{[мертвая ссылка ]}

• Вайсштейн, Эрик В. "Франсен – Робинсон Констан". MathWorld.

• Борвейн, Джонатан; Бейли, Дэвид; Гиргенсон, Роланд (2003). Эксперименты в математике - вычислительные пути к открытиям. А. К. Петерс. п. 288. ISBN  1-56881-136-5.