Парадокс Рассела - Russells paradox

в основы математики, Парадокс Рассела (также известный как Антиномия Рассела), открытый Бертран Рассел в 1901 г.,^[1][2] показали, что некоторые попытки формализации наивная теория множеств сделано Георг Кантор привел к противоречие. Тот же парадокс был открыт в 1899 г. Эрнст Цермело^[3] но он не опубликовал идею, которая оставалась известной только Дэвид Гильберт, Эдмунд Гуссерль, и другие члены Геттингенский университет. В конце 1890-х годов Кантор уже осознал, что его определение приведет к противоречию, о чем он сказал Гильберту и Ричард Дедекинд письмом.^[4]

Согласно наивной теории множеств, любой определимый набор является набор. Позволять р быть набором всех наборов, которые не являются членами самих себя. Если р не является членом самого себя, тогда его определение требует, чтобы он содержал себя, а если он содержит себя, то он противоречит своему собственному определению как совокупности всех множеств, которые не являются членами самих себя. Это противоречие - парадокс Рассела. Символически:

${\displaystyle {\text{Let }}R=\{x\mid x\not \in x\}{\text{, then }}R\in R\iff R\not \in R}$

В 1908 году были предложены два способа избежать парадокса: Рассел. теория типов и Теория множеств Цермело. Аксиомы Цермело выходили далеко за рамки Готтлоб Фреге аксиомы протяженность и неограниченно установить абстракцию; как первый построенный аксиоматическая теория множеств, он превратился в стандартную Теория множеств Цермело – Френкеля (ZFC). Существенная разница между решением Рассела и Цермело парадокса состоит в том, что Цермело изменил аксиомы теории множеств, сохранив логический язык, на котором они выражены, в то время как Рассел изменил сам логический язык. Язык ZFC с помощь Торльфа Сколема, Оказалось, что логика первого порядка.^[5]

Неформальная презентация

Большинство часто встречающихся наборов не являются членами самих себя. Например, рассмотрим набор всех квадраты в самолет. Этот набор сам по себе не является квадратом на плоскости, поэтому он не является членом самого себя. Назовем набор «нормальным», если он не является членом самого себя, и «ненормальным», если он является членом самого себя. Очевидно, что каждый набор должен быть либо нормальным, либо ненормальным. Набор квадратов в плоскости нормальный. Напротив, дополнительный набор, содержащий все, что нет квадрат на плоскости сам по себе не является квадратом на плоскости, поэтому он является одним из его собственных элементов и, следовательно, ненормален.

Теперь рассмотрим множество всех нормальных множеств, ри попробуйте определить, р нормально или ненормально. Если р были нормальными, они содержались бы во множестве всех нормальных множеств (самом себе) и, следовательно, были бы ненормальными; с другой стороны, если р были ненормальными, он не входил бы в набор всех нормальных наборов (сам) и, следовательно, был бы нормальным. Это приводит к выводу, что р не является ни нормальным, ни ненормальным: парадокс Рассела.

Официальная презентация

Определите теорию наивных множеств (NST) как теорию логика предикатов с двоичным предикат ${\displaystyle \in }$ и следующая схема аксиом неограниченное понимание:

${\displaystyle \exists y\forall x(x\in y\iff \varphi (x))}$

для любой формулы ${\displaystyle \varphi }$ только с переменной Икс бесплатно. ${\displaystyle x\notin x}$ за ${\displaystyle \varphi (x)}$. Затем по экзистенциальное воплощение (повторное использование символа у) и универсальное создание у нас есть

${\displaystyle y\in y\iff y\notin y}$

противоречие. Следовательно, NST - это непоследовательный.^[6]

Теоретико-множественные ответы

От принцип взрыва в логике, любой Предложение может быть доказано от противоречия. Поэтому наличие противоречий, подобных парадоксу Рассела, в аксиоматической теории множеств катастрофически; поскольку если какая-либо теорема может быть доказана, это разрушает общепринятый смысл истины и ложности. Более того, поскольку теория множеств рассматривалась как основа для аксиоматического развития всех других разделов математики (как это пытались Рассел и Уайтхед в Principia Mathematica ), Парадокс Рассела поставил под угрозу основы математики. Это побудило множество исследований на рубеже 20-го века с целью разработки последовательной (свободной от противоречий) теории множеств.

В 1908 г. Эрнст Цермело предложил аксиоматизация теории множеств, которая избежала парадоксов наивной теории множеств, заменив произвольное понимание множеств более слабыми аксиомами существования, такими как его аксиома разделения (Aussonderung). Модификации этой аксиоматической теории, предложенные в 1920-х гг. Авраам Френкель, Торальф Сколем, а сам Цермело привел к аксиоматической теории множеств, названной ZFC. Эта теория получила широкое признание после того, как Цермело аксиома выбора перестал быть спорным, и ZFC остается каноническим аксиоматическая теория множеств вплоть до наших дней.

ZFC не предполагает, что для каждого свойства существует набор всего, что удовлетворяет этому свойству. Скорее, он утверждает, что для любого набора Икс, любое подмножество Икс определяется с помощью логика первого порядка существуют. Предмет р рассмотренный выше не может быть сконструирован таким образом и, следовательно, не является набором ZFC. В некоторых расширения ZFC, объекты вроде р называются правильные классы.

ZFC умалчивает о типах, хотя совокупная иерархия есть понятие слоев, похожих на типы. Сам Цермело никогда не принимал формулировку ZFC Сколема на языке логики первого порядка. Как отмечает Хосе Феррейрос, Цермело вместо этого настаивал на том, что «пропозициональные функции (условия или предикаты), используемые для разделения подмножеств, а также функции замены, могут быть« полностью произвольный' [ганц Bellybig]; "современная интерпретация этого утверждения состоит в том, что Цермело хотел включить количественная оценка высшего порядка чтобы избежать Парадокс Сколема. Примерно в 1930 году Цермело также представил (очевидно, независимо от фон Неймана) аксиома основания, таким образом, как отмечает Феррейрос, «запретив« круговые »и« необоснованные »множества, он [ZFC] включил в себя одно из важнейших мотивов ТТ [теории типов] - принцип типов аргументов». Этот ZFC 2-го порядка, предпочитаемый Цермело, включая аксиому основания, позволил создать богатую кумулятивную иерархию. Феррейрос пишет, что «« слои »Цермело по сути те же самые, что и типы в современных версиях простой TT [теории типов], предложенной Геделем и Тарским. Кумулятивную иерархию, в которой Цермело развивал свои модели, можно описать как вселенную совокупности TT, в котором разрешены трансфинитные типы (как только мы приняли импредикативную точку зрения, отказавшись от идеи создания классов, принятие трансфинитных типов не является неестественным). Таким образом, простые TT и ZFC теперь могут рассматриваться как системы, которые «говорят» "по существу о тех же предполагаемых объектах. Основное отличие состоит в том, что TT опирается на сильную логику более высокого порядка, в то время как Цермело использует логику второго порядка, а ZFC также может иметь формулировку первого порядка. кумулятивной иерархии намного слабее, как показывает существование счетных моделей (парадокс Сколема), но она имеет некоторые важные преимущества ».^[7]

В ZFC, учитывая набор А, можно определить набор B который состоит в точности из множеств в А которые не являются членами самих себя. B не может быть в А по той же логике, что и в Парадоксе Рассела. Этот вариант парадокса Рассела показывает, что ни один набор не содержит всего.

Благодаря работам Цермело и других, особенно Джон фон Нейман структура того, что некоторые считают «естественными» объектами, описанными ZFC, со временем стала ясна; они элементы Вселенная фон Неймана, V, построенный из пустой набор к бесконечно повторяющийся то набор мощности операция. Таким образом, теперь можно снова рассуждать о множествах неаксиоматическим образом, не вступая в противоречие с парадоксом Рассела, а именно рассуждая об элементах V. Будь то подходящее думать о множествах таким образом является предметом спора между конкурирующими точками зрения на философия математики.

Другие решения парадокса Рассела, более в духе теория типов, включают аксиоматические теории множеств Новые основы и Теория множеств Скотта-Поттера.

История

Рассел обнаружил парадокс в мае^[8] или июнь 1901 г.^[9] По его собственным словам в 1919 г. Введение в математическую философию, он «попытался обнаружить какой-то изъян в доказательстве Кантора о том, что не существует величайшего кардинала».^[10] В письме 1902 г.^[11] он объявил об открытии Готтлоб Фреге парадокса Фреге 1879 г. Begriffsschrift и сформулировал проблему с точки зрения как логики, так и теории множеств, и, в частности, с точки зрения определения Фреге функция:^[а][b]

Есть только один момент, где я столкнулся с трудностью. Вы утверждаете (стр. 17 [стр. 23 выше]), что функция тоже может действовать как неопределенный элемент. Раньше я в это верил, но теперь эта точка зрения кажется мне сомнительной из-за следующего противоречия. Позволять ш быть предикатом: быть предикатом, который не может быть предикатом сам по себе. Может ш быть основанным на себе? Из каждого ответа следует обратное. Следовательно, мы должны заключить, что ш не является предикатом. Точно так же не существует класса (как совокупности) тех классов, каждый из которых, взятый как совокупность, не принадлежит самим себе. Из этого я прихожу к выводу, что при определенных обстоятельствах определяемая коллекция [Менге] не образует целостности.

Рассел подробно осветит это в своей книге 1903 года. Принципы математики, где он повторил свою первую встречу с парадоксом:^[12]

Прежде чем отказаться от фундаментальных вопросов, необходимо более подробно изучить уже упомянутое сингулярное противоречие в отношении предикатов, не предсказуемых сами по себе. ... Могу упомянуть, что меня привели к этому, когда я пытался согласовать доказательство Кантора ... "

Рассел написал Фреге о парадоксе, когда Фреге готовил второй том своей книги. Grundgesetze der Arithmetik.^[13] Фреге очень быстро ответил Расселу; появилось его письмо от 22 июня 1902 г. с комментарием ван Хейенурта в Heijenoort 1967: 126–127. Затем Фреге написал приложение, в котором признал парадокс:^[14] и предложил решение, которое Рассел поддержит в своем Основы математики,^[15] но позже некоторые сочли его неудовлетворительным.^[16] Со своей стороны, Рассел поработал в типографии и добавил приложение о доктрина типов.^[17]

Эрнст Цермело в его (1908) Новое доказательство возможности хорошего заказа (опубликовано одновременно с опубликованием «первой аксиоматической теории множеств»)^[18] предъявил претензию на предварительное открытие антиномия в наивной теории множеств Кантора. Он утверждает: «И все же даже простейшая форма, которую Рассел⁹ теоретико-множественные антиномии могли убедить их [J. Кениг, Журден, Ф. Бернштейн], что решение этих трудностей следует искать не в отказе от хорошего упорядочения, а только в подходящем ограничении понятия множества ».^[19] В сноске 9 он заявляет о своем требовании:

⁹1903С. 366–368. Однако я открыл эту антиномию сам, независимо от Рассела, и передал ее до 1903 года профессору Гильберту среди других..^[20]

Фреге прислал копию своего Grundgesetze der Arithmetik Гильберту; как отмечалось выше, в последнем томе Фреге упоминался парадокс, о котором Рассел сообщил Фреге. Получив последний том Фреге 7 ноября 1903 года, Гильберт написал Фреге письмо, в котором сказал, ссылаясь на парадокс Рассела: «Я полагаю, что доктор Цермело открыл его три или четыре года назад». Письменный отчет о реальных аргументах Цермело был обнаружен в Nachlass из Эдмунд Гуссерль.^[21]

В 1923 г. Людвиг Витгенштейн предложил «избавиться» от парадокса Рассела следующим образом:

Причина, по которой функция не может быть собственным аргументом, заключается в том, что знак функции уже содержит прототип ее аргумента и не может содержать самого себя. Ибо предположим, что функция F (fx) могла бы быть собственным аргументом: в этом случае было бы предложение F (F (FX)), в котором внешняя функция F и внутренняя функция F должны иметь разное значение, так как внутреннее имеет вид O (FX) а внешний имеет вид Y (O (FX)). Только буква «F» является общей для двух функций, но сама по себе буква ничего не означает. Это сразу становится понятно, если вместо F (Fu) мы пишем (делать): F (Ou). Оу = Фу. Это избавляет от парадокса Рассела. (Логико-философский трактат, 3.333)

Рассел и Альфред Норт Уайтхед написали свой трехтомник Principia Mathematica в надежде достичь того, чего не смог сделать Фреге. Они стремились изгнать парадоксы наивная теория множеств используя теория типов они придумали для этой цели. Хотя им удалось обосновать арифметику определенным образом, совсем не очевидно, что они сделали это чисто логическими средствами. Пока Principia Mathematica избегая известных парадоксов и позволяя выводить большую часть математики, его система порождает новые проблемы.

В любом случае, Курт Гёдель в 1930–1931 годах доказали, что в то время как логика многих Principia Mathematica, теперь известный как логика первого порядка, является полный, Арифметика Пеано обязательно неполный, если он последовательный. Это очень широко, хотя и не повсеместно, считается показателем логик программу Фреге невозможно завершить.

В 2001 году в Мюнхене прошла столетняя международная конференция, посвященная первой сотне лет парадокса Рассела, и ее труды были опубликованы.^[9]

Прикладные версии

Есть несколько версий этого парадокса, которые ближе к реальным ситуациям и могут быть более понятны нелогикам. Например, парадокс парикмахера предполагает парикмахера, который бреет всех мужчин, которые не бреются, и только мужчин, которые не бреются. Когда думаешь о том, должен ли парикмахер бриться или нет, начинает вырисовываться парадокс.

В качестве другого примера рассмотрим пять списков статей энциклопедии в одной энциклопедии:

Список статей о людях: Дон Ноттс Дон Никс Император Кунин Герман Гессе Исаак Ньютон Никола Тесла Птолемей VII Египта Рэйни Ян Шерлок Холмс Сократ

Список статей на букву L: L L! VE TV L&H Лейвонмяки Лондон ... Список статей на букву К Список статей на букву L (сам; ОК) Список статей на букву М ...

Список статей о местах: Азия Эносима Германия Лейвонмяки Река Катасе

Список статей о Японии: Император Сева Эносима Река Катасе Гора Фудзи Токио

Список всех списков, не содержащих себя: Список статей о Японии Список статей о людях Список статей о местах ... Список статей на букву К Список статей на букву М ... Список всех списков, которые сами себя не содержат?

Если «Список всех списков, не содержащих себя», содержит сам себя, значит, он не принадлежит самому себе и должен быть удален. Однако, если он не указан в списке, его следует добавить к себе.

Хотя эти непрофессионал Версии этого парадокса имеют один недостаток: легкое опровержение парадокса парикмахера состоит в том, что такого парикмахера не существует или что парикмахер имеет алопеция и поэтому не бреется. Весь смысл парадокса Рассела состоит в том, что ответ «такого множества не существует» означает, что определение понятия множества в данной теории неудовлетворительно. Обратите внимание на разницу между утверждениями «такого набора не существует» и «это пустой набор ". Это похоже на разницу между словами" Ведра нет "и" Ведро пусто ".

Заметным исключением из вышеизложенного может быть Парадокс Греллинга-Нельсона, в котором слова и значение являются элементами сценария, а не люди и стрижка. Хотя парадокс парикмахера легко опровергнуть, сказав, что такой парикмахер не (и не можешь) существуют, невозможно сказать что-то подобное о значимом слове.

Один из способов драматизации парадокса состоит в следующем:

Предположим, что каждая публичная библиотека должна составить каталог всех своих книг. Поскольку каталог сам по себе является одной из библиотечных книг, некоторые библиотекари включают его в каталог для полноты; в то время как другие опускают его, поскольку это одна из книг библиотеки самоочевидно.

А теперь представьте, что все эти каталоги отправлены в национальную библиотеку. Некоторые из них включают себя в свои списки, другие - нет. Национальный библиотекарь составляет два главных каталога - один из всех каталогов, в которых перечислены сами себя, и один из тех, в которых нет.

Возникает вопрос: должны ли эти главные каталоги указывать себя? «Каталог всех каталогов, в которых перечислены сами себя» - не проблема. Если библиотекарь не включает его в свой собственный список, он остается истинным каталогом тех каталогов, которые включают самих себя. Если библиотекарь делает Включите его, он остается настоящим каталогом тех, кто перечисляет себя.

Однако так же, как библиотекарь не может ошибиться с первым главным каталогом, библиотекарь обречен на неудачу со вторым. Когда дело доходит до «Каталога всех каталогов, которые не перечислены сами по себе», библиотекарь не может включить его в свой собственный список, потому что тогда он сам включит себя и, следовательно, принадлежит Другой каталог, то есть каталоги, которые включают сами себя. Однако, если библиотекарь не учитывает его, каталог будет неполным. В любом случае, это никогда не может быть настоящий главный каталог каталогов, которые не перечисляют сами себя.

Приложения и связанные темы

Расселоподобные парадоксы

Как показано выше для парадокса парикмахера, парадокс Рассела нетрудно расширить. Брать:

• А переходный глагол , что может быть применено к его существенный форма.

Сформируйте предложение:

эээээээ - это все (и только те), кто не сами,

Иногда «все» заменяется «все ers».

Примером может быть «краска»:

В краскаэээ краскавсе (и только те), которые не краска самих себя.

или "избрать"

В избратьили же (представитель ), который избратьвсе, что не избрать самих себя.

Парадоксы, которые попадают в эту схему, включают:

• Парикмахер с "бритьем".
• Оригинальный парадокс Рассела с «содержать»: контейнер (набор), который содержит все (контейнеры), которые не содержат самих себя.
• В Парадокс Греллинга-Нельсона с «описателем»: описатель (слово), которое описывает все слова, которые не описывают сами себя.
• Парадокс ричарда с "обозначать": обозначение (число), которое обозначает все обозначения (числа), которые не обозначают сами себя. (В этом парадоксе все описания чисел получают присвоенный номер. Термин «обозначающий все обозначающие (числа), которые не обозначают сами себя» здесь называется Ричард.)
• «Я лгу», а именно парадокс лжеца и Парадокс Эпименида, чье происхождение древнее
• Парадокс Рассела-Майхилла

Связанные парадоксы

• В Парадокс Бурали-Форти, о тип заказа из всех хороший порядок
• В Парадокс Клини – Россера, показывая, что оригинал лямбда-исчисление непоследовательно, посредством самоотрицательного утверждения
• Парадокс карри (названный в честь Хаскелл Карри ), что не требует отрицание
• В наименьшее неинтересное целое число парадокс
• Парадокс Жирара в теория типов

Смотрите также

• Основной закон V
• Диагональный аргумент Кантора
• Первая проблема Гильберта
• "Об обозначении "
• Парадокс Куайна
• Самостоятельная ссылка
• Странная петля
• Универсальный набор

Примечания

1. Далее на стр. 17 относится к странице оригинала Begriffsschrift, а страница 23 относится к той же странице в van Heijenoort 1967
2. Примечательно, что это письмо не было опубликовано до van Heijenoort 1967 - оно появляется вместе с комментарием ван Heijenoort в van Heijenoort 1967: 124–125.

Рекомендации

1. Рассел, Бертран, "Переписка с Фреге". In Gottlob Frege Философско-математическая корреспонденция. Перевод Ханса Каала, University of Chicago Press, Чикаго, 1980.
2. Рассел, Бертран. Принципы математики. 2г. изд. Reprint, New York: W. W. Norton & Company, 1996. (Впервые опубликовано в 1903 г.)
3. Бернхард Ранг, Вольфганг Томас: открытие Цермело «парадокса Рассела», Historia Mathematica 8.
4. Вальтер Пуркерт, Ханс Дж. Ильгаудс: Vita Mathematica - Георг Кантор, Биркхойзер, 1985, ISBN  3-764-31770-1
5. А.А. Френкель; Ю. Бар-Гиллель; А. Леви (1973). Основы теории множеств. Эльзевир. С. 156–157. ISBN  978-0-08-088705-0.
6. Ирвин, Эндрю Дэвид; Deutsch, Гарри (2014). "Парадокс Рассела". В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии.
7. Хосе Феррейрос (2008). Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике (2-е изд.). Springer. § Кумулятивная иерархия Цермело, стр. 374-378. ISBN  978-3-7643-8350-3.
8. Автобиография Бертрана Рассела, George Allen and Unwin Ltd., 1971, стр. 147: «В конце Великого поста [1901] я вернулся в Фернхерст, где принялся за работу, чтобы выписать логический вывод математики, который впоследствии стал Principia Mathematica. Я думал, что работа почти закончена, но в мае месяце [курсив добавлен] У меня был интеллектуальный недостаток […]. У Кантора было доказательство того, что не существует наибольшего числа, и мне казалось, что число всех вещей в мире должно быть максимально возможным. Соответственно, я исследовал его доказательство с некоторой тщательностью и попытался применить его ко всему классу вещей, которые существуют. Это побудило меня рассмотреть те классы, которые не являются членами самих себя, и задать вопрос, является ли класс таких классов членом самого себя. Я обнаружил, что любой ответ предполагает его противоречие ".
9. Годехард Линк (2004), Сто лет парадокса Рассела, п. 350, ISBN  978-3-11-017438-0, получено 2016-02-22
10. Рассел 1920: 136
11. Готтлоб Фреге, Майкл Бини (1997), Читатель Фреге, п. 253, г. ISBN  978-0-631-19445-3, получено 2016-02-22. Также ван Хейенорт 1967: 124–125
12. Рассел 1903: 101
13. см. комментарий ван Хейенорта перед высказыванием Фреге Письмо Расселу в ван Хейенорте 1967: 126.
14. Комментарий ван Хейенорта, ср. van Heijenoort 1967: 126; Фреге начинает свой анализ таким исключительно честным комментарием: «Вряд ли с научным писателем может случиться что-либо более печальное, чем то, что одна из основ его здания пошатнулась после того, как работа будет закончена. Это было положение, в которое я был помещен письмом господина Дж. Бертран Рассел, когда издание этого тома подходило к концу »(Приложение к Grundgesetze der Arithmetik, vol. II, в Читатель Фреге, стр.279, перевод Майкла Бини
15. см. комментарий ван Хейенорта, ср. ван Хейенорт 1967: 126. Добавленный текст гласит: " Примечание. Второй том Gg., Который оказался слишком поздно, чтобы быть замеченным в Приложении, содержит интересное обсуждение противоречия (стр. 253–265), предполагающее, что решение должно быть найдено, отрицая, что два пропозициональные функции определяющие равные классы, должны быть эквивалентными. Поскольку это кажется весьма вероятным, что это верное решение, читателю настоятельно рекомендуется изучить аргумент Фреге по этому поводу »(Russell 1903: 522); сокращение Gg. Означает« Фреге ». Grundgezetze der Arithmetik. Begriffsschriftlich abgeleitet. Vol. I. Jena, 1893. Vol. II. 1903 г.
16. Ливио заявляет, что «Хотя Фреге действительно предпринял несколько отчаянных попыток исправить свою систему аксиом, он был безуспешен. Вывод оказался катастрофическим ...» Livio 2009: 188. Но ван Хейенорт в своем комментарии перед Фреге (1902 г.) Письмо Расселу описывает предложенный Фреге «выход» довольно подробно - речь идет о «преобразовании обобщения равенства в равенство ценностей. Для Фреге функция - это нечто неполное,« ненасыщенное »»; это, кажется, противоречит современному понятию «функция в расширении»; см. формулировку Фреге на стр. 128: «Между прочим, мне кажется, что выражение« предикат предикатирован сам по себе »не является точным ... Поэтому я предпочел бы сказать, что« понятие предикатируется из своего собственного расширения »[ так далее]". Но в конце своего предположения, что функция как понятие в расширении может быть записана как предопределенная для ее функции, он тупит. ван Хейенорт цитирует Куайна: «О более позднем и тщательном изучении« выхода »Фреге см. Куайн 1955":" На выходе Фреге ", Разум 64, 145–159; перепечатано в Куайн 1955b: Приложение. Полнота теории количественной оценки. Теорема Левенгейма, прилагается в виде брошюры с частью третьего издания (1955 г.) Куайн 1950 и включены в переработанное издание (1959 г.), 253–260 "(см. ССЫЛКИ в van Heijenoort 1967: 649)
17. Рассел упоминает об этом факте Фреге, см. Комментарий ван Хейенурта перед Фреге (1902). Письмо Расселу в Ван Хейенорте 1967: 126
18. Комментарий ван Хейенорта перед Цермело (1908a) Исследования по основам теории множеств Я в ван Хейенорте 1967: 199
19. ван Хейеноорт 1967: 190–191. В предыдущем разделе он категорически возражает против понятия непредсказуемость по определению Пуанкаре (и вскоре будет воспринят Расселом в его работе 1908 г. Математическая логика на основе теории типов cf van Heijenoort 1967: 150–182).
20. Эрнст Цермело (1908) Новое доказательство возможности хорошего заказа in van Heijenoort 1967: 183–198. Livio 2009: 191 сообщает, что Цермело «независимо открыл парадокс Рассела еще в 1900 году»; Ливио, в свою очередь, цитирует Эвальда 1996 г. и ван Хейеноорта 1967 г. (ср. Ливио 2009: 268).
21. Б. Ранг и В. Томас, «Открытие Зермело« парадокса Рассела »», Historia Mathematica, т. 8 п. 1. 1981, с. 15–22. Дои:10.1016/0315-0860(81)90002-1

Источники

• Поттер, Майкл (15 января 2004 г.), Теория множеств и ее философия, Clarendon Press (Oxford University Press ), ISBN  978-0-19-926973-0
• ван Хейеноорт, Жан (1967), От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879-1931 гг. (Третье издание 1976 г.), Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета, ISBN  0-674-32449-8
• Ливио, Марио (6 января 2009 г.), Бог - математик?, Нью-Йорк: Саймон и Шустер, ISBN  978-0-7432-9405-8

внешняя ссылка

• "Парадокс Рассела". Интернет-энциклопедия философии.
• Ирвин, Эндрю Дэвид (2016). "Парадокс Рассела". В Залта, Эдуард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии.
• Вайсштейн, Эрик В. "Антиномия Рассела". MathWorld.
• Парадокс Рассела в Разрезать узел