Теорема Полькеса - Pohlkes theorem

Теорема Польке основная теорема аксонометрия. Он был основан в 1853 году немецким художником и педагогом. начертательная геометрия Карл Вильгельм Польке. Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1864 г. немецким математиком. Герман Амандус Шварц, который был учеником Польке. Поэтому теорему иногда называют Теорема Польке и Шварца, тоже.

Теорема

Теорема Польке

• Три произвольных отрезка линии ${\displaystyle {\overline {O}}{\overline {U}},{\overline {O}}{\overline {V}},{\overline {O}}{\overline {W}}}$ в плоскости, исходящей из точки ${\displaystyle {\overline {O}}}$, которые не содержатся в строке, можно рассматривать как параллельная проекция трех граней ${\displaystyle OU,OV,OW}$ из куб.

Для отображения единичного куба необходимо применить дополнительное масштабирование либо в пространстве, либо на плоскости. Поскольку параллельная проекция и масштабирование сохраняют отношения, можно отобразить произвольную точку ${\displaystyle P=(x,y,z)}$ с помощью аксонометрической процедуры ниже.

Теорема Польке может быть сформулирована в терминах линейной алгебры как:

• Любой аффинное отображение трехмерного пространства на плоскость можно рассматривать как композицию сходство и параллельная проекция.^[1]

Приложение к аксонометрии

принцип аксонометрической проекции

Теорема Польке является обоснованием следующей простой процедуры построения масштабированной параллельной проекции трехмерного объекта с использованием координат:^[2][3]

1. Выбирайте изображения осей координат, не содержащиеся в строке.
2. Выберите любую ось координат для укорочения ${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}>0.}$
3. Изображение ${\displaystyle {\overline {P}}}$ точки ${\displaystyle P=(x,y,z)}$ определяется тремя шагами, начиная с точки ${\displaystyle {\overline {O}}}$:

идти ${\displaystyle v_{x}\cdot x}$ в ${\displaystyle {\overline {x}}}$-направление, то

идти ${\displaystyle v_{y}\cdot y}$ в ${\displaystyle {\overline {y}}}$-направление, то

идти ${\displaystyle v_{z}\cdot z}$ в ${\displaystyle {\overline {z}}}$-направление и

4. отметьте точку как ${\displaystyle {\overline {P}}}$.

Для получения неискаженных изображений необходимо тщательно выбирать изображения осей и их укорачивания (см. Аксонометрия ). Чтобы получить орфографическая проекция свободны только изображения осей и определены укорочения. (видеть de: orthogonale Axonometrie ).

Замечания к доказательству Шварца

Шварц сформулировал и доказал более общее утверждение:

• Вершины любого четырехугольник можно рассматривать как косую параллельную проекцию вершин тетраэдр то есть похожий к данному тетраэдру.^[4]

и использовал теорему L’Huilier:

• Каждый треугольник можно рассматривать как ортогональную проекцию треугольника заданной формы.

Примечания

1. Г. Пикерт: Vom Satz von Pohlke zur linearen Algebra, Didaktik der Mathematik 11 (1983), 4, стр. 297–306.
2. Ульрих Граф, Мартин Барнер: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Гейдельберг, 1961 г., ISBN  3-494-00488-9, с.144.
3. Роланд Штерк: Darstellende Geometrie, Шенинг, 1978, ISBN  3-506-37443-5, с.156.
4. Скленарикова, Зита; Пемова, Марта (2007). «Теорема Польке – Шварца и ее актуальность в дидактике математики» (PDF). Quaderni di Ricerca in Didattica. G.R.I.M. (Департамент математики, Университет Палермо, Италия) (17): 155.

Рекомендации

• К. Польке: Zehn Tafeln zur darstellenden Geometrie. Гертнер-Верлаг, Берлин 1876 г. (Google Книги.)
• Шварц, Х.А.:Elementarer Beweis des Pohlkeschen Fundamentalsatzes der Axonometrie, Дж. Reine Angew. Математика. 63, 309–314, 1864.
• Арнольд Эмч: Доказательство теоремы Польке и ее обобщений по аффинности, Американский журнал математики, Vol. 40, No. 4 (октябрь 1918 г.), стр. 366–374

внешняя ссылка

• Ф. Кляйн: Основная теорема Польке, в Элементарная математика с высшей точки зрения: Том II: Геометрия, п. 97,
• Кристоф Скриба, Питер Шрайбер: 5000 лет геометрии: математика в истории и культуре, стр. 398.
• Теорема Польке – Шварца, Энциклопедия математики.