Параллельная проекция - Parallel projection

А параллельная проекция представляет собой проекцию объекта в трехмерном пространстве на фиксированный самолет, известный как плоскость проекции или плоскость изображения, где лучи, известный как линии обзора или проекционные линии, находятся параллельно друг другу. Это основной инструмент в начертательная геометрия. Проекция называется орфографический если лучи перпендикулярны (ортогональны) плоскости изображения, и косой или перекос если их нет.

Обзор

Терминология и обозначения параллельной проекции. Два синих параллельных линейных сегмента справа остаются параллельными при проецировании на плоскость изображения слева.

Параллельная проекция - это частный случай проекция в математика и графическая проекция в технический рисунок. Параллельные проекции можно рассматривать как предел центральный или перспективная проекция, в котором лучи проходят через фиксированную точку, называемую центр или смотровая площадка, поскольку эта точка перемещается в бесконечность. Иными словами, параллельная проекция соответствует перспективной проекции с бесконечным фокусное расстояние (расстояние между объективом и точкой фокусировки в фотография ) или же "увеличить ". В параллельных проекциях линии, параллельные в трехмерном пространстве, остаются параллельными на двухмерном проецируемом изображении.

Перспективная проекция объекта часто считается более реалистичной, чем параллельная проекция, поскольку она больше напоминает человеческое зрение и фотография. Однако параллельные проекции популярны в технических приложениях, так как параллельность линий и граней объекта сохраняется, а прямые измерения можно проводить с изображения. Среди параллельных проекций наиболее реалистичными являются ортогональные проекции, которые обычно используются инженерами. С другой стороны, некоторые виды наклонных проекций (например, кавалерская проекция, военная проекция ) очень просты в реализации и используются для быстрого создания неформальных изображений объектов.

Период, термин параллельная проекция используется в литературе для описания как сама процедура (функция математического отображения), а также результирующее изображение произведенный процедурой.

Характеристики

Две параллельные проекции куба. В ортогональной проекции (слева) линии проекции перпендикулярны плоскости изображения (розовый). В наклонной проекции (справа) линии проекции расположены под углом к ​​плоскости изображения.

Каждая параллельная проекция обладает следующими свойствами.

• Он однозначно определяется своей плоскостью проекции Π и направление ${\displaystyle {\vec {v}}}$ (параллельных) линий проекции. Направление не должно быть параллельно плоскости проекции.
• Любая точка пространства имеет уникальное изображение в плоскости проекции. Π, а точки Π фиксируются.
• Любая линия, не параллельная направлению ${\displaystyle {\vec {v}}}$ отображается на линию; любая линия, параллельная ${\displaystyle {\vec {v}}}$ отображается на точку.
• Параллельные прямые отображаются на параллельные прямые или на пару точек (если они параллельны ${\displaystyle {\vec {v}}}$).
• В соотношение длины двух отрезков на прямой остается неизменной. В частном случае средние точки нанесены на средние точки.
• В длина отрезка, параллельного плоскости проекции остается неизменной. Длина любого линейного сегмента сокращается, если проекция является ортогональной.^{[требуется разъяснение ]}
• Любой круг лежащая в плоскости, параллельной плоскости проекции, отображается на окружность того же радиуса. Любой другой круг отображается на эллипс или отрезок линии (если направление ${\displaystyle {\vec {v}}}$ параллельна плоскости окружности).
• Углы в общем не сохранились. Но прямые углы с одной линией, параллельной плоскости проекции, остаются без изменений.
• Любой прямоугольник отображается на параллелограмм или отрезок линии (если ${\displaystyle {\vec {v}}}$ параллельно плоскости прямоугольника).
• Любая фигура в плоскости, параллельной плоскости изображения, конгруэнтна своему изображению.

Ортографическая проекция

Основные статьи: Ортографическая проекция, Многоканальная проекция, и Аксонометрическая проекция

Параллельная проекция соответствует перспективной проекции с гипотетической точкой обзора; т.е. камера расположена на бесконечном расстоянии от объекта и имеет бесконечное фокусное расстояние, или «зум».

Различные прогнозы и как они создаются

Ортографическая проекция основана на принципах начертательная геометрия, и представляет собой тип параллельной проекции, в которой лучи проекции перпендикулярны плоскости проекции. Это тип проекции для рабочие чертежи.

Период, термин орфографический иногда зарезервировано специально для изображений объектов, где главные оси или плоскости объекта параллельны плоскости проекции (или бумаге, на которой нарисована ортогональная или параллельная проекция). Однако срок многовидовая проекция также используется. В многовидовые проекции, создается до шести изображений объекта, каждая плоскость проекции перпендикулярна одной из осей координат. Подтипы многовидовых ортографических проекций включают: планы, возвышения и разделы.

Когда главные плоскости или оси объекта не параллельна плоскости проекции, но в некоторой степени наклонены, чтобы обнажить несколько сторон объекта, это называется аксонометрическая проекция.^[1] Аксонометрическая проекция (не путать с тесно связанными принцип аксонометрии, как описано в Теорема Польке ) далее подразделяется на три группы: изометрический, диметрический и триметрическая проекция, в зависимости от точного угла, под которым вид отклоняется от ортогонального.^[2][3] Типичная (но не обязательная) характеристика аксонометрических изображений состоит в том, что одна ось пространства обычно отображается как вертикальная.

Косая проекция

Основная статья: Косая проекция

Сравнение нескольких видов графическая проекция. Наличие одного или нескольких углов 90 ° обычно является хорошим признаком того, что перспектива косой.

В наклонной проекции параллельные лучи проекции не перпендикулярны плоскости обзора, а падают на плоскость проекции под углом, отличным от девяноста градусов.^[2] Как в ортогональной, так и в наклонной проекции параллельные линии в пространстве кажутся параллельными на проецируемом изображении. Из-за своей простоты наклонная проекция используется исключительно в графических целях, а не для формальных рабочих чертежей. На наклонном графическом чертеже отображаемые углы между осями, а также коэффициенты ракурса (масштаб) произвольны. Создаваемое при этом искажение обычно ослабляется путем выравнивания одной плоскости отображаемого объекта, чтобы она была параллельна плоскости проекции, тем самым создавая полноразмерное изображение истинной формы выбранной плоскости. К специальным видам наклонных проекций относятся: военные, кавалер и проекция шкафа.^[4]

Аналитическое представление

Если плоскость изображения задается уравнением ${\displaystyle \Pi :~{\vec {n}}\cdot {\vec {x}}-d=0}$ и направление проекции ${\displaystyle {\vec {v}}}$, то линия проекции через точку ${\displaystyle P:~{\vec {p}}}$ параметризуется

${\displaystyle g:~{\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {v}}}$ с ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.

Изображение ${\displaystyle P'}$ из ${\displaystyle P}$ это пересечение прямой ${\displaystyle g}$ с самолетом ${\displaystyle \Pi }$; он задается уравнением

${\displaystyle P':~{\vec {p}}'={\vec {p}}+{\frac {d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}}}\;{\vec {v}}\ .}$

В некоторых случаях эти формулы можно упростить.

(S1) Если можно выбрать векторы ${\displaystyle {\vec {n}}}$ и ${\displaystyle {\vec {v}}}$ такой, что ${\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=1}$, формула для изображения упрощается до

${\displaystyle {\vec {p}}'={\vec {p}}+(d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {v}}\ .}$

(S2) В ортогональной проекции векторы ${\displaystyle {\vec {n}}}$ и ${\displaystyle {\vec {v}}}$ параллельны. В этом случае можно выбрать ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {n}},\;|{\vec {n}}|=1}$ и один получает

${\displaystyle {\vec {p}}'={\vec {p}}+(d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {n}}\ .}$

(S3) Если можно выбрать векторы ${\displaystyle {\vec {n}}}$ и ${\displaystyle {\vec {v}}}$ такой, что ${\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=1}$, и если плоскость изображения содержит начало координат, ${\displaystyle d=0}$ а параллельная проекция - это линейное отображение:

${\displaystyle {\vec {p}}'={\vec {p}}-({\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {v}}={\vec {p}}-({\vec {v}}\otimes {\vec {n}})~{\vec {p}}=(I_{3}-{\vec {v}}\otimes {\vec {n}})\;{\vec {p}}\ .}$

(Здесь ${\displaystyle I_{3}}$ это единичная матрица и ${\displaystyle \otimes }$ то внешний продукт.)

Из этого аналитического представления параллельной проекции можно вывести большинство свойств, изложенных в предыдущих разделах.

Смотрите также

Классификация Параллельная проекция и некоторые 3D-проекции

• Проекция (линейная алгебра)

Рекомендации

• Краткое содержание Шаума: Начертательная геометрия, Макгроу-Хилл (1 июня 1962 г.),ISBN  978-0070272903
• Иосиф Малькевич (апрель 2003 г.), «Математика и искусство», Архив столбца функций, Американское математическое общество
• Ингрид Карлбом, Джозеф Пасиорек (декабрь 1978 г.), «Плоские геометрические проекции и трансформации просмотра», Опросы ACM Computing, 10 (4): 465–502, Дои:10.1145/356744.356750

1. Митчелл, Уильям; Малкольм Маккалоу (1994). СМИ цифрового дизайна. Джон Уайли и сыновья. п. 169. ISBN  0-471-28666-4.
2. Мейнард, Патрик (2005). Отличия рисунка: разновидности графического выражения. Издательство Корнельского университета. п. 22. ISBN  0-8014-7280-6.
3. Макрейнольдс, Том; Дэвид Блайт (2005). Расширенное программирование графики с использованием openGL. Эльзевир. п. 502. ISBN  1-55860-659-9.
4. Десаи, Апурва А. Компьютерная графика. PHI Learning Pvt. ООО п. 242. ISBN  81-203-3524-4.