Преобразование Стирлинга - Stirling transform

В комбинаторный математика, то Преобразование Стирлинга последовательности { а_п : п = 1, 2, 3, ...} чисел - это последовательность { б_п : п = 1, 2, 3, ...}, задаваемое формулой

${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}a_{k},}$

куда ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}}$ это Число Стирлинга второго рода, также обозначаемый S(п,k) (с большой буквы S), то есть количество перегородки набора размеров п в k части.

Обратное преобразование:

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=1}^{n}s(n,k)b_{k},}$

куда s(п,k) (в нижнем регистре s) - число Стирлинга первого рода.

Берштейн и Слоан (цитируются ниже) заявляют: «Если а_п - количество объектов в некотором классе с точками, помеченными 1, 2, ..., п (все метки различны, т.е. обычные помеченные структуры), то б_п - количество объектов с точками, обозначенными 1, 2, ..., п (с разрешенными повторами) ".

Если

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}}$

это формальный степенной ряд (обратите внимание, что нижняя граница суммирования равна 1, а не 0), и

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}}$

с а_п и б_п как указано выше, то

${\displaystyle g(x)=f(e^{x}-1).\,}$

Точно так же обратное преобразование приводит к тождеству производящей функции

${\displaystyle f(x)=g(\log(1+x)).}$

Смотрите также

• Биномиальное преобразование
• Преобразование производящей функции
• Список факториальных и биномиальных тем

Рекомендации

• Бернштейн, М .; Слоан, Н. Дж. А. (1995). «Некоторые канонические последовательности целых чисел». Линейная алгебра и ее приложения. 226/228: 57–72. arXiv:математика / 0205301. Дои:10.1016/0024-3795(94)00245-9..
• Христо Н. Бояджиев, Заметки о биномиальном преобразовании, теории и таблице с приложением о преобразовании Стирлинга (2018), World Scientific.