Закон исключенного среднего - Law of excluded middle

В логика, то закон исключенного среднего (или принцип исключенного среднего) утверждает, что для любого предложение, либо это предложение истинный или его отрицание правда.^{[оспаривается – обсуждать]} Это один из так называемых три закона мысли, вместе с закон непротиворечивости, а закон личности. Закон исключенного третьего логически эквивалентен закону непротиворечия по формуле Законы де Моргана; однако ни одна логическая система не построена только на этих законах, и ни один из этих законов не предусматривает правила вывода, Такие как modus ponens или законы Де Моргана.

Закон также известен как закон (или же принцип) исключенной трети, в латинский Principium tertii exclusi. Другое латинское обозначение этого закона - tertium non datur: "Третьей [возможности] не дается". Это тавтология.

Принцип не следует путать с семантическим принцип двухвалентности, который утверждает, что каждое предложение истинно или ложно. Принцип бивалентности всегда подразумевает закон исключенного третьего, в то время как обратное не всегда верно. Часто цитируемый контрпример использует утверждения, которые недоказуемы сейчас, но могут быть доказаны в будущем, чтобы показать, что закон исключенного третьего может применяться, когда принцип двухвалентности не работает.^[1]

История

Аристотель

Самая ранняя известная формулировка содержится в обсуждении Аристотелем принцип непротиворечивости, впервые предложенный в Об интерпретации,^[2] где он говорит, что из двух противоречивый предложения (то есть, когда одно предложение является отрицанием другого), одно должно быть истинным, а другое ложным.^[3] Он также утверждает это как принцип в Метафизика книга 3, где говорится, что в каждом случае необходимо подтвердить или опровергнуть,^[4] и что между двумя частями противоречия не может быть чего-либо.^[5]

Аристотель писал, что двусмысленность может возникнуть из-за использования неоднозначных имен, но не может существовать в самих фактах:

Следовательно, невозможно, чтобы «быть мужчиной» означало именно «не быть мужчиной», если «человек» не только означает что-то в одном предмете, но также имеет одно значение. ... И не может быть и не быть одним и тем же, кроме как в силу двусмысленности, как если бы тот, кого мы называем «человеком», а другие называли «не-человеком»; но вопрос не в том, может ли одно и то же одновременно быть человеком по имени, а не в том, может ли это быть на самом деле. (Метафизика 4.4, У.Д. Росс (пер.), GBWW 8, 525–526).

Утверждение Аристотеля о том, что «не может быть и не быть одним и тем же», которое было бы записано в логике высказываний как ¬ (п ∧ ¬п), это утверждение, которое современные логики могли бы назвать законом исключенного третьего (п ∨ ¬п), поскольку распределение отрицания утверждения Аристотеля делает их эквивалентными, несмотря на то, что первое утверждает, что никакое утверждение не является обе истина и ложь, в то время как последнее требует, чтобы любое утверждение либо правда или ложь.

Но Аристотель также пишет: «Поскольку невозможно, чтобы противоречия в одно и то же время относились к одному и тому же, очевидно, что противоположности также не могут принадлежать одновременно к одному и тому же» (Книга IV, Глава 6, стр. 531). Затем он предполагает, что «не может быть промежуточного звена между противоречиями, но в отношении одного субъекта мы должны либо подтвердить, либо опровергнуть любой предикат» (Книга IV, Глава 7, стр. 531). В контексте Аристотеля традиционная логика, это замечательно точная формулировка закона исключенного третьего, п ∨ ¬п.

Также в Об интерпретации, Аристотель, кажется, отрицает закон исключенного третьего в случае будущие контингенты, в своем обсуждении морского боя.

Лейбниц

Его обычная форма: «Каждое суждение истинно или ложно» [сноска 9] ... »(из Колмогорова в van Heijenoort, стр. 421), сноска 9:« Это Лейбниц очень простая формулировка (см. Nouveaux Essais, IV, 2) "(там же стр. 421)

Бертран Рассел и Principia Mathematica

Принцип был заявлен как теорема из логика высказываний к Рассел и Уайтхед в Principia Mathematica в качестве:

${displaystyle mathbf {* 2cdot 11}. вдаш. p vee hicksim p}$ .^[6]

Так что же такое «правда» и «ложь»? На открытии ВЕЧЕРА быстро объявляет некоторые определения:

Истинные ценности. «Ценность истинности» предложения равна правда если это правда и ложь если оно ложно * [* Эта фраза принадлежит Фреге] ... значение истинности "p ∨ q" является истиной, если значение истинности либо p, либо q является истиной, и ложью в противном случае ... "~ p" - противоположность p ... "(стр. 7-8)

Это не сильно поможет. Но позже, в более глубоком обсуждении («Определение и систематическая двусмысленность истины и лжи», глава II, часть III, стр. 41 и далее), ВЕЧЕРА определяет истину и ложь в терминах отношения между «а», «б» и «воспринимающим». Например, «Этот 'a' равен 'b'» (например, «Этот 'объект a' является 'красным'») на самом деле означает «'объект a' является чувственным данным» и «« красный »является чувственным данным» , и они «стоят по отношению» друг к другу и по отношению к «Я». Таким образом, на самом деле мы имеем в виду: «Я понимаю, что« Этот объект а красный »», и это неопровержимая «истина» третьей стороны.

ВЕЧЕРА далее определяет различие между «чувственными данными» и «ощущением»:

То есть, когда мы судим (говорим) «это красное», возникает связь трех терминов: разума, «этого» и «красного». С другой стороны, когда мы воспринимаем «красноту этого», существует связь двух терминов, а именно ума и сложного объекта «краснота этого» (стр. 43–44).

Рассел повторил свое различие между «чувственными данными» и «ощущением» в своей книге. Проблемы философии (1912), опубликованный одновременно с ВЕЧЕРА (1910–1913):

Давайте назовем «чувственными данными» вещи, которые непосредственно познаются в ощущении: такие вещи, как цвета, звуки, запахи, твердость, шероховатость и так далее. Мы дадим название «ощущению» переживанию немедленного осознания этих вещей ... Сам цвет - это чувственное данное, а не ощущение. (стр.12)

Рассел далее описал свои аргументы в пользу своих определений «истины» и «лжи» в той же книге (Глава XII, Правда и ложь).

Последствия действия закона исключенного среднего в Principia Mathematica

Из закона исключенного третьего формула ✸2.1 в Principia Mathematica, Уайтхед и Рассел выводят одни из самых мощных инструментов в арсенале логиков. (В Principia Mathematica, формулы и предложения обозначаются ведущей звездочкой и двумя числами, например «✸2.1».)

✸2.1 ~п ∨ п «Это Закон исключенного среднего» (ВЕЧЕРА, п. 101).

Доказательство п. 2.1 выглядит примерно так: «примитивная идея» 1.08 определяет п → q = ~п ∨ q. Подстановка п за q в этом правиле дает п → п = ~п ∨ п. С п → п верно (это теорема 2.08, которая доказывается отдельно), то ~п ∨ п должно быть правдой.

✸2.11 п ∨ ~п (Перестановка утверждений допускается аксиомой 1.4)
✸2.12 п → ~(~п) (Принцип двойного отрицания, часть 1: если «эта роза красная» верно, то неверно, что «эта роза не-красная» верно ».)
✸2.13 п ∨ ~{~(~п)} (Лемма вместе с 2.12 использовалась для вывода 2.14)
✸2.14 ~(~п) → п (Принцип двойного отрицания, часть 2)
✸2.15 (~п → q) → (~q → п) (Один из четырех «Принципов транспонирования». Аналогичен 1.03, 1.16 и 1.17. Здесь потребовалась очень долгая демонстрация.)
✸2.16 (п → q) → (~q → ~п) (Если это правда, что «Если эта роза красная, то эта свинья летает», тогда верно, что «Если эта свинья не летает, то эта роза не красная»).
✸2.17 ( ~п → ~q ) → (q → п) (Еще один из «Принципов транспонирования».)
✸2.18 (~п → п) → п (Называется "Дополнение сокращение до абсурда. В нем говорится, что предложение, которое следует из гипотеза о собственной лживости верна »(ВЕЧЕРА, с. 103–104).)

Большинство этих теорем, в частности, пп. 2.1, п. 2.11 и п. 2.14, отвергаются интуиционизмом. Эти инструменты преобразованы в другую форму, которую Колмогоров цитирует как «четыре аксиомы Гильберта импликации» и «две аксиомы Гильберта отрицания» (Колмогоров в van Heijenoort, стр. 335).

Предложения 2.12 и ✸2.14, «двойное отрицание»: интуиционист сочинения Л. Э. Дж. Брауэр ссылаются на то, что он называет " принцип взаимности множественности видов, то есть принцип, согласно которому для каждой системы правильность свойства следует из невозможности невозможности этого свойства »(Брауэр, там же, стр. 335).

Этот принцип принято называть «принципом двойного отрицания» (ВЕЧЕРАС. 101–102). Из закона исключенного среднего (2.1 и 2.11), ВЕЧЕРА немедленно выводит принцип ✸2.12. Подставляем ~п за п в 2.11, чтобы уступить ~п ∨ ~(~п), и по определению импликации (т.е. 1.01 p → q = ~ p ∨ q), то ~ p ∨ ~ (~ p) = p → ~ (~ p). QED (вывод 2.14 немного сложнее.)

Райхенбах

Это правильно, по крайней мере, для бивалентной логики, т.е. это можно увидеть с Карта Карно - что этот закон убирает «середину» включительно -или используется в его законе (3). И в этом суть демонстрации Райхенбаха, что некоторые считают эксклюзивный-или же должен занять место включающий-или же.

По поводу этого вопроса (правда, в очень технических терминах) Райхенбах замечает:

Tertium non datur

29. (Икс)[ж(Икс) ∨ ~ж(Икс)]

не является исчерпывающим в своих основных терминах и поэтому является раздутой формулой. Этот факт, возможно, может объяснить, почему некоторые люди считают неразумным писать (29) с включительным «или» и хотят, чтобы это было написано со знаком «или». эксклюзивный-'или же'

30. (Икс)[ж(Икс) ⊕ ~ж(Икс)], где символ "⊕" означает Эксклюзивный или^[7]

в какой форме он будет полностью исчерпывающим и, следовательно, номологическим в более узком смысле. (Райхенбах, стр. 376)

В строке (30) «(x)» означает «для всех» или «для каждого», форма, используемая Расселом и Райхенбахом; сегодня символизм обычно ${displaystyle forall}$ Икс. Таким образом, пример выражения будет выглядеть так:

(свинья): (Мухи(свинья) ⊕ ~Мухи(свинья))
(Для всех случаев "свинья" видимая и невидимая): ("Свинья летает" или "Свинья не летает", но не оба одновременно)

Логики против интуиционистов

С конца 1800-х по 1930-е гг. Между Гильбертом и его последователями велись ожесточенные и упорные споры. Герман Вейль и Л. Э. Дж. Брауэр. Философия Брауэра, называемая интуиционизм, всерьез начал с Леопольд Кронекер в конце 1800-х гг.

Гильберту очень не нравились идеи Кронекера:

Кронекер утверждал, что без строительства не может быть существования. Для него, как и для Пола Гордана [еще одного пожилого математика], доказательство Гильбертом конечности базиса инвариантной системы не было математикой. Гильберт, с другой стороны, на протяжении всей своей жизни настаивал на том, что, если можно доказать, что атрибуты, присвоенные концепции, никогда не приведут к противоречию, тем самым будет установлено математическое существование концепции (Рид, стр. 34).

Его [Кронекер] утверждал, что нельзя сказать, что ничто имеет математическое существование, если оно не может быть построено с помощью конечного числа положительных целых чисел (Рид, стр. 26)

Эти дебаты оказали глубокое влияние на Гильберта. Рид указывает, что Вторая проблема Гильберта (один из Проблемы Гильберта из Второй Международной конференции в Париже в 1900 году) возникли из этих дебатов (курсив в оригинале):

В своей второй задаче [Гильберт] попросил математическое доказательство о непротиворечивости аксиом арифметики действительных чисел.

Чтобы показать важность этой проблемы, он добавил следующее наблюдение:

"Если концепции присваиваются противоречивые атрибуты, я говорю, что математически концепции не существует"(Рид стр. 71)

Таким образом, Гильберт говорил: «Если п и ~п оба оказываются верными, то п не существует », и тем самым обращался к закону исключенного среднего, превращая его в закон противоречия.

И, наконец, конструктивисты ... ограничили математику изучением конкретных операций над конечными или потенциально (но не на самом деле) бесконечными структурами; завершенные бесконечные совокупности ... были отвергнуты, как и косвенные доказательства, основанные на Законе исключенного среднего. Наиболее радикальными среди конструктивистов были интуиционисты во главе с бывшим топологом Л. Э. Брауэром (Доусон, стр. 49).

Злобные дебаты продолжались с начала 1900-х до 1920-х годов; в 1927 году Брауэр жаловался на «полемику против него [интуиционизма] в насмешливых тонах» (Brouwer in van Heijenoort, стр. 492). Но дебаты были плодотворными: в результате Principia Mathematica (1910–1913), и эта работа дала точное определение закону исключенного третьего, и все это предоставило интеллектуальную основу и инструменты, необходимые математикам начала 20 века:

Из недоброжелательности, отчасти порожденной ею, возникло несколько важных логических разработок ... Аксиоматизация теории множеств Цермело (1908a) ... за которой двумя годами позже последовал первый том книги Principia Mathematica ... в котором Рассел и Уайтхед показали, как с помощью теории типов большая часть арифметики может быть развита логическими средствами (Доусон, стр. 49)

Брауэр свел дискуссию к использованию доказательств, основанных на «отрицательном» или «несуществующем» против «конструктивного» доказательства:

Согласно Брауэру, утверждение о том, что существует объект, обладающий данным свойством, означает, и это подтверждается только тогда, когда известен метод, который в принципе, по крайней мере, позволит найти или сконструировать такой объект ...

Гильберт, естественно, не согласился.

«Чистые доказательства существования были важнейшими вехами в историческом развитии нашей науки», - утверждал он. (Рид стр.155)

Брауэр ... отказался принять логический принцип исключенного третьего ... Его аргумент был следующим:

«Предположим, что A - это утверждение». Существует член множества S имея собственность п. "Если набор конечен, можно - в принципе - исследовать каждый член S и определить, есть ли член S с собственностью п или что каждый член S не хватает собственности п. Поэтому для конечных множеств Брауэр признал действительным принцип исключенного среднего. Он отказался принять его для бесконечных наборов, потому что если набор S бесконечно, мы не можем - даже в принципе - исследовать каждый член множества. Если в ходе нашего исследования мы обнаружим член множества со свойством п, обосновывается первая альтернатива; но если мы никогда не найдем такого члена, вторая альтернатива все равно не обоснована.

Поскольку математические теоремы часто доказываются путем установления того, что отрицание приведет нас к противоречию, эта третья возможность, предложенная Брауэром, поставит под сомнение многие из принятых в настоящее время математических утверждений.

«Взять принцип исключенного среднего от математика, - сказал Гильберт, - это то же самое, что ... запретить боксеру использовать свои кулаки».

«Возможная потеря, похоже, не беспокоила Вейля ... Программа Брауэра была предстоящим делом, он настаивал на своих друзьях в Цюрихе». (Рейд, стр. 149)}}

В своей лекции 1941 г. в Йельском университете и в последующей статье Гёдель предложил решение: «отрицание универсального предложения следует понимать как утверждение существования ... контрпримера» (Доусон, стр. 157))

Подход Гёделя к закону исключенного третьего заключался в утверждении, что возражения против «использования« импредикативных определений »« имеют больший вес », чем« закон исключенного среднего и связанные с ним теоремы исчисления высказываний »(Доусон, стр. 156). Он предложил свою «систему Σ ... и в заключение упомянул несколько приложений своей интерпретации. Среди них было доказательство соответствия с интуиционистская логика принципа ~ (∀A: (A ∨ ~ A)) (несмотря на несостоятельность предположения ∃ A: ~ (A ∨ ~ A) "(Доусон, стр. 157)

Дискуссия, похоже, ослабла: математики, логики и инженеры продолжают использовать закон исключенного третьего (и двойного отрицания) в своей повседневной работе.

Интуиционистские определения закона (принципа) исключенного третьего

Нижеследующее подчеркивает глубокую математическую и философскую проблему, стоящую за тем, что значит «знать», а также помогает прояснить, что подразумевает «закон» (то есть, что на самом деле означает закон). У них возникают трудности с законом: они не хотят принимать в качестве истинных следствий то, что невозможно проверить (непроверяемое, непознаваемое), невозможного или ложного. (Все цитаты взяты из ван Хейеноорта, курсив добавлен).

Брауэр предлагает свое определение «принципа исключенного среднего»; мы видим здесь также проблему "проверяемости":

На основе только что упомянутой проверяемости для свойств, задуманных в рамках конкретной конечной основной системы, выполняется «принцип исключенного третьего», т. Е. принцип, согласно которому для каждой системы каждое свойство либо правильно [richtig], либо невозможнои, в частности, принцип взаимности дополнительных видов, то есть принцип, согласно которому для каждой системы правильность свойства следует из невозможности невозможности этого свойства. (335)

Колмогороваs определение цитирует две аксиомы Гильберта отрицания

А → (~А → B)
(А → B) → { (~А → B) → B}

Первая аксиома отрицания Гильберта, «все следует из ложного», появилась только с появлением символической логики, как и первая аксиома импликации ... в то время как ... рассматриваемая аксиома [аксиома 5] что-то утверждает о последствиях невозможного: мы должны принять B если истинное суждение А считается ложным ...

Вторая аксиома отрицания Гильберта выражает принцип исключенного третьего. Принцип выражен здесь в форме, в которой он используется для производных: если B следует из А а также от ~А, тогда B правда. Его обычная форма «каждое суждение либо истинно, либо ложно» эквивалентна приведенному выше ».

Из первой интерпретации отрицания, то есть запрета рассматривать суждение как истинное, невозможно получить уверенность в истинности принципа исключенного третьего ... Брауэр показал, что в случае таких трансфинитных суждений принцип исключенная середина не может считаться очевидной

сноска 9: «Это очень простая формулировка Лейбница (см. Nouveaux Essais, IV, 2). Формулировка "А либо B или нет-B«не имеет ничего общего с логикой суждений.

сноска 10: «Символически вторая форма выражается так

А ∨ ~А

где ∨ означает «или». Эквивалентность двух форм легко доказывается (с. 421).

Примеры

Например, если п предложение:

Сократ смертен.

то закон исключенного третьего гласит, что логическая дизъюнкция:

Либо Сократ смертен, либо Сократ не смертен.

истинно только в силу своей формы. То есть «средняя» позиция, согласно которой Сократ ни смертный, ни несмертный, исключается логикой, и поэтому либо первая возможность (Сократ смертен) или его отрицание (Дело не в том, что Сократ смертен) должно быть правдой.

Далее следует пример аргумента, который зависит от закона исключенного третьего.^[8] Мы стремимся доказать, что

существует два иррациональные числа

{displaystyle a}

и

{displaystyle b}

такой, что

{displaystyle a ^ {b}}

рационально.

Известно, что ${displaystyle {sqrt {2}}}$ иррационально (см. доказательство ). Считайте количество

{displaystyle {sqrt {2}} ^ {sqrt {2}}}

.

Ясно (исключая середину) это число либо рационально, либо иррационально. Если это рационально, доказательство завершено, и

{displaystyle a = {sqrt {2}}}

и

{displaystyle b = {sqrt {2}}}

.

Но если ${displaystyle {sqrt {2}} ^ {sqrt {2}}}$ иррационально, то пусть

{displaystyle a = {sqrt {2}} ^ {sqrt {2}}}

и

{displaystyle b = {sqrt {2}}}

.

потом

{displaystyle a ^ {b} = left ({sqrt {2}} ^ {sqrt {2}} ight) ^ {sqrt {2}} = {sqrt {2}} ^ {left ({sqrt {2}} cdot {sqrt {2}} ight)} = {sqrt {2}} ^ {2} = 2}

,

и 2, конечно, рационально. Это завершает доказательство.

В приведенном выше аргументе утверждение «это число либо рационально, либо иррационально» вызывает закон исключенного третьего. An интуиционист например, не принял бы этот аргумент без дальнейшей поддержки этого утверждения. Это могло бы прийти в форме доказательства того, что рассматриваемое число на самом деле иррационально (или рационально, в зависимости от обстоятельств); или конечный алгоритм, который может определить, является ли число рациональным.

Неконструктивные доказательства над бесконечным

Приведенное выше доказательство является примером неконструктивный доказательство, запрещенное интуиционистами:

Доказательство неконструктивно, потому что не дает конкретных цифр. ${displaystyle a}$ и ${displaystyle b}$ которые удовлетворяют теореме, но только две отдельные возможности, одна из которых должна работать. (Фактически ${displaystyle a = {sqrt {2}} ^ {sqrt {2}}}$ является иррациональным, но нет никаких известных простых доказательств этого факта.) (Davis 2000: 220)

(Конструктивные доказательства приведенного выше конкретного примера несложно произвести; например ${displaystyle a = {sqrt {2}}}$ и ${displaystyle b = log _ {2} 9}$ легко показать, что они иррациональны, и ${displaystyle a ^ {b} = 3}$ ; доказательство, разрешенное интуиционистами).

К неконструктивный Дэвис имеет в виду, что «доказательство того, что на самом деле существуют математические объекты, удовлетворяющие определенным условиям, не должно предоставлять метод для явного отображения рассматриваемых объектов». (стр. 85). Такие доказательства предполагают существование целостной целостности - понятие, которое интуиционисты отвергают при распространении на бесконечный- для них бесконечное никогда не может быть завершено:

В классической математике встречаются неконструктивный или же косвенный доказательства существования, которые интуиционисты не принимают. Например, чтобы доказать существует такое n, что P(п), классический математик может вывести противоречие из предположения для всех п, нет п(п). Как в классической, так и в интуиционистской логике, путем reductio ad absurdum это дает не для всех n, не для P(п). Классическая логика позволяет преобразовать этот результат в существует такое n, что P(п), но не в общем интуиционистском ... классическом смысле, что где-то в завершенной бесконечной совокупности натуральных чисел встречается п такой, что п(п), недоступен ему, поскольку он не воспринимает натуральные числа как законченную совокупность.^[9] (Клини 1952: 49–50)

Дэвид Гильберт и Луитцен Э. Дж. Брауэр оба дают примеры закона исключенного третьего, расширенного до бесконечности. Пример Гильберта: «утверждение, что либо существует только конечное число простых чисел, либо их бесконечно много» (цитируется по Davis 2000: 97); и Брауэра: «Каждый математический вид либо конечен, либо бесконечен». (Брауэр 1923 в ван Хейенорте 1967: 336).

В общем, интуиционисты допускают использование закона исключенного третьего, когда он ограничивается рассуждением о конечных коллекциях (наборах), но не когда он используется в рассуждении о бесконечных наборах (например, о натуральных числах). Таким образом, интуиционисты категорически отвергают общее утверждение: «Для всех предложений п о бесконечных множествах D: п или ~п"(Клини 1952: 48).

Подробнее о конфликте между интуиционистами (например, Брауэр) и формалистами (Гильберт) см. Основы математики и Интуиционизм.

Предполагаемые контрпримеры к закону исключенного третьего включают парадокс лжеца или же Парадокс Куайна. Некоторые решения этих парадоксов, в частности Грэм Прист с диалетеизм как формализовано в LP, иметь закон исключенного среднего как теорему, но разрешить Лжеца как истинное, так и ложное. Таким образом, закон исключенного среднего истинен, но поскольку сама истина и, следовательно, дизъюнкция не исключают друг друга, он почти ничего не говорит о том, является ли один из дизъюнктов парадоксальным или одновременно истинным и ложным.

Критика

Многие современные логические системы заменяют закон исключенного третьего понятием отрицание как неудача. Вместо того, чтобы быть истинным или ложным, предложение либо истинно, либо не может быть доказано.^[10] Эти две дихотомии различаются только логическими системами, которые полный. Принцип отрицания как неудачи лежит в основе аутоэпистемическая логика, и широко используется в логическое программирование. В этих системах программист может утверждать закон исключенного среднего как истинный факт, но это не встроено априори в эти системы.

Математики, такие как Л. Э. Дж. Брауэр и Аренд Хейтинг также оспаривали полезность закона исключенного третьего в контексте современной математики.^[11]

В математической логике

В современном математическая логика было показано, что исключенная середина приводит к возможным внутреннее противоречие. В логике возможно делать хорошо построенные предложения, которые не могут быть ни истинными, ни ложными; типичным примером этого является "Парадокс лжеца ",^[12] утверждение «это утверждение ложно», которое само по себе не может быть ни истинным, ни ложным. Здесь по-прежнему действует закон исключенного третьего, поскольку отрицание этого утверждения «Это утверждение не является ложным» может быть признано истинным. В теория множеств, такой парадокс референции может быть построен, исследуя множество «множество всех множеств, которые не содержат самих себя». Этот набор определяется однозначно, но приводит к Парадокс Рассела^[13]^[14]: содержит ли набор в качестве одного из своих элементов самого себя? Однако в современном Теория множеств Цермело – Френкеля, этот тип противоречия больше не допускается.

Аналогичные законы

Некоторые системы логики имеют разные, но аналогичные законы. Для некоторых конечных п-значная логика, существует аналогичный закон, называемый закон исключенных п+1. Если отрицание циклический и «∨» - это «оператор max», тогда закон может быть выражен на объектном языке как (P ∨ ~ P ∨ ~~ P ∨ ... ∨ ~ ... ~ P), где "~ ... ~ "представляет п−1 знак отрицания и "∨ ... ∨" п−1 знак дизъюнкции. Легко проверить, что предложение должно получить хотя бы одно из п ценности истины (а не значение, не входящее в п).

Другие системы полностью отвергают закон.^{[уточнить ]}

Смотрите также

Противоречие Брауэра-Гильберта: отчет о разделении формалистов и интуиционистов вокруг Закона исключенного среднего
Consequentia mirabilis - Схема рассуждений в логике высказываний
Теорема Диаконеску
Закон исключенного четвертого
Закон исключенной середины неверен в многозначная логика Такие как троичная логика и нечеткая логика - Система рассуждений о неопределенности
Законы мысли
Ограниченный принцип всеведения
Логические графики: графический синтаксис для логики высказываний
Закон Пирса: еще один способ превратить интуицию в классику
Логический детерминизм: приложение исключено от середины до модальный - Тип предложений формальной логики
Неутверждающее отрицание в Прасангика школа буддизма, другая система, в которой закон исключенного среднего не соответствует действительности
Математический конструктивизм
Конструктивная теория множеств

Сноски

^ Томасси, Пол (1999). Логика. Рутледж. п. 124. ISBN 978-0-415-16696-6.
^ Гич п. 74
^ Об интерпретации, c. 9
^ Метафизика 2, 996b 26–30
^ Метафизика 7, 1011b 26–27
^ Альфред Норт Уайтхед, Бертран Рассел (1910), Principia Mathematica, Кембридж, п. 105
^ Первоначальный символ, используемый Райхенбахом, - это перевернутая буква V, которая в настоящее время используется для AND. Оператор AND для Райхенбаха такой же, как и в Principia Mathematica - точка, см. Стр. 27, где он показывает таблицу истинности, в которой он определяет «a.b». Райхенбах определяет исключающее ИЛИ на стр. 35 как «отрицание эквивалентности». В настоящее время используется один знак - круг с + в нем, то есть ⊕ (потому что в двоичной системе a ⊕ b дает сложение по модулю 2 - сложение без переноса). Другие знаки: ≢ (не идентично) или ≠ (не равно).
^ Этот хорошо известный пример неконструктивного доказательства зависимости от закона исключенного третьего можно найти во многих местах, например: Мегилл, Норман. "Метаматематика: компьютерный язык для чистой математики, сноска на стр. 17, ". и Davis 2000: 220, сноска 2.
^ В сравнительном анализе (стр. 43–59) трех «-измов» (и их главных выразителей) - логицизма (Рассел и Уайтхед), интуиционизма (Брауэр) и формализма (Гильберт) - Клини обращает свой пристальный взор на интуиционизм, его «основателя» Брауэра и претензий интуиционистов на закон исключенного третьего применительно к аргументам о «завершенной бесконечности».
^ Кларк, Кит (1978). Логика и базы данных (PDF). Springer-Verlag. С. 293–322 (Отрицание как неудача). Дои:10.1007/978-1-4684-3384-5_11.
^ «Доказательства и знания в математике» Майкла Детлефсена
^ Грэм Прист "Парадоксальная правда ", Нью-Йорк Таймс, 28 ноября 2010 г.
^ Кевин К. Клемент, "Парадокс Рассела". Интернет-энциклопедия философии.
^ Грэм Прист, «Логические парадоксы и закон исключенного среднего», Философский квартал, Vol. 33, № 131, апрель 1983 г., стр. 160–165. DOI: 10.2307 / 2218742. (Абстрактные в JSTOR._

внешняя ссылка

Запись «Противоречие» в Стэнфордская энциклопедия философии

[1] Томасси, Пол (1999). Логика. Рутледж. п. 124. ISBN 978-0-415-16696-6.

[2] Гич п. 74

[3] Об интерпретации, c. 9

[4] Метафизика 2, 996b 26–30

[5] Метафизика 7, 1011b 26–27

[6] Альфред Норт Уайтхед, Бертран Рассел (1910), Principia Mathematica, Кембридж, п. 105

[7] Первоначальный символ, используемый Райхенбахом, - это перевернутая буква V, которая в настоящее время используется для AND. Оператор AND для Райхенбаха такой же, как и в Principia Mathematica - точка, см. Стр. 27, где он показывает таблицу истинности, в которой он определяет «a.b». Райхенбах определяет исключающее ИЛИ на стр. 35 как «отрицание эквивалентности». В настоящее время используется один знак - круг с + в нем, то есть ⊕ (потому что в двоичной системе a ⊕ b дает сложение по модулю 2 - сложение без переноса). Другие знаки: ≢ (не идентично) или ≠ (не равно).

[8] Этот хорошо известный пример неконструктивного доказательства зависимости от закона исключенного третьего можно найти во многих местах, например: Мегилл, Норман. "Метаматематика: компьютерный язык для чистой математики, сноска на стр. 17, ". и Davis 2000: 220, сноска 2.

[9] В сравнительном анализе (стр. 43–59) трех «-измов» (и их главных выразителей) - логицизма (Рассел и Уайтхед), интуиционизма (Брауэр) и формализма (Гильберт) - Клини обращает свой пристальный взор на интуиционизм, его «основателя» Брауэра и претензий интуиционистов на закон исключенного третьего применительно к аргументам о «завершенной бесконечности».

[10] Кларк, Кит (1978). Логика и базы данных (PDF). Springer-Verlag. С. 293–322 (Отрицание как неудача). Дои:10.1007/978-1-4684-3384-5_11.

[11] «Доказательства и знания в математике» Майкла Детлефсена

[12] Грэм Прист "Парадоксальная правда ", Нью-Йорк Таймс, 28 ноября 2010 г.

[13] Кевин К. Клемент, "Парадокс Рассела". Интернет-энциклопедия философии.

[14] Грэм Прист, «Логические парадоксы и закон исключенного среднего», Философский квартал, Vol. 33, № 131, апрель 1983 г., стр. 160–165. DOI: 10.2307 / 2218742. (Абстрактные в JSTOR._

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]