Взаимная гамма-функция - Reciprocal gamma function

График 1 / Γ (x) вдоль вещественной оси

Взаимная гамма-функция 1 / Γ (z) в комплексная плоскость. Цвет точки z кодирует значение 1 / Γ (z). Яркие цвета обозначают значения, близкие к нулю, а оттенок кодирует значения аргумент.

В математика, то обратная гамма-функция это функция

${displaystyle f(z)={frac {1}{Gamma (z)}},}$

куда Γ (z) обозначает гамма-функция. Поскольку гамма-функция мероморфный и ненулевой всюду в комплексная плоскость, обратным ему является вся функция. Как целая функция, она имеет порядок 1 (что означает, что журнал журнал |1 / Γ (z)| растет не быстрее, чем журнал |z|), но бесконечного типа (то есть журнал |1 / Γ (z)| растет быстрее, чем любое кратное |z|, поскольку его рост примерно пропорционален |z| журнал |z| в левой плоскости).

Обратное иногда используется как отправная точка для числовое вычисление гамма-функции, а несколько программных библиотек предоставляют ее отдельно от обычной гамма-функции.

Карл Вейерштрасс назвал обратную гамма-функцию "factorielle" и использовал ее в своем развитии Теорема факторизации Вейерштрасса.

Бесконечное расширение продукта

Следуя бесконечный продукт определения для гамма-функция, из-за Эйлер и Weierstrass соответственно, мы получаем следующее бесконечное произведение для обратной гамма-функции:

${displaystyle {egin{aligned}{frac {1}{Gamma (z)}}&=zprod _{n=1}^{infty }{frac {1+{frac {z}{n}}}{left(1+{frac {1}{n}}ight)^{z}}}{frac {1}{Gamma (z)}}&=ze^{gamma z}prod _{n=1}^{infty }left(1+{frac {z}{n}}ight)e^{-{frac {z}{n}}}end{aligned}}}$

куда γ ≈ 0.577216... это Константа Эйлера – Маскерони. Эти разложения действительны для всех комплексных чисел.z.

Серия Тейлор

Серия Тейлор расширение около 0 дает

${displaystyle {frac {1}{Gamma (z)}}=z+gamma z^{2}+left({frac {gamma ^{2}}{2}}-{frac {pi ^{2}}{12}}ight)z^{3}+cdots }$

куда γ это Константа Эйлера – Маскерони. За п > 2, коэффициент а_п для z^п член может быть вычислен рекурсивно как^[1]

${displaystyle a_{n}={frac {a_{2}a_{n-1}-sum _{j=2}^{n-1}(-1)^{j},zeta (j),a_{n-j}}{n-1}}}$

куда ζ(s) это Дзета-функция Римана. Интегральное представление для этих коэффициентов было недавно найдено Феких-Ахмедом (2014):^[2]

${displaystyle a_{n}={frac {(-1)^{n}}{pi n!}}int _{0}^{infty }e^{-t}Im [(log(t)-ipi )^{n}],dt,.}$

Для малых значений они дают следующие значения:

п	ап
1	+1.0000000000000000000000000000000000000000
2	+0.5772156649015328606065120900824024310422
3	−0.6558780715202538810770195151453904812798
4	−0.0420026350340952355290039348754298187114
5	+0.1665386113822914895017007951021052357178
6	−0.0421977345555443367482083012891873913017
7	−0.0096219715278769735621149216723481989754
8	+0.0072189432466630995423950103404465727099
9	−0.0011651675918590651121139710840183886668
10	−0.0002152416741149509728157299630536478065
11	+0.0001280502823881161861531986263281643234
12	−0.0000201348547807882386556893914210218184
13	−0.0000012504934821426706573453594738330922
14	+0.0000011330272319816958823741296203307449
15	−0.0000002056338416977607103450154130020573
16	+0.0000000061160951044814158178624986828553
17	+0.0000000050020076444692229300556650480600
18	−0.0000000011812745704870201445881265654365
19	+0.0000000001043426711691100510491540332312
20	+0.0000000000077822634399050712540499373114
21	−0.0000000000036968056186422057081878158781
22	+0.0000000000005100370287454475979015481323
23	−0.0000000000000205832605356650678322242954
24	−0.0000000000000053481225394230179823700173
25	+0.0000000000000012267786282382607901588938
26	−0.0000000000000001181259301697458769513765
27	+0.0000000000000000011866922547516003325798
28	+0.0000000000000000014123806553180317815558
29	−0.0000000000000000002298745684435370206592
30	+0.0000000000000000000171440632192733743338

Феки-Ахмед (2014)^[2] также дает приближение для ${displaystyle a_{n}}$:

${displaystyle a_{n}approx {frac {(-1)^{n}}{(n-1)!}},{sqrt {{frac {2}{,pi n,}},}};Im !!left({frac {,z_{0}^{left(1/2-night)},e^{-nz_{0}},}{sqrt {1+z_{0},}}}ight),,}$

куда ${displaystyle z_{0}=-{frac {1}{n}}exp !{Bigl (}W_{-1}(-n){Bigr )},,}$ и ${displaystyle W_{-1}}$ это минус-первая ветвь W функция Ламберта.

Асимптотическое разложение

В качестве |z| уходит в бесконечность с постоянной аргумент (z) у нас есть:

${displaystyle ln(1/Gamma (z))sim -zln(z)+z+{ frac {1}{2}}ln left({frac {z}{2pi }}ight)-{frac {1}{12z}}+{frac {1}{360z^{3}}}-{frac {1}{1260z^{5}}}qquad qquad { ext{for}}quad |arg(z)|<pi }$

Контурное интегральное представление

Интегральное представление благодаря Герман Ганкель является

${displaystyle {frac {1}{Gamma (z)}}={frac {i}{2pi }}oint _{H}(-t)^{-z}e^{-t},dt,}$

куда ЧАС это Контур Ганкеля, то есть путь, охватывающий 0 в положительном направлении, начинающийся и возвращающийся в положительную бесконечность относительно срезанная ветка вдоль положительной действительной оси. По словам Schmelzer & Trefethen,^[3] Численное вычисление интеграла Ганкеля является основой некоторых из лучших методов вычисления гамма-функции.

Интегральные представления при натуральных числах

Для положительных целых чисел ${displaystyle ngeq 1}$, существует интеграл для обратной факториал функция дана^[4]

${displaystyle {frac {1}{n!}}={frac {1}{2pi }}int _{-pi }^{pi }e^{-nit}e^{e^{it}} dt.}$

Точно так же для любого реального ${displaystyle c>0}$ и ${displaystyle zin mathbb {C} }$ у нас есть следующий интеграл для обратной гамма-функции по действительной оси в виде ^{[5][ненадежный источник? ]}:

${displaystyle {frac {1}{Gamma (z)}}={frac {1}{2pi }}int _{-infty }^{infty }(c+it)^{-z}e^{c+it}dt,}$

где частный случай, когда ${displaystyle z=n+1/2}$ дает соответствующее соотношение для обратного двойной факториал функция ${displaystyle {frac {1}{(2n-1)!!}}={frac {sqrt {pi }}{2^{n}cdot Gamma left(n+{frac {1}{2}}ight)}}.}$

Интеграл по действительной оси

Интегрирование обратной гамма-функции вдоль положительной действительной оси дает значение

${displaystyle int _{0}^{infty }{frac {1}{Gamma (x)}},dxapprox 2.80777024,}$

который известен как Константа Франсена – Робинсона.

Смотрите также

• Функция Бесселя – Клиффорда
• Обратное гамма-распределение

Рекомендации

1. Гаечный ключ, J.W. (1968). «По поводу двух серий для гамма-функции». Математика вычислений. 22: 617–626. и
   Гаечный ключ, J.W. (1973). «Ошибка: Относительно двух серий для гамма-функции». Математика вычислений. 27: 681–682.
2. Феки-Ахмед, Л. (2014). «О разложении обратной гамма-функции в степенной ряд». HAL архивы.
3. Шмельцер, Томас; Trefethen, Ллойд Н. (2007). «Вычисление гамма-функции с использованием контурных интегралов и рациональных приближений». Журнал SIAM по численному анализу. Общество промышленной и прикладной математики. 45 (2): 558–571. Дои:10.1137/050646342.;"Копия на академическом сайте Trefethen" (PDF). Математика, Оксфорд, Великобритания. Получено 2020-08-03.;«Ссылка на две другие копии». CiteSeerX.
4. Грэм, Кнут и Паташник (1994). Конкретная математика. Эддисон-Уэсли. п. 566.
5. "Интегральная формула для ${displaystyle 1/Gamma (z)}$". Обмен математическим стеком.

• Метте Лунд, Интеграл для обратной гамма-функции
• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами
• Эрик В. Вайсштейн, Гамма-функция, MathWorld