Контур Ганкеля - Hankel contour

Контурная траектория Ганкеля, пройденная в положительном смысле.

Это вариант контура Ганкеля, который состоит только из линейного зеркального изображения по действительной оси.

В математика, а Контур Ганкеля это путь в комплексная плоскость которая продолжается от (+ ∞, δ) вокруг начала координат против часовой стрелки и вернемся к (+ ∞, −δ), где δ - сколь угодно малое положительное число. Таким образом, контур остается сколь угодно близким к реальная ось но без пересечения действительной оси за исключением отрицательных значений Икс. Контур Ганкеля также может быть представлен путем, имеющим зеркальные изображения чуть выше и ниже действительной оси, соединенным с кругом радиуса ε с центром в начале координат, где ε - произвольно малое число. Считается, что два линейных участка контура находятся на расстоянии δ от действительной оси. Таким образом, общее расстояние между линейными участками контура равно 2δ. ^[1] Контур проходит в положительно ориентированном смысле, что означает, что круг вокруг начала координат перемещается против часовой стрелки.

Использование контуров Ганкеля является одним из методы контурной интеграции. Этот тип пути для контурные интегралы впервые был использован Герман Ганкель в своих исследованиях Гамма-функция.

Контур Ганкеля используется для вычисления интегралов, таких как гамма-функция, Функция Римана-Дзета, и другие Функции Ганкеля (которые являются функциями Бесселя третьего рода). ^[1][2]

Применение контура Ганкеля

Контур Ганкеля и гамма-функция.

Контур Ганкеля помогает выразить и решить гамма-функцию в комплексе т-самолет. Гамма-функцию можно определить для любого комплексное значение на плоскости, если вычислить интеграл по контуру Ганкеля. Контур Ганкеля особенно полезен для выражения гамма-функции для любого комплексного значения, потому что конечные точки контура обращаются в нуль, и, таким образом, позволяет удовлетворить фундаментальное свойство гамма-функции, которое гласит ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$. ^[2]

Вывод контурного интегрального выражения гамма-функции.^[2]

Обратите внимание, что формальное представление гамма-функции ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{C}f(t)t^{z-1}dt}$.

Чтобы удовлетворить фундаментальному свойству гамма-функции, следует, что

${\displaystyle \int _{C}f(t)t^{z}dt=[t^{z}f(t)]-\int _{C}t^{z}f'(t)dt}$

после умножения обеих частей на z.

Таким образом, при обращении в нуль концов контура Ганкеля левая и правая части сводятся к

${\displaystyle f(t)+f'(t)=0}$.

С помощью дифференциальные уравнения,

${\displaystyle f(t)=Ae^{-t}}$

становится общим решением. Пока А постоянна по отношению к т, считается, что А может колебаться в зависимости от комплексного числа z. Поскольку A (z) произвольно, комплексная экспонента по z может быть включена в определение A (z). Подставляя f (t) в исходный интеграл, получаем ${\displaystyle \Gamma (z)=A(z)\int _{C}e^{-t}(-t)^{z-1}dt}$.

Интегрируя по контуру Ганкеля, контурное интегральное выражение гамма-функции становится ${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {i}{2\sin {\pi z}}}\int _{C}e^{-t}(-t)^{z-1}dt}$. ^[2]

Рекомендации

1. Кранц, Стивен Г. (Стивен Джордж), 1951- (1999). Справочник сложных переменных. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser. ISBN  0-8176-4011-8. OCLC  40964730.
2. Моретти, Джино (1964). Функции комплексной переменной. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc., стр. 179–184. LCCN  64012240.

дальнейшее чтение

• Шмельцер, Томас; Трефетен, Ллойд Н. (2007-01). «Вычисление гамма-функции с использованием контурных интегралов и рациональных приближений». Журнал СИАМ по численному анализу. 45 (2): 558–571. Дои:10.1137/050646342. ISSN  0036-1429.
• Хью Л. Монтгомери; Роберт К. Воан (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория. Кембриджские трактаты по высшей математике. 97. п. 515. ISBN  0-521-84903-9.

Внешняя ссылка

• http://mathworld.wolfram.com/HankelContour.html
• Цифровая библиотека математических функций NIST: гамма-функция: интегральное представление