Дзета-функция Гурвица - Hurwitz zeta function

В математика, то Дзета-функция Гурвица, названный в честь Адольф Гурвиц, является одним из многих дзета-функции. Формально он определен для сложный аргументы s с Re (s)> 1 и q с Re (q)> 0 по

${\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+q)^{s}}}.}$

Эта серия абсолютно сходящийся для данных значений s и q и может быть расширен до мероморфная функция определено для всех s≠ 1. В Дзета-функция Римана есть ζ (s,1).

Дзета-функция Гурвица, соответствующая q = 1/3. Он генерируется как Матплотлиб сюжет с использованием версии Раскраска домена метод.^[1]

Аналитическое продолжение

Дзета-функция Гурвица, соответствующая q = 24/25.

Если ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)\leq 1}$ дзета-функция Гурвица может быть определена уравнением

${\displaystyle \zeta (s,q)=\Gamma (1-s){\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {z^{s-1}e^{qz}}{1-e^{z}}}dz}$

где контур ${\displaystyle C}$ представляет собой петлю вокруг отрицательной действительной оси. Это обеспечивает аналитическое продолжение ${\displaystyle \zeta (s,q)}$.

Дзета-функцию Гурвица можно расширить с помощью аналитическое продолжение к мероморфная функция определено для всех комплексных чисел ${\displaystyle s}$ с ${\displaystyle s\neq 1}$. В ${\displaystyle s=1}$ оно имеет простой полюс с остаток ${\displaystyle 1}$. Постоянный член определяется выражением

${\displaystyle \lim _{s\to 1}\left[\zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}\right]={\frac {-\Gamma '(q)}{\Gamma (q)}}=-\psi (q)}$

куда ${\displaystyle \Gamma }$ это гамма-функция и ${\displaystyle \psi }$ это функция дигаммы.

Представление серии

Дзета-функция Гурвица как функция q с s = 3+4я.

Сходящийся Серия Ньютон представление, определенное для (реального) q > 0 и любой комплекс s ≠ 1 было предоставлено Хельмут Хассе в 1930 г .:^[2]

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}.}$

Этот ряд сходится равномерно на компактные подмножества из s-самолет на вся функция. Внутреннюю сумму можно понимать как пth форвардная разница из ${\displaystyle q^{1-s}}$; то есть,

${\displaystyle \Delta ^{n}q^{1-s}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}}$

где Δ - оператор прямой разницы. Таким образом, можно написать

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s,q)&={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\Delta ^{n}q^{1-s}\\&={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }q^{1-s}\end{aligned}}}$

Другие серии, сходящиеся глобально, включают эти примеры

${\displaystyle \zeta (s,v-1)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }H_{n+1}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{1-s}}$

${\displaystyle \zeta (s,v)={\frac {k!}{(s-k)_{k}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+k)!}}\left[{n+k \atop n}\right]\sum _{l=0}^{n+k-1}\!(-1)^{l}{\binom {n+k-1}{l}}(l+v)^{k-s},\quad k=1,2,3,\ldots }$

${\displaystyle \zeta (s,v)={\frac {v^{1-s}}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }|G_{n+1}|\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{-s}}$

${\displaystyle \zeta (s,v)={\frac {(v-1)^{1-s}}{s-1}}-\sum _{n=0}^{\infty }C_{n+1}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{-s}}$

${\displaystyle \zeta (s,v){\big (}v-{\tfrac {1}{2}}{\big )}={\frac {s-2}{s-1}}\zeta (s-1,v)+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}G_{n+2}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{-s}}$

${\displaystyle \zeta (s,v)=-\sum _{l=1}^{k-1}{\frac {(k-l+1)_{l}}{(s-l)_{l}}}\zeta (s-l,v)+\sum _{l=1}^{k}{\frac {(k-l+1)_{l}}{(s-l)_{l}}}v^{l-s}+k\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}G_{n+1}^{(k)}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{-s}}$

куда ЧАС_п являются Гармонические числа, ${\displaystyle \left[{\cdot \atop \cdot }\right]}$ являются Числа Стирлинга первого рода, ${\displaystyle (\ldots )_{\ldots }}$ это Символ Поххаммера, грамм_п являются Коэффициенты Грегори, грамм^(k)
_п являются Коэффициенты Грегори высшего порядка и C_п - числа Коши второго рода (C₁ = 1/2, C₂ = 5/12, C₃ = 3/8, ...), см. статью Благушина.^[3]

Интегральное представление

Функция имеет интегральное представление в терминах Преобразование Меллина в качестве

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}}dt}$

за ${\displaystyle \Re s>1}$ и ${\displaystyle \Re q>0.}$

Формула Гурвица

Формула Гурвица - это теорема о том, что

${\displaystyle \zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)\right]}$

куда

${\displaystyle \beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{2\pi ix})}$

представляет собой представление дзета, которое действительно для ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$ и s> 1. Здесь ${\displaystyle {\text{Li}}_{s}(z)}$ это полилогарифм.

Функциональное уравнение

В функциональное уравнение связывает значения дзета в левой и правой частях комплексной плоскости. Для целых чисел ${\displaystyle 1\leq m\leq n}$,

${\displaystyle \zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\left[\cos \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)\right]}$

выполняется для всех значений s.

Некоторые конечные суммы

С функциональным уравнением тесно связаны следующие конечные суммы, некоторые из которых могут быть вычислены в замкнутой форме

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\zeta \left(s,{\frac {r}{m}}\right)\cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {m\Gamma (1-s)}{(2\pi m)^{1-s}}}\sin {\frac {\pi s}{2}}\cdot \left\{\zeta \left(1-s,{\frac {k}{m}}\right)+\zeta \left(1-s,1-{\frac {k}{m}}\right)\right\}-\zeta (s)}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\zeta \left(s,{\frac {r}{m}}\right)\sin {\dfrac {2\pi rk}{m}}={\frac {m\Gamma (1-s)}{(2\pi m)^{1-s}}}\cos {\frac {\pi s}{2}}\cdot \left\{\zeta \left(1-s,{\frac {k}{m}}\right)-\zeta \left(1-s,1-{\frac {k}{m}}\right)\right\}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\zeta ^{2}\left(s,{\frac {r}{m}}\right)={\big (}m^{2s-1}-1{\big )}\zeta ^{2}(s)+{\frac {2m\Gamma ^{2}(1-s)}{(2\pi m)^{2-2s}}}\sum _{l=1}^{m-1}\left\{\zeta \left(1-s,{\frac {l}{m}}\right)-\cos \pi s\cdot \zeta \left(1-s,1-{\frac {l}{m}}\right)\right\}\zeta \left(1-s,{\frac {l}{m}}\right)}$

куда м положительное целое число больше 2 и s является сложным, см., например, Приложение B в.^[4]

Серия Тейлор

Производная от дзета во втором аргументе есть сдвиг:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).}$

Таким образом Серия Тейлор можно записать как:

${\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).}$

В качестве альтернативы,

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{q^{s}}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-q)^{n}{s+n-1 \choose n}\zeta (s+n),}$

с ${\displaystyle |q|<1}$.^[5]

Тесно связан Старк – Кейпер формула:

${\displaystyle \zeta (s,N)=\sum _{k=0}^{\infty }\left[N+{\frac {s-1}{k+1}}\right]{s+k-1 \choose s-1}(-1)^{k}\zeta (s+k,N)}$

что справедливо для целого числа N и произвольный s. Смотрите также Формула Фаульхабера для аналогичного соотношения для конечных сумм степеней целых чисел.

Серия Laurent

В Серия Laurent расширение может использоваться для определения Константы Стилтьеса что происходит в сериале

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(q)\;(s-1)^{n}.}$

Конкретно ${\displaystyle \gamma _{0}(q)=-\psi (q)}$ и ${\displaystyle \gamma _{0}(1)=-\psi (1)=\gamma _{0}=\gamma }$.

преобразование Фурье

В дискретное преобразование Фурье дзета-функции Гурвица относительно порядка s это Функция ци Лежандра.

Связь с полиномами Бернулли

Функция ${\displaystyle \beta }$ определенное выше обобщает Полиномы Бернулли:

${\displaystyle B_{n}(x)=-\Re \left[(-i)^{n}\beta (x;n)\right]}$

куда ${\displaystyle \Re z}$ обозначает действительную часть z. Альтернативно,

${\displaystyle \zeta (-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}.}$

В частности, соотношение верно для ${\displaystyle n=0}$ и у одного есть

${\displaystyle \zeta (0,x)={\frac {1}{2}}-x.}$

Связь с тета-функцией Якоби

Если ${\displaystyle \vartheta (z,\tau )}$ Якоби тета-функция, тогда

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]}$

относится к ${\displaystyle \Re s>0}$ и z сложное, но не целое. За z=п целое число, это упрощает

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s).}$

где ζ - Дзета-функция Римана. Обратите внимание, что эта последняя форма является функциональное уравнение для дзета-функции Римана, как первоначально было дано Риманом. Различие на основе z целое число или нет, объясняет тот факт, что тета-функция Якоби сходится к периодической дельта-функция, или же Гребень Дирака в z в качестве ${\displaystyle t\rightarrow 0}$.

Отношение к Дирихле L-функции

При рациональных аргументах дзета-функция Гурвица может быть выражена как линейная комбинация L-функции Дирихле и наоборот: дзета-функция Гурвица совпадает с Дзета-функция Римана ζ (s) когда q = 1, когда q = 1/2 он равен (2^s−1) ζ (s),^[6] и если q = п/k с k > 2, (п,k)> 1 и 0 <п < k, тогда^[7]

${\displaystyle \zeta (s,n/k)={\frac {k^{s}}{\varphi (k)}}\sum _{\chi }{\overline {\chi }}(n)L(s,\chi ),}$

сумма на все Персонажи Дирихле мод k. В обратном направлении имеем линейную комбинацию^[6]

${\displaystyle L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{n=1}^{k}\chi (n)\;\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right).}$

Также есть теорема умножения

${\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),}$

из которых полезным обобщением является отношение распределения^[8]

${\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa).}$

(Эта последняя форма действительна всякий раз, когда q натуральное число и 1 -qa не является.)

Нули

Если q= 1 дзета-функция Гурвица сводится к Дзета-функция Римана сам; если q= 1/2 он сводится к дзета-функции Римана, умноженной на простую функцию комплексного аргумента s (смотри выше), что в каждом случае приводит к трудному изучению нулей дзета-функции Римана. В частности, не будет нулей с вещественной частью, большей или равной 1. Однако, если 0 <q<1 и q≠ 1/2, то есть нули дзета-функции Гурвица в полосе 1 s) <1 + ε для любого положительного действительного числа ε. Это было доказано Давенпорт и Хайльбронн для рационального или трансцендентального иррационального q,^[9] и по Cassels для алгебраических иррациональных q.^[6][10]

Рациональные ценности

Дзета-функция Гурвица встречается в ряде поразительных тождеств с рациональными значениями.^[11] В частности, ценности с точки зрения Полиномы Эйлера ${\displaystyle E_{n}(x)}$:

${\displaystyle E_{2n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\cos {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}$

и

${\displaystyle E_{2n}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\sin {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}$

Также есть

${\displaystyle \zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{s-1}\sum _{k=1}^{q}\left[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)\right]}$

что справедливо для ${\displaystyle 1\leq p\leq q}$. Здесь ${\displaystyle C_{\nu }(x)}$ и ${\displaystyle S_{\nu }(x)}$ определяются с помощью Функция ци Лежандра ${\displaystyle \chi _{\nu }}$ в качестве

${\displaystyle C_{\nu }(x)=\operatorname {Re} \,\chi _{\nu }(e^{ix})}$

и

${\displaystyle S_{\nu }(x)=\operatorname {Im} \,\chi _{\nu }(e^{ix}).}$

Для целых значений ν они могут быть выражены через полиномы Эйлера. Эти соотношения могут быть получены путем использования функционального уравнения вместе с формулой Гурвица, приведенной выше.

Приложения

Дзета-функция Гурвица встречается во множестве дисциплин. Чаще всего это происходит в теория чисел, где его теория наиболее глубокая и развитая. Однако это также происходит при изучении фракталы и динамические системы. В прикладной статистика, это происходит в Закон Ципфа и Закон Ципфа – Мандельброта. В физика элементарных частиц, он встречается в формуле Джулиан Швингер,^[12] дает точный результат для парное производство скорость Дирак электрон в однородном электрическом поле.

Частные случаи и обобщения

Дзета-функция Гурвица с положительным целым числом м относится к полигамма функция:

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\ .}$

Для отрицательного целого числа -п значения связаны с Полиномы Бернулли:^[13]

${\displaystyle \zeta (-n,x)=-{\frac {B_{n+1}(x)}{n+1}}\ .}$

В Дзета-функция Барнса обобщает дзета-функцию Гурвица.

В Лерх трансцендентный обобщает дзета Гурвица:

${\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}$

и поэтому

${\displaystyle \zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).\,}$

Гипергеометрическая функция

${\displaystyle \zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)}$ куда ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a{\text{ and }}a\notin \mathbb {N} {\text{ and }}s\in \mathbb {N} ^{+}.}$

G-функция Мейера

${\displaystyle \zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad \qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.}$

Примечания

1. http://nbviewer.ipython.org/github/empet/Math/blob/master/DomainColoring.ipynb
2. Хассе, Гельмут (1930), "Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe", Mathematische Zeitschrift, 32 (1): 458–464, Дои:10.1007 / BF01194645, JFM  56.0894.03
3. Благушин, Ярослав В. (2018). «Три заметки о представлениях Сера и Хассе для дзета-функций». INTEGERS: Электронный журнал комбинаторной теории чисел. 18A: 1–45. arXiv:1606.02044. Bibcode:2016arXiv160602044B.
4. Благушин, И. (2014). «Теорема для вычисления в закрытой форме первой обобщенной постоянной Стилтьеса при рациональных аргументах и ​​некоторых связанных суммирования». Журнал теории чисел. Эльзевир. 148: 537–592. arXiv:1401.3724. Дои:10.1016 / j.jnt.2014.08.009.
5. Вепстас, Линас (2007). «Эффективный алгоритм для ускорения сходимости колебательного ряда, полезный для вычисления полилогарифма и дзета-функций Гурвица». Численные алгоритмы. 47 (3): 211–252. arXiv:математика / 0702243. Bibcode:2008НуАлг..47..211В. Дои:10.1007 / s11075-007-9153-8.
6. Давенпорт (1967) стр.73
7. Лоури, Дэвид. «Дзета Гурвица - это сумма L-функций Дирихле, и наоборот». смешанная математика. Получено 8 февраля 2013.
8. Куберт, Даниэль С.; Ланг, Серж (1981). Модульные блоки. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 244. Springer-Verlag. п. 13. ISBN  0-387-90517-0. Zbl  0492.12002.
9. Давенпорт, Х. и Хейлбронн, Х. (1936), "О нулях некоторых рядов Дирихле", Журнал Лондонского математического общества, 11 (3): 181–185, Дои:10.1112 / jlms / s1-11.3.181, Zbl  0014.21601
10. Касселс, Дж. У. С.(1961), «Сноска к заметке Давенпорта и Хайльбронна», Журнал Лондонского математического общества, 36 (1): 177–184, Дои:10.1112 / jlms / s1-36.1.177, Zbl  0097.03403
11. Дано Цвийович, Джурдже и Клиновски, Яцек (1999), "Значения дзета-функций Лежандра и Гурвица при рациональных аргументах", Математика вычислений, 68 (228): 1623–1630, Bibcode:1999MaCom..68.1623C, Дои:10.1090 / S0025-5718-99-01091-1
12. Швингер, Дж. (1951), "О калибровочной инвариантности и поляризации вакуума", Физический обзор, 82 (5): 664–679, Bibcode:1951ПхРв ... 82..664С, Дои:10.1103 / PhysRev.82.664
13. Апостол (1976) с.264

Рекомендации

• Апостол, Т. М. (2010), «Дзета-функция Гурвица», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248
• См. Главу 12 Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для бакалавриата по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, МИСТЕР  0434929, Zbl  0335.10001
• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, Справочник по математическим функциям, (1964) Dover Publications, Нью-Йорк. ISBN  0-486-61272-4. (Видеть Пункт 6.4.10 для отношения к функции полигаммы.)
• Давенпорт, Гарольд (1967). Теория мультипликативных чисел. Лекции по высшей математике. 1. Чикаго: Маркхэм. Zbl  0159.06303.
• Миллер, Джефф; Адамчик, Виктор С. (1998). "Производные дзета-функции Гурвица для рациональных аргументов". Журнал вычислительной и прикладной математики. 100 (2): 201–206. Дои:10.1016 / S0377-0427 (98) 00193-9.
• Вепстас, Линас. «Оператор Бернулли, оператор Гаусса – Кузмина – Вирсинга и дзета Римана» (PDF).
• Мезу, Иштван; Дил, Айхан (2010). «Гипергармонический ряд с дзета-функцией Гурвица». Журнал теории чисел. 130 (2): 360–369. Дои:10.1016 / j.jnt.2009.08.005. HDL:2437/90539.

внешняя ссылка

• Джонатан Сондоу и Эрик В. Вайстейн. "Дзета-функция Гурвица". MathWorld.