Числа Стирлинга первого рода - Stirling numbers of the first kind

В математика, особенно в комбинаторика, Числа Стирлинга первого рода возникают при изучении перестановок. В частности, числа Стирлинга первого рода считаются перестановки по их количеству циклы (считая неподвижные точки как циклы длины один).

(Числа Стирлинга первого и второй вид могут пониматься как инверсии друг друга, если рассматривать их как треугольные матрицы. Данная статья посвящена особенностям чисел Стирлинга первого рода. Идентификаторы, связывающие эти два вида, появляются в статье о Числа Стирлинга в целом.)

Определения

Первоначальное определение чисел Стирлинга первого рода было алгебраическим:^{[нужна цитата ]} они коэффициенты s(п, k) в разложении падающий факториал

${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$

в степени переменной Икс:

${\displaystyle (x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k},}$

Например, ${\displaystyle (x)_{3}=x(x-1)(x-2)=1\cdot x^{3}-3\cdot x^{2}+2\cdot x}$, приводя к значениям ${\displaystyle s(3,3)=1}$, ${\displaystyle s(3,2)=-3}$, и ${\displaystyle s(3,1)=2}$.

Впоследствии было обнаружено, что абсолютные значения |s(п, k) | из этих чисел равно количеству перестановки определенных видов. Эти абсолютные значения, которые известны как беззнаковые числа Стирлинга первого рода, часто обозначаются ${\displaystyle c(n,k)}$ или же ${\displaystyle \left[{n \atop k}\right]}$. Их можно определить как количество перестановки из п элементы с k непересекающийся циклы. Например, из ${\displaystyle 3!=6}$ перестановок трех элементов, есть одна перестановка с тремя циклами ( перестановка идентичности, приведены в однострочная запись к ${\displaystyle 123}$ или в обозначение цикла к ${\displaystyle (1)(2)(3)}$), три перестановки с двумя циклами (${\displaystyle 132=(1)(23)}$, ${\displaystyle 213=(12)(3)}$, и ${\displaystyle 321=(13)(2)}$) и две перестановки с одним циклом (${\displaystyle 312=(132)}$ и ${\displaystyle 231=(123)}$). Таким образом, ${\displaystyle \left[{3 \atop 3}\right]=1}$, ${\displaystyle \left[{3 \atop 2}\right]=3}$ и ${\displaystyle \left[{3 \atop 1}\right]=2}$. Видно, что они согласуются с предыдущим расчетом ${\displaystyle s(n,k)}$ за ${\displaystyle n=3}$.

Беззнаковые числа Стирлинга также могут быть определены алгебраически как коэффициенты возрастающий факториал:

${\displaystyle x^{\overline {n}}=x(x+1)\cdots (x+n-1)=\sum _{k=0}^{n}\left[{n \atop k}\right]x^{k}}$.

Обозначения, используемые на этой странице для чисел Стирлинга, не являются универсальными и могут противоречить обозначениям в других источниках. (Обозначение в квадратных скобках ${\displaystyle \left[{n \atop k}\right]}$ также обычное обозначение Коэффициенты Гаусса.)

Дальнейший пример

с (4,2) = 11

Изображение справа показывает, что ${\displaystyle \left[{4 \atop 2}\right]=11}$: the симметричная группа на 4 объектах имеет 3 перестановки вида

${\displaystyle (\bullet \bullet )(\bullet \bullet )}$ (имеющий 2 орбиты, каждая размером 2),

и 8 перестановок вида

${\displaystyle (\bullet \bullet \bullet )(\bullet )}$ (имеющий 1 орбиту размера 3 и 1 орбиту размера 1).

Приметы

Знаки у (знаковых) чисел Стирлинга первого рода предсказуемы и зависят от четности п − k. Особенно,

${\displaystyle s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[{n \atop k}\right].}$

Отношение повторения

Беззнаковые числа Стирлинга первого рода можно вычислить с помощью отношение повторения

${\displaystyle \left[{n+1 \atop k}\right]=n\left[{n \atop k}\right]+\left[{n \atop k-1}\right]}$

за ${\displaystyle k>0}$, с начальными условиями

${\displaystyle \left[{0 \atop 0}\right]=1\quad {\mbox{and}}\quad \left[{n \atop 0}\right]=\left[{0 \atop n}\right]=0}$

за п > 0.

Отсюда сразу следует, что числа Стирлинга первого рода (со знаком) удовлетворяют рекуррентности

${\displaystyle s(n+1,k)=-n\cdot s(n,k)+s(n,k-1)}$.

Алгебраическое доказательство —

Мы доказываем рекуррентное соотношение, используя определение чисел Стирлинга в терминах возрастающих факториалов. Распространяя последний срок продукта, мы имеем

${\displaystyle x^{\overline {n+1}}=x(x+1)\cdots (x+n-1)(x+n)=n\cdot x^{\overline {n}}+x\cdot x^{\overline {n}}.}$

Коэффициент Икс^k в левой части этого уравнения стоит ${\displaystyle \left[{n+1 \atop k}\right]}$. Коэффициент Икс^k в ${\displaystyle n\cdot x^{\overline {n}}}$ является ${\displaystyle n\cdot \left[{n \atop k}\right]}$, а коэффициент Икс^k в ${\displaystyle x\cdot x^{\overline {n}}}$ является ${\displaystyle \left[{n \atop k-1}\right]}$. Поскольку две стороны равны как многочлены, коэффициенты при Икс^k обе стороны должны быть равны, и результат следует.

Комбинаторное доказательство —

Мы доказываем рекуррентное соотношение, используя определение чисел Стирлинга в терминах перестановок с заданным числом циклов (или, что эквивалентно, орбиты ).

Рассмотрите возможность создания перестановки п +1 объект из перестановки п объекты, добавив выделенный объект. Это можно сделать двумя способами. Мы могли бы сделать это, сформировав одиночка цикл, т. е. оставление лишнего объекта в покое. Это увеличивает количество циклов на 1 и, таким образом, составляет ${\displaystyle \left[{n \atop k-1}\right]}$ член в формуле повторения. Мы также можем вставить новый объект в один из существующих циклов. Рассмотрим произвольную перестановку п объекты с k циклы и метка объекты а₁, ..., а_п, так что перестановка представлена

${\displaystyle \displaystyle \underbrace {(a_{1}\ldots a_{j_{1}})(a_{j_{1}+1}\ldots a_{j_{2}})\ldots (a_{j_{k-1}+1}\ldots a_{n})} _{k\ \mathrm {cycles} }.}$

Чтобы сформировать новую перестановку п + 1 объект и k циклов необходимо вставить новый объект в этот массив. Есть п способов выполнить эту вставку, вставив новый объект сразу после любого из п уже присутствует. Это объясняет ${\displaystyle n\left[{n \atop k}\right]}$ член рекуррентного отношения. Эти два случая включают все возможности, поэтому следует рекуррентное соотношение.

Таблица значений

Ниже приводится треугольная решетка беззнаковых значений для чисел Стирлинга первого рода, аналогичных по форме Треугольник Паскаля. Эти значения легко сгенерировать с помощью рекуррентного отношения из предыдущего раздела.

k п	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1
1	0	1
2	0	1	1
3	0	2	3	1
4	0	6	11	6	1
5	0	24	50	35	10	1
6	0	120	274	225	85	15	1
7	0	720	1764	1624	735	175	21	1
8	0	5040	13068	13132	6769	1960	322	28	1
9	0	40320	109584	118124	67284	22449	4536	546	36	1

Характеристики

Простые личности

Обратите внимание, что хотя

${\displaystyle \left[{0 \atop 0}\right]=1}$, у нас есть ${\displaystyle \left[{n \atop 0}\right]=0}$ если п > 0

и

${\displaystyle \left[{0 \atop k}\right]=0}$ если k > 0 или более широко ${\displaystyle \left[{n \atop k}\right]=0}$ если k > п.

Также

${\displaystyle \left[{n \atop 1}\right]=(n-1)!,\quad \left[{n \atop n}\right]=1,\quad \left[{n \atop n-1}\right]={n \choose 2},}$

и

${\displaystyle \left[{n \atop n-2}\right]={\frac {1}{4}}(3n-1){n \choose 3}\quad {\mbox{ and }}\quad \left[{n \atop n-3}\right]={n \choose 2}{n \choose 4}.}$

Аналогичные соотношения с числами Стирлинга справедливы для Полиномы Бернулли. Многие соотношения для чисел Стирлинга скрывают аналогичные соотношения на биномиальные коэффициенты. Изучение этих «теневых отношений» называется пуповина и завершается теорией Последовательности Шеффера. Обобщения Числа Стирлинга обоих видов на произвольные комплексные входы могут быть расширены через отношения этих треугольников к Полиномы свертки Стирлинга.^[1]

Комбинаторные доказательства —

Эти тождества могут быть получены путем прямого перечисления перестановок. Например, перестановка п элементы с п - 3 цикла должны иметь одну из следующих форм:

• п - 6 фиксированных точек и три двухцикла
• п - 5 фиксированных точек, три цикла и два цикла, или
• п - 4 фиксированных точки и четырехтактный.

Эти три типа можно перечислить следующим образом:

• выберите шесть элементов, которые входят в два цикла, разложите их на два цикла и примите во внимание, что порядок циклов не важен:

${\displaystyle {n \choose 6}{6 \choose 2,2,2}{\frac {1}{6}}}$

• выберите пять элементов, которые входят в три цикла и два цикла, выберите элементы из трех циклов и примите во внимание, что три элемента порождают два трех цикла:

${\displaystyle {n \choose 5}{5 \choose 3}\times 2}$

• выберите четыре элемента четырехциклового цикла и примите во внимание, что четыре элемента порождают шесть четырехциклов:

${\displaystyle {n \choose 4}\times 6.}$

Суммируйте три вклада, чтобы получить

${\displaystyle {n \choose 6}{6 \choose 2,2,2}{\frac {1}{6}}+{n \choose 5}{5 \choose 3}\times 2+{n \choose 4}\times 6={n \choose 2}{n \choose 4}.}$

Прочие отношения

Расширения для фиксированных k

Поскольку числа Стирлинга являются коэффициентами многочлена с корнями 0, 1, ..., п − 1, есть по Формулы Виета который

$${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n-k\end{matrix}}\right]=\sum _{0\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}<n}i_{1}i_{2}\cdots i_{k}.}$$

Другими словами, числа Стирлинга первого рода даются формулами элементарные симметричные многочлены оценивается в 0, 1, ..., п − 1.^[2] В этом виде приведенные выше простые тождества принимают вид

$${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n-1\end{matrix}}\right]=\sum _{i=0}^{n-1}i={\binom {n}{2}},}$$

$${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n-2\end{matrix}}\right]=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{i-1}ij={\frac {3n-1}{4}}{\binom {n}{3}},}$$

$${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n-3\end{matrix}}\right]=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{i-1}\sum _{k=0}^{j-1}ijk={\binom {n}{2}}{\binom {n}{4}},}$$

и так далее.

Можно получить альтернативные формы для чисел Стирлинга первого рода с помощью аналогичного подхода, которому предшествуют некоторые алгебраические манипуляции: поскольку

${\displaystyle (x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)=(n-1)!\cdot (x+1)\left({\frac {x}{2}}+1\right)\cdots \left({\frac {x}{n-1}}+1\right),}$

это следует из Формулы Ньютона что можно разложить числа Стирлинга первого рода с точки зрения обобщенные гармонические числа. Это дает тождества вроде

${\displaystyle \left[{n \atop 2}\right]=(n-1)!\;H_{n-1},}$

${\displaystyle \left[{n \atop 3}\right]={\frac {1}{2}}(n-1)!\left[(H_{n-1})^{2}-H_{n-1}^{(2)}\right]}$

${\displaystyle \left[{n \atop 4}\right]={\frac {1}{3!}}(n-1)!\left[(H_{n-1})^{3}-3H_{n-1}H_{n-1}^{(2)}+2H_{n-1}^{(3)}\right],}$

куда ЧАС_п это номер гармоники ${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{n}}}$ и ЧАС_п^(м) - обобщенное гармоническое число

$${\displaystyle H_{n}^{(m)}={\frac {1}{1^{m}}}+{\frac {1}{2^{m}}}+\ldots +{\frac {1}{n^{m}}}.}$$

Эти отношения можно обобщить, чтобы дать

${\displaystyle {\frac {1}{(n-1)!}}\left[{\begin{matrix}n\\k+1\end{matrix}}\right]=\sum _{i_{1}=1}^{n-1}\sum _{i_{2}=i_{1}+1}^{n-1}\cdots \sum _{i_{k}=i_{k-1}+1}^{n-1}{\frac {1}{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}={\frac {w(n,k)}{k!}}}$

куда ш(п, м) определяется рекурсивно через обобщенные гармонические числа как

${\displaystyle w(n,m)=\delta _{m,0}+\sum _{k=0}^{m-1}(1-m)_{k}H_{n-1}^{(k+1)}w(n,m-1-k).}$

(Здесь δ это Дельта-функция Кронекера и ${\displaystyle (m)_{k}}$ это Символ Поххаммера.)^[3]

Для фиксированных ${\displaystyle n\geq 0}$ эти взвешенные разложения гармонических чисел генерируются производящей функцией

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}\left[{\begin{matrix}n+1\\k\end{matrix}}\right]=[x^{k}]\exp \left(\sum _{m\geq 1}{\frac {(-1)^{m-1}H_{n}^{(m)}}{m}}x^{m}\right),}$

где обозначение ${\displaystyle [x^{k}]}$ означает извлечение коэффициента ${\displaystyle x^{k}}$ из следующих формальный степенной ряд (см. неэкспоненциальный Полиномы Белла и раздел 3 ^[4]).

В более общем смысле, суммы, относящиеся к этим взвешенным разложениям гармонических чисел чисел Стирлинга первого рода, могут быть определены с помощью обобщенных дзета-рядов преобразования производящих функций.^[5][6]

Можно также «инвертировать» отношения для этих чисел Стирлинга, заданные в терминах ${\displaystyle k}$- порядковые номера гармоник для записи обобщенных гармонических чисел целого порядка в терминах взвешенных сумм слагаемых, включающих числа Стирлинга первого рода. Например, когда ${\displaystyle k=2,3}$ номера гармоник второго и третьего порядков даются формулами

${\displaystyle (n!)^{2}\cdot H_{n}^{(2)}=\left[{\begin{matrix}n+1\\2\end{matrix}}\right]^{2}-2\left[{\begin{matrix}n+1\\1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}n+1\\3\end{matrix}}\right]}$

${\displaystyle (n!)^{3}\cdot H_{n}^{(3)}=\left[{\begin{matrix}n+1\\2\end{matrix}}\right]^{3}-3\left[{\begin{matrix}n+1\\1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}n+1\\2\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}n+1\\3\end{matrix}}\right]+3\left[{\begin{matrix}n+1\\1\end{matrix}}\right]^{2}\left[{\begin{matrix}n+1\\4\end{matrix}}\right].}$

В более общем смысле можно инвертировать Полином Белла производящая функция для чисел Стирлинга, расширенная в терминах ${\displaystyle m}$-порядок гармонические числа чтобы получить это для целых чисел ${\displaystyle m\geq 2}$

${\displaystyle H_{n}^{(m)}=-m\times [x^{m}]\log \left(1+\sum _{k\geq 1}\left[{\begin{matrix}n+1\\k+1\end{matrix}}\right]{\frac {(-x)^{k}}{n!}}\right).}$

Факторные суммы

Для всех положительных целых чисел м и п, надо

$${\displaystyle (n+m)!=\sum _{k=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}m^{\overline {n-k}}\left[{m \atop j}\right]{\binom {n}{k}}k!,}$$

куда ${\displaystyle a^{\overline {b}}=a(a+1)\cdots (a+b-1)}$ - растущий факториал.^[7] Эта формула является двойником Результат Спайви для Номера звонков.^[7]

Другие связанные формулы, включающие падающие факториалы, числа Стирлинга первого рода и в некоторых случаях Числа Стирлинга второго рода включая следующее:^[8]

$${\displaystyle {\begin{aligned}n^{\underline {n-m}}&=\sum _{k}\left[{\begin{matrix}n+1\\k+1\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}k\\m\end{matrix}}\right\}(-1)^{m-k}\\{\binom {n}{m}}(n-1)^{\underline {n-m}}&=\sum _{k}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}k\\m\end{matrix}}\right\}\\{\binom {n}{m}}&=\sum _{k}\left\{{\begin{matrix}n+1\\k+1\end{matrix}}\right\}\left[{\begin{matrix}k\\m\end{matrix}}\right](-1)^{m-k}\\\left[{\begin{matrix}n+1\\m+1\end{matrix}}\right]&=\sum _{0\leq k\leq n}\left[{\begin{matrix}k\\m\end{matrix}}\right]n^{\underline {n-k}}.\end{aligned}}}$$

Отношения инверсии и преобразование Стирлинга

Для любой пары последовательностей ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ и ${\displaystyle \{g_{n}\}}$, связанных конечной суммой формулы числа Стирлинга, заданной формулой

${\displaystyle g_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}f_{k},}$

для всех целых чисел ${\displaystyle n\geq 0}$, имеем соответствующий формула обращения за ${\displaystyle f_{n}}$ дано

${\displaystyle f_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right](-1)^{n-k}g_{k}.}$

Эти отношения инверсии между двумя последовательностями переводятся в функциональные уравнения между последовательностями экспоненциальные производящие функции предоставленный Преобразование Стирлинга (производящая функция) в качестве

${\displaystyle {\widehat {G}}(z)={\widehat {F}}\left(e^{z}-1\right)}$

и

${\displaystyle {\widehat {F}}(z)={\widehat {G}}\left(\log(1+z)\right).}$

В дифференциальные операторы ${\displaystyle D=d/dx}$ и ${\displaystyle \vartheta =zD}$ связаны следующими формулами для всех целых чисел ${\displaystyle n\geq 0}$:^[9]

${\displaystyle \vartheta ^{n}=\sum _{k}S(n,k)z^{k}D^{k}}$

${\displaystyle z^{n}D^{n}=\sum _{k}s(n,k)\vartheta ^{k}}$

Еще одна пара "инверсия"отношения с участием Числа Стирлинга связать форвардные различия и обычный ${\displaystyle n^{th}}$ производные функции, ${\displaystyle f(x)}$, аналитическая для всех ${\displaystyle x}$ по формулам^[10]

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f(x)=\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {s(n,k)}{n!}}\Delta ^{n}f(x)}$

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}\Delta ^{k}f(x)=\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {S(n,k)}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x).}$

Сравнения

Следующее тождество сравнения можно доказать с помощью производящая функция -основанный подход:^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right]&\equiv {\binom {\lfloor n/2\rfloor }{m-\lceil n/2\rceil }}=[x^{m}]\left(x^{\lceil n/2\rceil }(x+1)^{\lfloor n/2\rfloor }\right)&&{\pmod {2}},\end{aligned}}}$

Более свежие результаты, обеспечивающие J-фракции типа Якоби которые генерируют единственная факториальная функция и обобщенные факториальные продукты приводят к другим новым результатам сравнения для чисел Стирлинга первого рода.^[12]Например, работая по модулю ${\displaystyle 2}$ мы можем доказать, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\1\end{matrix}}\right]&\equiv {\frac {2^{n}}{4}}[n\geq 2]+[n=1]&&{\pmod {2}}\\\left[{\begin{matrix}n\\2\end{matrix}}\right]&\equiv {\frac {3\cdot 2^{n}}{16}}(n-1)[n\geq 3]+[n=2]&&{\pmod {2}}\\\left[{\begin{matrix}n\\3\end{matrix}}\right]&\equiv 2^{n-7}(9n-20)(n-1)[n\geq 4]+[n=3]&&{\pmod {2}}\\\left[{\begin{matrix}n\\4\end{matrix}}\right]&\equiv 2^{n-9}(3n-10)(3n-7)(n-1)[n\geq 5]+[n=4]&&{\pmod {2}}\\\left[{\begin{matrix}n\\5\end{matrix}}\right]&\equiv 2^{n-13}(27n^{3}-279n^{2}+934n-1008)(n-1)[n\geq 6]+[n=5]&&{\pmod {2}}\\\left[{\begin{matrix}n\\6\end{matrix}}\right]&\equiv {\frac {2^{n-15}}{5}}(9n^{2}-71n+120)(3n-14)(3n-11)(n-1)[n\geq 7]+[n=6]&&{\pmod {2}},\end{aligned}}}$

и работает по модулю ${\displaystyle 3}$ мы можем аналогично доказать, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\1\end{matrix}}\right]&\equiv \sum \limits _{j=\pm 1}{\frac {1}{36}}\left(9-5j{\sqrt {3}}\right)\times \left(3+j{\sqrt {3}}\right)^{n}[n\geq 2]+[n=1]&&{\pmod {3}}\\\left[{\begin{matrix}n\\2\end{matrix}}\right]&\equiv \sum \limits _{j=\pm 1}{\frac {1}{216}}\left((44n-41)-(25n-24)\cdot j{\sqrt {3}}\right)\times \left(3+j{\sqrt {3}}\right)^{n}[n\geq 3]+[n=2]&&{\pmod {3}}\\\left[{\begin{matrix}n\\3\end{matrix}}\right]&\equiv \sum \limits _{j=\pm 1}{\frac {1}{15552}}\left((1299n^{2}-3837n+2412)-(745n^{2}-2217n+1418)\cdot j{\sqrt {3}}\right)\times \left(3+j{\sqrt {3}}\right)^{n}[n\geq 4]+[n=3]&&{\pmod {3}}\\\left[{\begin{matrix}n\\4\end{matrix}}\right]&\equiv \sum \limits _{j=\pm 1}{\frac {1}{179936}}{\bigl (}(6409n^{3}-383778n^{2}+70901n-37092)-(3690n^{3}-22374n^{2}+41088n-21708)\cdot j{\sqrt {3}}{\bigr )}\times \left(3+j{\sqrt {3}}\right)^{n}[n\geq 5]+[n=4]&&{\pmod {3}}.\end{aligned}}}$

В более общем смысле, для фиксированных целых чисел ${\displaystyle h\geq 3}$ если мы определим упорядоченные корни

${\displaystyle \left(\omega _{h,i}\right)_{i=1}^{h-1}:=\left\{\omega _{j}:\sum _{i=0}^{h-1}{\binom {h-1}{i}}{\frac {h!}{(i+1)!}}(-\omega _{j})^{i}=0,\ 1\leq j<h\right\},}$

тогда мы можем разложить сравнения для этих чисел Стирлинга, определенных как коэффициенты

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right]=[R^{m}]R(R+1)\cdots (R+n-1),}$

в следующем виде, где функции, ${\displaystyle p_{h,i}^{[m]}(n)}$, обозначим фиксированные многочлены степени ${\displaystyle m}$ в ${\displaystyle n}$ для каждого ${\displaystyle h}$, ${\displaystyle m}$, и ${\displaystyle i}$:

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right]=\left(\sum _{i=0}^{h-1}p_{h,i}^{[m]}(n)\times \omega _{h,i}^{n}\right)[n>m]+[n=m]\qquad {\pmod {h}},}$

В разделе 6.2 цитированной выше ссылки представлены более явные разложения, относящиеся к этим сравнениям для ${\displaystyle r}$-порядок гармонические числа и для обобщенные факторные продукты, ${\displaystyle p_{n}(\alpha ,R):=R(R+\alpha )\cdots (R+(n-1)\alpha )}$. В предыдущих примерах обозначения ${\displaystyle [{\mathtt {cond}}]}$ обозначает Конвенция Айверсона.

Производящие функции

Множество идентичностей можно получить, манипулируя производящая функция:

${\displaystyle H(z,u)=(1+z)^{u}=\sum _{n=0}^{\infty }{u \choose n}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\sum _{k=0}^{n}s(n,k)u^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }u^{k}\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}s(n,k).}$

Используя равенство

${\displaystyle (1+z)^{u}=e^{u\log(1+z)}=\sum _{k=0}^{\infty }(\log(1+z))^{k}{\frac {u^{k}}{k!}},}$

следует, что

${\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }(-1)^{n-k}\left[{n \atop k}\right]{\frac {z^{n}}{n!}}={\frac {\left(\log(1+z)\right)^{k}}{k!}}.}$

(Эта личность действительна для формальный степенной ряд, а сумма сходится в комплексная плоскость для |z| <1.) Другие тождества возникают в результате изменения порядка суммирования, взятия производных, замены на z или же тыи т. д. Например, мы можем получить:^[13]

${\displaystyle (1-z)^{-u}=\sum _{k=0}^{\infty }u^{k}\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\left[{n \atop k}\right]=e^{u\log(1/(1-z))}}$

и

${\displaystyle {\frac {\log ^{m}(1+z)}{1+z}}=m!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {s(k+1,m+1)\,z^{k}}{k!}},\qquad m=1,2,3,\ldots \quad |z|<1}$

или же

${\displaystyle \sum _{n=i}^{\infty }{\frac {\left[{n \atop i}\right]}{n\,(n!)}}=\zeta (i+1),\qquad i=1,2,3,\ldots }$

и

${\displaystyle \sum _{n=i}^{\infty }{\frac {\left[{n \atop i}\right]}{n\,(v)_{n}}}=\zeta (i+1,v),\qquad i=1,2,3,\ldots \quad \Re (v)>0}$

куда ${\displaystyle \zeta (k)}$ и ${\displaystyle \zeta (k,v)}$ являются Дзета-функция Римана и Дзета-функция Гурвица соответственно, и даже оценить этот интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\log ^{z}(1-x)}{x^{k}}}\,dx={\frac {(-1)^{z}\Gamma (z+1)}{(k-1)!}}\sum _{r=1}^{k-1}s(k-1,r)\sum _{m=0}^{r}{\binom {r}{m}}(k-2)^{r-m}\zeta (z+1-m),\qquad \Re (z)>k-1,\quad k=3,4,5,\ldots }$

куда ${\displaystyle \Gamma (z)}$ это Гамма-функция. Существуют также более сложные выражения для дзета-функций, включающие числа Стирлинга. У одного, например, есть

${\displaystyle {\frac {k!}{(s-k)_{k}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+k)!}}\left[{n+k \atop n}\right]\sum _{l=0}^{n+k-1}\!(-1)^{l}{\binom {n+k-1}{l}}(l+v)^{k-s}=\zeta (s,v),\quad k=1,2,3,\ldots }$

Эта серия обобщает серию Хассе для Дзета-функция Гурвица (мы получаем ряд Хассе, полагая k=1).^[14][15]

Асимптотика

Следующая оценка дана в терминах Гамма-постоянная Эйлера применяется:^[16]

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n+1\\k+1\end{matrix}}\right]\sim {\frac {n!}{k!}}\left(\gamma +\ln n\right)^{k},\ {\text{ uniformly for }}k=o(\ln n).}$

Для фиксированных ${\displaystyle n}$ имеем следующую оценку как ${\displaystyle k\longrightarrow \infty }$:

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n+k\\k\end{matrix}}\right]\sim {\frac {k^{2n}}{2^{n}n!}}.}$

Мы также можем применить асимптотические методы седловой точки из статьи Темме ^[17] для получения других оценок чисел Стирлинга первого рода. Эти оценки сложнее сформулировать. Тем не менее, мы приводим пример. В частности, мы определяем логарифмическая гамма-функция, ${\displaystyle \phi (x)}$, чьи высшие производные выражаются в терминах полигамма-функции в качестве

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (x)&=\ln \left[(1+1)(x+2)\cdots (x+n)\right]-m\ln x\\&=\ln \Gamma (x+n+1)-\ln \Gamma (x+1)-m\ln x\\\phi ^{\prime }(x)&=\psi (x+n+1)-\psi (x+1)-m/x,\end{aligned}}}$

где мы рассматриваем (единственную) седловую точку ${\displaystyle x_{0}}$ функции быть решением ${\displaystyle \phi ^{\prime }(x)=0}$ когда ${\displaystyle 1\leq m\leq n}$. Тогда для ${\displaystyle t_{0}=m/(n-m)}$ и константы

${\displaystyle B=\phi (x_{0})-n\ln(1+t_{0})+m\ln t_{0}}$

${\displaystyle g(t_{0})={\frac {1}{x_{0}}}{\sqrt {\frac {m(n-m)}{n\phi ^{\prime \prime }(x_{0})}}},}$

имеем следующую асимптотическую оценку при ${\displaystyle n\longrightarrow \infty }$:

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n+1\\m+1\end{matrix}}\right]\sim e^{B}g(t_{0}){\binom {n}{m}}.}$

Конечные суммы

Поскольку перестановки разбиваются по количеству циклов,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left[{n \atop k}\right]=n!}$

Личность

${\displaystyle \sum _{p=k}^{n}{\left[{n \atop p}\right]{\binom {p}{k}}}=\left[{n+1 \atop k+1}\right]}$

может быть доказано методами на страницеЧисла Стирлинга и экспоненциальные производящие функции.

Таблица в разделе 6.1 Конкретная математика предоставляет множество обобщенных форм конечных сумм с участием чисел Стирлинга. Несколько конкретных конечных сумм, относящихся к этой статье, включают

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right]&=\sum _{k}\left[{\begin{matrix}n+1\\k+1\end{matrix}}\right]{\binom {k}{m}}(-1)^{m-k}\\\left[{\begin{matrix}n+1\\m+1\end{matrix}}\right]&=\sum _{k=0}^{n}\left[{\begin{matrix}k\\m\end{matrix}}\right]{\frac {n!}{k!}}\\\left[{\begin{matrix}m+n+1\\m\end{matrix}}\right]&=\sum _{k=0}^{m}(n+k)\left[{\begin{matrix}n+k\\k\end{matrix}}\right]\\\left[{\begin{matrix}n\\l+m\end{matrix}}\right]{\binom {l+m}{l}}&=\sum _{k}\left[{\begin{matrix}k\\l\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}n-k\\m\end{matrix}}\right]{\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}$

Другие тождества с конечной суммой, включающие знаковые числа Стирлинга первого рода, найденные, например, в Справочник NIST по математическим функциям (Раздел 26.8) включают следующие суммы:^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {k}{h}}s(n,k)&=\sum _{j=k-h}^{n-h}{\binom {n}{j}}s(n-j,h)s(j,k-h)\\s(n+1,k+1)&=n!\times \sum _{j=k}^{n}{\frac {(-1)^{n-j}}{j!}}s(j,k)\\s(n,n-k)&=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {n-1+j}{k+j}}{\binom {n+k}{k-j}}S(k+j,j)\\s(n,k)&=\sum _{j=k}^{n}s(n+1,j+1)n^{j-k}.\end{aligned}}}$

Кроме того, если мы определим второго порядка Числа Эйлера треугольным рекуррентным соотношением ^[19]

${\displaystyle E_{2}(n,k)=(k+1)E_{2}(n-1,k)+(2n-1-k)E_{2}(n-1,k-1)+\delta _{n,0}\delta _{k,0},}$

мы приходим к следующему тождеству, связанному с видом Полиномы свертки Стирлинга который можно использовать для обобщения обоих треугольников чисел Стирлинга на произвольные действительные или комплексные значения входных данных. ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}x\\x-n\end{matrix}}\right]=\sum _{k}E_{2}(n,k){\binom {x+k}{2n}}.}$

Конкретные расширения предыдущего тождества приводят к следующим тождествам, расширяющим числа Стирлинга первого рода для первых нескольких малых значений ${\displaystyle n:=1,2,3}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}x\\x-1\end{matrix}}\right]&={\binom {x}{2}}\\\left[{\begin{matrix}x\\x-2\end{matrix}}\right]&={\binom {x}{4}}+2{\binom {x+1}{4}}\\\left[{\begin{matrix}x\\x-3\end{matrix}}\right]&={\binom {x}{6}}+8{\binom {x+1}{6}}+6{\binom {x+2}{6}}.\end{aligned}}}$

Программные средства для работы с конечными суммами с участием Числа Стирлинга и Числа Эйлера предоставляются Пакет RISC Stirling.m коммунальные услуги в Mathematica. Другие программные пакеты для угадывать формулы для последовательностей (и суммы полиномиальных последовательностей), включающие числа Стирлинга и другие специальные треугольники, доступны как для Mathematica и мудрец здесь и здесь, соответственно.^[20]

Кроме того, бесконечные ряды, включающие конечные суммы с числами Стирлинга, часто приводят к специальным функциям. Например^[13][21]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\!{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\cdot {\frac {1}{n!}}\sum _{l=1}^{n}\!{\frac {s(n,l)}{l+k}}=\sum _{l=2}^{\infty }\!{\frac {(-1)^{l}\cdot \zeta (l)}{l+k-1}}={\frac {1}{k-1}}-{\frac {\ln 2\pi }{k}}+{\frac {\gamma }{2}}+\!\!\!\!\sum _{l=1}^{\lfloor {\frac {1}{2}}(k-1)\rfloor }\!\!\!\!(-1)^{l}{\binom {k-1}{2l-1}}{\frac {(2l)!\cdot \zeta '(2l)}{l\cdot (2\pi )^{2l}}}+\!\!\sum _{l=1}^{\lfloor {\frac {1}{2}}k\rfloor -1}\!\!(-1)^{l}{\binom {k-1}{2l}}{\frac {(2l)!\cdot \zeta (2l+1)}{2\cdot (2\pi )^{2l}}}}$

или же

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\!\ln z-z+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot n!}}\!\sum _{l=0}^{\lfloor {\frac {1}{2}}n\rfloor }\!{\frac {(-1)^{l}(2l)!}{(2\pi z)^{2l+1}}}\left[{n \atop 2l+1}\right]}$

и

${\displaystyle \Psi (z)=\ln z-{\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{\pi z}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot n!}}\!\sum _{l=0}^{\lfloor {\frac {1}{2}}n\rfloor }\!{\frac {(-1)^{l}(2l+1)!}{(2\pi z)^{2l+1}}}\left[{n \atop 2l+1}\right]}$

или даже

${\displaystyle \gamma _{m}={\frac {1}{2}}\delta _{m,0}+{\frac {(-1)^{m}m!}{\pi }}\!\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot n!}}\!\sum _{k=0}^{\lfloor {\frac {1}{2}}n\rfloor }{\frac {(-1)^{k}}{(2\pi )^{2k+1}}}\left[{2k+2 \atop m+1}\right]\left[{n \atop 2k+1}\right]\,}$

куда γ_м являются Константы Стилтьеса и δ_м,0 представляет Дельта-функция Кронекера.

Явная формула

Число Стирлинга s (n, n-p) можно найти по формуле^[22]

${\displaystyle {\begin{aligned}s(n,n-p)&={\frac {1}{(n-p-1)!}}\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{p}:\sum _{1}^{p}mk_{m}=p}(-1)^{K}{\frac {(n+K-1)!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{p}!~2!^{k_{1}}3!^{k_{2}}\cdots (p+1)!^{k_{p}}}},\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle K=k_{1}+\cdots +k_{p}.}$ Сумма - это сумма по всем перегородки из п.

Другое точное разложение вложенной суммы для этих чисел Стирлинга вычисляется с помощью элементарные симметричные многочлены соответствующие коэффициенты в ${\displaystyle x}$ продукта формы ${\displaystyle (1+c_{1}x)\cdots (1+c_{n-1}x)}$. В частности, мы видим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k+1\end{matrix}}\right]&=[x^{k}](x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)=(n-1)!\cdot [x^{k}](x+1)\left({\frac {x}{2}}+1\right)\cdots \left({\frac {x}{n-1}}+1\right)\\&=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}<n}{\frac {(n-1)!}{i_{1}\cdots i_{k}}}.\end{aligned}}}$

Личности Ньютона в сочетании с приведенными выше расширениями может использоваться для получения альтернативного доказательства взвешенных разложений, включающих обобщенные гармонические числа уже отмечено выше.

Еще одна явная формула для взаимные полномочия из п дается следующим тождеством для целых чисел ${\displaystyle p\geq 2}$:^[23]

${\displaystyle {\frac {1}{n^{p}}}={\frac {1}{n^{p-1}}}+{\frac {(-1)^{p-1}}{n!}}\left({\begin{bmatrix}n\\p\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}n\\p-1\end{bmatrix}}\right)+{\frac {(-1)^{p}}{n\cdot n!}}{\begin{bmatrix}n+1\\p\end{bmatrix}}+\sum _{j=0}^{p-3}{\begin{bmatrix}n+1\\j+2\end{bmatrix}}{\frac {(-1)^{j+1}(n-1)}{n^{p-1-j}\cdot n!}}.}$

Обратите внимание, что это последнее тождество сразу подразумевает отношения между полилогарифм функции, экспоненциальное число Стирлинга производящие функции приведенный выше, и степенной ряд на основе числа Стирлинга для обобщенного Полилогарифм Нильсена функции.

Связь с функцией натурального логарифма

В пth производная из μя сила натуральный логарифм включает в себя подписанные числа Стирлинга первого рода:

${\displaystyle {\operatorname {d} ^{n}\!(\ln x)^{\mu } \over \operatorname {d} \!x^{n}}=x^{-n}\sum _{k=1}^{n}\mu ^{\underline {k}}s(n,n-k+1)(\ln x)^{\mu -k},}$

куда ${\displaystyle \mu ^{\underline {i}}}$это падающий факториал, и ${\displaystyle s(n,n-k+1)}$число Стирлинга со знаком.

Это можно доказать, используя математическая индукция.

Обобщения

Есть много понятий обобщенные числа Стирлинга который может быть определен (в зависимости от приложения) в ряде различных комбинаторных контекстов. Поскольку числа Стирлинга первого рода соответствуют коэффициентам различных полиномиальных разложений единственная факториальная функция, ${\displaystyle n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1}$, мы можем расширить это понятие, чтобы определить треугольные рекуррентные отношения для более общих классов продуктов.

В частности, для любой фиксированной арифметической функции ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$ и символьные параметры ${\displaystyle x,t}$, связанные обобщенные факторные произведения вида

${\displaystyle (x)_{n,f,t}:=\prod _{k=1}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k}}}\right)}$

могут быть изучены с точки зрения классов обобщенных чисел Стирлинга первого рода, определяемых следующими коэффициентами при степенях ${\displaystyle x}$ в расширениях ${\displaystyle (x)_{n,f,t}}$ а затем следующим соответствующим треугольным рекуррентным соотношением:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}&=[x^{k-1}](x)_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}}$

Эти коэффициенты удовлетворяют ряду свойств, аналогичных свойствам для чисел Стирлинга первого рода, а также рекуррентным соотношениям и функциональным уравнениям, связанным с f-гармонические числа, ${\displaystyle F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}t^{k}/f(k)^{r}}$.^[24]

Один частный случай этих коэффициентов в квадратных скобках, соответствующих ${\displaystyle t\equiv 1}$ позволяет нам расширить множественный факториал, или многофакторный функции как многочлены от ${\displaystyle n}$ (видеть обобщения двойного факториала ).^[25]

В Числа Стирлинга обоих видов, биномиальные коэффициенты, а первого и второго порядка Числа Эйлера все определяются частными случаями треугольной сверх-повторение формы

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right|=(\alpha n+\beta k+\gamma )\left|{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right|+(\alpha ^{\prime }n+\beta ^{\prime }k+\gamma ^{\prime })\left|{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right|+\delta _{n,0}\delta _{k,0},}$

для целых чисел ${\displaystyle n,k\geq 0}$ и где ${\displaystyle \left|{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right|\equiv 0}$ в любое время ${\displaystyle n<0}$ или же ${\displaystyle k<0}$. В этом смысле форма чисел Стирлинга первого рода также может быть обобщена с помощью этой параметризованной супер-рекуррентности для фиксированных скаляров. ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ^{\prime },\beta ^{\prime },\gamma ^{\prime }}$ (не все нулевые).

Смотрите также

• Полиномы Стирлинга
• Числа Стирлинга
• Числа Стирлинга второго рода
• Статистика случайных перестановок

Рекомендации

1. См. Разделы 6.2 и 6.5 Конкретная математика.
2. Ричард П. Стэнли, Перечислительная комбинаторика, том 1 (2-е изд.). Страница 34 из онлайн-версия.
3. Адамчик, В. (1996). «О числах Стирлинга и суммах Эйлера» (PDF).
4. Флажолет и Седжвик (1995). «Преобразования Меллина и асимптотика: конечные разности и интегралы Райса» (PDF). Теоретическая информатика. 144 (1–2): 101–124. Дои:10.1016 / 0304-3975 (94) 00281-м.
5. Шмидт, М. Д. (30 октября 2016 г.). "Преобразования порождающих функций серии Зета, относящиеся к функциям полилогарифма и k-Заказать гармонические числа ». arXiv:1610.09666 [math.CO ].
6. Шмидт, М. Д. (3 ноября 2016 г.). «Преобразования производящей функции ряда дзета, связанные с обобщенными числами Стирлинга и частичными суммами дзета-функции Гурвица». arXiv:1611.00957 [math.CO ].
7. Мезо, Иштван (2012). "Двойное число формулы Спайви Белл". Журнал целочисленных последовательностей. 15.
8. См. Таблицу 265 (Раздел 6.1) Конкретная математика ссылка.
9. Конкретная математика упражнение 13 раздела 6. Обратите внимание, что эта формула сразу же подразумевает первое преобразование числа Стирлинга положительного порядка, данное в основной статье о преобразования производящей функции.
10. Олвер, Фрэнк; Лозье, Даниэль; Бойсверт, Рональд; Кларк, Чарльз (2010). "Справочник по математическим функциям NIST". Справочник по математическим функциям Nist. (Раздел 26.8)
11. Герберт Уилф, Генерацияфункционологии, Раздел 4.6.
12. Шмидт, М. Д. (2017). «Непрерывные дроби типа Якоби для обыкновенных производящих функций обобщенных факторных функций». J. Целочисленная последовательность. 20 (3).
13. Я. В. Благушин (2016). "Два разложения в ряд для логарифма гамма-функции, включающие числа Стирлинга и содержащие только рациональные коэффициенты для определенных аргументов, связанных с π⁻¹". Журнал математического анализа и приложений. 442 (2): 404–434. arXiv:1408.3902. Дои:10.1016 / j.jmaa.2016.04.032. S2CID  119661147. arXiv
14. Благушин, Ярослав В. (2018). «Три заметки о представлениях Сера и Хассе для дзета-функций». INTEGERS: Электронный журнал комбинаторной теории чисел. 18A: 1–45. arXiv:1606.02044. Bibcode:2016arXiv160602044B.
15. См. Также некоторые более интересные представления и расширения серий, упомянутые в статье Коннона: Коннон, Д. Ф. (2007). «Некоторые ряды и интегралы, включающие дзета-функцию Римана, биномиальные коэффициенты и номера гармоник (Том I)». arXiv:0710.4022 [math.HO ]..
16. Эти оценки приведены в разделе 26.8. Справочник NIST по математическим функциям.
17. Темме, Н.М. «Асимптотические оценки чисел Стирлинга» (PDF).
18. Первое тождество ниже следует как частный случай Полином Белла идентичность найдена в разделе 4.1.8 документа С. Романа. Темное исчисление куда ${\displaystyle s(n,k)=B_{n,k}\left(0!,-1!,2!,-3!,\ldots \right)}$, хотя несколько других связанных формул для чисел Стирлинга, определенных таким образом, выводятся аналогичным образом.
19. Таблица чисел Эйлера второго порядка и краткий обзор их свойств можно найти в разделе 6.2. Конкретная математика. Например, у нас есть ${\displaystyle \sum _{k}E_{2}(n,k)=(2n-1)(2n-3)\cdots (1)={\frac {(2n)^{\underline {n}}}{2^{n}}}}$. Эти числа также имеют следующую комбинаторную интерпретацию: если мы сформируем все перестановки мультимножество ${\displaystyle \{1,1,2,2,\ldots ,n,n\}}$ со свойством, что все числа между двумя вхождениями ${\displaystyle m}$ больше чем ${\displaystyle m}$ за ${\displaystyle 1\leq m\leq n}$, тогда ${\displaystyle E_{2}(n,k)}$ - количество таких перестановок, у которых есть ${\displaystyle k}$ восхождения.
20. Шмидт, М. Д. (2014 и 2016). «Пакет компьютерной алгебры для распознавания полиномиальных последовательностей». arXiv:1609.07301 [math.CO ]. Проверить значения даты в: | дата = (помощь)
21. Я. В. Благушин (2016). «Разложение обобщенных констант Эйлера в ряд многочленов от π⁻² и в формальный огибающий ряд только с рациональными коэффициентами ». Журнал теории чисел. 158 (2): 365–396. Дои:10.1016 / j.jnt.2015.06.012. arXiv
22. Дж. Маленфант, "Конечные выражения в замкнутой форме для функции распределения и для чисел Эйлера, Бернулли и Стирлинга"
23. Шмидт, М. Д. (2018). «Комбинаторные тождества для обобщенных чисел Стирлинга, расширяющих f-факторные функции и f-гармонические числа». J. Целочисленная последовательность. 21 (Статья 18.2.7): 7–8.
24. Комбинаторные тождества для обобщенных чисел Стирлинга, разлагающих f-факторные функции и f-гармонические числа (2016).
25. Шмидт, Макси Д. (2010). «Обобщенные j-факторные функции, многочлены и приложения». J. Целочисленная последовательность. 13.

• Искусство программирования
• Конкретная математика
• М. Абрамовиц, И. Стегун, изд. (1972). «§24.1.3. Числа Стирлинга первого рода». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами (9-е изд.). Нью-Йорк: Дувр. п. 824.
• Числа Стирлинга первого рода, s (n, k) в PlanetMath..
• Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A008275 (треугольник, читаемый строками чисел Стирлинга первого рода)». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.