Группа классов сопоставления - Mapping class group

В математика, в подполе геометрическая топология, то группа классов отображения является важным алгебраическим инвариантом топологическое пространство. Вкратце, группа классов отображения - это некая дискретная группа соответствующие симметриям пространства.

Мотивация

Рассмотрим топологическое пространство, то есть пространство с некоторым понятием близости между точками в пространстве. Мы можем рассматривать множество гомеоморфизмы из пространства в себя, то есть непрерывный карты с непрерывным обратное: функции, которые непрерывно растягивают и деформируют пространство, не нарушая и не склеивая пространство. Этот набор гомеоморфизмов можно рассматривать как само пространство. Он образует группу по функциональному составу. Мы также можем определить топологию на этом новом пространстве гомеоморфизмов. В открытые наборы этого нового функционального пространства будет состоять из наборов функций, которые отображают компактный подмножества K на открытые подмножества U в качестве K и U диапазон во всем нашем исходном топологическом пространстве, дополненный их конечными перекрестки (которые должны быть открытыми по определению топологии) и произвольными союзы (опять же, который должен быть открыт). Это дает понятие непрерывности на пространстве функций, так что мы можем рассматривать непрерывную деформацию самих гомеоморфизмов: называемую гомотопии. Мы определяем группу классов отображений, беря гомотопические классы гомеоморфизмов и индуцируя структуру группы из функциональной композиционной групповой структуры, уже имеющейся в пространстве гомеоморфизмов.

Определение

Период, термин группа классов отображения имеет гибкое использование. Чаще всего он используется в контексте многообразие M. Группа классов отображения M интерпретируется как группа классы изотопии из автоморфизмы из M. Так что если M это топологическое многообразие группа классов отображений - это группа изотопических классов гомеоморфизмы из M. Если M это гладкое многообразие группа классов отображений - это группа изотопических классов диффеоморфизмы из M. Когда группа автоморфизмов объекта Икс имеет естественный топология, группа классов отображений Икс определяется как ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)/\operatorname {Aut} _{0}(X)}$, куда ${\displaystyle \operatorname {Aut} _{0}(X)}$ это компонент пути идентичности в ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$. (Обратите внимание, что в компактно-открытой топологии компоненты пути и изотопические классы совпадают, т.е. два отображения ж и грамм находятся в одном компоненте пути если только они изотопны). Для топологических пространств это обычно компактно-открытая топология. в низкоразмерная топология литературе, группа классов отображения Икс обычно обозначают MCG (Икс), хотя его также часто называют ${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {Aut} (X))}$, где вместо Aut подставляется соответствующая группа категория которому Икс принадлежит. Здесь ${\displaystyle \pi _{0}}$ обозначает 0-й гомотопическая группа пространства.

Так что в общем есть короткая точная последовательность групп:

${\displaystyle 1\rightarrow \operatorname {Aut} _{0}(X)\rightarrow \operatorname {Aut} (X)\rightarrow \operatorname {MCG} (X)\rightarrow 1.}$

Часто эта последовательность не расколоть.^[1]

Если работаешь в гомотопическая категория, группа классов отображений Икс это группа гомотопические классы из гомотопические эквивалентности из Икс.

Есть много подгруппы групп классов отображений, которые часто изучаются. Если M ориентированное многообразие, ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$ были бы сохраняющими ориентацию автоморфизмами M и поэтому группа классов отображения M (как ориентированное многообразие) будет индексом два в группе классов отображений M (как неориентированное многообразие) при условии M допускает обращающий ориентацию автоморфизм. Точно так же подгруппа, которая действует как тождество на всех группы гомологии из M называется Группа Торелли из M.

Примеры

Сфера

В любой категории (гладкой, PL, топологической, гомотопической)^[2]

${\displaystyle \operatorname {MCG} (S^{2})\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$

соответствующие картам степень  ±1.

Тор

в гомотопическая категория

${\displaystyle \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\simeq \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} ).}$

Это потому, что n-мерный тор ${\displaystyle \mathbf {T} ^{n}=(S^{1})^{n}}$ является Пространство Эйленберга – Маклейна.

Для других категорий, если ${\displaystyle n\geq 5}$,^[3] один имеет следующие последовательности с точным разбиением:

в категория топологических пространств

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0}$

в PL-категория

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\oplus {\binom {n}{2}}\mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0}$

(⊕ представляет прямая сумма ).В гладкая категория

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\oplus {\binom {n}{2}}\mathbb {Z} _{2}\oplus \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\Gamma _{i+1}\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0}$

куда ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ - конечные абелевы группы Кервера – Милнора группы гомотопические сферы и ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ группа порядка 2.

Поверхности

Основная статья: Группа классов отображения поверхности

Группы классов отображения поверхности были тщательно изучены и иногда называются модулярными группами Тейхмюллера (обратите внимание на частный случай ${\displaystyle \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{2})}$ выше), поскольку они действуют на Пространство Тейхмюллера а частное - это пространство модулей римановых поверхностей, гомеоморфных поверхности. Эти группы обладают чертами, сходными как с гиперболические группы и линейным группам более высокого ранга^{[нужна цитата ]}. У них много приложений в Терстон теория геометрической трёхмерные многообразия (например, чтобы поверхностные пучки ). Элементы этой группы также были изучены сами по себе: важным результатом является Классификация Нильсена-Терстона теорема, а порождающее семейство группы задается формулой Ден скручивает которые в некотором смысле являются «простейшими» классами отображения. Каждая конечная группа является подгруппой группы классов отображений замкнутой ориентируемой поверхности;^[4] на самом деле любую конечную группу можно реализовать как группу изометрий некоторого компактного Риманова поверхность (что сразу означает, что он внедряется в группу классов отображений базовой топологической поверхности).

Неориентируемые поверхности

Немного неориентируемый поверхности имеют группы классов отображений с простыми представлениями. Например, каждый гомеоморфизм реальная проективная плоскость ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}(\mathbb {R} )}$ изотопно тождеству:

${\displaystyle \operatorname {MCG} (\mathbf {P} ^{2}(\mathbb {R} ))=1.}$

Группа классов отображения Бутылка Клейна K является:

${\displaystyle \operatorname {MCG} (K)=\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}.}$

Четыре элемента - это личность, Ден твист на двусторонней кривой, которая не ограничивает Лента Мебиуса, то у-гомеоморфизм из Ликориш, и произведение твиста и y-гомеоморфизма. Это хорошее упражнение, чтобы показать, что квадрат твиста Дена изотопен тождеству.

Отметим также, что закрытые род три неориентируемых поверхности N₃ (связная сумма трех проективных плоскостей) имеет:

${\displaystyle \operatorname {MCG} (N_{3})=\operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} ).}$

Это потому, что поверхность N имеет уникальный класс односторонних кривых таких, что когда N разрезается по такой кривой C, получившаяся поверхность ${\displaystyle N\setminus C}$ является тор с удаленным диском. Как неориентированная поверхность, ее группа классов отображений ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} )}$. (Лемма 2.1^[5]).

3-манифольды

Группы классов отображений 3-многообразий также получили значительное исследование и тесно связаны с группами классов отображений 2-многообразий. Например, любая конечная группа может быть реализована как группа классов отображений (а также группа изометрий) компактного трехмерного гиперболического многообразия.^[6]

Отображение групп классов пар

Учитывая пара пространств (Х, А) группа классов отображений пары - это изотопические классы автоморфизмов пары, где автоморфизм (Х, А) определяется как автоморфизм Икс что сохраняет А, т.е. ж: Икс → Икс обратима и f (А) = А.

Группа симметрии узла и звеньев

Если K ⊂ S³ это морской узел или связь, то группа симметрии узла (соотв. ссылка) определяется как группа классов отображения пары (S³, K). Группа симметрии гиперболический узел как известно двугранный или же циклический, причем каждая диэдральная и циклическая группа может быть реализована как группы симметрии узлов. Группа симметрии торический узел известен как второй порядок Z₂.

Группа Торелли

Обратите внимание, что существует индуцированное действие группы классов отображений на гомология (и когомология ) пространства Икс. Это потому, что (ко) гомологии функториальны и Гомео₀ действует тривиально (поскольку все элементы изотопны, следовательно, гомотопны единице, которая действует тривиально, а действие на (ко) гомологиях инвариантно относительно гомотопии). Ядром этого действия является Группа Торелли, названный в честь Теорема Торелли.

В случае ориентируемых поверхностей это действие на первых когомологиях ЧАС¹(Σ) ≅ Z^2грамм. Сохраняющие ориентацию отображения - это в точности те, которые тривиально действуют на верхних когомологиях ЧАС²(Σ) ≅ Z. ЧАС¹(Σ) имеет симплектический структура, исходящая из чашка продукта; поскольку эти отображения являются автоморфизмами, а отображения сохраняют кубовое произведение, группа классов отображений действует как симплектические автоморфизмы, и действительно, все симплектические автоморфизмы реализуются, давая короткая точная последовательность:

${\displaystyle 1\to \operatorname {Tor} (\Sigma )\to \operatorname {MCG} (\Sigma )\to \operatorname {Sp} (H^{1}(\Sigma ))\cong \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbf {Z} )\to 1}$

Можно распространить это на

${\displaystyle 1\to \operatorname {Tor} (\Sigma )\to \operatorname {MCG} ^{*}(\Sigma )\to \operatorname {Sp} ^{\pm }(H^{1}(\Sigma ))\cong \operatorname {Sp} _{2g}^{\pm }(\mathbf {Z} )\to 1}$

В симплектическая группа хорошо понимается. Следовательно, понимание алгебраической структуры группы классов отображений часто сводится к вопросам о группе Торелли.

Заметим, что для тора (род 1) отображение в симплектическую группу является изоморфизмом, а группа Торелли обращается в нуль.

Группа классов стабильного отображения

Можно заделать поверхность ${\displaystyle \Sigma _{g,1}}$ рода грамм и 1 граничный компонент в ${\displaystyle \Sigma _{g+1,1}}$ прикрепив на конце дополнительное отверстие (т. е. склеив ${\displaystyle \Sigma _{g,1}}$ и ${\displaystyle \Sigma _{1,2}}$), и, таким образом, автоморфизмы малой поверхности, фиксирующие границу, распространяются на большую поверхность. Принимая прямой предел этих групп и включений дает стабильная группа классов отображений, кольцо рациональных когомологий которого было предположено Дэвид Мамфорд (одна из гипотез, названная Гипотезы Мамфорда ). Целочисленное (а не только рациональное) кольцо когомологий было вычислено в 2002 г. Иб Мадсен и Майкл Вайс, доказывая гипотезу Мамфорда.

Смотрите также

• Группы кос группы классов отображений проколотых дисков
• Гомотопические группы
• Гомеотопия группы
• Фонарь отношение

Рекомендации

1. Морита, Шигеюки (1987). «Характеристические классы поверхностных расслоений». Inventiones Mathematicae. 90 (3): 551–577. Дои:10.1007 / bf01389178. МИСТЕР  0914849.
2. Эрл, Клиффорд Дж.; Eells, Джеймс (1967), "Группа диффеоморфизмов компактной римановой поверхности", Бюллетень Американского математического общества, 73: 557–559, Дои:10.1090 / S0002-9904-1967-11746-4, МИСТЕР  0212840
3. МИСТЕР0520490 (80f: 57014) Хэтчер, А. Э. Пространства согласованности, теория высших простых гомотопий и приложения. Алгебраическая и геометрическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, CA, 1976), Часть 1, стр. 3–21, Proc. Симпозиумы. Чистая математика, XXXII, амер. Математика. Soc., Providence, R.I., 1978. (Рецензент: Джеральд А. Андерсон) 57R52
4. Гринберг, Леон (1974), "Максимальные группы и сигнатуры", Разрывные группы и римановы поверхности (Proc. Conf., Univ. Maryland, College Park, Md., 1973), Анналы математических исследований, 79, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. 207–226, МИСТЕР  0379835
5. Шарлеманн, Мартин (1982). «Комплекс кривых на неориентируемых поверхностях». Журнал Лондонского математического общества. Серия 2. 25 (1): 171–184.
6. С. Кодзима, Топология и ее приложения, Том 29, выпуск 3, август 1988 г., страницы 297–307

• Бирман, Жанна (1974). Косы, связи и группы классов отображения. Летопись математических исследований. 82. Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN  978-0691081496. МИСТЕР  0375281.
• Автоморфизмы поверхностей по Нильсену и Терстону к Эндрю Кэссон и Стив Блейлер.
• "Mapping Class Groups" Автор: Николай Васильевич Иванов в Справочник по геометрической топологии.
• Учебник по отображению групп классов к Бенсон Фарб и Дэн Маргалит
• Пападопулос, Атанас, изд. (2007), Справочник по теории Тейхмюллера. Vol. я, ИРМА Лекции по математике и теоретической физике, 11, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, Дои:10.4171/029, ISBN  978-3-03719-029-6, МИСТЕР  2284826
• Пападопулос, Атанас, изд. (2009), Справочник по теории Тейхмюллера. Vol. II, ИРМА Лекции по математике и теоретической физике, 13, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, arXiv:математика / 0511271, Дои:10.4171/055, ISBN  978-3-03719-055-5, МИСТЕР  2524085
• Пападопулос, Атанас, изд. (2012), Справочник по теории Тейхмюллера. Vol. III, ИРМА Лекции по математике и теоретической физике, 17, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, Дои:10.4171/103, ISBN  978-3-03719-103-3, МИСТЕР  2961353
• Пападопулос, Атанас, изд. (2014), Справочник по теории Тейхмюллера. Vol. IV, ИРМА Лекции по математике и теоретической физике, 19, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, Дои:10.4171/117, ISBN  978-3-03719-117-0

Группа классов стабильного отображения

• Устойчивое пространство модулей римановых поверхностей: гипотеза Мамфорда, к Иб Мадсен и Майкл С. Вайс, 2002

  Опубликовано как: Устойчивое пространство модулей римановых поверхностей: гипотеза Мамфорда, Иб Мэдсен и Майкл С. Вайс, 2007, Анналы математики

внешняя ссылка

• Семинар Madsen-Weiss MCG; много ссылок