Переход государства - Transition of state

Основная статья: Теория возмущений (квантовая механика)

В квантовая механика, особенно Теория возмущений, а переход государства это изменение от первоначального квантовое состояние к последнему.

Переходы между стационарными состояниями

Следующее лечение довольно часто встречается в литературе.^[1] (хотя здесь он немного адаптирован) и часто называется зависящим от времени теория возмущений в более продвинутой форме.

Модель

Предположим одномерный квантовый гармонический осциллятор из масса м и обвинять е.Выражение для потенциальная энергия этой системы - это гармонический осциллятор.

${\displaystyle V={\dfrac {1}{2}}kx^{2}}$.

Общая волновая функция обозначается Ψ (х, т) (капитал Пси ), а пространственная часть волновой функции ψ (Икс) (нижний регистр фунтов на квадратный дюйм). Поскольку мы имеем дело с стационарные состояния, полная волновая функция является решением Уравнение Шредингера и читает

${\displaystyle \Psi (x,t)=\psi (x)\exp \left(-i{\dfrac {E}{\hbar }}t\right)}$,

с собственным значением ${\displaystyle \textstyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=E\Psi }$.

Ниже анализируется вероятность перехода с основного уровня, обозначенного 0, на уровень, обозначенного 1 при электромагнитной стимуляции.

Двухуровневая модель

Для этой ситуации запишем полную волновую функцию в виде линейная комбинация для двухуровневой системы:

${\displaystyle \Psi (x,t)=c_{0}(t)\Psi _{0}(x,t)+c_{1}(t)\Psi _{1}(x,t)}$

Коэффициенты c_0,1 зависят от времени. Они представляют долю состояния (0,1) в общей волновой функции со временем, таким образом, они представляют вероятность того, что волновая функция попадет в одно из двух состояний, когда наблюдательсхлопнет волновую функцию.

Поскольку мы имеем дело с двухуровневой системой, мы имеем отношение нормализации:

${\displaystyle \langle \Psi (x,t)|\Psi (x,t)\rangle =1\Leftrightarrow {\sqrt {|c_{0}(t)|^{2}+|c_{1}(t)|^{2}}}=1}$

Возмущение

Электромагнитная стимуляция будет равномерной электрическое поле, колеблющиеся с частота ω. Это очень похоже на полуклассический анализ поведения атом или молекула под поляризованный электромагнитный плоская волна.

Таким образом, потенциальная энергия будет суммой невозмущенного потенциала и возмущения и будет выглядеть так:

${\displaystyle V(x)={\dfrac {1}{2}}kx^{2}+e\epsilon (t)x}$

От уравнения Шредингера к c₁ временная зависимость

Уравнение Шредингера запишется:

${\displaystyle \left(-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2m}}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x)\right)\Psi (x,t)=i\hbar {\dfrac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}}$

Оператор энергии в уравнении Шредингера

Производная по времени в правой части уравнения Шредингера выглядит так:

${\displaystyle i\hbar {\dfrac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}=i\hbar \left(\psi _{0}\exp \left(-i{\dfrac {E_{0}t}{\hbar }}\right)\left({c_{0}}'(t)-i{\dfrac {E_{0}}{\hbar }}c_{0}(t)\right)+\psi _{1}\exp \left(-i{\dfrac {E_{1}t}{\hbar }}\right)\left({c_{1}}'(t)-i{\dfrac {E_{1}}{\hbar }}c_{1}(t)\right)\right)}$

${\displaystyle i\hbar {\dfrac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}=i\hbar \left(\Psi _{0}\left({c_{0}}'(t)-i{\dfrac {E_{0}}{\hbar }}c_{0}(t)\right)+\Psi _{1}\left({c_{1}}'(t)-i{\dfrac {E_{1}}{\hbar }}c_{1}(t)\right)\right)}$

Невозмущенный гамильтониан

В правой части общая гамильтониан представляет собой сумму невозмущенного гамильтониана (без внешнего электрического поля) и внешнего возмущения. Это позволяет заменить собственные значения стационарных состояний в полном гамильтониане. Таким образом мы пишем:

${\displaystyle {\hat {H}}\Psi (x,t)=\left(E_{0}c_{0}(t)\Psi _{0}(x,t)+E_{1}c_{1}(t)\Psi _{1}(x,t)+e\epsilon (t)x\Psi (x,t)\right)}$

Используя приведенное выше уравнение Шредингера, мы получаем

${\displaystyle e\epsilon (t)x\Psi (x,t)=i\hbar (c_{1}'(t)\Psi _{1}(x,t)+c_{0}'(t)\Psi _{0}(x,t))}$

Извлеките c₁(т) временная зависимость

Теперь мы используем обозначение бюстгальтера чтобы избежать громоздких интегралов. Это гласит:

${\displaystyle e\epsilon (t)(c_{1}(t)x|\Psi _{1}(x,t)\rangle +c_{0}(t)x|\Psi _{0}(x,t)\rangle =i\hbar (c_{1}'(t)|\Psi _{1}(x,t)\rangle +c_{0}'(t)|\Psi _{0}(x,t)\rangle )}$

Затем умножаем на ${\displaystyle \langle \Psi _{1}|}$ и в итоге получим следующее

${\displaystyle e\epsilon (t)(c_{1}(t)\langle \Psi _{1}|x|\Psi _{1}\rangle +c_{0}(t)\langle \Psi _{1}|x|\Psi _{0}\rangle )=i\hbar \left(c_{1}'(t)\langle \Psi _{1}|\Psi _{1}\rangle +c_{0}'(t)\langle \Psi _{1}|\Psi _{0}\rangle \right)}$

Два разных уровня: ортогональный, так ${\displaystyle \langle \Psi _{1}|\Psi _{0}\rangle =0}$. Также мы работаем с нормализованными волновыми функциями, поэтому ${\displaystyle \langle \Psi _{1}|\Psi _{1}\rangle =1}$.

Ну наконец то,

${\displaystyle e\epsilon (t)\left(c_{1}(t)\langle \Psi _{1}|x|\Psi _{1}\rangle +c_{0}(t)\langle \Psi _{1}|x|\Psi _{0}\rangle \right)=i\hbar c_{1}'(t)}$

Это последнее уравнение выражает изменение во времени c₁ со временем. Это суть нашего расчета, поскольку к тому времени мы сможем точно вывести его выражение из полученного дифференциального уравнения.

Решение нестационарного дифференциального уравнения

В целом нет надлежащего способа оценки ${\displaystyle \langle \Psi _{1}|x|\Psi _{0}\rangle }$, если у нас нет точных знаний о двух невозмущенных волновых функциях, то есть до тех пор, пока мы не сможем решить невозмущенное уравнение Шредингера. В случае гармонического потенциала решения волновых функций одномерного квантовый гармонический осциллятор известны как Полиномы Эрмита.

Установление дифференциального уравнения первого порядка

Чтобы прийти к окончательному результату, мы сделали несколько предположений. Предположим сначала, что c₁(0) = 0, потому что в момент времени т = 0 взаимодействие поля с веществом не началось. Это требует для нормализации полной волновой функции, чтоc₀(0) = 1. Воспользуемся этими условиями и можем записать при т = 0:

${\displaystyle e\epsilon (t)\langle \Psi _{1}|x|\Psi _{0}\rangle =i\hbar c_{1}'(t)}$

Опять же, в этой нерелятивистской картине мы убираем внешнюю зависимость от времени.

${\displaystyle e\epsilon (t)\exp \left(-i{\dfrac {E_{0}-E_{1}}{\hbar }}t\right)\langle \psi _{1}|x|\psi _{0}\rangle =i\hbar c_{1}'(t)}$

Количество ${\displaystyle e\langle \psi _{1}|x|\psi _{0}\rangle }$ называется момент перехода интеграл. Его размеры являются [заряд] · [длина] и Единицы СИ Как м.

Его можно измерить экспериментально или рассчитать аналитически, если известно выражение пространственной волновой функции для обоих уровней энергии. Это может быть так, если мы имеем дело с гармоническим осциллятором, как здесь. Не будем:${\displaystyle \mu _{01}}$ как момент перехода с уровня 0 на уровень 1.

Наконец, мы заканчиваем

${\displaystyle c_{1}'(t)={\dfrac {\mu _{01}}{i\hbar }}\epsilon (t)\exp \left(-i{\dfrac {E_{0}-E_{1}}{\hbar }}t\right)\Rightarrow c_{1}(t')={\dfrac {\mu _{01}}{i\hbar }}\int _{0}^{t'}\epsilon (t)\exp \left(-i{\dfrac {E_{0}-E_{1}}{\hbar }}t\right)\mathrm {d} t}$

Решение дифференциального уравнения первого порядка

Остается проинтегрировать это выражение, чтобы получить c₁(тОднако мы должны напомнить, что из сделанных нами ранее приближений мы находимся здесь в т = 0. Таким образом, решение, полученное в результате интегрирования, будет справедливым только до тех пор, пока |c₀(т)|² все еще очень близко к 1, то есть в течение очень короткого времени после того, как возмущение начало действовать.

Мы предполагаем, что возмущение, зависящее от времени, имеет следующий вид, чтобы упростить вычисление.

${\displaystyle \epsilon (t)=\epsilon _{0}\exp(i\omega t)}$

Это скалярная величина, как мы с самого начала предполагали скалярную заряженную частицу и одномерное электрическое поле.

Поэтому нам нужно интегрировать следующее выражение:

${\displaystyle c_{1}(t')={\dfrac {\mu _{01}\epsilon _{0}}{i\hbar }}\int _{0}^{t'}\mathrm {d} t\exp \left(-i\left({\dfrac {E_{0}-E_{1}}{\hbar }}-\omega \right)t\right)}$

Мы можем написать

${\displaystyle c_{1}(t')={\dfrac {\mu _{01}\epsilon _{0}}{i\hbar }}\int _{0}^{t'}\mathrm {d} t\exp \left(-i{\frac {E_{0}-E_{1}}{\hbar }}t\right)\exp({i\omega t})=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} t\exp \left(-i{\frac {E_{0}-E_{1}}{\hbar }}t\right)H\left({\frac {t}{t'}}-{\frac {1}{2}}\right)\exp \left(i\omega t\right)}$

и изменение переменной ${\displaystyle t\rightarrow -t}$ получаем правильный вид преобразования Фурье:

${\displaystyle c_{1}(t')=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} t\exp \left(i{\frac {E_{0}-E_{1}}{\hbar }}t\right)H\left(-{\frac {t}{t'}}-{\frac {1}{2}}\right)\exp \left(-i2\pi \nu t\right)}$

Использование преобразования Фурье

куда ${\displaystyle H}$ это прямоугольная функция. Мы замечаем из предыдущего уравнения, что c₁(т) это преобразование Фурье произведения косинуса на квадрат ширины т '. С этого момента формализм преобразований Фурье упростит работу.

У нас есть

${\displaystyle c_{1}(t')=\mathrm {TF} \left[\exp {\left(i{\frac {E_{0}-E_{1}}{\hbar }}t\right)}H\left(-{\frac {t}{t'}}-{\dfrac {1}{2}}\right)\right]=\mathrm {TF} \left[\exp {\left(i{\frac {E_{0}-E_{1}}{\hbar }}t\right)}\right]\otimes \mathrm {TF} \left[H\left(-{\frac {t}{t'}}-{\dfrac {1}{2}}\right)\right]}$

${\displaystyle c_{1}(t')=\delta \left(f-{\dfrac {E_{0}-E_{1}}{h}}\right)\otimes \mathrm {TF} \left[H\left({\frac {t}{t'}}-{\dfrac {1}{2}}\right)\right]}$

${\displaystyle c_{1}(t')=\delta \left(f-{\dfrac {E_{0}-E_{1}}{h}}\right)\otimes (\exp({i\pi ft'})\mathrm {sinc} (t'f))}$

Где грех кардинальный синус функция в ее нормализованном виде. Свертка с Распределение Дирака переведет термин слева от ${\displaystyle \otimes }$ знак.

Окончательно получаем

${\displaystyle c_{1}(t')=\exp \left({i\pi \left(f-{\dfrac {E_{0}-E_{1}}{h}}\right)t'}\right)\mathrm {sinc} \left(t'\left(f-{\dfrac {E_{0}-E_{1}}{h}}\right)\right)}$

Интерпретация

Вероятность перехода в общем случае для многоуровневой системы определяется следующим выражением:^[2]

${\displaystyle P_{k}=\sum _{n\neq k}c_{n}^{*}(t)c_{n}(t)}$

Конечный результат

Вероятность попасть в 1 состояние соответствует ${\displaystyle |c_{1}(t)|^{2}}$. Это действительно легко вычислить из всех утомительных вычислений, которые мы сделали ранее. Мы видим в уравнении, что ${\displaystyle |c_{1}(t)|^{2}}$ имеет очень простое выражение. Действительно, фазовый фактор, изменяющийся с т, исчезает естественным образом.

Таким образом, получаем выражение

${\displaystyle |c_{1}(t)|^{2}=\mathrm {sinc} ^{2}\left(t\left(f-{\dfrac {E_{0}-E_{1}}{h}}\right)\right)}$

Вывод

Мы сделали гипотезу, что стимуляция была сложной экспоненциальной. Однако истинное электрическое поле ценится на самом деле. Это следует учитывать при дальнейшем анализе. Кроме того, мы всегда предполагаем, что т очень маленький. Мы должны помнить об этом, прежде чем делать выводы.

Рекомендации

1. К. Харрис, Дэниел (1979). Симметрия и спектроскопия. Dover Книги. п. 550. ISBN  0-486-66144-X.
2. Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание), Р. Эйсберг, Р. Резник, John Wiley & Sons, 1985, ISBN  978-0-471-87373-0

дальнейшее чтение

• Квантовая механика, E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum's Outlines, McGraw Hill (США), 1998, ISBN  007-0540187
• Квантовая механика, Э. Заарур, Ю. Пелег, Р. Пнини, Ускоренный курс Schaum's Easy Outlines, Mc Graw Hill (США), 2006, ISBN  007-145533-7 ISBN  978-007-145533-6
• Демистификация квантовой механики, Д. МакМахон, Макгроу Хилл (США), 2006 г., ISBN  0-07-145546 9
• Квантовая механика, Э. Аберс, изд. Пирсона, Эддисон Уэсли, Prentice Hall Inc., 2004 г., ISBN  978-0-13-146100-0
• Стационарные состояния, A. Holden, College Physics Monographs (США), Oxford University Press, 1971, стр. ISBN  0-19-851121-3

Смотрите также

• Квантовое число
• Квантовая механика вакуума или же состояние вакуума
• Виртуальная частица
• Устойчивое состояние
• Оператор (физика)
• Вероятность
• Интеграция
• Дифференциальное уравнение
• Числовой анализ